Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến
1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10: Các toán suy luận rời rạc, toán bất biến: Ngun lí Dirichlet A Bài tốn Bài 1: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận bút tổng cộng 25 B Lời giải 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Bài 1: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Lời giải Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn yêu cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK 3S ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy được: DS CK AS BK � a AS a BK AS BK � AS BK � EM a a suy E cố định d qua E Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN GP HQ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 a Website: tailieumontoan.com Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 � � 505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa � �4 � � 505 đường thẳng đồng quy Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận bút tổng cộng 25 Lời giải Gọi số bút mà học sinh thứ I ( 32 học sinh ) nhận ( i = 1,2, ,32) Như �N * a1 a2 a32 �49 Ta kí hiệu: S1 a1 , S a1 a2 , …… S32 a1 a2 a32 Với i � 1;2; ;32 ta có : �Si �49 , Si 25 �74 ; Si 50 �99 , Si 75 �124 Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) S1 , S , , S32 , 32 số nhóm (2) S1 25, S 25, , S32 25, 32 số nhóm (3) S1 50, S 50, , S32 50 , 32 số nhóm (4) S1 75, S 75, , S32 75 , Thấy 128 số lấy giá trị nguyên dương phạm vi từ đến 124, theo ngun lí Dirichlet tồn hai số chúng Vì S1 S S32 nên dãy 32 giá trị nhóm tăng dần kể từ trái qua phải Suy tồn j i mà S J k1.25 S J k2 25 với k1 , k2 � 0,1,2,3 k1 �k2 ( hai số khơng nhóm) Vì S j S i nên S j Si 25 k1 k , suy k1 k � 1,2,3 Lại có S j Si S j �49 nên 25 k1 k2 49 , suy k1 k2 Vậy S j Si 25 hay 1 a j 25 , nghĩa nhóm gồm học sinh từ học sinh thứ i đến học sinh thứ j nhận tổng cộng 25 bút Toán rời rạc A Bài tốn Bài 1: Trên bảng vng, người ta điền tồn dấu + Sau thực q trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các ô dòng thứ i đổi dấu i lần, i 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j 1lần, j 1, 2, , 2019 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Tính số dấu cịn lại bảng vng sau thực xong trình đổi dấu 1 1 ; Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ; Từ số viết xoá số x, y 2018 2019 viết lên bảng số xy ( số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác cho x y 1 đến bảng cịn lại số Hỏi số bao nhiêu? Bài 3: Ba bạn A,B,C chơi trò chơi: Sau A chọn hai số tự nhiên từ đến ( giống ), A nói cho B tổng nói cho C tích hai số Sau câu đối thoại B C B nói : Tơi khơng biết hai số A chọn chắn C khơng biết C nói: Mới đầu tơi khơng biết biết hai số A chọn Hơn , số mà A đọc cho tơi lớn số bạn B nói: À, tơi biết hai số A chọn Xem B C nhà suy luận logic hoàn hảo, cho biết hai số A chọn hai số ? Bài 4: Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tan giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 Bài 6: Cho M tập tất 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 Chứng minh 2021 số đôi phân biệt chọn từ M ln tồn ba số phân biệt có tổng Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 2016 2; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) Bài 9: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm thành đoạn thẳng (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) a) Khi n , cách chia cho bốn đoạn thẳng tạo khơng có hai đoạn có độ dài b) Khi n 10 , chứng minh mười đoạn thẳng tạo tồn hai đoạn thẳng có độ dài Bài 12: Xét gỗ có hai đầu Một kiến từ đầu đến đầu gỗ 5phút Khi đến hai đầu kiến rơi xuống đất, Bây giả sử gỗ có kiến với tốc độ hướng khác Nếu có hai kiến ngược hướng đụng đầu chúng quay ngược lại tiếp Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com (Giả sử kích thước thời gian quay đầu kiến không đáng kể) Hãy lý luận để chứng tỏ tất cảcác kiến thể rơi hết xuống đất Cần tối thiểu phút để chắn 5con kiến rơi hết xuống đất? Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Bài 14: Xét bảng ô vuông cỡ 10�10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai chung cạnh có giá trị tuyệt đối không vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Bài 15: Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 2019 điểm cho 91 1 1 Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; 1 ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Bài 17: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Bài 18: Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh B Lời giải Bài 1: Trên bảng ô vuông, ô người ta điền toàn dấu + Sau thực q trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) theo bước sau: Bước 1: Các ô dòng thứ i đổi dấu i lần, i 1, 2, , 2019 Bước 2: Các ô cột thứ j đổi dấu j 1lần, j 1, 2, , 2019 Tính số dấu cịn lại bảng vng sau thực xong trình đổi dấu Lời giải Theo q trình đổi dấu vng dòng i cột j đổi dấu i j 1lần Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Mà i j i j hai số khơng tính chẳn lẻ (vì i j 1 i j j 1là số lẻ) Do vng dịng i cột j mà i j số lẻ đổi dấu số chẵn lần dấu vng dấu +, cịn vng dịng i cột j mà i j số chẵn đổi dấu số lẻ lần dấu vng dấu – Mà từ đến 2019 có 1009 số chẵn 1010 số lẻ nên số cặp i; j mà i j 1009.1010+1010.1009=2038180 Vậy số ô vuông lại mang dấu + 2038180 1 1 ; Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ; Từ số viết xoá số x, y 2018 2019 viết lên bảng số xy ( số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao x y 1 tác bảng cịn lại số Hỏi số bao nhiêu? Lời giải Đặt z �1 � xy 1 1 �1 � � � � 1� (1) � 1� x y 1 z x y xy z �x � �y � Với tập số dương x1 ; x2 ; xn tùy ý, xét biểu thức: � �1 � �1 � �1 P x1 ; x2 ; xn � � � � � 1� �x1 � �x2 � �xn � Từ (1) suy lần xóa số x; y viết lên bảng số xy số x y 1 lại bảng giữ nguyên giá trị biểu thức P số bảng không đổi 1 1 � � ; Gọi số cuối a � P(a ) P � ; ; ; ; � 2018 2019 � � �� � � �� �� � 1 ��1 � � 1 � � � 1� � 1� � 1� � � 2020! � a a ��1 � � 2020! � �� � �2 � �2018 ��2019 � Bài 3: Ba bạn A,B,C chơi trò chơi: Sau A chọn hai số tự nhiên từ đến ( giống ), A nói cho B tổng nói cho C tích hai số Sau câu đối thoại B C B nói : Tôi hai số A chọn chắn C khơng biết C nói: Mới đầu tơi khơng biết biết hai số A chọn Hơn , số mà A đọc cho lớn số bạn B nói: À, biết hai số A chọn Xem B C nhà suy luận logic hoàn hảo, cho biết hai số A chọn hai số ? Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Khi biết tổng B nói : Tơi khơng biết số A chọn chắn C khơng biết Do ta loại cặp có tổng 2; 3; 17; 18 1;1 , 1;2 , 8;9 , 9;9 biết tổng B phải đốn hai số Ngồi ra, dựa vào việc khẳng định C nên có trường hợp tổng sau: TH1: = 1+ = + tích = 1.3, C đoán ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp loại TH2: = + = … tích = 1.5, C đốn ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp loại Tương tự trường hợp tổng = 2+ 5, = 3+5, = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6, 12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 loại Do đó, sau B phát biểu C đốn tổng số ( = 1+4 = 2+3) Khi tích = 1.4 = 2.2 = 1.6 = 2.3 Vì C biết tổng tích số ( hay ) nên suy C nói : Mới đầu tơi khơng biết biết hai số A chọn Hơn số mà A đọc cho lớn số bạn Như C biết tích > Sau B biết hai số ban đầu có tổng tích Vậy số A chọn Bài 4: Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm đỉnh tam giác mà tam giác ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 