CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 5 hệ phương trình

1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI V Dạng 5: Hệ phương trình Hệ phương trình bậc A Bài toán  ax − y = −b Bài 1: Cho hệ phương trình:   x − by = −a Tìm a b biết hệ phương trình cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 2;3) ( m − 1) x + y = Bài 2: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) mx + y = m +  1) Giải hệ phương trình m = 2) Chứng minh với m, hệ phương trình ln có nghiệm ( x ; y ) thỏa mãn 2x + y ≤  x + y = 2m + Bài 3: Tìm tất giá trị tham số m cho hệ phương trình  có nghiệm  x + y = 5m − nguyên  x + y = 3m + Bài 4: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) Tìm m để hệ cho có nghiệm 3x − y = 11 − m ( x; y) thỏa mãn x − y đạt giá trị lớn 3xy = 4( x + y)  Bài 5: Giải hệ phương trình: 5 yz = 6( y + z) 7zx = 8(z + x )  ïìï x +( m - 1) y = ïï ( m +1) x - y = m +1 ỵ Bài 6: Cho hệ phương trình ﾵ í Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x, y) thỏa mãn x + 5y = mx − y = Bài 7: Cho hệ phương trình:  (với m tham số) 2 x + my = a) Giải hệ phương trình m = 10 b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: x + y − 2014 = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 −2015m + 14m − 8056 m2 + Website: tailieumontoan.com  12  x − + y + = 19  Bài 8: Giải hệ phương trình:   x + + y + 14 = 18  x − y +3 Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rời gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỗi người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Bài 10: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B rồi từ B về A hết tất giờ 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Bài 11: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỡi người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường  12  x − + y + = 19  Bài 12: Giải hệ phương trình:   x + + y + 14 = 18  x − y +3 Bài 13: Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi sau, có ba bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số mỗi lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba ô Bài 14: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C rời gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỗi người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường ( m − )x + y = Bài 15: Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số) x + y =  Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com   x+y+ x−y =6  Bài 16: Giải hệ phương trình   − = −3  x + y x−y B Lời giải  ax − y = −b Bài 1: Cho hệ phương trình:   x − by = −a Tìm a b biết hệ phương trình cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 2;3) Lời giải Vì hệ phương trình cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 2;3) Nên ta có:  2a − = −b  2a + b = 6a + 3b = 7a = a = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   − 3b = −a  a − 3b = −2 a − 3b = −2  2a + b = b = Vậy a = ; b = ( m − 1) x + y = Bài 2: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) mx + y = m +  1) Giải hệ phương trình m = 2) Chứng minh với m, hệ phương trình ln có nghiệm ( x ; y ) thỏa mãn 2x + y ≤ Lời giải 1) Với m = , ta có hệ phương trình: ( − 1) x + y = x + y = x = x = ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y =  x + y = y =1 2 x + y = + Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: ( 1;1)  y = − ( m − 1) x ( m − 1) x + y =  y = − ( m − 1) x ⇔ ⇔ 2)   