CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại số
1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6: Bất đẳng thức, cực trị đại số A Bài toán (giữ nguyên màu) Bài 1: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 5a + 2ab + 2b + 5b + 2bc + 2c 1 + + ≤ Chứng minh rằng: a b c ≤ 5c + 2ca + 2a + Bài 2: Cho x , y , z , t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t + + + ≥ y+ z z+t t + x x+ y Bài 3: Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh 362 + ≥ 121 2 a + b + c ab + bc + ca Bài 4: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x ( x − z ) + y ( y − z ) = Tìm giá trị nhỏ x3 y3 x2 + y + + + biểu thức P = x + z2 y2 + z2 x+ y Bài 5: a) Cho a, b, c số thực x, y, z số thực dương Chứng minh: a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ x y z x + y+ z a3 + b3 + c3 + + + b)Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = , với a, b, c số a (b + c) b3(c + a) c3(a + b) thực dương thỏa mãn abc = Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x +6 x −9 + x −6 x−9 , với x > 81 18 − + x2 x Bài 7: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = a + b + c + Tìm giá trị lớn 1 + + biểu thức P = 2 2 a +b b +c c + a2 Bài 8:Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a a a+ b + b b b+3 c + c c c+3 a Bài 9: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh x 2y 4z + + ≤ 2 2x + y + 6y + z + 3z + 4x + 16 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 10: Cho thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm minS = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) Bài 11: Giả sử ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > , b = 3a , a + b + c = abc Chứng minh rằng: a ≥ 1+ ( )( 4 4 Bài 12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b b + c (a )( )( )(c ) + a = Chứng minh ) − ab + b b − bc + c c − ca + a ≥ Bài 13: Cho số dương x , y , z thỏa mãn: x + y + y + z + z + x = 2014 Tìm giá trị x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y Bài 14: Với x , y số thực thay đổi thỏa mãn ≤ y ≤ xy + ≥ y Tìm giá trị nhỏ x2 + biểu thức: M = y +1 y x Bài 15: Cho , , z số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = Chứng minh rằng: nhỏ biểu thức T = 1 2 x y z + + ≥ + + ÷ 2 1+ x 1+ y 1+ z + x + y2 + z2 ÷ Bài 16: Với x, y số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + 17 xy + x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 17 x + 17 y + 16 xy Bài 17: Cho a , b , c ba số thực thỏa điều kiện a + b + c = 10 Tìm giá trị nhỏ M = a + b2 + c Bài 18: Cho ba số thực x , y , z Tìm giá trị lớn biểu thức S = ( xyz x + y + z + x + y + z (x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ) Bài 19: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z S= + + 2 + y 1+ z 1+ x2 Bài 20: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = + với < x < 1− x x Bài 21: Cho a , b , c số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + ≤ Chứng minh rằng: a b c a b c + + + ( ab + bc + ca ) ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a y Bài 22: Cho ba số dương x , , z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh 350 386 + > 2015 xy + yz + zx x + y + z Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 23: Chứng minh rằng: + 2014 2015 + + + + 2013 + 2014 < 2 2 Bài 24: Cho x , y hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 x + y) x + y) ( ( S= + x + y2 xy Bài 25: Cho a , b số dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12 Chứng minh bất đẳng 1 + + 2015ab ≤ 2016 thức: 1+ a 1+ b 1 Bài 26: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn: + + = Tìm giá trị nhỏ biểu x y z thức: P = y2z2 z2 x2 x2 y2 + + x ( y2 + z2 ) y ( z2 + x2 ) z ( x2 + y2 ) Bài 27: Cho a, b, c số thực dương, chứng minh a b 4a + ≥ b c a+c Bài 28: Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a b2 + + b c + + c a + ≥ Dấu “=” xảy nào? Bài 29: Cho ba số a,b,c ≥ thỏa mãn 32abc = 18(a+ b+ c) + 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P= a2 − b2 − c2 − + + a b c Bài 30: Tìm GTNN A = x2 y2 z2 + + biết x, y, z > , x+ y y+z z+x xy + yz + zx = 1 1 a) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh ( a+ b + c) + + ÷ ≥ a b c b) Cho số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x y z P= + + x+1 y+1 z+1 Bài 31: 2011 − 2010 2010 − 2009 Bài 33: Chứng minh bất đẳng thức: ab ≥ c ( a − c ) + c ( b − c ) (với a > c, b > c, c > 0) Bài 32: So sánh số: Bài 34: Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a + b +c b + c +a c >2 a +b Bài 35: Cho x, y , z ba số dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x y z + + ≤1 x + x + yz y + y + zx z + 3z + xy x;y ∈ R y 2 x Bài 36: Cho x; y thỏa mãn + ≤ Chứng minh rằng: 1+ y 1+ x 0 ≤ x;y ≤ Bài 37: a) Cho bốn số thực a, b, c, d Chứng minh: ab + cd ≤ Dấu đẳng thức xảy ? Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (a + c ) ( b2 + d ) Website: tailieumontoan.com b) Với giá trị góc nhọn α biểu thức P = 3sin α + cos α có giá trị lớn nhất? Cho biết giá trị lớn Bài 38: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x y z + + z (z + x) x ( x + y ) y ( y + z ) 1 + + ≥ a b c Bài 40: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số Bài 39: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh a5 + b5 + c5 + x y z 2x + 2y + 2z + + > a b2 c2 a + b2 + c2 Bài 41: Cho biểu thức B = x − + − x Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng thực x, y, z ta ln có: Bài 42: Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P = (1 - )(1 - y2 ) x Bài 43: Cho ba số thực a, b, c > thoả mãn a + b + c = 2013 a b c + + ≤ Chứng minh a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab Dấu đẳng thức sảy nào? Bài 44: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = abc Tìm giá 4ab 9ac 4bc + + trị nhỏ biểu thức C = a + 2b a + 4c b + c Bài 45: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 x2 + y2 + z 2 y + x2 + z 2 z + y + x2 + + ≥ xyz Chứng minh − yz − xz − yx Bài 46: Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + y3 + xy Bài 47: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = Vậy giá trị nhỏ M x y xy + + y x x + y2 chỉ x = y x;y ∈ R y 2 x + ≤ Bài 48:Cho x; y thỏa mãn Chứng minh rằng: ≤ x;y ≤ + y + x Bài 49:Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 50: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a +b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 51:Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 4x+3 x2 + Bài 52:Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: Q= Bài 53: Tìm giá trị lớn biểu thức: 2016 x + x + 2016 x2 + Bài 54: Cho số dương a, b, c Chứng minh : < Bài 55: Tìm GTNN biểu thức: A = a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a2 + a b c + + Chứng minh a b c + + >2 b+c c+a a+b Bài 60: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu a3 b3 c3 thức A = + + c + a2 a + b2 b + c2 Bài 61: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 1 Bài 62: Chứng minh với x > ta ln có 3(x2 - ) < 2(x3 - ) x x Bài 63: Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN P = + a + + b Bài 64: Cho a, b ,c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + b3 + c3 a + b b + c c + a P= + + + 2abc c + ab a + bc b + ca Bài 65: Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bi 