Lời Giải Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Toán 9 Tỉnh Thanh Hóa Năm 2011 – 2012

[r]

toanth.net Võ Tiến Trình

Bài Hình Thi Học Sinh Giỏi Tốn Tỉnh Thanh Hóa

Năm 2011 - 2012

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Gọi M trung điểm BC; H trực

tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu  C1  C2 lần

lượt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:

a) ME tiếp tuyến chung  C1  C2

b) KH AM

toanth.net Võ Tiến Trình a) ME tiếp tuyến chung  C1 và  C2

Gọi I trung điểm AH, ta có I tâm đường tròn  C1 M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC

Ta có: IHF cân I IFH  IHE BHD BME

 cân M EBM  MEB

Do IEM IEH MEB BHD  EBM 900 ME

 tiếp tuyến đường tròn  C1 Gọi N giao điểm MI EF

Ta có MI đườnng trung trực EF (đường nối tâm đường tròn đường trung trực dây cung chung) MI EF N

Ta có : MDI MNK MD MN MN MI MD MK

MI MK

     

MEI

 vng E có đường cao EN ME2 MN MI Từđó ta có: ME2 MN MI MD MK

Gọi J tâm đường tròn  C2 R2 bán kính  C2 , MJ cắt  C2 P, Q Ta có: ME2 MD MK MP MQ MJ R2MJ R2MJ2 R22 MJ2JE2

2 2

ME JE MJ MJE

     vuông E hay ME tiếp tuyến  C2 b) Chứng minh KH  AM

Ta có tứ giác BDEA nội tiếp đường trịn đường kính AB EDCCAB  1 Tứ giác AFHE nội tiếp có ME tiếp tuyến CABFEM  2

toanth.net Võ Tiến Trình

     1 , , EDC EFM tứ giác MFED nội tiếp KE KF KD KM  4 Gọi T giao điểm  C1 với AK (T  A)

Tứ giác AFET nội tiếp KE KF KT KA  5

   4 , KT KA KD KM

tứ giác ATDM nội tiếp đường trịn

Vì ADM 900 nên AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ATDM



90 MTA

  hay MT  AT  6

Vì tứ giác AFHT nội tiếp đường trịn  C1 có đường kính AH Nên HT  AT  7

   6 , M H T, , thẳng hàng MT  AK