mx + y = m +  mx + − ( m − 1) x = m + mx + − mx + x = m +  y = − ( m − 1)  y = − ( m − 1) x x = m −1 ⇔ ⇔ ⇔  x = m −  y = − m + 2m + x = m −1 ⇒ Hệ phương trình ln có nghiệm với m Ta có: x + y − = ( m − 1) − m + 2m + − = − m + 4m − = − ( m− ) ≤ ⇒ 2x + y ≤ ⇒ ĐPCM Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x + y = 2m + Bài 3: Tìm tất giá trị tham số m cho hệ phương trình  có nghiệm  x + y = 5m − nguyên Lời giải x + y −1  m=   x + y = 2m +  ⇔   x + y = 5m − m = x + y +  ⇒ x + y − 3x + y + = ⇒ 5( x + y − 1) = 2(4 x + y + 1) ⇒ 3x − y + = Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm ngun ( x0 ; y0 ) 3x0 − y0 + = ⇔ y0 − = x0 M3 ⇒ 7M3 (vơ lí) Vậy hệ phương trình khơng có nghiệm nguyên với m  x + y = 3m + Bài 4: Cho hệ phương trình:  ( m tham số) Tìm m để hệ cho có nghiệm 3x − y = 11 − m ( x; y) thỏa mãn x − y đạt giá trị lớn Lời giải  x + y = 3m +  x + y = 6m + 5 x = 5m + 15 x = m + ⇔ ⇔ ⇔  3x − y = 11 − m 3x − y = 11 − m  x + y = 3m +  y = 2m − x − y = ( m + 3) − ( 2m − 1) = −3m + 10m + = 2 Dấu “ = “ xảy m = 2 Vậy Max ( x − y ) = 49  49  −  m− ÷ ≤ 3  49 ⇔m= 3 3xy = 4( x + y)  Bài 5: Giải hệ phương trình: 5 yz = 6( y + z) 7zx = 8(z + x )  Lời giải Nhận xét: x = y = z = nghiệm hệ Nếu x ≠ y z ≠ 0, chia vế từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 3 1 3 1 4 = x + y = +  4 x y 5 1  3xy = 4( x + y)  = y + z 5 1  5 yz = 6( y + z) ⇔  = + ⇔  7 = + 7 zx = 8(z + x ) 6 y z  8 z x 7 1  59 1 = +   = + + 8 z x  48 x y z 19 48   48 = x x = 19   48 17  ⇔  = ⇔ y = 17   48 y 48   23 z = 23  =  48 z ìï x +( m - 1) y = ï Bài 6: Cho hệ phương trình ﾵ í ïï ( m +1) x - y = m +1 ỵ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x, y) thỏa mãn x + 5y = Lời giải ìï x +( m - 1) y = ïì y = ( m +1) x - ( m +1) ï Û í íï ïï ( m +1) x - y = m +1 ïï x +( m - 1) é( m +1) x - ( m +1) ù= m +1 î ë û ïî ïì y = ( m +1) x - ( m +1) Û ïí ïï m x = m +1 (*) ỵ Để hệ phương trình có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Þ ỉm +1 m +1ư ; ữ ữ ỗ ữ m ứ ố m Vi m khác hpt có nghiệm (x, y) = ỗ ỗ x + 5y = m2 + + 5(m + 1) = ﾵ Þ m = –2, m = –3 mx − y = Bài 7: Cho hệ phương trình:  (với m tham số) 2 x + my = a) Giải hệ phương trình m = 10 b) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: x + y − 2014 = −2015m + 14m − 8056 m2 + Lời giải a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình m = 10 10 x − y = 5 x − y = ⇔ 2 x + 10 y = 2 x + 10 y = Thay m = 10 ta hệ:  50 x-10y=10 52 x=15 ⇔ ⇔ 2 x + 10 y = 2 x + 10 y = Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 m¹ Website: tailieumontoan.com 15 15   x = x =   52 52 ⇔ ⇔  y = − 2x  y = 23   10 52 15  x=   52 Kết luận: với m = 10 hệ có nghiệm nhất:   y = 23  52  b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm x + y − 2014 = ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: −2015m + 14m − 8056 m2 + Dùng phương pháp thế, ta có: mx −  mx − y=   mx − y = y =  ⇔ ⇔  x + my =  2 x + my =  x + m mx − =  2 m + 10  mx −  x = y =  m2 + ⇔ ⇔ ,∀m ∈ R m − ( m + ) x=2m+10 y =   m2 + 2m + 10   x = m + ,∀m ∈ R Nên hệ ln có nghiệm nhất:  m − y =  m2 + −2015m + 14m − 8056 Thay vào hệ thức: x + y − 2014 = m2 + Ta được: −2014m + 7m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = m2 + m2 + ⇔ −2014m + m − 8050 = −2015m + 14m − 8056 m =1 ⇔ m − 7m + = ⇔ ( m − 1) ( m − ) = ⇔ m = Kết ḷn: để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: x + y − 2014 = m = −2015m + 14m − 8056 m = m2 +   12  x − + y + = 19  Bài 8: Giải hệ phương trình:   x + + y + 14 = 18  x − y +3 Lời giải Điều kiện: x ≠ 1; y ≠ −3 , biến đổi phương trình thứ hai thành: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 + = 13 x −1 y + Website: tailieumontoan.com 1 12 X + 7Y = 19 X =1 ;Y = ⇔ Đặt X = ta có hệ phương trình  x −1 y+3  X + 5Y = 13 Y =   x − =  x=2 ⇔ ⇒ hệ có nghiệm ( 2; −2 ) Vậy  y = −   =1  y + Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rời gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỗi người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải x , y , z Gọi vận tốc An, Bình, Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường.Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vậy vận tốc An 48km / h vận tốc Bình   S + − 33 − S =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h Bài 10: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B rồi từ B về A hết tất giờ 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Lời giải C s2 D s3 s1 A B AB=30 km Gọi AC = s1 ; CD = s2 ; BD = s3 s1 > 0; s2 > 0; s3 > Ta có: s1 + s2 + s3 = 30 ( km ) Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt v1 ; v2 ; v3 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 53 h 12 s1 s2 s3 s1 s2 s3 53 Theo đề bài, ta có phương trinh: + + + + + = v1 v2 v3 v3 v2 v1 12 Thời gian về là: 4h 25′ = 1 1  1  2s 53 ⇔ s1  + ÷+ s3  + ÷+ =  v1 v3   v1 v3  v2 12 53 1   1  2s ⇔ s1  + ÷+ s3  + ÷+ =  10 20   20 10  15 12 53  1  2s ⇔ ( s1 + s3 )  + ÷+ =  10 20  15 12 2s 53 ⇔ ( 30 − s2 ) = 20 15 12 ⇔ s2 = ( km ) Vậy quãng đường ngang CD ( km ) Bài 11: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C rời gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỗi người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc An , Bình , Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vậy vận tốc An 48km / h vận tốc Bình  S + 33 − S  − =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h  12  x − + y + = 19  Bài 12: Giải hệ phương trình:   x + + y + 14 = 18  x − y +3 Lời giải Điều kiện: x ≠ 1; y ≠ −3 , biến đổi phương trình thứ hai thành: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 + = 13 x −1 y + Website: tailieumontoan.com 1 12 X + 7Y = 19 X =1 ;Y = ⇔ Đặt X = ta có hệ phương trình  x −1 y +3  X + 5Y = 13 Y =   x − =  x=2 ⇔ ⇒ hệ có nghiệm ( 2; −2 ) Vậy  y = −   =1  y + Bài 13: Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi sau, có ba bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số mỗi lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba ô Lời giải Tổng số ô bị mờ số 100 − ( 40 + + ) = 44 Tổng số điểm 100 lần bắn 8,35.100 = 835 Tổng số điểm vị trí ô không bị số 9.40 + 6.9 + 5.3 = 449 Suy tổng số điểm bắn vị trí ô bị 835 − 449 = 386 , số chẵn Suy ô điểm số lần bắn số chẵn, vậy có khả 10, 12, 14 Gọi x, y lần lượt số lần bắn 10 điểm điểm Điều kiện: x, y ∈ N ; 20 ≤ x < 30;10 ≤ x < 20 Trường hợp 1: Ơ điểm nhận giá trị 10, theo đề ta có hệ phương trình x + y = 34  x + y = 34  x = 22  ⇔ ⇔ thỏa điều kiện   y = 12  449 + 10 x + y + 70 = 835 10 x + y = 316 Trường hợp 2: Ô điểm nhận giá trị 12, theo đề ta có hệ phương trình  x + y = 32  x + y = 32  x = 23 ⇔ ⇔ loại   y=9  449 + 10 x + y + 84 = 835 10 x + y = 316 Trường hợp 3: Ô điểm nhận giá trị 14, x = 20 y = 10 suy Tổng số điểm bắn là: 20.10 + 9.40 + 8.10 + 7.14 + 6.9 + 5.7 = 827 không phù hợp Vậy chữ số hàng đơn vị ô 