CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2 tính giá trị của biểu thức chứng minh đẳng thức đại số tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Chứng minh đẳng thức đại số Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số A Bài toán − 10 − +1 2− Bài 1: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A = ( )( ) Bài 2: Tính giá trị biểu thức T = + − 13 − 19 + Bài 3: Tính giá trị biểu thức: B = 85 + 62 + 85 − 62 Bài 4: 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = Chứng minh rằng: x + y + y + x = Bài 5: Rút gọn biểu thức: A = 2(3 + 5) 2(3 − 5) + 2 + 3+ 2 − 3− 1 Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn x + = Tính giá trị biểu thức P = x + x x Bài 7: Cho số a, b, c, x, y, z khác thõa mãn kiện a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh + + = x y z a b c a b c a b c = = = Bài 8: Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn b − ca c − ab a − bc 2019 Bài 9: Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: a b c + + = 1− a 1− b 1− c Chứng minh tam giác ABC Bài 10: Chứng minh rằng: Nếu x + x y + y + x y = a x + y2 = a Bài 11: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa : ab + bc+ ca =1 Tính giá trị biểu thức ( 1+ b ) ( 1+ c ) + b ( 1+ a ) ( 1+ c ) + c ( 1+ b ) ( 1+ a ) ( 1+ a ) (1+ b ) ( 1+ c ) P=a 2 Bài 12: Cho tam giác ABC có 2 2 2 độ dài ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c ba số nguyên khác Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh : a = b + c − bc 2 b) Giả sử b < c Chứng minh: b ≥ Bài 13: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2018 trị biểu thức P = Bài 14: 1 2017 + + = Tính giá b + c c + a a + b 2018 a b c + + b + c c + a a+ b a Cho x = + − − Tính A = ( x − x − x + x − 1) 2017 b Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác 1 + + 2 bình phương số hữu tỉ Chứng minh rằng: A = ( a − b) ( b − c) ( c − a) Bài 15: Cho a, b, c, d, e, f số thực khác 0, thỏa mãn Tính giá trị biểu thức B = Bài 16: Cho a = x + ( a b c d e f + + = + + = d e f a b c a2 b2 c2 + + d2 e2 f 1 , b = y + , c = xy + Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc y xy x )( ) 2 Bài 17: Cho x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A = x + y + 2016 Bài 18: Chứng minh rằng: Nếu ax3 = by3 = cz3 Bài 19: Cho x = + - 1 + + = x y z ax2 + by2 + cz2 = a + b + c - 10 Tính giá trị biểu thức +1 ( ) A = x4 + x3 - x2 - 2x - 2015 Bài 20: Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Tính H = Bài 21: Tính giá trị biểu thức P = a− b b− c c− a + + 1+ c 1+ a 1+ b + + 5- + 11- + 22 Bài 22: Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2, x + y + z = 18 xyz = - Tính giá trị S = 1 + + × xy + z - yz + x - zx + y - Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( ) Website: tailieumontoan.com Bài 23: Cho biểu thức: A = x2 − x − + 2013 Tính giá trị A x= 3+1−1 − 3+1+1 Bài 24: Cho (x + x2 + 2013 ).(y + y + 2013 )=2013 Chứng minh x2013+ y2013=0 Bài 25: Chứng minh :A= + - 13 + 48 số nguyên 6+ Bài 26: Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : a2006 + b2006 = a2007 + b2007 = a2008 + b2008 Hãy tính tổng: S= a2009 + b2009 Bài 27: Tính giá trị biểu thức P P = 3x2013 + 5x2011 + 2006 với x = + 2 - (x - y2 - y - - 6x + 9x ( y + 1) Bài 28: Tính giá trị biểu thức A = (x )( + + 18 - - ) ) 2 biết x + 16y - 7xy = xy - x - 1 x2 y − = Tính giá trị biểu thức + x y 2x + y y x Bài 30: Cho a, b, c số thực cho a + b = c − ab = 2c − 3c + Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P = a + b 3 Bài 31: Tính giá trị biểu thức A = x + y − ( x + y ) , biết x = 3 + 2 + 3 − 2 ; y = 17 + 12 + 17 − 12 2 − − Bài 32: Tính A = 2− 3−      Bài 33: Cho S = ữ1 ữììì1 ữ Tớnh S (kết để dạng phân số tối  2.3  3.4   2020.2021  Bài 29: Cho  x, y số thực cho giản) Bài 34: Cho  x, y số thực cho 1 x2 y − = Tính giá trị biểu thức + x y 2x + y y x Bài 35: Cho a + b + c = a + b + c = Tìm giá trị biểu thức M = a + b + c Bài 36: Cho a = + 50 , b = − 50 Không dùng máy