66: Cho số thực dơng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6 Chứng minh rằng: b+c+5 c+a+4 a+b+3 + + ≥ Dấu đẳng thức xảy 1+ a 2+b 3+ c Bài 67: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + ac + bc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = 19a + 19b + 19c + + + + b2 + c2 + a2 Bài 68: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= a b c + + 2 9a + 3b + c 9b + 3c + a 9c + 3a + b Bài 69: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Chứng minh rằng: + + x2 + + y + + z + + ≤ xyz x y z Bài 70: Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có Bài 71: Cho ba số khơng âm x,y,z thỏa mãn ( n − 1) n < 1 + + = + 2x + y + 2z 64 a b c + + > , với a, b, c>0 b+c a+c b+a Chứng minh xyz ≤ Bài 72: Chứng minh Bài 73: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Bài 74: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 + + ≥ + + a +b−c b+c− a c + a −b a b c Bài 75: Chứng minh a + b4 ≥ ab3 + a 3b − a 2b 2 Bài 76: a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + ÷ y + ÷ y x 1 + + =6 b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn x+ y y+z z+x 1 + + ≤ Chứng minh rằng: 3x + y + z x + y + 3z x + y + 3z Bài 77: Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Tìm a 9b 16c + + b + c − a c + a− b a+ b− c Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 giá trị nhỏ biểu thức S = Website: tailieumontoan.com c Bài 78: Cho ba số dương a, b thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Bài 79: 1.Cho a, b > Chứng minh rằng: a+b ≥ ab 2 Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm lấy tích số nhóm Gọi M tổng hai tích số Tìm giá trị nhỏ M chỉ cách chia cho M nhỏ Bài 80: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F= x4 y4 z4 + + ( x + y )( x + y ) ( y + z )( y + z ) ( z + x )( z + x) ìï a ¹ ï Bài 81: Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: ﾵ ïí 2b c ïï ³ +4 a ỵï a Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm Bài 82: Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+ y Bài 83: (2,5 điểm) 1) Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = xy + yz + zx ≠ Chứng minh x +1 y +1 z +1 25 + + ≤ y + z + x + 3 xy + yz + zx Bài 84: 2 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) p, q, r ba số thỏa mãn: p + q + r = Chứng minh rằng: apq + bqr + crp ≤ 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( a + b + 1) a + b + a+b 2 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) p, q, r ba số thỏa mãn: p + q + r = Chứng minh rằng: apq + bqr + crp ≤ ( ) 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = ( a + b + 1) a + b + a+b ( Bài 85: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ) Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh với số a, b, c, d ta ln có: (a + c )(b + d ) ≥ ( ab + cd ) 2 2 a2 + b2 ≥ (4a + 3b)(3a + 4b) 25 b) Cho a, b > chứng minh rằng: Bài 86: ( điểm) Với x, y hai số thực thỏa mãn y + y + y + = 11 − x − x − x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T = x − y + 2018 Bài 87: Cho a, b, c ba số khơng âm có tổng Chứng minh: a) ( ab + bc + ac ) ≤ 2 b) a + b + c ≥ ( ab + bc + ac ) − Bài 88: Cho x,y,z ≥ thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + y + 16 z + 16 x + 16 Bài 89: Cho a, b, c > Chúng minh rằng: b2 + c c + a a + b2 + + ≥ 2( a + b + c) a b c Bài 90: Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 Bài 91: Cho số thực dương a, b, c, d thoả mãn a > 1, b > 1, c > 1, d > Chứng minh bất a2 b2 c2 d2 + + + ≥ 16 đẳng thức b −1 c −1 d −1 a −1 Bài 92: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ( a + c ) ( b + c ) = 