CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số học

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số họcCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 3 Số học

90 Website:tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI III Dạng 3: Số học Số nguyên tố, hợp số, số phương, lập phương A Bài toán Bài 1: Tìm số nguyên k để k  8k  23k  26k  10 số phương Bài 2: Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: ab b  c số hữu tỉ a2 + b2 + c2 số nguyên tố Bài 3: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn 2 hai số phân biệt a , b cho a  b số nguyên tố Bài 4: Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương  a; b  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: Bài 5: Tìm tất cặp số 1) a, b khác ước số chung lớn a, b 2) Số N  ab  ab  1  2ab  1 có 16 ước số nguyên dương Bài 6: Chứng minh không tồn số nguyên dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn m2019  n2019  p2018 Bài 7: Tìm số nguyên dương n cho n  n  số phương Bài 8: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thoả mãn điều kiện 20abc  30(ab  bc  ca )  21abc Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Bài 11: Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh hợp số Bài 12: Tìm x nguyên dương để x  14 x  x  số phương Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n ngun dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Bài 14: Tìm nN*sao cho: n4 +n3+1 số phương Bài 15: Tìm số tự nhiên n cho A  n  2n  số phương x  y 2019  x; y; z  cho y  z 2019 Bài 16: Bài 1: Tìm tất số nguyên dương 2 số hữu tỉ x  y  z số nguyên tố A Bài 17: Cho số phương gồm chữ số thỏa mãn ta cộng thêm vào chữ số A thêm đơn vị ta số phương B có chữ số.Tìm hai số A; B Bài 18: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn p  4p  số phương n Bài 19: Tìm tất số nguyên dương n cho  11 tích k k �, k 2 số tự nhiên liên tiếp n Bài 20: Tìm tất số tự nhiên n cho C =2019 +2020 số phương * Bài 21: Cho n �N Chứng minh 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 Bài 22: Tìm số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2 i) p q  p chia hết cho p  q 2 ii) pq  q chia hết cho q  p Bài 23: Chứng minh số có dạng A  n  n  2n  2n khơng phải số phương, n �N , n  Bài 24: n5  29n 30 a) Chứng minh n số nguyên số nguyên  x; y  b) Tìm tất cặp số tự nhiên  x2  y  4x  y   cho   x  y  3x  y  số phương Bài 25: Cho A = n  n  2n  2n (với n�N, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương Bài 26: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com 3 Bài 27: Với số nguyên dương n ≤ 2008, đặt S n = an +bn , với a = ; b 3 = a) Chứng minh với n ≥ ta có Sn + = (a + b)( an + +bn + 1) – ab(an +bn) b) Chứng minh với n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên    n        c) Chứng minh Sn – =   1       n    Tìm tất số n để Sn – số phương Bài 28: Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Bài 29 : Cho x   phương 2 Chứng minh rằng: P  x  3x  3x  số Bài 30: a) Chứng minh số nguyên tố p lớn viết dạng p = 6m �1 , với m số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p cho p  số nguyên tố Bài 31: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số phương n bội số 24 Bài 32: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương 2015 2015 2015 2015 Bài 33: Cho A  a  b  c  d , với a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn ab=cd Chứng minh A