tính, chứng minh biểu thức M = a + b N = a + b7 có giá trị số chẵn Bài 37: Cho số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2019abc 2019 ( a + b + c ) = Tính A = a 2019 + b 2019 + c 2019 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 38: Cho a = + 50 , b = − 50 Khơng dùng máy tính, chứng minh biểu thức M = a + b N = a + b có giá trị số chẵn 3 Bài 39: Tính giá trị biểu thức A = x + y − ( x + y ) , biết x = 3 + 2 + y = 17 + 12 + 3 3−2 ; 17 − 12 Bài 40: Cho  x, y số thực cho 1 x2 y − = Tính giá trị biểu thức + x y 2x + y y x Bài 41: Cho a, b, c số thực cho a + b = c − ab = 2c − 3c + Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P = a + b Bài 42: Cho a + b + c = a + b + c = Tìm giá trị biểu thức M = a + b + c −1 +1 Tính a7 + b7 ;b = 2  y2 x + xy + = 2017 (1)    y2 = 1009 (2) (x ≠ 0,z ≠ 0,x ≠ − z) Bài 44: Cho x, y, z số thực thỏa:  z +  x2 + xz + z2 = 1008 (3)   Bài 43: Cho a = Chứng minh 2z y + z = x x+ z Bài 45: Cho đa thức P(x) = x4+ax3+bx2+cx+d (a, b, c, d số) Biết P(1) = 10, P(2) = P (12) + P( −8) + 25 20, P(3) = 30 Tính giá trị biểu thức 10 Bài 46: Tính giá trị biểu thức A = Bài 47: Cho biểu thức: 3− 2 + 10 ( 1+ 2) ( 3+ 2) + P = 1− x + ( 1− x) 1− x2 + 1− x − ( 1− x) 1− x2 với x ∈  −1;1 Tính giá trị biểu thức P với x = −1 2012 Bài 48: Cho x số thực âm thỏa mãn x2 + A = x3 + = 23, tính giá trị biểu thức x2 x3 a − 3a + , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − Bài 50: Cho số thực x,y,z đôi khác thỏa mãn x = 3x − 1; y = 3y − 1, z = 3z − Bài 49: Tính gía trị biểu thức P = Chứng minh x + y + z = Bài 51: Cho biểu thức: P = 1− x + ( 1− x) 1− x2 + 1− x − ( 1− x) 1− x2 với x ∈ [ −1;1] Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Tính giá trị biểu thức P với x = Website: tailieumontoan.com −1 2012 Bài 52: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, c2 + a2 ¹ b2 Tính giá trị biểu thức P = a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 Bài 53: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, c + a ¹ b Tính giá trị biểu thức P = 2 a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 Bài 54: a Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c b Tính giá trị biểu thức: B = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192 4( x + 1) x 2018 − x 2017 + x + Bài 55: Tính giá trị biểu thức P = x2 + 3x − x = 3−2 3+2 Bài 56: Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x + = Tính giá trị biểu thức x2 1 B = x7 + ; x x Bài 57: Cho f ( x ) = ( x + 12 x − 31) 2015 A = x5 + Tính f (a) với a = 16 − + 16 + x4 y Bài 58: Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x + y = + = a b a+b x 2016 y 2016 Chứng minh rằng: 1008 + 1008 = a b (a + b)1008 1 + + =6 Bài 59: Cho x;y;z dương cho x+ y y+z z+x 1 + + Tìm giá trị lớn nhất P = 3x + y + z y + 3z + x 3z + 3x + y 2  a   a :  − Bài 60: Cho biểu thức: A = 1 −   + a a a + a + a +  , với a ≥ a +     Tính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Bài 61: Cho ba số x, y, z thỏa mãn Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + y + z = 2010  1 1  x + y + z = 2010  2007 2007 2009 2009 2011 2011 Tính giá trị biểu thức P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) a + b + c = ; a + b + c = 23 ; abc = 1 + + Tính giá trị biểu thức H= ab + c − bc + a − ca + b − Bài 62: Cho a, b, c thỏa mãn 4+ + 4− Bài 63: Tính giá trị biểu thức N= Bài 64: Cho x = 10 + ( − 1) 6+2 − + 27 − 10 + 13 ( Tính giá trị P = 12x + 4x – 55 Bài 65: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y = y ≠ z Chứng minh đẳng thức ( y+( x+ ( x+ y− z ) z) x− z y− ) ) 2017 , x+ y≠ z 2 x− z y− z = Bài 66: Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + 4ab − 7b2 = ( a ≠ b a ≠ −b ) Tính giá trị biểu thức Q = 2a − b 3a − 2b + a −b a +b Bài 67: Cho số x B = x5 + ( x ∈ ¡ ; x > 0) thỏa mãn điều kiện: x + = Tính giá trị biểu thức: x2 x5 Bài 68: Tính giá trị biểu thức B = ( x + x − 2) Bài 69: Tính tổng S = 3+1 + 5+ + 2019 x = 7+ ( − 1) ( 10 + ) 21 + + + + 