10 điểm, điểm, điểm lần lượt 2, 2, Bài 14: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường ở địa điểm C rời gặp bình ở địa điểm D Tính vận tốc mỗi người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc An , Bình , Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vậy vận tốc An 48km / h vận tốc Bình   S + − 33 − S =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h ( m − )x + y = Bài 15: Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số)  x + 2y = Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Lời giải Từ phương trình thứ hai ta có: x = − y vào phương trình thứ được: ( m − )( − y ) + y = ⇔ ( 2m − )y = 2m − (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ⇔ ( ) có nghiệm y số nguyên Với m ∈ ¢ ⇒ 2m − ≠ ⇒ ( ) có nghiệm y = 2m − = 1− 2m − 2m −  2m − = m = Vậy có giá trị m thoả mãn 1; y ∈¢ ⇔  ⇔ 2m − = − m =     x+y+ x−y =6  Bài 16: Giải hệ phương trình   − = −3  x + y x−y Lời giải Điều kiện x ≥ 0; x ≠ ±y Đặt a = x+y ;b = x−y   3a + 5b = a =  x + y = x = ⇔ ⇔ 3⇒  Hệ trở thành  (thỏa điều kiện) 3a − 4b = −3 b =  x − y =  y =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (4;1) Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 2.1 Hệ đối xứng A Bài toán x + y = Bài 1: Giải hệ phương trình  3 2  x + y = x + y − 12 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 48 Website: tailieumontoan.com Ta thấy: u − v = x Kết hợp với (1) suy ra: v = x = y − (3) Thay (3) vào (2) ta có 5− x thay vào (2) ta 5y − = − y y≤3  y≤3  ⇔  ⇔  2  y − 11y + 11 = 5 y − = ( − y ) y≤3     y = 11 − 77 ⇔  ⇔ y = 11 − 77 ⇒ x = 10 − 77 ( thỏa (*)) 2   11 + 77  y =    11 − 77  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:  10 − 77; ÷   2  y 2x − + = 5y − 6x − Bài 7: Giải hệ phương trình   2y 5x − 17x + = − 15x ( ) Lời giải * ĐKXĐ: x ≥ Biến đổi phương trình thứ hai ta được: 2y4 ( 5x − 2) (x − 3) = 3(2 − 5x) suy x = (loại) hoặc 2xy4 + = 6y4 2 y 2x − 1+ 2x − = 5y − Ta đưa về hệ phương trình  4 2xy + = 6y Nhận thấy y = không nghiệm hệ phương trình nên chia vế phương trình thứ cho y2 phương trình thứ hai cho y4 có:  3  2x − + 2x − = 5− y y   2x − 1+ =  y4 Đặt a = 2x − ; b = với a ≥ 0;b ≥ y2 a+ ab + b = Ta có hệ phương trình  2 a + b = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 49 Ta a = Website: tailieumontoan.com 5− b thay vào phương trình (2) ta có: 1+ b  5− b  2  1+ b ÷ + b = ⇔ b + 2b − 3b − 20b + 20 = ⇔ ( b − 1) ( b − 2) b + 5b + 10 =   ( a = Suy  hoặc b = a = +Với  b = ) a =  b =  x =  y = ±  a = +) Với  b = x =   y = ±        Kết luận (x;y) ∈  ;± 3÷; 1;± ÷ 2÷      ( x + 1)2 + y = xy + Bài 8: Giải hệ phương trình:   x − 24 x + 35 = y − 11 + y Lời giải ( ) ( x + 1) + y = xy + (1)   x − 24 x + 35 = y − 11 + y (2) Phương trình (1) Û ( x +1) + y - xy - = Û x + x - - xy + y = ( ) Û ( x - 1) ( x + 3) - y ( x - 1) = Û ( x - 1) ( x + - y ) = éx = Û ê ê ëy = x + +) Thay x =1 vào phương trình (2) ta được: 4.1 - 24.1 + 35 = ( ) ( y - 11 + y Û y - 11 + y = Û Û 2 y - 11 y = 10 - y Û y - 11 = ( 10 - y ) Û y - 29 y +100 = y - 11 + y ) =9 éy = 25 Û ê ê ëy = +) Thay y = x + vào phương trình (2) ta x - 24 x + 35 = ( 3( x + 3) - 11 + x + ) Û x - 24 x + 35 = x - + x + Û x - 24 x + 35 - x - - x + = ( ) ( ) Û x - 28 x + 24 + 3x + - x - + x + - x + = Û ( x - 1) ( x - 6) + ( x - 1) ( x - 6) 3x + + 3x - Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 + ( x - 1) ( x - 6) x +9 +5 x +3 =0 50 Website: tailieumontoan.com ỉ ÷ ÷ Û ( x - 1) ( x - 6) ỗ + ỗ4 + ữ= ữ ç è 3x + + 3x - x + + x + ø æ ö ÷ ÷ 4+ + > 0, " x Vỡ ỗ ỗ ữ ỗ ữ è 3x + + x - x + + x + ø éx = Þ y = Þ ( x - 1) ( x - 6) = Û ê ê ëx = Þ y = Vậy nghiệm ( x; y ) hệ là: ( 1; 4) , ( 1; 25) , ( 6;9) Bài 9: Tìm tất  x2 − x = y  y2 + y = z ( x, y, z ) thỏa mãn    x + y + z + + x −1 = Lời giải x − x = y (1) y + y = z (2) ( I)      x + y + z + + x − = 0(3) Thay (1) (2) vào (3) ta có: x + x2 − x + y + y + + x −1 = ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) + ( x − 1) + x − = 2 Vế trái ≥ ; Vế phải = nên dấu xảy khi:  x −1 =  x =1 ⇔   y +1 =  y = −1 Suy z = −1 Vậy ( x, y , z ) = (1, −1, −1) x + x + = y − 3y + 4y Bài 10: Giải hệ phương trình:  2 x + = y + Lời giải Điều kiện: x ≥ −2 Từ phương trình thứ hai, ta suy y ≥ −2 Phương trình thứ hệ viết lại thành: y + = y + hay ( ) y + − = Giải phương trình này, ta y = Một cách tương ứng, ta có x = −1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y ) ( −1;0) Một số hệ phương trình khác A Bài toán Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 51 Website: tailieumontoan.com  2 x + y =  Bài 1: Giải hệ phương trình:  x − =  y x + y + z = Bài 2: Giải hệ phương trình  2xy − z =  x( x + y ) + y − y + = Bài 3: Giải hệ phương trình:  2  y ( x + y ) − x − y = x + y + z =  Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  xy + yz + zx = 11  xyz =   1 1  x + x + 1 + ÷= y y  Bài 5: Giải hệ phương trình sau :   x3 + x + x + =  y2 y y3  ( x − 1) + ( y − 3) = Bài 6: Giải hệ phương trình:  ( x − 1) ( y − 3) + = x + y  x2  +x=2  y Bài 7: Giải hệ phương trình  y + y =  x  x y + = 10 y Bài 8: Giải hệ phương trình :   xy + x + = y 8x y + 27 = 18 y  Bài 9: Giải hệ phương trình:  2  4x y + 6x = y  x + y =   Bài 10: Giải hệ phương trình:  y + = z   z + x =  17x + 2y = 2011 xy Bài 11: Giải hệ phương trình:   x − 2y = 3xy Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 52 Website: tailieumontoan.com  ( x − y)  2x +1 + y +1 = Bài 12: Giải hệ phương trình  ( x + y ) ( y + 1) = − x  1  x + y + x + y =  Bài 13: Giải hệ phương trình   xy + + x + y =  xy y x  1  x2 +  Bài 14: giải hệ phương trình  1 +  x3 = + x2 y2 y 3 +3= x y y3  1 1  x + x + 1 + ÷ = y y  Bài 15: Giải hệ phương trình:   x3 + x + x + =  y y3 y2   x + y + xy + = y Bài 16: Giải hệ phương trình sau:  ( x + 1)( x + y − 2) = y    ( x + y )  + ÷ =   xy  Bài 17: Giải hệ phương trình:  ( x + y ) 1 +  = 49  2 ÷   x y   ìï x2 + y2 + 4y = ï Bài 18: Giải hệ phương trình í ïï 3x + xy + y = î ìï x2 + y2 + 4y = ï Bài 19: Giải hệ phương trình í ïï 3x + xy + y = ỵ B Lời giải  2 x + y =  Bài 1: Giải hệ phương trình:  x − =  y Lời giải ĐK: y ≠ Đặt = t ; ta có hệ phương trình: y Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( 1) (2) 53 Website: tailieumontoan.com  x + 3t = 2 x + 3t =  −7t = x = ⇔ ⇔ ⇔   x − 2t = 2 x − 4t = 10  x − 2t =  t = −1 Với t = −1 ⇒ = −1 ⇒ y = − y Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 1; − 1) x + y + z = Bài 2: Giải hệ phương trình  2xy − z = Lời giải S = x + y Đặt  Khi từ hệ phương trình cho ta có: P = xy S = − z   P = ( z + 4)  Theo cách đặt ta có x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = ⇔ X − (2 − z)X + (z + 4) = (1) 2 2 ∆ = [ −(2 − z) ] − × (z + 4) = −(z + 2) Phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ (z + 2)2 ≤ ⇔ z = –2 Thay z = –2 vào phương trình (1) ta được: X2 – 4X + = (2) Giải phương trình (2) nghiệm