hợp số Bài 34: Cho số nguyên dương n số A = 888 14 43 n 444 14 43 2n (A gồm 2n chữ số 4); B = (B gồm n chữ số 8) Chứng minh A + 2B + số phương 2 Bài 35: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a  a  3b  b Chứng minh 2a  2b  số phương Bài 36: Tìm tất số tự nhiên n cho n2  17 số phương Bài 37: Tìm số ngun tố a,b,c số nguyên dương k thỏa mãn phương 2 2 trình a + b + 16c = 9k + Bài 38: Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Bài 39: Tìm tất ba số nguyên dương nguyên tố thỏa mãn:  p; q; n  , p , q số p  p    q  q  3  n  n   Bài 40: Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Trong tập gồm k phần tử A tồn 2 hai số phân biệt a , b cho a  b số nguyên tố Bài 41: Tìm số số nguyên n cho B  n  n  13 số phương a Bài 42: Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn  b2  2  a  b  2 + (1  ab)  4ab  ab số hữu tỉ Bài 43: Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Chứng minh 1   Bài 44: a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh A  a  b  c số hữu tỉ x, y , z đôi phân biệt Chứng minh rằng: b) Cho ba số hữu tỉ B 1   2 ( x  y ) ( y  z ) ( z  x)2 số hữu tỉ Bài 45: Tìm số thực x để số x  3; x  3; x  x số nguyên Bài 46: Tìm x nguyên dương để x  14 x  x  số phương Bài 47: Cho a, b, c Q; a, b, c đôi khác Chứng minh    a  b  b  c  c  a bình phương số 2012  n2002  Bài 48: Tìm số tự nhiên n để: A  n số nguyên tố Bài 49: Tìm tất số nguyên x cho giá trị biểu thức x  x  số phương Bài 50: Cho A = n  n  2n  2n (với n �N , n > 1) Chứng minh A số phương Bài 51: Tìm tất số tự nhiên n cho n  17 số phương Bài 52: Chứng minh rằng: 70  4901  70  4901 số nguyên 3 Bài 53: Cho p số nguyên tố thỏa mãn p  a  b với a, b hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh : Nếu lấy p chia cho loại bỏ phần dư nhận số bình phương số nguyên lẻ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com B Lời giải Bài 1: Tìm số nguyên k để k  8k  23k  26k  10 số phương Lời giải Đặt M  k  8k  23k  26k  10 M   k  2k  1  8k  k  2k  1  9k  18k  2 2 M   k  1  8k  k  1   k  1   k  1 � �k  3  1� � 2 M số phương (k  1)  (k  3)  số phương TH 1: (k  1)  � k  TH 2: (k  3)  số phương  k  3 Đặt   m2  m �� � m  (k  3)  � ( m  k  3)(m  k  3)  Vì m, k ��� m  k  ��, m  k  �� �m  k   �m  k   1 � � m  k   �m  k   1 Nên � �k 3 Vậy k = k = k  8k  23k  26k  10 số phương Bài 2: Tìm tất số ngun dương a, b, c thỏa mãn: ab b  c số hữu tỉ a2 + b2 + c2 số nguyên tố Giải: a- b x = y (x, y �Z, xy  0) � ay – bx = (by – cx) (*) b c Đặt Vì a, b, c, x, y Mà �Z � ay – bx �Z � (by – cx) �Z � ay - bx = � ay = bx �� �� � � by - cx = � cx = by �I nên từ (*) � � � � acxy = b2xy � ac = b2 (vì xy ≠ 0) a2 + b2 + c2 = (a + c)2 – 2ac + b2 = (a + c)2 – b2 = (a+c – b)(a+c+b) Vì a2 + b2 + c2 số nguyên tố a+c – bb) 1 11    (*) �  � b  � b  b + Với c  từ giả thiết suy a b 30 ( b>c) Thay b  vào (*) 6a 15 �a7 Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com (19;7; 2), (23;7; 2),(29;7; 2), (31;7; 2), (37; 7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hoán vị Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương Lời giải Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k  �)  (n – 7)2 – k2 = 305  (n – – k)(n – + k) = 305 Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61) (n – – k) ≤ (n – + k) nên xét trường hợp: � n   k 1 � � � n   k  305 � � � n   k  305 � � � n   k  1 � � � n 7k 5 � � � � n   k  61 � � n   k  61 � � � � n   k  5 � � � n  160 � � � k  152 � � � n  146 � � � k  152 � � �� n  40 � � � � k  28 � � n  26 � � � �k  28 � � Vì n k số tự nhiên nên ta chọn n = 160 n = 40 Bài 10: Lời giải Ta có n + = n + + 4n – 4n 4 2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Vì n số tự nhiên nên n2 + 2n+ > nên n2 – 2n + = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com n = Bài 11: Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh hợp số Lời giải n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k số tự nhiên lớn - Với n = 2k, ta có lớn chia hết cho Do hợp số -Với n = 2k+1, tacó n  4n  n  42 k  n  (2.4k )  (n  2.4k )  (2.n.2 k )   n  2.4k  2.n.2k   n  2.4 k  2.n.2 k    (n  2k )  k   (n  2k )  4k  Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n hợp số Bài 12: Tìm x nguyên dương để x  14 x  x  số phương Lời giải 3 Vì x  14 x  x  số phương, nên ta có x  14 x  x  =k2 với k �N      x   x  x  nên ta có  x   x  x  = k Ta có x  14 x  x  =…= Đặt  x  2, x Ta có   6x   d với d �N * x  2Md �  x    x   Md � x  x  4Md Ta lại có     x  x  3Md � x  x   x  x   1Md � d   x  2, x  x  3   x    x  x  3 = k mà Vậy 2 nên ta có 2 x+2 x  x  số phương � x   a 4x  x   b với a,b �N * x  b  x  12 x  �  x   b   x  3 Vì x>0 nên ta có b   x  1 � x  x   x  x  � x  2 Vì b lẻ nên Với x=2 ta có x  14 x  x  =100=102 số phương Bài 13: cho dãy số n, n+1, n+2, …, 2n với n nguyên dương Chứng minh dãy có lũy thừa bậc số tự nhiên Lời giải -Nếu n lũy thừa bậc số tự nhiên tốn chứng minh xong -Nếu n khơng lũy thừa bậc số tự nhiên, ta ln tìm số ngun dương k cho có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu k  n   k  1 word toán   Vì n nguyên dương n k zalo: n k , ta TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com � 18  q  q  3  n  n  3 � 18  n  3n  q  3q   n  q    3n  3q  � 18   n  q   n  q    n  q  � 18   n  q   n  q  3 p  p    q  q  3  n  n   Vì mà p ; q ; n số nguyên dương � n  q �3 � n  q 3  333  Mà 18  1.18  2.9  3.6 n  q  15 �n  �n  q   18 � �� �� �� � n  q 1 �n  q  �q  So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương Trường hợp 3: p   p; q; n  cần tìm  3;7;8 Ta chứng minh với số nguyên a khơng chia hết cho tích a  a  3 chia dư Thật vậy: Nếu a : dư � a  3k  � a   3k  � a  a  3   3k  1  3k    9k  15k  : dư Nếu a : dư � a  3k  � a   3k  � a  a  3   3k    3k    9k  21k  10 : dư Trở lại toán chính: Vì q �p  � p �3; q �3 � p  p  3  q  q   : Mà n  n  3 : dư n  n  3 M3 dư (nếu n �3) nM3 � p  p  3  q  q  3 �n  n  3 Suy ba số ngun dương tốn  p; q; n  thỏa mãn yêu cầu Bài 47: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x  16y  24  9x2  16x  32 Lời giải 3x  16y  24  9x2  16x  32 (1) ĐK: 3x  16y  24 �0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com 3x  16y  24  9x2  16x  32 �  3x  16y  24  9x2  16x  32   � 9(3x  16y  24)2  9x2  16x  32 �  9x  48y  72  81x2  144x  288 �  9x  48y  72   9x  8  224 2 �  9x  48y  72   9x  8  224 2 �  9x  48y  72  9x  8  9x  48y  72  9x  8  224 �  18x  48y  64  48y  80  224 � 32. 