ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

Một trận động đất ở Xan Phranxixcô có cường độ 8 độ richter, trong cùng năm đó một trận động đất khác ở gần đó đo được cường độ là 6 độ richter.. Hỏi trận động đất ở Xan Phranxixcô có bi[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TỐN

Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề. ————————————

Câu (1.0 điểm) Cho hàm số

4

2

4

  

y x x

có đồ thị  C Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm cực trị đồ thị  C

Câu (1.0 điểm) Cho hàm số

1

 



x y

x có đồ thị  C đường thẳng d y: 2x m 1 (m là

tham số thực) Chứng minh với m, đường thẳng d cắt  C hai điểm phân biệt ,

A B Gọi k k1, 2 hệ số góc tiếp tuyến với  C A B. Xác định m để biểu thức

3 12 3 12

   

P k k

đạt giá trị nhỏ

Câu (1.0 điểm) Cường độ động đất M cho công thức M logA logA0 A là biên độ rung chấn tối đa,A0 biên độ chuẩn (hằng số) Một trận động đất Xan Phranxixcơ có cường độ độ richter, năm trận động đất khác gần đo cường độ độ richter Hỏi trận động đất Xan Phranxixcơ có biên độ rung chấn tối đa gấp lần biên độ rung chấn tối đa trận động đất kia?

Câu (1.0 điểm) Cho hàm số

2 1

( 1)

( )    ( 0)

 x x 

f x e x Tính (1) (2) (3) (2017)f f f f . Câu (1.0 điểm) Giải phương trình: sin 3x2cos2 x1.

Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O,AC2 ,a BD2a; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

3 a

Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình vuông cạnh 2a tam giác SAB tam giác cân đỉnhS Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy 450

, góc mặt phẳng SABvà mặt phẳng đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ Cđến mặt phẳng (SAD) Câu (1.0 điểm) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt n4,n  , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Tìm tất cả giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt

Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d mx: 4 0y đường tròn  C : x2y2 2x 2my m 2 24 0 có tâm I Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ( )C hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 12

Câu 10 (1.0 điểm) Cho a b, hai số thực dương thoả mãn: 2(a2b2)ab(a b ab )( 2) Tìm

giá trị nhỏ biểu thức:

3 2

3 2

4  9 

      

   

a b a b

T

b a b a .

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(HDC gồm 06 trang) Lưu ý

- Hướng dẫn chấm trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm của học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước đó.

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý hướng dẫn chấm điểm.

- Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng được điểm.

- Trong lời giải câu 6, học sinh không vẽ hình khơng cho điểm. - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn.

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

Câu (1.0 điểm). Cho hàm số

4

2

4

  

y x x

có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác có đỉnh điểm cực trị đồ thị (C).

Ta có

0

' ; y'=0

2

  

    

  

x

y x x x

x

Suy điểm cực trị A( 2; 3);  B(0;1); C(2; 3)

0.25

Các điểm cực trị tạo thành tam giác ABC cân B Gọi H là trung điểm AC  H(0; 3) BH AC

0.25

Ta có (0; 4)  4



BH BH ; AC(4;0) AC 4 0.25

Vậy diện tích cần tìm:

1

.4.4

2

  

S BH AC

(đvdt)

0.25

2

Câu (1.0 điểm) Cho hàm số

1

 



x y

x có đồ thị  C đường thẳng : 2  1

d y x m (m tham số thực) Chứng minh với m, đường thẳng d cắt  C điểm phân biệt A B, . Gọi k k1, 2 hệ số góc tiếp tuyến với  C A B Xác định m để biểu thức    

2

1

3

   

P k k đạt

giá trị nhỏ nhất.