4c Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = a b ab + + b + 3c a + 3c bc + ca Bài 93: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b3 + + b c3 + + c a + ≤ Bài 94: a) Cho x, y, z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 1 + , + , + ln tồn số lơn x 4− y y 4− z z 4− x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) Với số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c2 + 2abc = 1, tìm giá trị lớn 2 biểu thức P = ab + bc + ca − abc Bài 95: Cho a, b, c số thực cho a + b = c − ab = 2c − 3c + Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b Bài 96: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức B = 3x + x2 + Bài 97: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = a b c + + ≥ Chứng minh ( a + 1) ( b + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( c + 1) ( a + 1) Bài 98: Chứng minh bất đẳng thức: a b2 c2 ( a + b + c ) (*) với a, b, c ∈ ¡ x, y, z > + + ≥ x y z x+ y+z Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 673 x y z + + ≥ Bài 99: Chứng minh rằng: x − yz + 2019 y − zx + 2019 z − xy + 2019 x + y + z Bài 100: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 a b c P= ÷ + ÷ + ÷ a+b b+c c+a Bài 101: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x +y +z +2 =xyz Chứng minh x +y +z +6 ³ ( ) yz + zx + xy Bài 102: Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y − z + = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = x3 y ( x + yz ) ( y + xz ) ( z + xy ) Bài 103: Cho a > , b > Chứng minh a b = a − 1÷ ≥ b − ÷ ÷ ÷ Dấu “ ” xảy nào? b a Bài 104: Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 1 + 3 + 3 x + y +1 y + z +1 z + x3 +1 Bài 105: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + Chứng minh a b c + + > b+c c+a a+b Bài 116: Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= x y z + + x + y −1 − y + 2z −1 − z + 2x −1 − Bài 117: Cho số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 670 Chứng minh rằng: x y z + + ≥ x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z Bài 118: Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Bài 119: Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 120: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 74 Website: tailieumontoan.com Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: VT = = 25 2.2 ( xy + yz + zx ) 25 xy + yz + zx + ³ 25 25 ³ xy + yz + zx + x + y + z +1 ( x +1) ( y +1) ( z +1) å ( x +1) Cần chứng minh ( y +1) £ 25 Sau rút gọn, BĐT trở thành x y + y z + z x £ Giả sử y nằm x z , suy ( y - x ) ( y - z ) £ hay y + zx £ xy + yz Do y z + z x £ xyz + yz x y + y z + z x £ x y + xyz + yz £ y ( z + x) 1 y ( z + x) ( z + x) £ ( y + z + x + z + x) = 54 a2 + b2 ≥4 Bài 113: Cho a b ab = Chứng minh: a−b = Giải: a + b (a − b) − 2ab 12 = = a−b + Ta có: a−b a−b a−b Áp dụng bất đảng thức Côsi : a − b + 12 12 ≥ a − b =4 a−b a −b x2 − x x2 + x − Bài 114: Cho A = x + x +1 x − x +1 Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Giải: ĐKXĐ: x ≥ ) ( ) ( x x3 −1 x x3 +1 x2 − x x2 + x A= − = − x + x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 = x = x ( ( )( ) − x( )( ) x −1 x + x +1 x +1 x − x +1 x + x +1 x − x +1 ) x −1 − x ( ) x + = x − x − x − x = −2 x B = A + x – 1= −2 x + x − = x − x − = ( ) x − − ≥ −2 Dấu “=” xảy ⇔ x − = ⇔ x = ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 Bài 115: Cho a, b, c > Chứng minh a b c + + > b+c c+a a+b Giải: a b c + + > b+c c+a a+b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Chứng minh 75 Website: tailieumontoan.com a 2a ≥ Áp dụng BĐT Cauchy ta có a + b + c ≥ a ( b + c ) ⇔ b+c a+b+c Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c ≥ ; ≥ c+a a +b+c a +b a +b+c 2( a + b + c) a b c + + ≥ =2 Suy b+c c+a a+b a +b+c a = b + c Dấu xảy ⇔ b = c + a ⇔ a = b = c = (Trái với giả thiết) c = a + b Vậy dấu = không xảy suy đpcm Bài 116: Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= x y z + + x + y −1 − y + 2z −1 − z + 2x −1 − Giải: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z ( *) với x , y , z > , a , b, c Dấu " = '' xảy ⇔ a b c = = x y z Chứng minh: Trước hết ta chứng minh a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y , Thật vậy quy đồng hai vế lên ta bất đẳng thức tương đương ( ay − bx ) ≥ , Dấu " = " xảy ⇔ ay = bx ⇔ a b = x y a b2 c ( a + b ) c2 ( a + b + c ) Áp dụng ta + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b x = y a b c ⇔ = = (đpcm) Dấu " = " xảy ⇔ x y z a +b = c x + y z Bất đẳng thức thức (*) chứng minh Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số không âm + x + y −1 x = + y+4 2 x ⇒ x + y −1 − ≤ + y x + y −1 ≤ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x + y − ta có: 76 Website: tailieumontoan.com x Suy x + y − − Tương tự ≥ x x +y = 2x 2x = x + y x + xy y y2 z 2z2 ≥ ; ≥ y + z − − y + yz z + x − − z + zx Cộng vế với vế tương ứng bất đẳng thức ta T≥ x2 x + xy + y2 y + yz + 2z2 z + zx Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có x + y + z) ( ÷= + + ≥ x + xy + y + yz + z + zx ÷ x + xy y + yz z + zx Do T ≥ x + y −1 = y + 2z −1 = 10 ⇔x= y=z= Dấu " = '' xảy ⇔ z + x − = (TMĐK) x y z = = x + xy y + yz z + zx 10 Vậy Min T = x = y = z = x2 y2 2z2 Bài 117: Cho số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 670 Chứng minh rằng: x y z + + ≥ x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z Giải: Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức : Với a,b,c∈ ¡ x,y,z > ta có: a2 b2 c2 ( a+ b + c) + + ≥ x y z x+ y+ z a b c = = x y z Thật vậy, với a,b∈ ¡ x,y > ta có: Dấu “=” xảy ⇔ a2 b2 ( a+ b) + ≥ x y x+ y ( (**) ) ⇔ a2y + b2x ( x + y) ≥ xy( a+ b) ⇔ (bx − ay)2 ≥ (luôn ) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: a2 b2 c2 ( a+ b) c2 ( a+ b + c) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x + y+ z 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (*) 77 Website: tailieumontoan.com Dấu “=” xảy ⇔ a b c = = x y z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: VT = x y z + + x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 ( x + y + z) x2 y2 z2 = + + ≥ 3 (1) 2 x(x − yz + 2010) y(y − zx + 2010) z(z − xy + 2010) x + y + z − 3xyz + 2010(x + y + z) Chú ý: x(x2 − yz + 2010) = x(x2 + xy + zx + 1340) > 0;y(y2 − zx + 2010) > ( ) z z2 − xy + 2010 > Chứng minh: ( x3 + y3 + z3 − 3xyz = ( x + y + z) x2 + y2 + z2 − xy − yz − xz ) = ( x + y + z) ( x + y + z) − 3( xy + yz + zx) (2) Do đó: x3 + y3 + z3 − 3xyz + 2010(x + y + z) = ( x + y + z) ( x + y + z) − 3(xy + yz + zx) + 2010 = (x + y + z)3 (3) ( x + y + z) = Từ (1) (3) ta suy VT ≥ ( x + y + z) x + y + z Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 2010 Bài 118: Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + 2 Giải: 2 2 Ta có ( x + y + z ) − ( x + y + z ) = = ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z ) ≥ ⇒ ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) nên với x,y,z>0 ta có x + y + z ≤ ( x + y + z ) , áp dụng ta có 1 1 1 + + ≤ 3 + + ÷ ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + bc + b + ca + c + 11 1 ≤ + ÷ -Với x,y>0 ta có x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ xy ⇒ x+ y 4 x y áp dụng ta có 1 1 = = = ab + a + ab + + a + ab + abc + a + ab( c + 1) + (a + 1) 1 1 abc 1 c + = + = + ÷ ÷ ÷ ab( c + 1) a + ab(c + 1) a + c + a + 1 c ≤ + Vây ta có ÷ ab + a + c + a + 1 a 1 b ≤ + ≤ + Tương tự ta có ÷; ÷ nên bc + b + a + b + ca + c + b + c + ≤ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 78 Website: tailieumontoan.com 1 3 + + ÷ ab + a + bc + b + ca + c + 1 c a b 3ì + + + + + ữ= c +1 a +1 a +1 b +1 b +1 c +1 1 + + ≤ dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab + a + bc + b + ca + c + 2 Bài 119: Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Giải: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = ⇔ ( x + y ) + 7( x + y ) + 10 = − y 2 ⇔ ( x + y + 2)( x + y + 5) = − y ≤ ⇔ −4 ≤ x + y + ≤ −1 * x + y + = - x = - 5; y = * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = Amax = - x = -2; y = Bài 120: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Giải: a a a+c nên Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có: a + (b + c ) ≥ a (b + c ) > 2 ⇔ ≤ a +b + c a (b + c) ⇔ 2a a 2a a ≤ ⇔ ≤ a+b+c a+b+c b+c a (b + c ) Tương tự: 2b b ≤ ; a+b+c a+c 2c c ≤ a +b+c b+a Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 79 Website: tailieumontoan.com ⇒ a b c + + ≥2 b+c c+a a +b Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) ⇒ a b c + + > (2) b+c c+a a+b Từ (1) (2) ta có đpcm Bài 121: Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng: a3 a3 + ( b + c) + b3 b3 + ( c + a ) c3 + c3 + ( a + b ) ≥ Giải: Với x số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x + 1+ x2 − x +1 x2 + x + = ( x + 1) x − x + ≤ = 2 ⇒ ≥ (*) x +1 x + Dấu “ =” xảy x = Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: ( a3 a3 + ( b + c) = ) b+c 1+ ÷ a a3 Suy ra: a3 + ( b + c) ≥ ≥ 2 b+c ÷ +2 a = 2a ( b + c) + 2a 2a a2 = (1) 2 2 b + c + 2a a + b + c ( ) Tương tự ta có: b3 b3 + ( a + c ) c3 c3 + ( a + b ) b2 ≥ (2) a + b2 + c2 c2 ≥ (3) a + b2 + c2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 a3 + ( b + c) + b3 b3 + ( a + c ) + c3 c3 + ( a + b ) ≥1 Dấu “=” xảy a = b = c Bài 122: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a + b + b + c + c + a = 2011 a2 b2 c2 2011 + + ≥ b+c c+a a +b 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 80 Website: tailieumontoan.com Lời giải Ta có 2( a + b ) ≥ ( a + b) a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ + + Suy b + c c + a a + b ( b2 + c2 ) ( c2 + a2 ) ( c2 + a2 ) Đặt x = b + c , y = c + a , z = a + b , y2 + z − x2 z + x2 − y x2 + y − z + + suy VT ≥ 2x 2y 2z Bài 123: Cho x, y, z số thực ≥ ( z + x)2 ( x + y )2 ( y + z ) − x + − y − z ÷ ÷ ÷+ 2 x 2y 2z ≥ ( z + x) ( x + y)2 ( y + z ) + x − x + + y − y + z − z ÷ ÷ ÷+ 2 x 2y 2z ≥ 2 dương thỏa mãn x + y + z = xyz ( 2( y + z ) − 3x ) + ( 2( z + x) − y ) + ( 2( x + y − 3z ) Suy VT ≥ 2 ( x + y + z) = 2011 2 + + x2 + + y2 + + z Chứng minh rằng: + + ≤ xyz x y z Lời giải Từ Gt suy ra: Nên ta có: Vậy 1 + + = xy yz zx 1 1 1 1+ x2 1 1 = + + + = + ÷ + ÷ ≤ + + ÷;" = " ⇔ y = z x x xy yz zx x y x z x y z + + x2 ≤ + + ÷ 2 x y z x 1+ 1+ y2 1+ 1+ z2 1 ≤ + + ÷ ; ≤ + + ÷ Tương tụ ta có 2 x y z 2 x y z y z Vậy ta có + + x + + y + + z + + ;" = " ⇔ x = y = z + + ≤ ÷ x y z x y z Ta có ( x + y + x ) − ( xy + yz + xx ) = = 1 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( x − z ) ≥ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 81 Website: tailieumontoan.com Nên ( x + y + x ) ≥ ( xy + yz + xx ) ⇒ ( xyz ) ≥ ( xy + yz + xz ) ⇒ 1 1 xy + yz + xz ≤ xyz ⇒ + + ÷ ≤ xyz xyz x y z + + x2 + + y + + z Vậy + + ≤ xyz ; " = " ⇔ x = y = z x y z Bài 124: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − 4x + x2 Lời giải A= x2 − x + x2 = 1− + = − + − + = − + − ≥ −3 x x x x x Dấu ‘=’ xảy chỉ ⇔ − 1 =0⇔ x= x Bài 125: Cho số