Lời giải Ta tơ màu đoạn thẳng có đầu mút 12 điểm cho: -Tô đỏ đoạn thẳng có độ dài nhỏ 673 -Tơ xanh đoạn thẳng cịn lại tam giác có cạnh màu đỏ Ta chứng minh có tam giác có cạnh màu đỏ +Xét điểm 12 điểm cho Từ điểm A nối đến đoạn thẳng cịn lại tạo thành đoạn thẳng, tơ tới hai màu xanh, nên tồn cạnh màu Giả sử AB, AC , AD Nếu AB, AC , AD tơ đỏ (nét liền, h1) tam giác BCD phải có 1cạnh tơ đỏ(h1)., chẳn hạn BC tam giác ABC có cạnh tơ đỏ(h2) Nếu AB, AC , AD tô xanh (nét đứt, h3) Do tam giác phải có cạnh đỏ nên BC , CD, BD tam giác BCD có cạnh đỏ(h1) Suy điểm tồn tam giác có cạnh màu đỏ +Xét điểm lại, chứng minh tương tự Vậy 12 điểm ln tồn tam giác có hai cạnh màu đỏ Suy tồn hai tam giác mà chu vi tam giác bé 2019 (Từ trái qua phải h1,h2,h3,h4) Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng cho khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Tam giác tạo ba đường thẳng số đường thẳng cho gọi tan giác đẹp khơng bị đường thẳng số đường thẳng lại cắt Chứng minh số tam giác đẹp khơng 674 Lời giải: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Gọi đường thẳng cho d1 , d , �, d 2022 A ij giao điểm đường thẳng di d j i, j 1; 2022, i �j; A j An Xét đường thẳng d n số 2022 đường thẳng cho Do khơng có đường thẳng đồng quy nên giao điểm A ij ( n khác i, j) cặp đường thẳng di d j không nằm d n Do số giao điểm hữu hạn nên tồn giao điểm gần d n nhất, giả sử A ij ( có nhiều giao điểm ta chọn giao điểm đó) Ta chứng minh tam giác A ijA ni A nj tam giác đẹp Nếu tam giác bị đường thẳng d m số 2019 đường thẳng cịn lại cắt d m phải cắt hai đoạn A ijA ni ,A ijA nj Giả sử d m cắt đoạn A ijA ni điểm A mi A mi gần d n trái giả thiết A ij gần d n Suy ra, với đường thẳng d n tồn tam giác đẹp có cạnh nằm d n Trên đường thẳng d n , ta chọn cạnh tam giác đẹp ta thu 2022 cạnh tam giác đẹp Vậy số tam giác đẹp khơng 2022:3=674 Bài 6: Cho M tập tất 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 Chứng minh 2021 số đơi phân biệt chọn từ M ln tồn ba số phân biệt có tổng Lời giải x 2n 1 Ta chứng minh mệnh đề tổng quát: Trong 2n số phân Đặt M n x|x Z, � biệt từ tập hợp M n , tồn ba số phân biệt có tổng bẳng Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử tồn số nguyên dương n cho thể chọn 2n số phân biệt từ tập hợp M n mà khơng có ba số phân biệt có tổng Gọi n số nhỏ có tính chất vây Khi n ( với n mệnh đề đúng) Vì n số nhỏ làm cho mệnh đề không nên mệnh đề với n Nếu số chọn có 2n số thuộc M n 1 mệnh đề với n , tồn ba số phân biệt số chọn có tổng Mẫu thuẫn Vậy có tối đa 2n số chọn thuộc M n 1 Suy bốn số 2n 2, 2n 1, 2n 2, 2n 1, có ba số chọn Suy không chọn Nếu hai số M n \ 2n 1, 2n 1, 0 cặp 2n 1, 2n 1 thành chọn 2n Chia tập cặp 1; 2n , 2; 2n 3 , �, 1; 2n ,�, n 1, n ta thấy từ cặp ta chọn tối đa số Suy lấy tối đa 2n 2n số Mẫu thuẫn Nếu có số cặp 2n 1, 2n 1 chọn theo lí luận trên, cặp 2n 2, 2n chọn Khơng tính tổng quát ta giả sử 2n chọn cịn 2n khơng chọn Lúc chia phần tử lại thành 2n cặp 1; 2n 3 , 2; 2n ,�, n 2; n , (2; 2n 3, �, n 3; n 1 , Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ba số Website: tailieumontoan.com n 2, n 1, n phần tử lẻ cặp n Từ cặp ta lấy tối đa số, từ ba số ta lấy tối đa số Từ ta lấy tối đa 2n 2n số Mẫu thuẫn Vậy trường hợp dẫn đến mẫu thuẩn, tức điều giả sử sai Mệnh đề chứng minh Áp dụng mệnh đề cho n 1010 ta có điều phải chứng minh Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn trịn Chứng minh ln tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Lời giải Giả sử tồn cách xếp 30 bạn lên bàn tròn cho khơng có bạn ngồi hai bạn nữ Gọi bạn theo thứ tự A1 ; A2 ;K ; A30 Chúng ta chia 30 bạn sang hai bàn tròn gồm A1; A3 ;K ; A29 A2 ; A4 ;K ; A30 giữ nguyên thứ tự Khi hai bàn mới, khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh 15 � Số bạn nữ bàn không vượt Suy tổng số bạn nữ hai bàn nhỏ 15 (trái giả thiết) Vậy tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 2016 2; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) Giải: - Nhận xét: n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25 (n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17 (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13 Lần thứ nhất, chia vật có khối lượng 19992, , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13 Lần thứ hai, chia vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng 20112, , 20162 thành ba phần: C + 25, C + 17, C + 13 Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ A + 25, B + 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C + 25, A + 17, B + 13 Khối lượng nhóm A + B + C + 55 gam Bài 9: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB Giải: Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài Xét điểm O có màu vàng mặt phẳng Vẽ đường trịn O, Lấy điểm P O Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Dựng hình thoi OAPB có cạnh có đường chéo OP Dễ thấy OA OB AB AC BC Theo giả thiết, A, B phải tơ khác màu vàng khác màu Do P phải tô vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài P/s: Số thay số thực dương Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A Giải: Giả sử A = a1 ;a ;a 3; ;a 21 với a1; a ; a 3; ; a 21 �� a1 a a a 21 Theo giả thiết ta có a1 a a a11 a12 a13 a 21 � a1 a12 a a13 a a 21 a11 (1) Mặt khác với x; y �Z y x y �x � a12 a �10, a13 a �10, ,a 21 a11 �10 (2) Nên từ (1) suy a1 10 + 10 + +10 = 100 mà a1 nhỏ 101�A � a1 =101 Ta có 101 a12 a a13 a a 21 a11 �100 � a12 a a13 a a 21 a11 100 Kết hợp với (2) � a12 a a13 a a 21 a11 10 (3) � 10 a12 a (a12 a11 ) (a11 a10 ) (a a ) �10 � a12 a11 a11 a10 a a (4) Ta có a1 =101 mà 102 �A � a 102 Kết hợp với (3) (4) suy A = 101;102;103; ;121 Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn O Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm thành đoạn thẳng (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) a) Khi n , cách chia cho bốn đoạn thẳng tạo khơng có hai đoạn có độ dài b) Khi n 10 , chứng minh mười đoạn thẳng tạo tồn hai đoạn thẳng có độ dài Giải: Bài 11Ta đánh số 2n đỉnh đa giác từ đến 2n Khi đó, độ dài đoạn thẳng nối hai đỉnh coi tương ứng với số lượng cung nhỏ nằm hai đỉnh đó, chênh lệch hai số thứ tự theo mod n cộng thêm Sự tồn hai cặp đoạn thẳng có độ dài đề tương ứng với việc tồn hai cặp đỉnh có chênh lệch số thứ tự theo mod n a) Ta cần cách chia cặp số từ đến cho khơng có hai cặp có chênh lệch giống theo mod Cụ thể là, 1,4 , 2,6 , 3,5 7,8 với chênh lệch , 4, 2, 1, thỏa mãn đề Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com b) Gỉa sử tồn cách ghép cặp a1,b1 , a2,b2 , , a10,b10 cho số từ đến 20 cho khơng có hai số có số dư chia cho 10 Suy a1 b1 a2 b2 a10 b10 �0 1 mod 10 a1 b1 a2 b2 a10 b10 �5 mod 10 Do tổng a1 b1 a2 b2 a10 b10 số lẻ Chú ý với x, y ngun x y có tính chẵn lẻ với x y Kết hợp với kết trên, ta suy tổng a1,b1 a2,b2 a10,b10 , lẻ a1,b1 a2,b2 a10,b10 1 2 20 210 Mặt khác, ta lại có số chẵn Mâu thuẫn nhận cho ta kết cần chứng minh Bài 12: Xét gỗ có hai đầu Một kiến từ đầu đến đầu gỗ 5phút Khi đến hai đầu kiến rơi xuống đất, Bây giả sử gỗ có kiến với tốc độ hướng khác Nếu có hai kiến ngược hướng đụng đầu chúng quay ngược lại tiếp (Giả sử kích thước thời gian quay đầu kiến không đáng kể) Hãy lý luận để chứng tỏ tất cảcác kiến thể rơi hết xuống đất Cần tối thiểu phút để chắn 5con kiến rơi hết xuống đất? Giải: Đội cho kiến mũ đánh số mũ (chẳng hạn từ đên 5) Với hai kiến