9x  24y  32 (3y  5)  224 �  9x  24y  32  3y  5  7 Với x, y nguyên (3y+5) ước (-7) chia cho dư �  3y  5  1  3y  5  7 +) TH1:  3y  5  1� y  2� x  1 +) TH2:  3y  5  7 � y  4 � x  7 Vậy cặp nghiệm nguyên (x;y)  1;2 ;(7;4) Bài nghiệm 48: Tìm tất nguyên phương trình: 2y x  x  y  1 x  2y  xy 2 Lời giải   2y2x  x  y  1 x2  2y2  xy �  x  1 x2  2y2  y  � x  1 � � � x  2y2  y  � � �� � x  1 1 � � � � x  2y2  y  1 � � � x2 � � � 2y  y  1 � � � � x0 � � � � 2y  y  1 � � � x � � � y1 � � � x0 � � � y1 � � Vậy phương trình có hai nghiệm ngun (2;1) (0;1) Bài 49: Tìm số ngun dương n để A=có giá trị số nguyên dương Lời giải Ta có: (n-8)2- 48 = n2 -16n+16 nên A= n-21+ 121 = 112 n+5≥6 ; n+5Z n + = 11 n = A= - n + = 121 n = 116 A = 96 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Vậy n = 116 Bài 50: Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thức: x2+y(y2+y-3x) = Lời giải Ta có: x +y(y + y-3x)=0 x -3xy+y2+y3=0 (1) 2 Coi (1) pt bậc với ẩn x Có  = y2(5-4y) Nếu y≥2  Do (1) x + 2y = Ta có 2y ≤ – = nên y ≤ 7/2 Mà y thuộc N* suy y = 1; 2; Lập bảng kết x y Vậy tập hợp số (x, y) thỏa mãn {(6; 1), (4; 2), (2; 3)} Bài 54: Tìm nghiệm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2x2 – 2xy = 5x – y – 19 Lời giải 2x2  5x  19 x(2x  1)  2(2x  1)  17 17 1   x  2 2x  2x  2x  (x �2 x= Từ PT ta có y = khơng nguyên) 17 => với x nguyên y nguyên 2x nguyên ‫ ޣ‬17 M2x – ‫ ޣ‬2x -1 ước 17 Mà 17 có ước �1; �17 Do x nguyên dương nên 2x – �1 => 2x – = 2x – = 17 => x = x = => y = 16 y = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Vậy PT có nghiệm nguyên là: (x; y) = ( 1; 16) ; (9; 8) Bài 55: Có thể lát kín sân hình vng cạnh 3,5m viên gạch hình chữ nhật kích thước 25cm x 100cm mà không cắt gạch hay không? Lời giải Không thể lát sân mà khơng phải cắt gạch gọi số gạch lát theo chiều dài chiều rộng viên gạch x, y hệ PT sau phải có nghiệm nguyên: 100x  350 � � 25y  350 hệ vơ nghiệm ngun � Bài 56: Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy  xy  x  32 y Lời giải xy  xy  x  32 y � x( y  1)  32 y Do y nguyên dương � y  �0 � x  32 y ( y  1) 2 Vì ( y, y  1)  � ( y  1) �U (32) 2 mà 32  � ( y  1)  ( y  1)  (Do ( y  1)  ) 2 *Nếu ( y  1)  � y  1; x  *Nếu ( y  1)  � y  3; x  Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: �x  � �y  �x  � �y  Bài 57: Giải phương trình tập nguyên Lời giải 2 x  5y  4xy  4x  8y  12 0  x  x( y  1)  (5y2  8y  12) 0(* / để PT(*) có nghiệm nguyên x  phương / 4( y  1)  5(5 y  y  12) 16  y 16 từ tìm  x; y     2;0 ;  6;0 ;   10; 4;  6;4 ;  2 2 2 Cách khác x  5y  4xy  4x  8y  12 0  ( x  y  2)  y 16 4  xét trường hợp nghiệm Bài 58:Tìm thỏa mãn Lời giải Ta có x   y  z  x   y  z  yz Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com   x  y  z   2 yz   x  y  z    x  y  z   12 4 yz (1) yz   x  y  z   12 4 x  y  z  (2) vô lý 3 TH1 Nếu x  y  z 0 Ta có ( x, y, z  N nên vế phải (2) số hữu tỷ ) TH2 x  y  z 0 1   x  y  z 0  yz 3 (3)  x 4  x 4    y 1  y 3  z 3  z 1 Giải (3) ta   thử lại thỏa mãn Bài 59: Tìm số tự nhiên x, y biết rằng: 2 x  1  x    x  3  x    y  11879 Lời giải Đặt A   x  1  x    x    x   tiếp nên cho , ta có x A tích số tự nhiên liên x A chia hết cho Nhưng x không chia hết cho 5, A chia hết 2 y �1, ta có Nếu x  1  x    x  3  x    y không chia hết Khi , ta có 2 x chia hết cho mà 11879 y �1 không thỏa mãn, suy y =  1  x    x  3  x    y  11879 �  x  1  x    x    x     11879 �  x  1  x    x    x    11880 �  x  1  x    x    x    9.10.11.12 � x  Vậy x  3; y  hai giá trị cần tìm Bài 60: Cho tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh tam giác Lời giải Gọi độ dài cạnh tam giác vuông a, b, c (a độ dài cạnh huyền) Theo giả thiết định lý Pitago, ta có: � a  b  c  bc  1 � �2 2 �b  c  a  2 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com � b2  c2  2bc  2 