Hoành độ giao điểm  C d nghiệm phương trình:

2 (1)



  



x

x m x

(1) x  1  2x m 1 x2 (vì x2 không nghiệm pt (1))

 

2

2 (2)

 x   m x  m

Ta có    

2

6 12

   m   m m  m    m

Phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt khác 2, hay d cắt (C) điểm phân biệt A, B

0.25

Gọi x x1, 2 hoành độ của A, B  x x1, 2 nghiệm pt (2) Theo định lý Viét

ta có: 2 2             m x x m x x

Mặt khác ta có

    2 2 2            k x k x      

1 2 2

1 2

1 1

4

2 2

6                     k k

x x x x x x m

m

Khi      

2 2

1 2

3 9 3 (*)

        

P k k k k k k

0.25

Ta có k k1, 0 Theo bất đẳng thức Cơsi:

2 2

1 2

9k 9k 2 81k k 18k k 72 3 k13k24 9k k1 12 24

Vậy VT(*)72 24 98  

Dấu xảy

 

1 2

6

2 4

2



 k k  x   x   x x   m   m

(Dox1 x2) Vậy: Pmin 98 m2

0.25

3

Câu (1.0 điểm). Cường độ động đấtMđược cho cơng thức M logA logA0 trong A biên độ rung chấn tối đa, A biên độ chuẩn (hằng số) Một trận0 động đất Xan Phranxixcơ có cường độ độ richter, năm trận động đất khác gần đo cường độ độ richter Hỏi trận động đất Xan Phranxixcơ có biên độ rung chấn tối đa gấp lần biên độ rung chấn tối đa trận động đất kia?

Gọi M A cường độ biên độ trận động đất Xan Phranxixcô1, Gọi M2, A cường độ biên độ trận động đất lại2

khi ta có M1 logA1 logA M0, logA2 logA0

0.25

Từ ta có

1

1

0

10 ; 10

 M  M

A A

A A

Lập tỉ số

1

1 2

2

2 10

10 10 100

10



   

M

M M M

A A

0.25

1 100

 A  A Vậy cường độ trận động đất Xan Phranxixcơ có biên độ gấp 100

lần trận động đất lại

0.25

4

Câu (1.0 điểm). Cho hàm số

2 1

( 1) ( )   

 x x

f x e Tính f(1) (2) (3) (2017)f f f Ta có:

 

2 2

2 2 2

2

1 ( 1) ( 1)

1

( 1) ( 1) ( 1)

1 1

1

( 1) ( 1)

       

   

  

 

     

   

x x x x x x x x

x x x x x x

x

do

x x x x x

x

x x

0.25

Khi ta có

1 1 2017

1.2 2.3 2017.2018 (1) (2) (3) (2017)    

f f f f e 0.25

1 1 1 2017

2 2017 2018       

e 0.25

1 2017.2019 2018

2018 2018 

e e 0.25

5

Câu (1.0 điểm) Giải phương trình: sin 3x2cos2 x1

Phương trình sin 3xcos2x 0.25

 sin 3xsin(2x 2)

 0.25

 

2

3

10

 

 



  

  



x k

k k

x

Z

 

 

0.25

0.25

HS tìm họ nghiệm 0.25đ

6

Câu (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O,



AC a, BD2a; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

3 a

Tính thể tích khối chóp S ABC theo a.

Ta có diện tích hình thoi ABCDlà: SABCD 2 3a2 SABC  3a2 0.25 Theo giả thiết SO(ABCD)

3

( ,( )) (O,( )) (O,( ))

2

 a   a

d C SAB d SAB d SAB OH

0.25

Khi ta có 2 2 2 2

1 1 1

3

      

OK OA OB a OS OH OK a

0.25

Vậy thể tích khối S.ABC

3

1

3

  

S ABC ABC

a a

V S SO a

(đvtt)

0.25

7

Câu (1.0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a tam giác SAB tam giác cân đỉnhS Góc đường thẳng SA và mặt phẳng đáy 450, góc mặt phẳng SABvà mặt phẳng đáy 60 Tính khoảng cách từ Cđến (SAD).

Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt đáy, M trung điểm AB

SAB cân S nên SM AB kết hợp với SH (ABCD) suy ABSMH .

Vậy MH trung trực củaAB, MH cắt CD N  N trung điểm CD

0.25

Nên theo giả thiết ta được:

+SA ABCD, ( ) SAH 450 SA SH +   

( ),  ,   600 .

3

    

SAB ABCD SM MH SMH SM SH

Trong tam giác SAM ta có:

2

2 2 2 2 3

3

    SH   

SA AM SM SH a SH a 0.25

Từ tính được:

2 30 ( ,( )) ( ,( ))

5

   a

d C SAD d H SAD HP

0.25

8

Câu (1.0 điểm) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt n4,n , đó khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm trên mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.

Số cách chọn điểm từ 2n điểm cho C23n suy số mặt phẳng tạo

2n C .

0.25

Do 2n điểm cho có n điểm đồng phẳng nên có Cn3 mặt phẳng trùng nhau 0.25 Suy số mặt phẳng tạo thành từ 2n điểm cho C23n Cn31

Theo ra: C23n Cn3 1 505

0.25

       

2 2 2

504

6

   

 n n n  n n n 

       

1 3024 3024

 n n n  n   n n n 

  

3 2

7 3024 47 378

 n  n  n   n n  n   n

Vậy n8.

0.25

9

Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 4 0

d mx y và đường tròn  C : x2y2 2x 2my m 2 24 0 có tâm I Tìm

m để đường thẳng d cắt đường tròn ( )C hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB 12

Đường trịn (C) có tâm I1;m, bán kính R5.

0.25

Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB

2

| | | | ( , )

16 16



 

 

d I m m m

m

IH d

m

Nhận xét: d cắt  C hai điểm phân biệt AB

2

2 2

(5 ) 20

25

16 16

    

 

m

AH IA IH

m m

0.25

Diện tích tam giác IAB SIAB 12 2SIAH 12



2

3

( , ) 12 25 | | 3( 16) 16

3

  

    

 



m

d I d AH m m

m

(thỏa mãn)

0.25

10

Câu 10 (1.0 điểm) Cho a b, ; ,a b0 thoả mãn:2(a2b2)ab(a b ab )( 2).

Tìm GTNN biểu thức:

3 2

3 2

4  9 

      

   

a b a b

T

b a b a .

Ta có a b, 0

2

2 2

2( ) ( )( 2)

2( ) 2( )

1

2 ( )

    

      

   

         

   

a b ab a b ab

a b ab a b ab a b

a b

a b

b a a b

0.25

Theo BĐT Cơsi ta có:

1 1

(  ) 2   2 (  )2   2 2  2

     

b a

a b a b

a b a b a b

Suy

5

2 2

2

   

       

   

   

a b b a a b

b a a b b a (do  0

a b

b a )

và ta có

3

3 2

3 2

4  9  4  3  9  18

                  

     

 

     

a b a b a b a b a b

T

b a b a b a b a b a

0.25

Xét hàm số:

3

( ) 12 18, '( ) 12 18 12

1

'( )

2

        

    

  

f t t t t t f t t t

t f t

t Ta có bảng biến thiên :

   

5 23

minT ( ; ) { 1; , 2;1 }

2

 

    

 

f khi a b

HS tìm 1; , 2;1   cho điểm tối đa

0.25

-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ

MƠN: TỐN - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

STT Chủ đề Nội dung

Mức độ

Tổng Nhận

biết

Thông hiểu

Vận dụng

thấp

Vận dụng

cao Ứng dụng đạo

hàm

Cực trị Câu

đ

Câu đ Bài toán tương

giao

Câu đ

Câu đ Ứng dụng đạo

hàm cm bất đẳng thức

Câu 10 đ

Câu 10 đ

2 Mũ lôgarit Hàm số mũ Câu

đ

Câu đ

Hàm số logarit Câu

đ

Câu đ

đa diện diện đ đ Quan hệ vng

góc

Khoảng cách Câu

đ

Câu đ Tổ hợp xác

suất

Tổ hợp Câu

đ

Câu đ Lượng giác Phương trình

lượng giác

Câu đ

Câu đ Phương pháp

tọa độ mặt phẳng

Hình tọa độ Câu

đ

Câu đ

Tổng Câu

đ

4 Câu đ

3 Câu đ