X1 = X2 = ⇒ x = y = Vậy hệ cho có nghiệm: x = 2, y = 2, z = –2  x( x + y ) + y − y + = Bài 3: Giải hệ phương trình:  2  y ( x + y ) − x − y = Lời giải Dễ thấy y ≠ , ta có:  x( x + y ) + y − y + =  x + + y( y + x) = y ⇔  2 2  y ( x + y ) − 2( x + 1) = y  y ( x + y ) − x − y =  x2 + +x+ y =4  y  ⇔ x + ( x + y ) − =7  y x2 + , v = x + y ta có hệ: Đặt u = y  u+v =  u = 4−v  v = 3, u = ⇔ ⇔  v − 2u = v + 2v − 15 =  v = −5, u =  x2 + = y  x2 + x − =  x = 1, y = ⇔ ⇔ +) Với v = 3, u = ta có hệ:   x = −2, y = x+ y =3  y = 3− x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 54 Website: tailieumontoan.com x +1 = y x +1 = y  x + x + 46 = ⇔ ⇔ +) Với v = −5, u = ta có hệ:  VN  x + y = −5  y = −5 − x  y = −5 − x KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1; 2) (−2;5) x + y + z =  Bài 4: Giải hệ phương trình sau:  xy + yz + zx = 11  xyz =  2 Lời giải x + y + z =  ⇔  xy + yz + zx = 11  xyz =   x + y = − z   xy + yz + zx = 11 => + z (6 − z ) = 11 z   xy = (vì : z ≠ 0) z  Giải ta có hệ phương trình có nghiệm hốn vị (1;2;3)  1 1  x + x + 1 + ÷ = y y  Bài 5: Giải phương trình; hệ phương trình sau :   x3 + x + x + =  y y3 y2  Lời giải Kết luận : x = 0; x = −5 nghiệm phương trình (b ≠ 0) hệ trở thành : y 2 a + b + a + b = a + b + a + b = ⇔  3 2 a + b + a b + ab = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b )  − ( a + b )  = ( a + b ) − ( a + b ) + = ⇔ ⇔ 2 2 a + b + a + b = a + b + a + b = a + b = a + b = ⇔ ⇔  2 a + b = ( a + b ) − 2ab = Đặt a = x; b = a + b = a + b = a =  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ab = a ( − a ) = b =  y = Kết luận : ( x; y ) = ( 1;1) nghiệm hệ ( x − 1) + ( y − 3) = Bài 6: Giải hệ phương trình:  ( x − 1) ( y − 3) + = x + y Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 55 Website: tailieumontoan.com Vậy hệ cho có hai nghiệm Hệ phương trình cho tương đương với ( x − 1) + ( y − 3) =  ( x − 1)( y − 3) = ( x − 1) + ( y − 3) + Đặt a = x − 1; b = y − ⋅ Ta hệ phương trình (0;3), (1;2) ( a + b ) − 2ab = a + b = ⇔   ab = a + b + ab = a + b + Đặt S = a + b; P = ab, điều kiện S ≥ P Hệ trở thành S − P = S = −1 (thỏa mãn) hoặc S = (loại) ⇔   P = P = P = S + a = −1   S = −1  a + b = −1 b = ⇔ ⇔   a = P = ab =  b = −1 a = −1  x − = −1  x = ⇔ ⇔ +)  b = y − = y = a = x − = x = ⇔ ⇔ +)  b = −1  y − = −1  y =  x2  +x=2  y Bài 7: Giải hệ phương trình  y + y =  x Lời giải Nhân vế hai PT được: (x+y)2 = ⇔ x+y = ± (1) x Chia vế hai PT được:  ÷ = ⇔ x = ±2y y (2) Từ PT giải (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) (1/3;2/3)  x y + = 10 y Bài 8: Giải hệ phương trình :   xy + x + = y Lời giải Ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y ≠    x  x + ÷ − = 10  x + y = 10   y y (I ) ⇔  ⇔  x + x + = x + x + =   y y y y  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 56 Website: tailieumontoan.com đặt  S = x +  y  S − P = 10 P = − S  S = −6  S =  ⇔ ⇔ ∨ thay vào (II) ta   x P = 13 S + P = S + S − 24 =  P =   P =  y  t = 1 S = Với  => x nghiệm phương trình t − 4t + = ⇔ ( t − 1) ( t − 3) = ⇔  y P = t = x = x =   * ⇔  y =  y =  x = x =  * ⇔  y =1 y =1   S = −6 suy x nghiệm phương trình  y  P = 13 t + 6t + 13 = ⇔ ( t + 3) + = Vo nghiem  1  ÷; ( 3;1)     ( x; y ) ∈ 1; 8x y + 27 = 18 y  Bài 9: Giải hệ phương trình:  2  4x y + 6x = y Lời giải  27 8 x + y = 18  y =0 không nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y3 PT(2) cho y2 Ta có hệ  4 x + x =  y y2 2 x = a  Đặt  ta có hệ y =b  3  a + b = a + b = 18 ⇔    ab = a b + ab =  −  3+  ;   ; ; Hệ có nghiệm ( x, y ) ∈  +   −   Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 57 Website: tailieumontoan.com  x + y =   Bài 10: Giải hệ phương trình:  y + = z   z + x =  Lời giải   x + y = 3(1)    y + = 3(2) z    z + x = 3(3)  Từ (3) ⇒ z = 3x-1 thay vào (2) ⇒ xy+3 = 8x+y (4)Từ (1) ⇒ xy + = y ⇔ 3xy+3 = 9y (5) x Từ (4) (5) ⇒ 8x+y = 9y ⇒ x = y Chứng minh tương tự : y = z Từ ⇒ x = y = z Thay vào (1) ⇒ x + 3± = ⇒ x − 3x+1 = ⇒ x = x ⇒ hệ có nghiệm x = y = z = ±  17x + 2y = 2011 xy Bài 11: Giải hệ phương trình:    x − 2y = 3xy Lời giải 17  1007  x=  y + x = 2011  y =     490 ⇔ ⇔ Nếu xy > (1) ⇔  (phù hợp) 1 − =  = 490 y =    1007  x y x 17  −1004  y + x = −2011  y =   ⇔ ⇒ xy > (loại) Nếu xy < (1) ⇔  1031  − =3  =−  18  x y x Nếu xy = (1) ⇔ x = y = (nhận)   ; KL: Hệ có đúng nghiệm (0;0)  ÷  490 1007  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 58 Website: tailieumontoan.com  ( x − y)  2x +1 + y +1 = Bài 12: Giải hệ phương trình  ( x + y ) ( y + 1) = − x  ( 1) (2) Lời giải ĐKXĐ: x, y ≥ − Từ ( x + y ) ( y + 1) = − x ⇔ ( x + y + ) ( x + y − 1) = Vì x, y ≥ − ⇒ x + y − > , đó: x + y − = ⇔ y = − x Thay vào phương trình ( 1) ta được: Đặt 2x +1 + − 2x = x + + − x = t , ( 2) ⇔ t = − 4x2 − x +   3 ( 2) ;  − ≤ x ≤ ÷  t − 8t ⇔ t ( t − ) ( t + 2t − ) = t = ⇒ (Vì t > ) t = − 1  x = − ; y = TH1: t = ⇒ ( x + 1) ( − x ) = ⇒  (thỏa mãn điều kiện xác định) x = ; y = −  2 TH2: t = − ⇒ ( x + 1) ( − x ) = − < (vô lí)      Vậy phương trình có nghiệm: ( x; y ) ∈  − ; ÷,  ; − ÷  2   2   1  x + y + x + y =  Bài 13: Giải hệ phương trình   xy + + x + y =  xy y x  Lời giải Điều kiện: x ≠ 0; y ≠  1 1  1  x+ + y+ = x + y + + = x+ + y+ =  x y x y  x y   ⇔ Hệ cho ⇔  x  y +  +  + y  =  x +   y +  = ÷  ÷  ÷  ÷   x  y y x y     1 u + v = Đặt u = x + , v = y + lúc (1) ⇔  x y u ×v = Vậy u, v nghiệm phương trình x − x + = , Phương trình có hai nghiệm X = 2, X = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 59 Website: tailieumontoan.com x = 1  x+ =2    x − x + = x   y = ⇔ ⇔ Trường hợp 1: u = 2, v = cho ta hệ:    2 y − y + = y + =  y = y     1 Hay (1; 2) ì1; ữ l cỏc nghim ca h ó cho  2   x = x + = 2 x − x + =  x    ⇔ ⇔ x = Trường hợp 2: u = , v = ta có hệ  2 y + −  y − y +1 =  y   y =  1  hay (2;1),  ;1÷ nghiệm hệ cho 2  1 Kết luận: Hệ cho có nghiệm (x ; y) l (1; 2) ì1; ữ ; (2;1), ;1ữ 2   1  x2 +  Bài 14: giải hệ phương trình  1 +  x3 = + x2 y2 y 3 +3= x y y3 Lời giải  2 +  x y = + x y ( 1)    + + = x3 y ( )  x3 y + Điểu kiện xác định: x ≠ y ≠ 3 1 1 3 1 1 + Ta có + + = x y ⇔  ÷ +  ÷ + ( − xy ) = .( − xy ) x y x y  x  y Sử dụng đẳng thức a + b3 + c3 − 3abc = a+b+c 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ta thu (2) ⇔  1  x = y = − xy  1  x + y − xy =  + Trường hợp 1: 1  x= y  x = −1 = = − xy ⇔  ⇔  x y 1 = − x y  y = −1 Thử vào (1) thấy không thỏa mãn Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 60 Website: tailieumontoan.com + Trường hợp 2: 1 1 + − xy = ⇔ + = xy ⇔ x + y = ( xy ) x y x y 2 2 4 Có (1) ⇔ x + y = 3x y + x y ⇔ ( x + y) − xy = 3x y + x y hay có x y − xy = x y + x y ⇔ xy ( xy + ) = ⇔ xy = − ( có điều kiện xy ≠ )   x + y = ( xy ) x + y =   ⇔ Vậy  , dẫn đến x,y nghiệm phương trình  2 xy = −   xy = −    + 58 − 58  ; t − t − = hay phải có ( x; y )  ÷ hoặc 9    − 58 + 58  ;  ÷ 9    + 58 − 58  ; ÷, 9   + Kết luận: Hệ cho có đúng hai nghiệm ( x; y )   − 58 + 58  ;  ÷ 9    1 1  x + x + 1 + ÷ = y y  Bài 15: Giải hệ phương trình:   x3 + x + x + =  y y3 y2  Lời giải 1  x + y + x + y =  Đk: y ≠ Hệ tương đương với  x + + x  x +  =  ÷  y3 y  y   u = x + y  Đặt  ta hệ v = x ,  y  2 u = u + u − 2v = u − 4u + = ⇔ ⇔  v = u − 2uv = u + u − = 2v  x+ =2  y x = u =  ⇔ Với  ta  (thoả mãn điều kiện)  y = v = 1,  x =1  y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (1;1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 61 Website: tailieumontoan.com  x + y + xy + = y Bài 16: Giải hệ phương trình sau:  ( x + 1)( x + y − 2) = y Lời giải 2  x + + y ( x + y ) = y  ( x + 1)( x + y − 2) = y  x + = + Với y = Hpt trở thành:  (vô nghiệm) ( x + 1)( x − 2) =  x2 +  y + ( x + y) =  + Với y ≠ Hệ trở thành  (1) x + ( )( x + y − 2) =  y a + b = x2 + , b = x + y thay vào hpt(1) ta  + Đặt a = y  a(b − 2) = + Giải được: a = 1, b =  x2 + =1  + Với a = 1, b = ⇒  y x + y =  Giải nghiệm hệ: ( x; y ) = (1; 2) (x;y)=(-2;5)    ( x + y )  + ÷ =   xy  Bài 17: Giải hệ phương trình:  ( x + y ) 1 +  = 49  2 ÷   x y   Lời giải    ( x + y )  + ÷ =   xy  dk : x, y ≠ a) Hệ phương trình:    ( x + y ) + = 49  2 ÷   x y   1  1  x+ + y+ =5 x + y + + =   x y x y   ⇔ ⇔ 2  x + y + + = 49  x +  +  y +  = 53 ÷ ÷    x2 y x  y  Đặt x + 1 = a; y + = b ta được: x y a + b = a = − b b = 7; a = −2 ⇔ ⇔  2 b = −2; a =  a + b = 53  2b − 10b − 28 = Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 62 Website: tailieumontoan.com •  x + = −2  x = −1   a = −2 x   ⇔ ⇔  7±3 b = y + = y =  y    7±3  x + x = a = x = ⇔ ⇔  b = −2  y + = −2  y = −1  y  ìï x2 + y2 + 4y = ï Bài 18: Giải hệ phương trình í ïï 3x + xy + y = ỵ Lời giải 2 ïì x + y + 4y = ïì x + y2 + 4y = (1) Û ïí Ta có ïí Cộng vế với vế hai phương trình ïï 3x + xy + y = ïï 6x + 2xy + 2y = (2) î î éx + y = (1),(2) ta ( x + y) + 6( x + y) - = Û ê êx + y = - ê ë éy = +Trường hợp 1: x + y = Û x = 1- y , vào (1) được: 2y + 2y Û ê êy = - ê ë y = Þ x = 1;y = - Þ x = Thử lại thấy ( 1;0) , ( 2;- 1) nghiệm hệ + Trường hợp 2: x + y = - Û x = - - y , vào (1) được: 2y2 + 18y + 48 = Û y2 + 9y + 24 = 0( Phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt: ( 1;0) ,( 2;- 1) ìï x2 + y2 + 4y = ï Bài 19: Giải hệ phương trình í ïï 3x + xy + y = ïỵ Lời giải ìï x2 + y2 + 4y = ìï x2 + y2 + 4y = (1) Û ïí Ta có ïí Cộng vế với vế hai phương trình ï 3x + xy + y = ï 6x + 2xy + 2y = (2) ỵï ỵï éx + y = (1),(2) ta ( x + y) + 6( x + y) - = Û ê êx + y = - ê ë éy = ê x + y = Û x = y (1 ) y + y Û +Trường hợp 1: , vào được: êy = - ê ë y = Þ x = 1;y = - Þ x = Thử lại thấy ( 1;0) ,( 2;- 1) nghiệm hệ + Trường hợp 2: x + y = - Û x = - - y , vào (1) được: 2y2 + 18y + 48 = Û y2 + 9y + 24 = 0( Phương trình vơ nghiệm) Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt: ( 1;0) ,( 2;- 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ... + 35 - x - - x + = ( ) ( ) Û x - 28 x + 24 + 3x + - x - + x + - x + = Û ( x - 1) ( x - 6) +  ÷ ÷,  ( x - 1) ( x - 6) 3x + + 3x - + ( x - 1) ( x - 6) x +9 +5 x +3 =0 ỉ ÷ ÷ Û ( x - 1) ( x - 6)... kiện xác định: - £ x £ (*) Phương trình cho Û ( 3x +1 - 4) - ( - x - 1) + 3x - 14x - = Bài 25: a Giải phương trình: 3x - 15 5- x +( x - 5) ( 3x +1) = 3x +1 + - x +1 é ù Û ( x - 5) ê + +( 3x +1)... x)  Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x + 1) (y + 1) (z + 1) + = ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = ⇔ x =