a  b  c  a2 �  b  c  1   a  1 2 b c  a � �� a  b  c   loa� i � Thế a = b + c - vào (2) ta được: +bc - 2b - 2c =0 �  b-2  c  2  Vì b, c số nguyên dương nên ta có trường hợp sau: T.Hợp b-2 c-2 b 1 2 -1 -2 -2 -1 Vậy tam giác cần tìm có cạnh 3; 4; c a 5 K.Luận Nhận Nhận Loại Loại 2 x , y � Z y x  x  y   x  y  xy Bài 61: Tìm thỏa mãn: Lời giải y x  x  y   x  y  xy � y x  x  y   x  y  xy  �  x  1 (2 y  y  x )  1 Vì x, y�Z nên x - 1�Ư(-1) =  1; 1 +) Nếu x – = � x = Khi 2y2 - y – = - 1 � � y = (t/m) y = Z (loại) +) Nếu x – = -1 � x = Khi 2y2 - y = 1 � � y = (t/m) y = Z (loại) �x  �x  ; � � y  �y  � Vậy Bài 62: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 171 = y2 Lời giải Ta có x – + 19 = z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu �  z  3k   z  3k   19 word tốn zalo: k k Vì 19 số ngun tố z   z  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com �z  3k  �z  10 �z  10 � �k �� � k z   19 9 �k  � nên � Vậy x = y = 30 Bài 63: Tìm tất cặp số nguyên (m, n) cho 2n  mn  3n  14n  7m   Lời giải 2n3  mn  3n  14n  7m   � m  2n   16 (1) n 7 n �� U(16) ����α� n  8;16 Vì m, n � Z nên n2  1;9 n  1; 3 (2) Từ (1) (2) suy được: (m, n)   (1;1),(3; 1);(4;3),(8; 3) Bài 64: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  25  y ( y  6) Lời giải Từ x  25  y ( y  6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x �y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì phơng trình đà cho có c¸c nghiƯm :  �5,  ;  �5, 6  ;  �4, 3  ( x,y) � Bài 65:Tìm tất cặp số nguyên dương ( a, b) thỏa mãn đẳng thức: a  b3  3( a  b )  3( a  b)  (a  1)(b  1)  25 Lời giải a  b3  3( a  b )  3(a  b)  (a  1)(b  1)  25 � (a  3a  3a  1)  (b3  3b  3b  1)  ( a  1)(b  1)  25 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com � (a  1)3  (b  1)3  ( a  1)(b  1)  25 (*) Đặt x  a  1, y  b  1( x, y  Z ; x, y 2) 3 2 Khi (*) trở thành: x  y  xy  25 � ( x  y )( x  xy  y )  xy  25 (**) 2 + Từ (**) suy x  y � x  y �1 , mà x  xy  y  nên: x � xy�y2� xy 25 x2 y2 25 x (1) + Hơn nữa: x  y x, y �2 nên xy �6 3 Suy x  y  xy  25 �31 � x  31 � x  (2) y � 2;3 Từ (1) (2) suy ra: x  Do x  y y �2 nên �x  � + Thử lại, có �y  thỏa (**) Suy �a  � b  cặp số cần � 5(x  xy  y )  7(x  2y) Bài 66: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2 Lời giải 5( x  xy  y )  7( x  y ) 2 � 7( x  y ) M5 Đặt x  y  5t (1) � ( x  y )M5 (t �Z ) (2) 2 (1) trở thành x  xy  y  7t (3) Từ (2) � x  5t  y thay vào (3) ta y  15ty  25t  7t  (*)   84t  75t 2 Để (*) có nghiệm �  �0 � 84t  75t �0 �0 t ۣ Vì 28 25 t �Z � t  t  Thay vào (*) � y1  � x1  Với t  �y  � x2  1 � �2 y  � x3  Với t  �3 Bài 67: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Lời giải 5x2 + y2 = 17 – 2xy � 4x2 + (x + y)2 = 17 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com � x � 17 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1; x2 Nếu x2 = � (x + y)2 = 17 (loại) Nếu x2 = � (x + y)2 = 13 (loại) Nếu x2 = � x = x = - x = � (2 + y)2 = � y = - y = - x = -2 � (-2 + y)2 = � y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Bài 68: Tìm nghiệm nguyên phương trình y  y  62  ( y  2) x  ( y  y  8) x Lời giải Ta có (1) �  y    y  3  56  ( y  2) x   y    y   x �  y  2 � x   y   x   y  3 � � � 56 �  x  1  y    x  y  3  56  y     x  1  x  y  3, nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba Nhận thấy số nguyên mà tổng hai số đầu số cịn lại Như ta có  ) 56  1.7.8 �  x; y    