Đề thi học sinh giỏi

Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn.. Xác định hình dạng tứ giác ADHE.[r]

TRƯỜNG THCS YÊN GIẢ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Mơn: Tốn

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát

đề)

Ngày thi: 31/12/2015.

Bài 1: (3,0 điểm)

Cho a, b, c > Chứng minh:

a)

a b b a  b)

1 1 1

a b c

b c c a a b

     

     

     

     

Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức A=

4

:

4 2

x x x

x x x x x

     

 

   

      

   , với x0,x4.

a) Rút gọn A

b) Tìm x cho A <

Bài 3: (4,0 điểm)

Giải phương trình a) x x9 2 b)

2 10 12

17 15 13 11

x x x x x x

    

Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 n  41 hai số phương.

Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau.

A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với số nguyên n

Bài 6: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông góc đỉnh A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt cạnh AB điểm D đường trịn đường kính CH cắt cạnh AC điểm E Gọi I,J theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng BH, CH

a Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm đường trịn Xác định hình dạng tứ giác ADHE

b Chứng minh DE tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn c Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng DE?

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN Bài 1: (3,0 điểm)

a) Do a b ,

(0,25điểm)

2

2

a b b a a b

ab

  



 

(0,25điểm)  a2b2 2ab0

(0,25điểm)  

2

0 a b

   bất đẳng thức => a b b a  (0,25điểm)

b)

1 1 1

a b c

b c c a a b

     

     

     

     

vt 

a a b b c c

b c c a a b   (0,25điểm)

=

a b a c b c

b a c a c b

     

    

     

     

(0,5điểm)

Áp dụng câu a, ta có:

a b

b a  (1)

(0,25điểm) a c

c a  (2)

2 b c

c b  (3)

(0,25điểm)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta điều phải chứng minh (0,5điểm)

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Với x >

   

4 2

x  x x

 

2

x x  x x (0,25điểm)

Thực biến đổi A=

4

:

4 2

x x x

x x x x x

     

 

   

      

   

=

 

     

4 2 2 2

:

2 2

x x x x x

x x x x

     

  

(0,5điểm)

=    

 2

2

3

2

x x

x x x

x

x x



  



 

(0,5điểm)

=

 

   

 

2 2

3

2

x x x

x

x x

 



 

(0,5điểm) =

2 x x  (0,25điểm)

b) A 1

1 x

x  * x 0 x 3 (0,25điểm)

Do *  x x3 (0,25điểm)

 x9

(0,5điểm)

Bài 3: Giải phương trình (4,0 điểm)

a) Điều kiện x 0

(0,25điểm)

6

x x   x 32

  

(0,25điểm) x

  

(0,25điểm) x

   x  3 (0,25điểm)

25 x

  x 1 (0,25điểm)

b)

2 10 12

17 15 13 11

x x x x x x

    

(1)

2 10 12

(1) 1 1 1

17 15 13 11

x x x x x x

           

                

           

(1,0 điểm)

19 19 19 19 19 19

17 15 13 11

x x x x x x

           

        

           

(0,5điểm)

1 1 1

( 19)

17 15 13 11

x  

        

  (0,5điểm)

do

1 1 1

0 17 15 13 11

 

     

 

 

 x19 0  x19 (0,75điểm)

Bài : (2,5 điểm)

Số n 18 n  41 hai số phương

 n18p2và n 41q p q2 , N (0,5điểm)

Nhưng 59 số nguyên tố nên:

1 30

59 29

p q p

p q q

  

 



 

  

 

(0,5điểm)

Ta có : n18p2 302 900 suy n 882 (0,5điểm)

Thay vào n  41, ta 882 41 841 29   q2 (0,5điểm)

Vậy với n 882 n 18 n  41 hai số phương

(0,5điểm)

Bài 5: (1,5 điểm) A = n3 + 3n2 + 2n

A = n(n2 + 3n +2)

(0,25điểm)

= n (n+1)(n+2) (0,5điểm)

Trong ba số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết cho mà ƯCLN(2,3)=1

(0,25điểm)

 A = n (n+1)(n+3)  với số nguyên n (0,25điểm)

Vậy A = n3 + 3n2 +2n 6 với số nguyên n

(0,25điểm)

Bài 6: (6,0 điểm )

- Vẽ hình

0,25 điểm Ta có D E   900

 Hai điểm D, E nằm đường trịn đường kính AH. Tứ giác ADHE hình chữ nhật.(Tứ giác có góc vng)

0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm Tứ giác ADHE hình chữ nhật, suy A1 E1

 



Ta lại có : A1 C  

 (cùng phụ với A2



) C E3

 

 (EJCcân) E E

 

 mà E E 900

 

 

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

D

2

1 2 3 E

J I

B

A

 E E1 900  

   DˆEJ 900

  DE JE

DE tiếp tuyến E đường tròn (J)

Chứng minh tương tự, ta có DE tiếp tuyến D đường tròn (I) hay DE tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (I) (J)

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm Trong tam giác vng ABC, áp dụng định lí Pytago ta có :

2 62 82

10 BC

BC  

 

AB2 = BH.BC

2 36

3,6 10 AB BH

BC

   

CH= 10 – 3,6 = 6,4

Tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DE = AH; AH2 = CH BH = 3,6 6,4

36.64 3,6.6, 4,8

100 DE

   

0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm