CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 4 phương trình
1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI IV Dạng 4: Phương trình Phương trình bậc ẩn A Bài toán Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc ( lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn ) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h B Lời giải Bài 1: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc ( lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn ) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Lời giải s2 C D s3 s1 A B AB=30 km Gọi AC = s1 ; CD = s2 ; BD = s3 s1 > 0; s2 > 0; s3 > Ta có: s1 + s2 + s3 = 30 ( km ) Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống v1 ; v2 ; v3 53 Thời gian là: 4h 25′ = h 12 s1 s2 s3 s1 s2 s3 53 Theo đề bài, ta có phương trinh: + + + + + = v1 v2 v3 v3 v2 v1 12 1 1 1 2s 53 ⇔ s1 + ÷+ s3 + ÷+ = v1 v3 v1 v3 v2 12 53 1 1 2s ⇔ s1 + ÷+ s3 + ÷+ = 10 20 20 10 15 12 53 1 2s ⇔ ( s1 + s3 ) + ÷+ = 10 20 15 12 2s 53 ⇔ ( 30 − s2 ) = 20 15 12 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ s2 = ( km ) Vậy quãng đường ngang CD ( km ) Phương trình bậc hai định lí Vi-et A Bài tốn Bài 1: Cho phương trình: 2013x − ( m − 2014) x − 2015 = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + 2014 − x1 = x22 + 2014 + x2 Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình x − mx + = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 2 hệ thức ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = Bài 3: Cho phương trình: x + ( a + b ) x + 4ab = ( x ẩn số; a , b tham số) Tìm điều kiện a b để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt có nghiệm dương 2 Bài 4: Cho phương trình: x + ( m − ) x − m = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 < x2 ; x1 − x = 2 Bài 5: Cho phương trình x − ( m + ) x + m + = ( 1) với m tham số 1) Giải phương trình ( 1) m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa 4 4 mãn điều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 240 2 Bài 6: Cho phương trình (ẩn x ): x − ( m + 1) x + 2m + 5m + = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 − x2 Bài 7: Tìm m để phương trình: ( x − ) ( x − 3) ( x + ) ( x + 5) = m có nghiệm phân biệt Bài 8: Giải phương trình: x + = x − x + 10 Bài 9: Cho phương trình x + (m + 1) x + m − = (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 2 Bài 10: Cho phương trình x + ( 2m − 3) x + m = , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác , (chúng trùng nhau) biểu thức giá trị nhỏ Bài 11: Cho phương trình x − 2mx + m − = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 + x23 = 26m b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm ngun Bài 12: Cho phương trình: x − 2mx + 2m − = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 1 + đạt x1 x2 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= x1 x2 + x12 + x22 + 2(1 + x1 x2 ) 2 Bài 13: Cho phương trình x − ( 3m − ) x + 2m − 5m − = , x ẩn, m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm dương 1 + = Bài 14: Cho hai số thức m, n khác thỏa mãn m n 2 Chứng minh phương trình ( x + mx + n ) ( x + nx + m ) = ln có nghiệm Bài 15: Do bị bệnh bại não nên tay chân Cảnh (11 tuổi, Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không lại từ lúc chào đời Lên tuổi, nhìn bạn bè cắp sách đến trường em muốn mẹ cho học Thương ham học, ngày đầu Cảnh người thân cõng đến trường Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân bạn phải vất vả bỏ bê công việc, Khanh định cõng bạn vượt qua đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tới trường Lúc về, quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc lúc 0,2 m/s Do đó, thời gian cõng bạn lúc Khanh chậm lúc 12 phút 30 giây Tính vận tốc lúc cõng bạn Khanh Bài 16: Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + 2kx + = ( k tham số) Tìm tất 2 x x giá trị k cho : ÷ + ÷ ≤ x2 x1 Bài 17: Cho phương trình x − 2(m − 1) x + m2 − = ( x ẩn, m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho x12 + x1 + x2 − 2mx1 = Bài 18: Cho phương trình: x2 − 2mx + 2m− 1= Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2x1x2 + x + x22 + 2(1+ x1x2 ) m thay đổi Bài 19: Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình (1) có nghiệm ngun Bài 20: Cho phương trình: x2 − (2m+ 1)x + m2 + m− = 0(m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài 21: Cho phương trình: x − 6x − m = (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có 2 hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1 − x2 = 12 Bài 22: Cho phương trình x − mx + m − = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x1 x2 + b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn biểu thức A = x1 + x22 + 2(1 + x1 x2 ) đạt giá trị nhỏ Bài 23: Tìm số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: m + n đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x + mx + = ; x + 2nx + = Bài 24: Cho phương trình: x + ( m − 3) x − m − = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn Bài 25: Cho phương trình x2 + 4x – m = (1) (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình 1 1 2 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn + ÷( x1 + x2 ) = 4(m + 2) x1 x2 Bài 26: Cho ba số thực dương phân biệt a, b, c thỏa a + b + c = Xét ba phương trình bậc hai x + 4ax + b = 0, x + 4bx + c = 0, x + 4cx + a = Chứng minh ba phương trình có phương trình có nghiệm có phương trình vơ nghiệm Bài 27: Cho phương trình 2018 x − ( m − 2019 ) x − 2020 = ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x12 + 2019 − x1 = x12 + 2019 + x2 Bài 28: Cho phương trình x2 − 2mx + m− (1) (m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12 x22 x1 + x2 = + x2 x1 Bài 29: Cho phương trình (ẩn x) x + (m − 1) x + m − = Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x cho biểu thức A = (x1 − 4)(x − 4) có giá trị lớn Bài 30: Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a + 4b ≥ 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax + 4bx + 671 − 9a = Bài 31: Cho hai phương trình: x2 - x + m + = (1) x2 + (m + 2)x + 2m + = (2) (m tham số) a) Giải phương trình (1) m = -3 b) Tìm m để phương trình (2) có nghiệm -3 Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình (1) (2) tương đương Bài 32: Cho phương trình: x − 2mx + 2m − = a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x1 x2 + B= x1 + x22 + 2(1 + x1 x2 ) 2 Bài 33: Cho phương trình x − 2mx + m − m − = ( m tham số) a) Với giá trị m phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 18 + = x2 x1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x1 x2 cho Website: tailieumontoan.com b) Với giá trị m phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 cho x1 + x2 = Bài 34: Cho phương trình 5x² + mx – 28 = (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = Bài 35: Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – = Tìm giá trị m cho phương trình có nghiệm phân biệt Bài 36: Cho phương trình x + 2( m − ) x + m − 2m + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn Bài 37: Cho a,b,c số thực thỏa mãn 1 − = x + x2 x1 x2 15m a b c + + = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln có nghiệm = (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá Bài 38: Cho phương trình: x + 3mx − + x12 + x22 x − x + − trị nhỏ biểu thức: M = ( ÷ 2) x x2 Bài 39: Biết phương trình ( m − 2) x − 2( m − 1) x + m = có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng Bài 40: Cho phương trình x + (m + 1) x + m − = (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x2 x1 x1 x2 Bài 41: Cho phương trình: x − 2mx + m − m − = (m tham số) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1 x cho x1 + x = ? B Lời giải Bài 1: Cho phương trình: 2013x − ( m − 2014) x − 2015 = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + 2014 − x1 = x22 + 2014 + x2 Lời giải 2013x − ( m − 2014) x − 2015 = ∆ = ( m − 2014 ) + 4.2013.2015 > ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – et ta có: m − 2014 x1 + x2 = 2013 x x = −2015 2013 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x12 + 2014 − x1 = x22 + 2014 + x2 ⇒ ⇒ ( ( )( + 2014 − x ) ( ) + 2014 − x ) = 2014 x12 + 2014 + x1 x22 + 2014 + x2 = 2014 x12 x22 (x (x 2 + 2014 ) ( x22 + 2014 ) + x2 x12 + 2014 + x1 x22 + 2014 + x1 x2 = 2014 + 2014 ) ( x22 + 2014 ) − x2 x12 + 2014 − x1 x22 + 2014 + x1 x2 = 2014 ⇒ x12 + 2014 ( x1 + x2 ) + x22 + 2014 ( x1 + x2 ) = ⇒ ( x1 + x2 ) ( ) x12 + 2014 + x22 + 2014 = ⇒ x1 + x2 = ⇒ x1 + x2 = ⇒ m − 2014 =0 2013 ⇒ m = 2014 Vậy m = 2014 Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình x − mx + = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 2 hệ thức ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = Lời giải x − mx + = ∆ = ( −m ) − 4.1.1 = m − Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m − > ⇔ m < −2 m > Áp dụng hệ thức Vi – et, ta có: x1 + x2 = m x1 x2 = ( x1 + 1) + ( x2 + 1) = ⇔ ( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m + 2m − = Giải phương trình ta được: m = − (loại); m = − − (nhận) Vậy m = − − Bài 3: Cho phương trình: x + ( a + b ) x + 4ab = ( x ẩn số; a , b tham số) Tìm điều kiện a b để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt có nghiệm dương Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Lời giải x + ( a + b ) x + 4ab = ∆′ = ( a + b ) − 1.4ab = ( a − b ) 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = ( a − b ) > ⇔ a ≠ b Phương trình có nghiệm dương ⇔ phương trình có nghiệm trái dấu phương trình có nghiệm dương TH1: Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ 1.4ab < ⇔ ab < 4ab > ab > ⇔ TH2: Phương trình có nghiệm dương ⇔ a + b < −2 ( a + b ) > Vậy a ≠ b số a , b phải có số âm 2 Bài 4: Cho phương trình: x + ( m − ) x − m = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 < x2 ; x1 − x = Lời giải x + ( m − 2) x − m2 = ∆′ = ( m − ) − ( −m ) = 2m − 4m + = ( m − 1) + > 2 ⇒ Phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x2 Áp dụng hệ thức Vi – et, ta có: x1 + x2 = − 2m x1 x2 = − m x1 − x = ⇔ ( x1 − x ) = 36 ⇔ x12 + x22 − x1 x2 = 36 2 Vì x1 x2 = − m < x1 x2 = − x1 x2 = m Nên ta có phương trình: x + x = x12 + x22 + x1 x2 = 36 ⇔ ( x1 + x2 ) = 36 ⇔ x1 + x2 = −6 TH1: x1 + x2 = ⇔ − 2m = ⇔ m = −1 TH1: x1 + x2 = −6 ⇔ − 2m = −6 ⇔ m = Với m = −1 , ta có phương trình: x − x − = Giải phương trình ta được: x1 = − 10 ; x2 = + 10 x1 − x2 = − 10 − + 10 = 10 − − − 10 = −6 (loại) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Với m = , ta có phương trình: x + x − 25 = Website: tailieumontoan.com Giải phương trình ta được: x1 = −3 − 34 ; x2 = −3 + 34 x1 − x2 = −3 − 34 − −3 + 34 = + 34 − 34 + = (nhận) Vậy m = giá trị cần tìm 2 Bài 5: Cho phương trình x − ( m + ) x + m + = ( 1) với m tham số 1) Giải phương trình ( 1) m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa 4 4 mãn điều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 240 Lời giải 1) Với m = , ta có phương trình: x − x + = Đặt y = x ( y ≥ 0) , ta có phương trình: y2 − y + = Giải phương trình ta được: y = ± 2 (nhận) y = + 2 ⇔ x2 = + 2 ⇔ x = ± + 2 y = − 2 ⇔ x2 = − 2 ⇔ x = ± − 2 { Vậy tập nghiệm phương trình là: S = ± + 2 ; ± − 2 } 2 2) x − ( m + ) x + m + = ( 1) Đặt t = x ( t ≥ ) , ta có phương trình: t − ( m + 4) t + m2 + = ( 2) Phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 ⇔ phương trình ( ) có nghiệm dương phân biệt ∆′ = ( m + 4)2 − ( m + 8) > 8m + > ⇔ S = 2( m + 4) > ⇔ ⇔ m > −1 m > − P = m2 + > Giả sử t1 ; t2 nghiệm phương trình ( ) theo Vi - ét ta có: t1 + t2 = ( m + ) t1t2 = m + Giả sử nghiệm phương trình ( 1) là: x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 2 4 4 2 Ta có: x1 + x2 + x3 + x4 = 240 ⇔ ( t1 + t2 ) = 240 ⇔ t1 + t2 = 120 ⇔ ( t1 + t2 ) − 2t1t2 = 120 ⇔ ( m + ) − ( m + ) = 120 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇔ 2m + 32m − 72 = Giải phương trình ta được: m1 = (nhận); m2 = −18 (loại) Vậy m = giá trị cần tìm 2 Bài 6: Cho phương trình (ẩn x ): x − ( m + 1) x + 2m + 5m + = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 − x2 Lời giải x − ( m + 1) x + 2m + 5m + = ∆ = ( m + 1) − ( 2m + 5m + ) = m − 2m + = ( m − 1) 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ⇔ ∆ > ⇔ (m − 1)2 > ⇔ m ≠ Áp dụng đinhk lý Vi – ét, ta có: x1 + x2 = ( m − 1) x1 x2 = 2m + 5m + x1 + x2 = x1 − x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) − 16 x1 x2 = 2 ⇔ 27 ( m + 1) − 16 ( 2m + 5m + ) = ⇔ 5m + 26m + = Giải phương trình ta được: m1 = −5 (nhận); m2 = Vậy m = −5 m = −1 (nhận) −1 giá trị cần tìm Bài 7: Tìm m để phương trình: ( x − ) ( x − 3) ( x + ) ( x + 5) = m có nghiệm phân biệt Lời giải ( x − ) ( x − 3) ( x + ) ( x + 5) = m ⇔ ( x + x − ) ( x + x − 15) = m ( 1) Đặt x + x + = ( x + 1) = y ( y ≥ 0) , ta có phương trình: ( y − ) ( y − 16) = m ⇔ y − 25 y + 144 − m = ( ) Phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( ) có nghiệm dương phân biệt ∆ = ( −25) − ( 144 − m ) > 4m + 49 > 25 −49 ⇔ S = >0 ⇔ ⇔ < m < 144 144 − m > 144 − m >0 P = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com Vậy với −49 < m < 144 phương trình cho có nghiệm phân biệt Bài 8: Giải phương trình: x + = x − x + 10 Giải ĐK: x ≥ −2 Với điều kiện biến đổi phương trình cho trở thành: ( x + 2)( x − x + 4) = 2( x − x + 4) + ( x + 2) Chia hai vế phương trình cho x − x + , ta x+2 x+2 −3 + = (1) x − 2x + x − 2x + x+2 Đặt t = (t ≥ 0) x − 2x + Thay vào (1) ta t − 3t + = ⇔ t = t = (t/m) x = x+2 =1 ⇔ x − x + = ⇔ + với t = ta có (t/m) x − 2x + x = x+2 =2 ⇔ x − x + 14 = (vô nghiệm) x − 2x + Bài 9: Cho phương trình x + (m + 1) x + m − = (1) , m tham số Tìm m để phương trình (1) + với t = ta có 2 x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn Giải: 1) D = ( m +1) - ( m - 2) = m + ( m - 1) + > ìï x + x =- ( m +1) ï Theo định lí Vi-ét ta có í ïï x1 x2 = m - ỵ x1 - x2 - 55 + = x1 x2 + Û x2 x1 x1 x2 ( x1 - 1) x1 +( x2 - 1) x2 x1 x2 2 = ( x1 x2 ) + 55 x1 x2 Þ x12 - x1 + x22 - x2 = ( x1 x2 ) + 55 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 - ( x1 + x2 ) - ( x1 x2 ) - 55 = Û ( - ( m +1) ) - ( m - 2) +( m +1) - ( m - 2) + 55 = Û ( m + 2m2 +1) - 4m + + m +1- m + 4m - - 55 = Û m + 2m - 24 = (2) Đặt m = a ( a ³ 0) Phương trình (2) trở thành a + 2a - 24 = Ta có D ¢= 25 > Þ phương trình có nghiệm: a1 = (Nhận); a2 =- (Loại, a < ) +) Với a = Þ m = Þ m = ±2 Vậy m = ; m =- giá trị cần tìm Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 65 Website: tailieumontoan.com x ≥ −2 x ≥ −2 x + = 2x + x − ⇔ ⇔ 2 2x + x − = x + x + x − 3x − = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = Bài 55: Giải phương trình + 37 − 37 (thỏa mãn ĐKXĐ) ; x2 = 2 2x2 + 3x + + 4x2 + 6x + 21 = 11 Lời giải 2x2 + 3x + + 4x2 + 6x + 21 = 11 3 Ta có: 2x + 3x + = 2 x + ÷ + > 0,∀x 4 2 75 4x + 6x + 21= 4 x + ÷ + > 0,∀x 4 Đặt a = 2x2 + 3x + (a >0) , phương trình cho trở thành: Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: a + 2a + 17 = 11 (1) 3a + 17+ 2a2 + 17a = 121 104 ) ⇒ 4(2a2 + 17a) = 10816 − 624a + 9a2 a = 676 (lo¹i) ⇔ a2 − 692a + 10816 = ⇔ a = 16 (nhËn) ⇔ 2a2 + 17a = 104 − 3a (a < x = Với a = 16 ⇒ 2x + 3x + =16 ⇔ 2x + 3x − 14 =0 ⇔ x = −7 −7 Vậy phương trình có nghiệm: x = 2; x = 2 Bài 56: Giải phương trình x − ( x + 3) Giải phương trình x − ( x + 3) x + + 14 x + x + + 13 = Lời giải x + + 14 x + x + + 13 = Điều kiện x ≥ −1 đó: ( 1) ⇔ ( x + 1) ( x + 13) − ( x + 15 ) x + ( x + 13) x + − ( x + 15 ) = ⇔ ⇔ x = −1 ( x + 13) x + = x + 15 (2) Do vế (2) không âm nên (2) ⇔ x + 26 x + 169 ( x + 1) = 36 x + 180 x + 225 ( ) ⇔ x − x + 15 x − 56 = ⇔ ( x − ) ( x − x + ) = ⇔ x = x − x + = ( vô nghiệm) Kết luận Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x +1 = 66 ( Website: tailieumontoan.com ) Bài 57: Giải phương trình: x + = x + Lời giải ĐK: x + ≥ ( x + ) = x3 + ⇔ ( x − x + + x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − x + 1) x +1 x +1 −5 +2=0 x − x +1 x − x +1 x +1 =2 x − x + ⇔ x +1 = x − x +1 Bài 58: Giải phương trình x − x + 12 x x − + 20 = Lời giải Điều kiện: x ≥ ( 1) ⇔ x ( x − 1) − 12 x x − + 20 = ( )( ) ⇔ x x − − x x − − 10 = x x −1 = ⇔ x x − = 10 TH1: x x − = ⇔ x − x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) TH2: x x − = 10 ⇔ x − x = 100 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài 59: Giải phương trình hệ phương trình sau: 2x − + 5− x = x − + −2x2 + 11x − ; Lời giải 2x − + 5− x = x − + −2x2 + 11x − (2) 2x − 1≥ ⇔ ≤ x≤ Phương trình xác định ⇔ − x ≤ Giải phương trình: Khi phương trình (2) ⇔ 2x − + 5− x = x − + ( 2x − 1) ( 5− x) 2x − = a (a;b ≥ 0) ⇒ x + = a2 + b2 ⇒ x − = a2 + b2 − Đặt 5− x = b ( ) ( ) Ta có phương trình: a + b = a2 + b2 − + 2ab ⇔ a + b − a + b − = ⇔ ( a + b − 3) ( a + b + 2) = ⇔ a + b − = (do a + b + > 0,∀a;b ≥ ) ⇔ a + b = ⇔ a2 + b2 + 2ab = ⇔ x + + ( 2x − 1) ( 5− x) = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 67 ( Website: tailieumontoan.com ) ⇔ ( 2x − 1) ( 5− x) − ( 5− x) = ⇔ 5− x 2x − − 5− x = 5− x = ⇔ x = (thoû a maõ n) ⇔ a maõ n) 4( 2x − 1) = 5− x ⇔ 9x = ⇔ x = (thỏ Vậy phương trình có tập nghiệm S = { 1;5} Bài 60: Giải phương trình x + x + + x − x + = 3x ( 1) Lời giải Điều kiện xác định ∀x ∈ ¡ Từ giả thiết ta nhận thấy x > ( vế trái dương), 1 1 Chia hai vế cho x, ta có + + + − + = x x x x Đặt t = (t > 0) ta phương trình t + t + + t − t + = x t2 + t − − t2 − t +1−1 ⇔ t2 + t + − + t − t +1 −1 = ⇔ + =0 t2 + t + + t2 − t +1+1 t+2 t ⇔ (t − 1) + ÷= ⇔ t − = t2 − t +1+1 t +t+2 +2 t+2 ⇔ (t − 1) + ÷= ⇔ t − = t2 − t +1+1 t +t +2 +2 Với t − = ⇒ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ) ( ( Bài 61: Giải phương trình ) x + + 2x − + x − + 2x − = 2 Lời giải Điều kiện: x ≥ Phương trình (1) viết lại 2x + + 2x − + 2x − + 2x − = ⇔ 2x − + 2x − + + 2x − + 2x − + = ⇔ ( 2x − + 3) + ( 2x − + 1) = ⇔ 2x − + + 2x − + = ⇔ 2x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 2 Bài 62: Giải phương trình: ( x + x + 1) ( ( 3x − ) + 3x − + 1) = Lời giải Ta có: (x + x + 1) ( ( 3x − ) + 3x − + 1) = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 68 ⇒ ( x + x + 2) ( ) Website: tailieumontoan.com + 3 x − + 1 = ⇒ ( x + x + ) 3x − − 3 x − + 3 x − + 1 = ⇒ ( x + x + ) 3 x − − 1 = 3 x − − 3x − 2 ( )( ( ) ) ( ⇒ ( x + x + ) ( 3x − 3) = ( x − − 1) ⇒ ( x + x + ) ( x − 1) − ( 3x − − 1) = 3 ⇒ x3 − − 3 3x − + = ⇒ x3 − 3 3x − + = ( *) 3x − = t ⇒ t = 3x − x3 − 3t + = ( *) ⇒ t = 3x − x − 3t + = ( 1) ⇒ t − x + = ( ) Đặt Lấy ( 1) − ( ) , ta được: x − t − 3t + 3x = ⇒ ( x − t ) ( x + xt + t ) + ( x − t ) = ⇒ ( x − t ) ( x + xt + t + 3) = ⇒ ( x − t ) x + t.x + ( t + 3) = x = t ⇒ x = 3x − ⇒ x3 = 3x − ⇒ x3 − x + = ⇒ x3 − x − x + = ⇒ x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇒ x ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) = ⇒ ( x − 1) x ( x + 1) − = ⇒ ( x − 1) ( x + x − ) = x = ( kép ) ⇒ x = −2 x + t.x + ( t + ) = ∆ = t − 4.1 ( t + 3) = −3t − 12 < Vậy x + t.x + ( t + 3) = vô nghiệm Vậy S = { −2; 1} Bài 63: giải phương trình x + ( x + 1) = x + Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ) ( ) 3x − − 69 Website: tailieumontoan.com Điều kiện xác định: x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với ( x + 1) x − x − + x = −1 ⇔ x − x − + x + = x + = ⇔ ( x − 3) x + + Ta có x − x − + x + = = (1) x + + > , ∀x ≥ −1 nên (1) ⇔ x = x +1 + Tập nghiệm phương trình { −1;3} Do x + + Bài 64: Giải phương trình: x − x −1 + x + x −1 = Lời giải * ĐK: x ≥ Đưa phương trình dạng: x −1 −1 + x −1 +1 = ⇔ ( *) x −1 −1 + x −1 +1 = (Do x − + > 0) x − − ≥ ⇔ x ≥ Khi phương trình (*) trở thành: * Trường hợp 1: x − = ⇔ x = (thỏa mãn) x − − < ⇔ ≤ x < Khi phương trình (*) trở thành: * Trường hợp 2: − x − + + x − + = ⇔ = (luôn đúng) Kết hợp trường hợp ta ≤ x ≤ nghiệm phương trình ( Bài 65: Giải phương trình: x + (1 − x )3 = x − x * ĐK: ( − x ) Lời giải ) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Đặt a = x; b = − x ⇒ a + b = Phương trình cho tương đương với a + b3 = ab ( ) ⇔ a + b3 = a + b ab ( ) = ( a + b ) ( ab ) ⇔ ( a + b ) ( a + b − ab ) = ( a ⇔ a + b3 2 2 ( 2 ( ) Do đó: ( a + b) ( a + b − ab ⇔ ( a + b) (a ) ≥ 4ab + b − ab ) ) + b ( ab ) a2 + b2 ; a + b − ab ≥ ab ) Ta có: ( a + b ) ≥ 4ab; a + b − ab ≥ 2 a + b2 ab ( ) ≥ a + b ( ab ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 70 Website: tailieumontoan.com Dấu xảy khi: x = a = b ⇔ x = − x2 ⇔ 2x2 = ⇔ (thỏa mãn ĐK) x = − x = Vậy nghiệm phương trình là: x = − 2 Bài 66: Giải phương trình: x − x + + x − = Lời giải x − x + + 3x − = ⇔ x − (3x − 1) − x + x − = * ĐK: x ≥ Đặt t = x − ≥ ta được: x − t − x + t = ⇔ ( x − t )( x + t ) − ( x − t ) = ⇔ ( x − t )( x + t − 1) = ± (thỏa mãn ĐK) Với TH x + t − = hay t = − x ⇒ x − = − x , ĐK: x ≤ − 17 + 17 (thỏa mãn ĐK) (loại x = ) ⇒ 3x − = − x + x ⇒ x = 2 3± , − 17 Vậy phương trình cho có nghiệm: x = x= 2 Với TH x − t = hay x = 3x − ⇔ x = 3x − ⇔ x = Bài 67: Giải phương trình 4x3 + 5x2 + 1= 3x + 1− 3x Lời giải −1 * ĐK: x ≥ 4x3 + 5x2 + 1= 3x + − 3x ⇔ 4x3 + 5x2 + 1− 3x + + 3x = ⇔ 4x3 + 5x2 + x + ( 2x + 1) − 3x + = ( 2x + 1) − ( 3x + 1) = + x+ ( 2x + 1) + 3x + ⇔ 4x + 5x ( ) ⇔ 4x2 + x ( x + 1) + 4x2 + x ( 2x + 1) + 3x + =0 ⇔ 4x2 + x ( x + 1) + = 0(*) ( 2x + 1) + 3x + 1 ( Với x ≥ ) −1 >0 ( x + 1) + ( 2x + 1) + 3x + Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 71 Website: tailieumontoan.com x = (*) ⇔ 4x + x = ⇔ (thỏa mãn điều kiện) x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = 0;x = − 2 Bài 68: Giải phương trình: x − x − x + = 8( x − 1) (1) Lời giải * ĐK: x − x + ≥ ( x − 2) + ≥ (luôn ∀ x) (1) 2( x − x + 5) − x − x + − = Đặt t = x − x + 5, t ≥ Phương trình (1) trở thành: 2t − 3t − = t = 2(TM ) x − x + = x − x + = x = ± t = − ( L) { } Vậy tập nghiệm phương trình (1) − 3; + Bài 69: Tìm x biết : 1 x − + x + x + = (2 x + x + x + 1) 4 Lời giải 1 x − + x + x + = (2 x + x + x + 1) 4 ⇔2 1 x − + x + x + = (2 x3 + x ) + (2 x + 1) 4 ⇔ x − + x + x + = ( x + 1)(2 x + 1) ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1) + 2 x + = ( x + 1)(2 x + 1) Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1) + 2(2 x + 1) = ( x + 1)(2 x + 1) ⇔ (2 x + 1)(2 x + 1) = ( x + 1)(2 x + 1) ⇔ (2 x + 1) = ( x + 1)(2 x + 1) ⇔ x + = ( x + 1)(2 x + 1) ⇔ (2 x + 1)( x + − 1) = ⇔ 2x+1=0 x2 =0 −1 ⇔x= x = (thỏa điều kiện) −1 Vậy x = x = Bài 70: Giải phương trình x ( x + 2) = − x x + Lời giải ( ) ( ) Đặt t = x x + ⇒ t = x + x ⇒ x x + = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 t2 72 Website: tailieumontoan.com t = −4 t = − t ⇔ t + 2t − = ⇔ t = 2 ta phương trình x < x < ⇔ Với t = -4 ta có x x + = −4 ⇔ 4 2 x + 2x − = 2 x + x = 16 ( ) x < ⇔ ⇔ x=− x = x > x > x x + = ⇔ ⇔ Với t =2 ta có 2 x + 2x − = 2 x + x = ( x > ⇔ ⇔x= x = −1 ) −1 Bài 71: Giải phương trình 3x − + x −1 = 3x + 4x Lời giải −1 đkxđ x ≥ x −1 = 3x + ⇔ x(3x − 1) + x − = x 3x + ⇔ 12 x − 3x − = x 3x + 4x 4 x = x + x + 2 x = x + 16 x = x + 3x + ⇔ ⇔ − x = x + 3x + − x = 3x + 3x − + ( ) giải pt có nghiệm x=1; x = Bài 72: Giải phương trình: − 153 72 x − x − − x − = Lời giải Điều kiện x ≥ x − x −1 − x −1 = ⇔ ⇔ ( ) x −1 −1 − x −1 = x − − − x − = (1) x − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ : Ta có (1) ⇔ x − − − x − = Phương trình vơ nghiệm Khi Khi ≤ x − < ⇔ ≤ x − < ⇔ ≤ x < : Ta có ( 1) ⇔ (1) ⇔ − x − − x − = ⇔ −2 x − = ⇔ x = Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 73: Tìm số thực x, y thỏa mãn: (x + 1) y2 + 16x2 + x2 − 2x − y3 + = 8x3y + 8xy Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 73 ( ( x ⇔ ) + 1) y − 4x Website: tailieumontoan.com Ta có: ( *) ⇔ x2 + y − 4x + x2 − 2x − y3 + = yx − 4x + y = ( 1) ⇔ 3 x − 2x − y + = x − 2x − y + = ( 2) =0 + Nếu y = từ (1) suy x = 0, thay vào (2) không thỏa mãn + Nếu y ≠ 0, ta coi (1), (2) phương trình bậc hai ẩn x Điều kiện để có nghiệm x là: ' ∆1 = − y ≥ −2 ≤ y ≤ ⇔ ⇔ y= ' ∆ = y − ≥ y ≥ Thay y = vào hệ (1), (2) ta được: 2x − 4x + = ⇔ x=1 x − 2x + = Vậy x = 1, y = Bài 74: Giải phương trình sau: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 Lời giải Đkxđ: ∀x ∈ R x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 Vì x + 20 x + 25 + x + x + ≥ với ∀x ⇒ 10x – 20 ≥ ⇒ x ≥ Ta có: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 ⇔ x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x = 28 ⇔ x = 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 75: Giải phương trình: x2 + 4x+5 =2 2x+3 Lời giải 2 (1) ⇔ x + 4x+5-2 2x+3 = Điều kiện: 2x+3≥ ⇒ x ≥ - ⇔ x2 + 2x+1+2x+3-2 2x+3 + 1= ⇔ (x + 1)2 + ( 2x+3 − 1)2 = x + 1= ⇔ 2x+3 − 1= Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 74 Website: tailieumontoan.com x = −1 ⇔ 2x+3=1 ⇔ x = −1 thỏa mãn điều kiện Bài 76: Giải phương trình: x + x + = ( x + 1) x2 + 2x + Lời giải ĐKXĐ: R Vì x = −1 khơng phải nghiệm, nên phương trình cho tương đương với phương trình: x2 + x + = x2 + 2x + 2x +1 ⇔ x2 + 6x + − = x2 + x + − 2x +1 x + x + − 2(2 x + 1) ( x + x + + 2)( x + x + − 2) = 2x +1 x2 + 2x + + ⇔ x2 + 2x −1 = 2x +1 x2 + 2x −1 x2 + 2x + + 1 ⇔ ( x + x − 1) − ÷= x + 2x + + 2x +1 x2 + 2x − = (1) ⇔ x + x + + = x + (2) PT (1) có hai nghiệm x1;2 = −1 ± PT (2) ⇔ x2 + x + + = x + ⇔ x2 + 2x + = 2x −1 x ≥ + 15 ⇔ ⇔ x3 = x + x + = (2 x − 1) Vậy phương cho có ba nghiệm: x1;2 = −1 ± 2; x3 = Bài 77:Giải phương trình : + 15 x + x −1 + x − x −1 = Lời giải ĐKXĐ : x ≥ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x+3 75 x + x −1 + x − x −1 = Website: tailieumontoan.com x+3 ⇔ x −1+ x −1 +1 + x −1− x −1 + = ⇔ ( ) x −1 +1 + ⇔ x −1 +1 + ( ) x −1 −1 x −1 −1 = = x+3 (*) x+3 x+3 x+3 x+3 ⇔ x −1 = ⇔ x −1 = x + 2 ⇔ 16( x − 1) = x + x + ⇔ x − 10 x + 25 = ⇔ ( x − 5) = ⇔ x = (TM) x+3 x+3 ⇔2= ⇔ = x +3 ⇔ x =1 Nếu ≤ x < phương trình (*) ⇔ x − + + − x − = 2 ( TM) Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 Nếu x ≥ phương trình (*) ⇔ x − + + x − − = Bài 78: Giải phương trình: x + x + 12 + x + x + = x + Lời giải Đặt u = x + x + 12, v = x + x + ( u > 0, v > 0) ⇒ u = x + x + 12, v = x + x + ⇒ u − v = x + 10 = 2( x + 5) Từ (1) ⇒ 2(u + v) = (u − v ) ⇔ (u + v)(u − v − 2) = (2) Vì u > 0, v > , từ (2) suy ra: u − v − = Vì x + x + 12 = x + 3x + + (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 x + 3x + = x + x + ≥ x ≥ −3 x ≥ −3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 (7 x − 7) + (6 x + 6) = 2 x + x + = x + 7 x + x − = x ≥ −3 ⇔ ( x + 1)(7 x − 1) = x ≥ −3 ⇔ ⇔ x = −1, x = ( tm ) x = −1, x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Bài 79: Giải phương trình x + + x + − x − = Lời giải Cách 1: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Khi ta có: x + + x + − x − = ⇔ ( 1+ x + 1− x ) = (2 − x ) ⇔ − x + = (2 − x ) (1) Đặt t = − x , t ≥ Phương trình (1) trở thành: 2t + = (t + 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 76 Website: tailieumontoan.com ⇔ t + 2t − 2t − = ⇔ (t − 1) (t + 1)(t + 1) + 2t = (2) Vì t ≥ nên (t + 1)(t + 1) + 2t > Do phương trình (2) có nghiệm t = + Với t = ⇒ x = (thỏa) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Cách 2: + Điều kiện: −1 ≤ x ≤ x + + x + − x − = ⇔ + x + − x = − x (*) t2 − + Đặt t = + x + − x , t ≥ Suy t = + − x ⇔ ÷ +1 = − x Khi phương trình (*) trở thành: t − 4t − 4t + = ⇔ (t − 2)(t + 2t − 4) = (*) 2 + t = + − x ≥ t ≥ nên t ≥ Do t + 2t − ≥ 2 + − > Suy phương trình (*) có nghiệm t = + Với t = ⇒ x = (thỏa) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 80: Giải phương trình: x = x3 − x + x − x Lời giải ĐK x = x ≥ Với x = thỗ mãn phương trình Với x ≥ Ta có x − x = x ( x − 1) ≤ ( x + x − 1) x − x = 1( x − x) ≤ ( x − x + 1) ⇒ x3 − x + x − x ≤ x 2 x = x −1 ⇔ Dấu "=" Xẩy x − x = x = x − ⇔ ⇒ x + = x − Vô lý x = x + Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 81: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: −2019 2018 N= M= x2 − 2x − x − 2x + Lời giải Điều kiện xác định M x − x − > ⇔ ( x + 1)( x − > x +1 > x +1 < ⇔ x − > x − < x > ⇔ x < −1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 77 Website: tailieumontoan.com x + ≥ ⇔ x > x + ≥ (*) Điều kiện xác định N x − x + > x > (**) ⇔ x2 > 2x + ⇔ x2 − 2x − > ⇔ x < −1 Từ (*) (**) ta x > điều kiện xác định M Bài 82: Giải phương trình: 2017 2017 x − 2016 + 2018 x − 2017 = 2018 Lời giải ĐKXĐ: x ≥ 2017 2018 2017 x − 2016 < 2017 ≤ x ⇒ 2017 2017 x − 2016 + 2018 x − 2017 > 2018 Xét x > ⇒ 2018 x − 2017 > Xét x = thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 83: Giải phương trình: x − + − x = x − 12 x + 14 Lời giải §K: 1,5 ≤ x ≤ 2,5 + Sử dụng bất đẳng thức cô si Bu nhi a đánh giá VT ≤ + Đánh giá VP ≥ x − = − x VT = ⇔ ⇔ x=2 Do đó: PT ⇔ x = VP = Bài 84: Giải phương trình x+3 1) Giải phương trình : x + x − + x − x − = Xét 2) Giải phương trình: x + x + 12 + x + x + = x + Lời giải 1) Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = ĐKXĐ : x ≥ x + x −1 + x − x −1 = x+3 ⇔ x −1+ x −1 +1 + x −1− x −1 + = ⇔ ( ) x −1 + + ⇔ x −1 +1 + ( ) x −1 −1 x −1 −1 = x+3 2 = x+3 (*) x+3 x+3 x+3 x+3 ⇔ x −1 = ⇔ x −1 = x + 2 ⇔ 16( x − 1) = x + x + ⇔ x − 10 x + 25 = ⇔ ( x − 5) = ⇔ x = (TM) x+3 x+3 ⇔2= ⇔ = x +3 ⇔ x =1 Nếu ≤ x < phương trình (*) ⇔ x − + + − x − = 2 ( TM) Nếu x ≥ phương trình (*) ⇔ x − + + x − − = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 78 Website: tailieumontoan.com Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x + x + 12 + x + x + = x + Đặt u = x + x + 12, v = x + x + ( u > 0, v > 0) ⇒ u = x + x + 12, v = x + x + ⇒ u − v = x + 10 = 2( x + 5) Từ (1) ⇒ 2(u + v) = (u − v ) ⇔ (u + v)(u − v − 2) = (2) Vì u > 0, v > , từ (2) suy ra: u − v − = Vì x + x + 12 = x + 3x + + (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 x + 3x + = x + x + ≥ x ≥ −3 x ≥ −3 ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 x + x + = x + 7 x + x − = (7 x − 7) + (6 x + 6) = x ≥ −3 ⇔ ( x + 1)(7 x − 1) = x ≥ −3 ⇔ ⇔ x = −1, x = ( tm ) x = −1, x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Bài 85: Giải phương trình: x2 − 2x + = 2x2 − 4x + Lời giải Ta có 2x2 − 4x + = 2(x − 1)2 + 1≥ nên tập xác định phương trình R Phương trình cho tương đương với 2x2 − 4x + 3− 2x2 − 4x + + = Đặt y = 2x2 − 4x + ≥ phương trình cho trở thành y = y2 − 4y + = ⇔ (thỏa mãn điều kiện) y = Với y = ta có 2x2 − 4x + = 1⇔ 2x2 − 4x + = 1⇔ x = x = −1 2 Với y = ta có 2x − 4x + = ⇔ 2x − 4x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1,x = −1,x = Bài 86: Giải phương trình x − x − = x − ( − x ) Lời giải Điều kiện: x ≥ (*) Ta có: ( x2 − x − = x −1 ( − x ) ⇔ x + x x − + x − − 2( x + x − 1) − = ) ( ) ⇔ x + x −1 − x + x −1 − = Đặt x + x − = y (Điều kiện: y ≥ ( **) ), phương trình trở thành y − y − = y = −1 y − y − = ⇔ ( y + 1) ( y − 3) = ⇔ y = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 79 Website: tailieumontoan.com +Với y = −1 không thỏa mãn điều kiện (**) + Với y = ta có phương trình: 1 ≤ x ≤ x + x −1 = ⇔ x −1 = − x ⇔ x − = − 6x + x 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = x − x + 10 = x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 87: Giải phương trình sau: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 Lời giải Đkxđ: ∀x ∈ R x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 Vì x + 20 x + 25 + x + x + ≥ với ∀x ⇒ 10x – 20 ≥ ⇒ x ≥ Ta có: x + 20 x + 25 + x + x + = 10 x − 20 ⇔ x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x + + x + = 10 x − 20 ⇔ x = 28 ⇔ x = 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ... c = Xét ba phương trình bậc hai x + 4ax + b = 0, x + 4bx + c = 0, x + 4cx + a = Chứng minh ba phương trình có phương trình có nghiệm có phương trình vơ nghiệm Bài 27: Cho phương trình 2018 x... ( a − b ) 2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = ( a − b ) > ⇔ a ≠ b Phương trình có nghiệm dương ⇔ phương trình có nghiệm trái dấu phương trình có nghiệm dương TH1: Phương trình có nghiệm... Giải phương trình: x + = ( x + ) Bài 5: Giải phương trình x − − x − 16 = Bài 6: Giải phương trình x + x + 12 = x − + x + Bài 7: Giải phương trình: x + x + = (x + 1) ( x + 3) Bài 8: Giải phương