20192 + 20192 − Bài 70: 1/ Cho ba số thực dương a,b,c thõa mãn a b c=1 Chứng minh a b c + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + 2/ Cho số a,b,c khác thỏa mãn a b+b c+2 c a=0 Hãy tính giá trị biểu thức bc ca ab A= + + 8a b c ( )( ) 2 Bài 71: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x + x + y + y + = Tính giá trị biểu thức Q = x y + + y x + Bài 72: Chứng minh rằng: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1 44 + + + = +1 + 2025 2024 + 2024 2025 45 1 Bài 73: Cho x số thực âm thỏa mãn x + = 23 Tính giá trị biểu thức: A = x + x x Bài 74: Tính giá trị biểu thức: P = ( x + x − x + x − ) 2018 + 2019 x = 2 −1 +1 + + + − + Tính giá trị biểu thức P = x ( − x ) Bài 76: Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2019 Chứng minh a − bc b − ca c − ab + + =0 a + 2019 b + 2019 c + 2019 Bài 75: Cho x = Bài 77: Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x − x + x − = Khơng giải phương trình, tính tổng: a − b5 b5 − c c − a S= + + a−b b−c c−a a− b b− c c− a Bài 78: Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab + bc + ca = Tính H= + + 1+ c 1+ a 1+ b Bài 79: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b - 2c) + b (c - a) + 2c (a - b) + abc 2) Cho x, y thỏa mãn x = y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức A = x +x y+3x +xy- 2y +1 x − yz y − zx z − xy Bài 80: Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn = = a b c Chứng minh a − bc b − ca c − ab = = x y z Bài 81: Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) 2 Bài 82: Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đôi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c ( a + b ) Bài 83: a) Cho a, b > thỏa mãn 1 + = Chứng minh a b 2018 a + b = a − 2018 + b − 2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x + x − = Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Tính giá trị biểu thức A = Website: tailieumontoan.com a+2 a4 + a + − a2 B Lời giải − 10 − +1 2− Bài 1: Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A = A= ( Lời giải ) 2− − 10 −1 − = − = − − = −1 −1 +1 2− 2− ( )( ) Bài 2: Tính giá trị biểu thức T = + − 13 − 19 + ( T =(2 T =(2 Lời giải ) ( ) + 1) ( − 1) ( − 1) ( + 1) = ( + 1) ( − 1) ( 3 + 1) ( − 1) ( − 1) ( + 1) = ( 12 − 1) ( 18 − 1) = 187 T = + 12 − + − 18 + + 2 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: B = 85 + 62 + 85 − 62 Lời giải Đặt a = 85 + 62 ; b = 85 − 62 a + b3 = 85 + 62 + 85 − 62 = 170  ⇒ 3 ab = 85 + 62 85 − 62 = 85 − 62  B = a+b ( ) = −19683 = −27 ⇔ B = ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = 170 − 3.27 B ⇔ B + 81B − 170 = ⇔ B − B + B − B + 85 B − 170 = ⇔ B ( B − ) + B ( B − ) + 85 ( B − ) = ⇔ ( B − ) ( B + B + 85 ) = ⇔ B − = (vì B + B + 85 = B + B + + 84 = ( B + 1) + 84 > ) ⇔B=2 Bài 4: 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a ( a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = Chứng minh rằng: x + y + y + x = Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 )( ) −1 + Website: tailieumontoan.com ( 3+ 5) 1) a − b = 29 + 12 − = −2 =3 A = a3 − b3 + a + b − 11ab + 2015 = ( a − b ) ( a + b2 + ab ) + a + b2 − 11ab + 2015 A = ( a + b2 + ab ) + a + b2 − 11ab + 2015 = ( a − 2ab + b ) + 2015 A = ( a − b ) + 2015 = 2051 2) xy + ( + x ) ( + y ) = ⇔ ( + x ) ( + y ) = − xy ⇔ ( + x ) ( + y ) = ( − xy ) 2 2 2 ⇔ + x + y + x y = − xy + x y ⇔ x + y + xy = ⇔ ( x + y)2 = ⇔ x = −y ⇒ x + y + y + x2 = − y + y2 + y + y2 = Bài 5: Rút gọn biểu thức: A = A= ( 3+ ) + 2 + 3+   3+ A = 2 4 + +1  ( ( ) )( 2(3 + 5) 2 + 3+ ( 3− ) 2 − 3− 2(3 − 5) + 2 − 3− Lời giải = ( 3+ ) 4+ 6+2 + ( 3− ) 4− 6−2   3+ 3−   + ÷  =  5+ 5− ÷    −1  3− + 4− ) ( )( ( ) )( )  3+ 5− + 3− 5+     =  15 − + 5 − + 15 + − 5 − ÷ A = 2  ÷   25 − 5+ 5−     20 A = 2× = 20 1 Bài 6: Cho số thực x thỏa mãn x + = Tính giá trị biểu thức P = x + x x Lời giải ( ) 1 1   x + = ⇔  x + ÷ = 33 ⇔ x + +  x + ÷ = 27 x x x x   1  ⇒ P = x + = 27 −  x + ÷ = 27 − 3.3 = 18 x x  Bài 7: Cho số a, b, c, x, y, z khác thõa mãn kiện a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh + + = x y z a b c a b c Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com 2 x y z x y z  xy xz yz  + + = ⇔ + + +  + + ÷= a b c a b c  ab ac bc  x2 y2 z xyc + xzb + yza + + + 2× =1 a b c abc a b c ayz + bxz + cxy + + =0⇔ = ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z xyz ⇔ Vậy x2 y z + + =1 a b2 c2 a b c = = = b − ca c − ab a − bc 2019 Lời giải Bài 8: Tồn hay không số a, b, c thỏa mãn Giả sử tồn số thực ( a ; b ; c ) thỏa mãn yêu cầu đề ⇒ a ≠ bc ; b ≠ ca ; c ≠ ab Nếu a = b = c a − bc = a − a = ⇒ a = bc (mâu thuẫn a ≠ bc ) Do số a, b, c phải có nhất số khác Khi đó: ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) > 2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a +b +c = = = = b − ca c − ab a − bc  a − b + b − c + c − a  2019 ( ) ( ) ( )  2 ⇒ a+b+c > Nếu tồn số nhau, giả sử a = b , ta có: a b = 2 b − ca c − ab ⇒ b − ca − c + ab = ⇒ (a + b + c)(b − c) = ⇒b=c ⇒ a = b = c (mâu thuẫn a ≠ bc ) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a −b b−c c−a = = = = = = 2 2 b − ca c − ab a − bc b − ca − c + ab c − ab − a + bc a − ab − b + ca 2019 a −b b−c c−a ⇒ = = = ( b − c ) ( a + b + c ) ( c − a ) ( a + b + c ) ( a − b ) ( a + b + c ) 2019 Đặt x = yz ; y = zx ; z = xy ⇒ x + y + z = xy + yz + zx ⇒( x − y) + ( y − z) + ( z − x) = ⇒x= y = z 2 a + b = 2c a + b = 2c  a + b = 2c    ⇒ c + b = 2a ⇒ c + b = 2a ⇒ c + b = 2a ⇒ a = b = c (mâu thuẫn) a + c = 2b a − b = 2b − 2a 3 a − b = )    ( Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 25 Vì x = −1 ⇒ 1− x > 1+ x 2012 Website: tailieumontoan.com ⇒ P = 2( 1− x)  2013  ⇒ P =  1+ ÷=  2012  2012 Chú ý: Nếu HS tính P2 - Tính: P2 = 2( 1− x) + ( 1− x) x2 2 - Rút gọn: P = 2( 1− x) + 2( 1− x) x −1 2013 2013  2013  - Thay x = P2 = + = 2. ÷ 2012 2012 2012  2012  2013 - Do P không âm suy P = 2012 Bài 48: Cho x số thực âm thỏa mãn x2 + A = x3 + = 23, tính giá trị biểu thức x2 x3 Lời giải Ta có A = (x + ) – 3(x + ) x x 1 Từ giả thiết ta có: x2 + +2 = 25  (x + )2 = 52 => x + = -5 x < x x x Do A = (-5) – 3.(-5) = - 110 Bài 49: Tính gía trị biểu thức P = a − 3a + , biết a = 55 + 3024 + 55 − 3024 a − 4a + 5a − Lời giải tính a = 110 − 3a ⇔ (a − 5)(a + 5a + 22) = ⇔ a = thay a=5 vào P = Bài 50: Cho số thực x,y,z đôi khác thỏa mãn x = 3x − 1; y = 3y − 1, z = 3z − Chứng minh x + y + z = Lời giải Cộng ba đẳng thức ta có hệ  x = 3x −  x − y = 3( x − y )  x + xy + y = 3(1)     y = y − ⇔  y − z = 3( y − z ) ⇔  y + zy + z = 3(2)  z = 3z −  z − x = 3( z − x )  x + xz + z = 3(3)    trừ (1) cho (2) ta ( x − z )( x + y + z ) = ⇔ x + y + z = cộng (1) ;(2) ;(3) ta có 2( x + y + z ) + xy + yz + xz = (*) mà tù x+y+z=0 suy xy + yz + xz = − x2 + y2 + z thay vaò (*) ta có đpcm Bài 51: Cho biểu thức: P = 1− x + ( 1− x) 1− x2 + 1− x − ( 1− x) 1− x2 với x ∈ [ −1;1] Tính giá trị biểu thức P với x = −1 2012 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 26 Website: tailieumontoan.com Lời giải Ta có : +) 2( 1− x) + 2( 1− x) 1− x = ( x − 2x + 1) + 2( 1− x) 1− x2 + ( 1− x2 ) 2 = 1− x + 1− x2    +) 2( 1− x) − 2( 1− x) 1− x2 = 1− x − 1− x2    2 P = 1− x + 1− x2 + 1− x − 1− x2 Suy ra: = 1− x + 1− x2 + 1− x 1− x − 1+ x Vì x = −1 ⇒ 1− x > 1+ x 2012 ⇒ P = 2( 1− x)  2013  ⇒ P =  1+ ÷=  2012  2012 Lời giải khác: Tính: P2 = 2( 1− x) + ( 1− x) x2 2 - Rút gọn: P = 2( 1− x) + 2( 1− x) x −1 2013 2013  2013  - Thay x = P2 = + = 2. ÷ 2012 2012 2012  2012  2013 - Do P không âm suy P = 2012 Bài 52: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a2 + b2 ¹ c2, b2 + c2 ¹ a2, c2 + a2 ¹ b2 Tính giá trị biểu thức P = a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 Lời giải P = a2 ( b + c) - b2 - c2 + b2 ( c + a) - c2 - a2 + c2 ( a + b) - a2 - b2 a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 = + + = 2bc 2ca 2ab 2abc 3 2 Ta có a + b + c - 3abc = ( a + b + c) ( a + b + c - ab - bc - ca) = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Do vậy, P = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 27 Website: tailieumontoan.com Bài 53: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0,a + b ¹ c , b2 + c2 ¹ a2, c2 + a2 ¹ b2 Tính giá trị biểu thức P = 2 a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 Lời giải P = a2 ( b + c) - b2 - c2 + b2 ( c + a) - c2 - a2 + c2 ( a + b) - a2 - b2 a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 + + = 2bc 2ca 2ab 2abc 3 2 Ta có a + b + c - 3abc = ( a + b + c) ( a + b + c - ab - bc - ca) = = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc Do vậy, P = Bài 54: a Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c b Tính giá trị biểu thức: B = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192 Giải: 1 1  1 1  a Ta có:  + + ÷ = + + +  + + ÷ a b c a b c  ab bc bc  1 a b  1 2( a + b + c) 1  c = + + + 2 + + = 2+ 2+ ÷= + + + a b c b c abc a b c  abc abc abc  a Vậy 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 1 1 1 1 + 2+ = + + = + − (*) a b c a b c a b a+b b Áp dụng (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1+ + = + + = + + = + − (Vì + − > ) 2 1 (− 2) 1 ( − 2) 1 1 Theo câu a) Ta có 1 1 + = + − ;… 32 42 1 1 1+ + = + − 2 2018 2019 2018 2019 Tượng tự + 1 1 + = + − ; 22 32 Suy B = 2019 − 1+ 4076360 = 2019 2019 Bài 55: Tính giá trị biểu thức P = 4( x + 1) x 2018 − x 2017 + x + x2 + 3x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 28 Website: tailieumontoan.com − 3−2 3+2 x = Giải: Tính giá trị biểu thức P = ( x + 1) x 2018 − x 2017 + x + x + 3x x = − −2 3+2 3 −1 − = 2 −2 +2 Vì x = −1 nghiệm đa thức x + x − 2 x 2017 x + x − + x + x + = = − Do P = x +1 x2 + x − + x + nên x = ( ( ) ) Bài 56: Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x + A = x5 + = Tính giá trị biểu thức x2 1 B = x7 + ; x x Giải: ỉ2 ỉ 1ư 1 ữ ỗ =7 ỗ x + + 2ữ = Û x + = Þ x + = (do x > ) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è x x xø x ưỉ2 ỉ 1÷ 1ư ç x+ ÷ x - 1+ ÷ Ta có x + = ỗ ữ= 3.6 = 18 ỗ ç ÷ ç ç è x øè ø x x ÷ x2 + ỉ2 x + =ỗ x + 2ữ ữ ỗ ữ- = 47 ỗ ố x x ứ ổ 1ử ổ4 ữ 1 ỗ x+ ữ x + = x + + x + = x + +18 ữ ữ +) ỗ ç ç ÷ ÷ ç ç è x øè x ø x x x 1 Þ x + +18 = 141 Û x + = 123 x x ỉ3 ÷ ưỉ4 ÷ 1 ỗ x + 3ữ x + 4÷ = x + x + + = x7 + + +) ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố x ứố x ứ x x x 1 Þ x + + = 846 Û x + = 843 x x Bài 57: Cho f (x) = (x + 12 x − 31) 2015 Tính f (a) với a = 16 − + 16 + Giải: a = 16 − + 16 + ⇒ a = 32 + 3 (16 − 5)(16 + 5).( 16 − + 16 + ) ⇔ a3 = 32 + 3.(−4).a ⇔ a = 32 − 12a ⇔ a3 + 12a − 32 = ⇔ a3 + 12a − 31 = ⇒ f (a) = 12015 = Bài 58: Cho a, b, x, y số thực thoả mãn: x + y = 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x4 y + = a b a+b 29 Website: tailieumontoan.com 2016 Chứng minh rằng: 2016 x y + 1008 = 1008 a b (a + b)1008 Giải: x y (x + y )2 + = a b a+b 4 2 ⇔ b(a + b) x + a (a + b) y = ab( x + x y + y ) ⇔ b x + a y − 2abx y = ⇔ (bx − ay ) = Ta có: ( x + y ) = nªn Từ đó: x 2016 y 2016 x 2016 y 2016 x2 y2 x2 + y2 ⇒ + 1008 = = = = ⇒ 1008 = 1008 = 1008 1008 a b (a + b) a b (a + b)1008 a b a+b a+b Bài 59: Cho x;y;z dương cho Tìm giá trị lớn nhất P = 1 + + =6 x+ y y+z z+x 1 + + 3x + y + z y + 3z + x 3z + 3x + y Giải: HD Áp dụng BĐT + với a; b số dương Ta có: + )= + ) + )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: + )+ + )= + + )=  a   a :  , với a ≥ − Bài 60: Cho biểu thức: A = 1 −    a + 1 + a a a + a + a +     Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 30 Website: tailieumontoan.com Tính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Giải: Với điều kiện a Ta có:   a   a − a +1  a a  : = − :  − A = 1 −     a +1  a + 1 1 + a a a + a + a +1  + a (a + 1)(1 + a )  ( = ) a −1 a +1− a : = a +1 (a + 1)(1 + a ) ( ) a − (a + 1)(1 + a ) (a + 1)( a − 1) = 1+ a Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2 ( 2009 − 1) = 2009 Bài 61: Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2010  1 1  x + y + z = 2010  Thì A = + 2007 2007 2009 2009 2011 2011 Tính giá trị biểu thức P = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Giải: Từ giả thuyết suy x, y, z khác 1 1 + + = x y z x+ y+ z  1  1  ⇔  + ÷+  − ÷=  x y  z x+ y+ z x+ y x+ y ⇔ + =0 xy z(x + y + z)   ⇔ ( x + y)  + =0 2÷  xy xz + yz + z  ⇔ (x + y)(xz + yz + z2 + xy) = ⇔ (x + y)[ z(z + x) + y(z + x)] = ⇔ ( x + y) ( y + z) ( z + x) = 2007 2007 x2007 + y2007 =  x + y = x = −y  x = − y   ⇔  z + y = ⇔  y = − z ⇔  y2009 = − z2009 ⇔ y2009 + z2009 = ⇔ P =  z2011 = −x2011  z2011 + x2011 =  x + z =  z = −x   a + b + c = ; a + b + c = 23 ; abc = 1 + + Tính giá trị biểu thức H= ab + c − bc + a − ca + b − Bài 62: Cho a, b, c thỏa mãn Giải: Ta có ( a+ b+ c ) =a+b+c+2 ( ab + bc + ca ) mà a + b + c = ; a + b + c = 23 nên ab + bc + ca = 13 Ta có a + b + c = ⇒ c − = − a − b + nên ab + c − = ab − a − b + = Tương tự bc + a − = ( b −1 )( ( )( a −1 ) ) b −1 c − ; ac + b − = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( )( a −1 ) c −1 31 Website: tailieumontoan.com 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − 1 + + = a −1 b −1 b −1 c −1 a −1 c −1 Vậy H= ( = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) c −1+ a −1+ b −1 )( a −1 abc + ( )( ) b −1 ( c −1 ) a + b + c −3 ) ( a+ b+ c − ) ab + bc + ca − 4+ + 4− Bài 63: Tính giá trị biểu thức N= + 13 = 7−3 = −1 + − 13 − + 27 − 10 Giải: 2( + + − ) N= = = + 13 + 25 − 10 + 2( + + − ) (4 + 3) + + − + (4 + 3) 2( + + − ) ( 4+ + 4− 3) Bài 64: Cho x = 2( + + − ) + (5 − 2)2 = 4+ + 4− 10 + ( − 1) 6+2 − + (5 − 2) + 5− = + 5− = ( Tính giá trị P = 12x + 4x – 55 ) 2017 Giải: Ta có : 10 + ( ) − = ( + 1)3 ( ) −1 + − = ( + 1) − x= ( + 1)3 ( − 1) ( + 1) − = ( + 1)( − 1) − = =2 +1− Thay giá trị x vào P ta được: ( P = 12.22 + 2 −55 ) 2017 = 12017 = Bài 65: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y = y ≠ z Chứng minh đẳng thức ( y+( x+ ) z) x− z y− ( x+ y− z 2 = x− z y− z Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ) , x+ y≠ z 32 ( y+( x+ Ta có: ( (2 = ) =( z) ( x− z )( z)( x +2 y − z ) z) x+ y− z y− x+ y− x+ y− ) ( z) +( x− z + y− 2 ( −x+( −y+ ) =( z) ( x− z y− Website: tailieumontoan.com ) z) x− z y− 2 )(2 z)(2 ) z) x− z x +2 y −2 z y− x +2 y −2 x− z y− z = Bài 66: Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + 4ab − 7b2 = ( a ≠ b a ≠ −b ) Tính giá trị biểu thức Q = 2a − b + 3a − 2b a −b a +b Lời giải 2a − b 3a − 2b 2a + ab − b + 3a − 5ab + 2b 5a − 4ab + b + = = a −b a+b a − b2 a2 − b2 Vì a + 4ab − 7b2 = nên ta có Q= Q= 6( a − b2 ) − ( a + 4ab − 7b ) Bài 67: Cho số x B = x5 + a − b2 ( x ∈ ¡ ; x > 0) = 6( a − b ) a2 − b2 =6 thỏa mãn điều kiện: x + = Tính giá trị biểu thức: x2 x5 Lời giải 1  Ta có: x + = ⇒  x + ÷ = ⇒ x + = (do x > ) x x x  1  1  ⇒  x + ÷ = 27 ⇔ x + +  x + ÷ = 27 x x  x  ⇔ x3 + = 18 x3  1  ⇒  x + ÷ x + ÷ = 18.7 = 126 x  x   ⇔ x5 + 1 + x + = 126 x x = 123 x5 Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 ⇒ x5 + 33 Bài 68: Tính giá trị biểu thức B = ( x + x − 2) 2019 x = ( − 1) ( Website: tailieumontoan.com 10 + ) 21 + + Lời giải Ta có x= = ( − 1) ( ) = ( −1) 10 + 21 + + 3 ( + 1)3 (1 + 5) + = = −2 + 2(2 + 5) 5+2 Vậy ( ) B = ( x + x − 2) 2019 =  −2 +  ( = 4− +5−8+ − Bài 69: Tính tổng S = 3+1 + ) 2019 ( ) + −2 + −   = ( −1) 5+ 2019 + 2019 = −1 7+ + + 20192 + 20192 − Lời giải Ta có: S = 1+ + 3+ + 5+ + + 20192 − + 20192 1− 3− 5− 20192 − − 20192 ⇒ S= + + + + 1− 3− 5− 20192 − − 20192 1− + − + − + + 20192 − − 20192 ⇒ S= −2 Bài 70: 1− 20192 1− 2019 ⇒ S= = = 1009 −2 −2 Vậy S = 1009 1/ Cho ba số thực dương a,b,c thõa mãn a b c=1 Chứng minh a b c + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + 2/ Cho số a,b,c khác thỏa mãn a b+b c+2 c a=0 Hãy tính giá trị biểu thức bc ca ab A= + + 8a b c Lời giải: a ab abc + + 1/ Ta có VT = ab + a + abc + ab + a ab ×ac + abc + ab a a ×b ab + a + = + + = = = VP(dpcm) ab + a + 1 + ab + a a + + ab ab + a + Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 34 Website: tailieumontoan.com 1 + + =0 x y z bc 2ac 2ab yz zx xy  1 1 Khi A = + + = + + = xyz  + + ÷ 4a b c x y z y z  x Mặt khác từ đẳng thức 1  1  1 1 1  + 3+ 3− =  + + ÷ + + − − − ÷ = ta có x y z xyz  x y z  x y z xy yz x  2/ Đặt x=2 a, y=b, z=c ta xy + yz + zx = ⇒ 1 3 + 3+ 3= ⇒ A = xyz × = Vậy A = x y z xyz xyz ( )( ) 2 Bài 71: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x + x + y + y + = Tính giá trị biểu thức Q = x y + + y x + Lời giải: Ta có = xy + (x + 1)(y + 1) + x y + + y x + = xy + (x + 1)(y + 1) + Q 2 2 ⇒ ( − Q ) =  xy + (x + 1)(y + 1)    ⇒ − 4Q + Q = 2x y + x + y + + 2xy (x + 1)(y + 1) Ta lại có Q = x (y + 1) + y (x + 1) + 2xy (x + 1)(y + 1) ⇒ Q = 2x y + x + y + 2xy (x + 1)(y + 1) Do − 4Q = ⇒ Q = × Bài 72: Chứng minh rằng: 1 44 + + + = +1 + 2025 2024 + 2024 2025 45 Lời giải: 1 n +1 − n 1 = = = − Xét: (n + 1) n + n n + n n + 1( n + + n ) n n + n n +1 Áp dụng đẳng thức ta có: 1 + + + +1 + 2025 2024 + 2024 2025 1 1 1 = − + − + + − 2 2024 2025 1 44 = 1− = 1− = (dpcm) 45 45 2025 Bài 73: Cho x số thực âm thỏa mãn x + 12 = 23 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + 13 x x Lời giải: Từ giả thiết Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 35 Website: tailieumontoan.com x2 + = 23 x2 1  ⇔  x + ÷ − = 23 x  1  ⇔  x + ÷ = 25 ⇒ x + = −5 (do x < 0) x x  Ta có:  1 1 1 A = x + =  x + ÷ − 3.x  x + ÷ x  x x x 3 1 1   =  x + ÷ − 3 x + ÷ x x   = ( −5) − 3( −5) = -110 Vậy A = -110 Bài 74: Tính giá trị biểu thức: P = ( x + x − x + x − ) x= 2018 + 2019 −1 +1 Lời giải: ( ) −1 −1 Ta có: x = = 2 +1 Đặt A = x + x − x3 + 5x − 2 = 2 −1 = ( ) −1 Ta thấy: A = x3 ( x + x + 1) − x + x − = x ( x + x − 1) − x ( x + x − 1) + ( x + x − 1) − = ( x + x − 1) ( x3 − x + 1) − ( ) ( ) 1  Mà x + x − = × −1  + × −1 −1 = 2  Thay x + x − = vào A , ta A = −1 Vậy P = ( −1) Bài 75: Cho x = 2018 + 2019 = 2020 + + + − + Tính giá trị biểu thức P = x ( − x ) Lời giải: ( )   Có x =  + + + − + ÷ = + 32 − + =   6+2 4−2 = 6+2 Do x > nên x = ( ) −1 = + = +1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( ) +1 36 Suy ( x − 1) = hay x − x = , P = −2 Website: tailieumontoan.com Bài 76: Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2019 Chứng minh a − bc b − ca c − ab + + =0 a + 2019 b + 2019 c + 2019 Lời giải: Từ ab + bc + ca = 2019 suy a + 2019 = a + ab + bc + ca = ( a + b ) ( a + c ) 2 Tương tự có b + 2019 = ( b + c ) ( b + a ) , c + 2019 = ( c + a ) ( c + b ) Vế trái đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 a − bc b − ca c − ab + + ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a ) ( c + b) (a = − bc ) ( b + c ) + ( b − ca ) ( c + a ) + ( c − ab ) ( a + b ) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Khai triển làm gọn biểu thức tử ta kết nên có đpcm Bài 77: Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x − x + x − = Khơng giải phương trình, tính tổng: a − b5 b5 − c c − a S= + + a−b b−c c−a Lời giải Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x3 − x + x − = Khi phân tích đa thức x − x + x − thừa số ta được: x3 − x + x − = ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) ⇔ ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) = x3 − x + 3x − 2 ⇔ x − ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) x − abc = x − x + 3x − 2   a+b+c =  ⇔ ab + bc + ca =   abc =  57 9 ⇒ a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) =  ÷ − 2.3 = 2 2 2 2 Tính a b + b c + c a : 2 2 a 2b + b 2c + c a = ( ab + bc + ca ) − ( ab ×bc + bc ×ca + ca ×ab ) ⇔ a 2b2 + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) 9 ⇒ a 2b + b 2c + c a = 32 − × × = 2 3 Tính a + b + c : a + b3 + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 37 Website: tailieumontoan.com  57 417  ⇒ a + b3 + c3 = ữ+ ì = 2  Vậy:  a+b+c =    ab + bc + ca =  abc =   57  2  a +b +c =  a 2b + b c + c a =    a + b3 + c = 417  Khi ta có: a − b b5 − c c − a S= + + a−b b−c c−a 2 ⇔ S = ( a + a b + a b + ab3 + b ) + ( b + b3c + b c + bc + c ) + ( c + c3 a + c a + ca + a ) ⇔ S = 2a + 2b + 2c + a 3b + b3a + b3c + c 3b + a 3c + c 3a + a 2b + b 2c + c a ⇔ S = ( a + b + c + 2a 2b + 2b c + 2c a ) + ( a + a 3b + a 3c ) + ( b + b 3a + b 3c ) + ( c + c 3a + c 3b ) − ( a 2b + b c + c a ) ⇔ S = ( a + b + c ) + a ( a + b + c ) + b3 ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) − ( a 2b + b 2c + c a ) ⇔ S = ( a + b + c ) + ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) − ( a b + b c + c a ) 2  57  417 3465 S = ữ + ì =   Bài 78: Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab + bc + ca = Tính H= a− b b− c c− a + + 1+ c 1+ a 1+ b Lời giải ab + bc + ca = nên 1+c= ab + bc + ca + c = = • Vì • Tương tự ta có + a = ( a− b a+ b )( + ) a + c ;1 + b = ( b− c a+ b + )( ( a+ c b+ c )( b+ c ) c− a ( a + c) ( b + c) ( a + b) ( a + c) ( a + b) ( a + c) ( a + c) −( b + c) + ( a + b) −( a + c) + ( b + c) −( a + b) = ( a + c) ( b + c) ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( a + b) • Vậy H= Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ) 38 Website: tailieumontoan.com 1 1 1 − + − + − =0 b+ c a+ c a+ c a+ b a+ b b+ c = Bài 79: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c2 (a-b)+abc 2) Cho x, y thỏa mãn x = y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức A = x +x y+3x +xy- 2y +1 Lời giải 1) a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a − b2 ) − ac (a − b) = (a − b)[2c − 2ac + ab − bc ] = (a − b)[2c(c − a ) + b(a − c)] = (a − b)( a − c )(b − 2c ) 2) Có x = y- y2 + + y+ y2 +   ⇒ x = 2y +3 y - y + y+ y +  y- y +1 + y+ y +1 ÷   ⇒ x + 3x -2y = A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) + = x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) + = Bài 80: Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn Chứng minh x − yz y − zx z − xy = = a b c a − bc b − ca c − ab = = x y z Lời giải x − yz y − zx z − xy = = a b c ⇔ a b c a2 bc a − bc = = ⇔ = = (1) x − yz y − xz z − xy x − x yz + y z y z − xy − xz + x yz x( x + y + z − xyz) Tuongtu : b2 ac b − ac = = (2) y − y xz + x z x z − x y − yz + xy z y ( x + y + z − xyz ) Tuongtu : c2 ab c − ab = = (3) Z − xyz + x y x y − x z − y z + xyz z ( x + y + z − xyz) Từ (1) (2) (3) ta có ĐPCM Bài 81: Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) +y +z Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 39 Website: tailieumontoan.com 2 ⇔ Ta có xy + yz + xz = 1 + x = xy + yz + xz + x = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … 2 Bài 82: Cho a ( b + c ) = b ( c + a ) = 2018 với a, b, c đôi khác khác khơng Tính giá trị biểu thức c ( a + b ) Lời giải 2 Ta có a ( b + c ) = b ( c + a ) ⇔ a b a −b = = =− bc + ab ab + ca c ( b − a ) c Suy ab + bc + ca = ⇔ bc = −a ( b + c ) ⇔ −abc = a ( b + c ) = 2018.(1) ab + bc + ca = ⇔ ab = −c ( a + b ) ⇔ −abc = c ( a + b ) (2) Từ (1) (2) ta c ( a + b ) = 2018 Bài 83: 1 + = Chứng minh a b 2018 a) Cho a, b > thỏa mãn a + b = a − 2018 + b − 2018 b) Cho a nghiệm dương phương trình x + x − = Tính giá trị biểu thức A = a+2 a4 + a + − a2 Lời giải a) Từ giả thiết 1 ab ab ab + = ⇒ 2018 = ⇒ a − 2018 + b − 2018 = a − + b− a b 2018 a+b a +b a +b = a b a+b + = = a + b (Vì a, b > ) a+b a+b a +b b) Ta có a nghiệm dương phương trình x + x − = nên 6a + 3a − = − 6a ⇒a= = − 3a > ⇒ a < < ⇔ a2 − < 3 Do A = = a+2 a +a+2 −a (a − ) 2 = ( a + 2) ( a4 + a + + a2 a +a+2−a 4 )= a + − 3a + + a + a2 = a2 − + a2 = − a2 + a = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ... 73: Cho x số thực âm thỏa mãn x + = 23 Tính giá trị biểu thức: A = x + x x Bài 74: Tính giá trị biểu thức: P = ( x + x − x + x − ) 2018 + 2019 x = 2 −1 +1 + + + − + Tính giá trị biểu thức P =... máy tính, chứng minh biểu thức M = a + b N = a + b có giá trị số chẵn 3 Bài 39: Tính giá trị biểu thức A = x + y − ( x + y ) , biết x = 3 + 2 + y = 17 + 12 + 3 3−2 ; 17 − 12 Bài 40: Cho  x, y số. .. 1 x2 y − = Tính giá trị biểu thức + x y 2x + y y x Bài 30: Cho a, b, c số thực cho a + b = c − ab = 2c − 3c + Tìm giá trị lớn nhất biểu thức P = a + b 3 Bài 31: Tính giá trị biểu thức A = x