a, b, c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + ÷ a +1 b +1 c +1 B = (a + b + c + 3) + Lời giải Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a ≤ a ≤ b ≤ c ≤ = >1 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 1 x x y y z z Khi A= (x+y+z)( + + )=3+ + + + + + + x y z y z x z x y x y x y x y ≥0⇔ − ÷1 − ÷ ≥ ⇔ − − + y z y z y z z y z y z y ≥0⇔ − ÷1 − ÷ ≥ ⇔ − − + y x y x y x x y z y x z x x y ⇒ + + + ≤ + +2⇒ + + + y z y x z x y z x Đặt x y x + ≤ +1 y z z z y z + ≤ +1 y x x y z z x z + + ≤ + ÷+ z x y z x x = t => ≤ t ≤ z Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 82 Website: tailieumontoan.com x z t + 2t − 5t + (2t − 1)(t − 2) + =t+ = = + = + z x t t 2t 2t 2 Do ≤ t ≤ ⇒ (2t − 1)(t − 2) x z ≤0 ⇒ + ≤ 2t z x ⇒ A ≤ + + = 10 Ta thấy a=b=0 c=1 A=10 nên giá trị lớn A 10 Bài 126: Cho x, y số thực dương thoả mãn : + = Chứng minh : x y 5x2 + y − 4xy + y2 ≥ Lời giải * Ta có: 5x2 + y − 4xy + y2 ≥ ⇔ 4x2 − 4xy + y2 + x2 + y − ≥ ⇔ ( 2x − y) + x2 + y − ≥ * 2 2x − 2x + = ⇔ = 2− ⇔ = ⇔ y= x y y x y x 2x − Vì : y > ; x > ⇒ 2x - > ⇒ x > 1/2 Thay y = Ta có: x2 + y − ≥ ⇔ x2 + 2x vào x + y − ≥ x −1 2x 2x3 − x2 + 2x − 6x + − 3≥ ⇔ ≥ (1) 2x − 2x − Vì 2x - > ⇒ (1) ⇔ 2x3 − x2 + 2x − 6x + ≥ ⇔ 2x3 − x2 − 4x + ≥ ( ) 3 2 Mà 2x − x − 4x + = 2x − 2x + x − x − 3x + = ( x − 1) 2x + x − = ( x − 1) ( 2x + 3) ≥ ∀x > Vậy ( 2x − y) + x2 + y − ≥ Bài 127: Cho x > 1; y > , chứng minh: x − 1 3− 2x x 1 + + ÷ ÷ + ≥ 3 (x − 1) y y x −1 y Lời giải x > 1; y > ⇔ x − > 0; y > ⇔ ∀x > 0;y > x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 83 Website: tailieumontoan.com Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ −2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) x −1 3 (1) x −1 x −1 x − 3( x − 1) −2 ÷ +1+1 ≥ 33 ÷ 1.1 ⇔ ÷ ≥ y y y y 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ − y y y y (2) (3) Từ (1); (2); (3): x −1 1 3( x − 1) + −6+ + ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y y x −1 1 − x + 3x − 2x x ⇔ + + = 3( + ) ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y x −1 y Bài 128: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 P = 21 a2 + b2 + c2 + 12( a + b + c) + 2017 + + ÷ a b c ( ) Lời giải ( ) 2 Ta có Theo BĐT Bunhiacơpky ta có a + b + c ≥ ( a + b + c ) ; 1 1 1 Mặt khác ( a + b + c) + + ÷ ≥ ⇒ + + ≥ Nên a b c a + b+ c a b c P ≥ 19( a + b + c) + 2 18153 8 17849 = 19( a + b + c) + + + =Q a + b+ c a + b + c a + b + c a + b + c a = b = c > 18305 Min(P) = ⇔ a + b + c = ⇔ a= b= c = ( a + b + c) = a + b+ c Bài 129: Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca a + b+ c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Lời giải Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 84 Website: tailieumontoan.com 1 1 11 1 ≤ + + Tacó áp dụng BĐT ( x + y + z ) + + ≥ ⇔ x+ y + z 9 x y z x y z ab ab ab 1 ab ab a = ≤ + + ÷= + + ÷(1) Tương tự a + 3b + 2c (a + c) + (b + c) + 2b a + c b + c 2b a + c b + c bc bc bc 1 bc bc b = ≤ + + ÷= + + ÷(2) 2a + b + 3c (a + b) + (a + c ) + 2c a + c b + c 2b a + b b + c ac ac ac 1 ac ac c = ≤ + + ÷= + + ÷(2) 3a + 2b + c ( a + b) + (b + c) + 2a a + b b + c 2a a + b b + c ac + bc ab + ac bc + ab a + b + c a + b + c + + + Từ (1) (2) (3) suy P ≤ ÷= 9 a+b b+c a+c Dấu “=” xảy a=b=c Bài 130: a) Cho x > 0, y > 0, z > Chứng minh rằng: 1 + + =4 x y z 1 + + ≤1 2x+y+z x + y + z x + y + 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x 2011 + y 2011 + z 2011 = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x + y + z Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Ta có: 1 + ≥ (với x,y > 0) x y x+ y 1 1 1 ≤ ( + ) ; ≤ + Suy ra: 2x+y+z 2x y + z y + z y 4z 1 1 ≤ ( + + ) (1) 