ngược chiều gặp thay chúng quay ngược lại chúng đổi mũ cho tiếp tục theo hướng cũ (Thời gian đổi mũ ko đáng kể thời gian quay đầu ko đáng kể) Theo cách khơng có kiến phải quay đầu… Vậy tất theo chiều không đổi nên tất rơi hết xuống đất Từ suy quãng đường mà kiến phải xa độ dài gỗ Thời gian để đảm bảo chắn tất kiến rơi xuống đất phút Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 11 Website: tailieumontoan.com Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Lời giải 13 Gọi A i A j hai điểm xa điểm thuộc tập hợp 8073 điểm cho Giả sử A k điểm cách xa đoạn thẳng A i A j Khi Tam giác A i A j A k tam giác lớn có diện tích khơng lớn Vẽ đường thẳng qua điểm A i , A j , A k song song với cạnh A i A jA k Ta tam giác nhỏ tam giác lớn chứa tam giác nhỏ Tam giác lớn có diện tích khơng q đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất 8073 điểm cho Ta có 8073 chia cho 2018 dư nên theo nguyên lý Dirichlet suy có tam giác có tam giác chứa 2019 8073 điểm cho Bài 14: Xét bảng vng cỡ 10�10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Lời giải Gọi số nhỏ điền vào bảng x Khi với số nguyên y điền vào bảng, ta xét bảng vng n�m (n dịng, m cột, �n �10,0 �m�10 ) nối ô vuông điền x vng điền y hình vẽ bên dưới, a11 x, anm y (các trường hợp a11 góc khác xét tương tự) a11 a12 a1m a2m anm Ta có: a12 �a11 1, a13 �a12 1�a11 2, , a1m �a1 m , 3m �a2m 1�a1 m 1, , anm �a1 n m Và a2m �a1m 1�a1 ma Như vậy, ta có: x �y �x n m �x 18 Suy y y� x, x 1, , x 18 Suy có khơng q 19 số khác điền vào bảng vng cho Do bảng cho có 100 vng nên theo ngun lý Dirichlet, có số xuất khơng 100� � � � 1 lần �19 � Bài 15: Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 2019 điểm cho 91 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 12 Website: tailieumontoan.com Chia hình vng cho thành 2025 hình vng nhỏ có cạnh 45 Gọi (C1 ), (C2 ), , (C2025 ) hình trịn nội tiếp hình vng nhỏ trên, chúng có bán 90 Gọi (C1' ), (C2' ), , (C2025' ) hình trịn đồng tâm với hình trịn có bán Khi hình trịn nằm hình vng đơi khơng có điểm chung kính là: 91 kính (rời nhau) Trong hình vng cho có hình trịn rời (C1' ), (C2' ), , (C2025' ) có 2019 điểm nên tồn hình trịn hình trịn không chứa điểm 2019 điểm cho 1 1 Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; 1 ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u v uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Lời giải Với hai số thực u,v ta ln có: u 1 v 1 u v uv u v uv (*) Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: T a1 1 a2 1 a3 1 a2015 1 Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” không thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”: � � �1 � �1 � �1 � � � 2015 2016 T � 1� � 1� 2016 � 1� � 1� � 1� � � �2 � �3 � �4 � �2015 � 2014 2015 Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy cịn lại cịn số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T x Vậy ta có: x 2016 � x 2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 Bài 17: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 13 Website: tailieumontoan.com Gọi số trận hòa x ( x �N * ) � tổng số điểm trận hịa 2x, (1 trận hịa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x � tổng số điểm trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 � 2x + 12x = 336 � x = 24 Vậy ta có tất 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận giảm nửa, có tất Vậy n(n 1) trận đấu n(n 1) 120 � n(n 1) 240 � n 16, (n 15 loại) KL : có tất 16 đội bóng tham gia Bài 18: Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Lời giải Giả sử tất câu lạc có khơng q học sinh Gọi N số câu lạc có học sinh Nếu N , từ số câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện tốn Nếu N