2x+y+z 2x y 4z Tương tự: 1 1 ≤ ( + + ) (2) x+2y+z 4x y 4z 1 1 ≤ ( + + ) (3) x+y+2z 4x y 2z Từ (1),(2),(3) ⇒ 1 1 1 + + ≤ ( + + ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 85 Website: tailieumontoan.com ⇒ 1 + + ≤1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z Dấu "=" xảy ⇔ x = y = z = b) Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x 2011 , x 2011 2009 số ta có: x 2011 + x 2011 + + + + ≥ 20112011 ( x ) 2011 ⇒ 2x 2011 + 2009 ≥ 2011x (1) Tương tự: y 2011 + 2009 ≥ 2011 y (2) z 2011 + 2009 ≥ 2011z (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ x + y + z ≤ 2( x 2011 + y 2011 + z 2011 ) + 3.2009 2011 ⇒ x2 + y2 + z ≤ Giá trị lớn M chỉ x = y = z = Bài 131: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 4x+3 x2 +1 Lời giải Ta có: A = A = −1 + 4x+3 x + 4x+4 = − + x2 +1 x2 + ( x + 2) ≥ −1 x2 + Dấu "=" xảy ⇔ x + = ⇔ x = −2 Vậy Amin = −1 x = -2 Bài 132: Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a +b+c ≥ Lời giải Do a; b; c thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + ≥ 0; a – ≤ nên (a + 1)(a – 2) ≤ Hay: a2 – a – ≤ ⇒ a2 ≤ a + Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 86 Website: tailieumontoan.com Tương tự: b ≤ b + 2; c ≤ c + 2 Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c ≥ Bài 133: Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n , ta có: 1 1 + + + + < 3 ( n + 1) n Lời giải Ta có = n + − n = Mà ( ( n + 1) Từ suy Nên ) ( n) = ( n +1 − 3 n +1 − n )( ( n + 1) ) + ( n + 1) n + n + ( n + 1) n + n < 3 ( n + 1) ⇒ < 3 ( n + 1) < ( n + 1) n 3 ( n + 1) ( n +1 − n ( n + 1) n ( ) n +1 − n ) = 3 1 3 −3 ÷ n +1 n 1 1 1 + + + + < − ÷+ − ÷+ + − ÷ 3 (n + 1) n 2 3 n +1 1 n 1 1 1 + + + + < 3 − ÷< 3 ( n + 1) n n +1 1 1 1 ⇒ + + + + < 3 ( n + 1) n ⇒ Bài 134: Cho hai số thực x y thỏa mãn x + xy + y = Tìm giá trị lớn P = x3 y + xy Lời giải Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có: x + y ≥ x y = xy ≥ xy ⇒ x + y + xy ≥ xy + xy = 3xy ⇒ xy ≤ Ta có ( a − b ) ≥ ⇔ 2ab ≤ a + b ⇔ 4ab ≤ ( a + b ) 2 2 ( a + b) ⇔ ab ≤ ( 1) P = x y + xy = xy ( x + y ) = xy ( − xy ) x + xy + y = Áp dụng BĐT ( 1) ta có P = xy ( − xy ) ( xy + − xy ) ≤ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( + xy ) = 2 1 ≤ 1 + ÷ : = 3 87 Website: tailieumontoan.com ⇒P≤ xy = 2 Vậy P có giá trị lớn Dấu xảy chỉ 9 −1 x = y ⇒ x = y = x = y = 3 3b − c 3c − a 3a − b + + ≤ với a, b, c độ dài ba cạnh Bài 135: Chứng minh ( a + b + c ) a + ab b + bc c + ca tam giác Lời giải Giả sử a + b + c = t đặt a = tx; b = ty; c = tz ⇒ x + y + z = t ( 3x − y ) t ( 3y − z) t ( 3z − x ) ≤9 + 2 + 2 Ta chứng minh t ( x + y + z ) 2 t ( x + xy ) t ( y + yz ) t ( z + zx ) ⇔ 3x − y y − z 3z − x + + ≤ x + xy y + yz z + zx ⇔ 4x − ( x + y ) y − ( y + z ) 4z − ( z + x ) 4 + + ≤9⇔ − + − + − ≤9 x( x + y) y( y + z) z ( z + x) 1− z x 1− x y 1− y z ⇔ 5x − y − y − + + ≤9 x − x2 y − y z − z Vì a, b, c ba cạnh tam giác 1 a + b > c ⇒ x, y , z ∈ 0; ÷ 2 Ta có: 5x −1 1 ≤ 18 x − ⇔ ( 3x − 1) ( x − 1) ≤ ∀x ∈ 0; ÷ x−x 2 5y −1 1 ≤ 18 y − ⇔ ( y − 1) ( y − 1) ≤ ∀y ∈ 0; ÷ y− y 2 5z −1 1 ≤ 18 z − ⇔ ( z − 1) ( z − 1) ≤ ∀z ∈ 0; ÷ z−z 2 Suy ⇔ 5x − y − y − 5x − y − y − + + ≤ 18 ( x + y + z ) − ⇔ + + ≤9 2 x−x y− y z−z x − x2 y − y z − z Bài 136: Cho x, y, z > thỏa mãn y + z = yz zx xy + + ≥4 Chứng minh x y z x Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 nên 88 Website: tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có yz zx xy yz zx zy xy zx xy + + = + ÷ + + ÷+ + ÷ ≥ z + y + x x y z y x z y z x = ( x + y ) + 2( z + x ) ≥ xy + xz = x (2 y + z ) = x Dấu xảy chỉ x = y = z = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 =4 x