2;9   ) 56  7.1.8 �  x; y    8;3   ) 56   8   7  �  x; y    7;3   ) 56   8   7  �  x; y    2; 6   ) 56   8   1 �  x; y    7;9   ) 56   8   1 �  x; y    8; 6  Vậy phương trình có nghiệm nguyên x  y  xy   x  y  Bài 69: Tìm tất số nguyên x, y thỏa phương trình Lời giải Phương trình cho tương đương với : 2x2   y  2 x  y  y  (1) Xem phương trình bậc hai theo ẩn x    y     y  y   7 y  12 y    y    7 y   Để (1) có nghiệm Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word �  0�� toán 2 zalo: y y �Z � y � 0,1, 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com  x0 � y  � x2  x � � x 1 � Với  � 1 x  (loai) y  � 2x  x 1  � � � x 1 � Với  Với y  � x  � x  Vậy tập nghiệm phương trình Bài 70  0;  ;  1;1 ;  1;0  ;  0;  Tìm số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 16  x  y   15 xy  371 Lời giải 16  x  y   15 xy  371  � x  y Vì x, y nguyên dương nên 15 xy  16  x3  y   371 Ta lại có số lẻ nên x, y lẻ suy y � 1;x� y x Xét x  � y  � y  thay vào phương trình thỏa mãn     16 x3  y �16 � x3   x   � 16 x  12 x  x  � y � � Xét x �5 ta có , suy Mặt khác 15 xy  371 �15 x  x    371  15 x  30 x  371 16  x  12 x    15 x  30 x  371 16  x  12 x    15 x  30 x  371 Thật vậy, Ta chứng minh � 81x  162 x  243  � x  x   �  x  1  x  3  Suy 16  x  y   15 xy  371 với x �5 với x �5 Vậy phương trình có nghiệm  x; y    3;1 Bài 71: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x + xy + y = Lời giải - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y �N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) Bài 72: Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Lời giải Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 x  Z => x  {-1; -2; 1; 0; 1; 2} Xét trường hợp: + x = => (y - x3)2= => y = + x = => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = => (y - x3)2= => y = y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vậy nghiệm phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8) Bài 73: 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  25  y ( y  6) Lời giải 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r � 0;1; 1; 2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a – khơng chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – � 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  25  y ( y  6) Từ x  25  y ( y  6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x �y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) ®ã thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 V× phơng trình đà cho có nghiệm : �5,  ;  �5, 6  ;  �4, 3  ( x,y) � Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com   18  a  b a  b Bài 74: Tìm số nguyên a, b thoả mãn Lời giải   18  ab ab � 5a  5b  4a  4b  18  a  2b    a  2b  � 5a  5b  4a  4b  18a 2  36b 2  3a  6b � 18a 2  36b2  9b  3a  6b  a �  18a  36b  9b   3a  6b  a 3a  6b2  a 18a  36b  9b �0 �  18a  36b2  9b -Nếu 2 3a  6b2  a �Q � �Q 2 � Vơ lý Vì a, b nguyên nên 18a  36b  9b số vô tỉ � � 3a  6b  b 18a  36b  9b  � � 18a  36b  9b  � � �� �a b 2 3a  6b  a  � � 3a  6b  a � -Vây ta có 2 b 2 Thay a= vào 3a  6b  a  t 3 � b  6b2  b  � 27b2  24b  6b  � 3b( b  2)  a có Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thỗ mãm) , a=3 Kết luận 2 Bài 75: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x  y  xy  Lời giải x  y  xy  �  x  1   xy  y   Ta có 2 �  x  1  x  x  x  x  1  y  x  1  �  x  1  x  x  x  x   y   x 1  � � �4 x  x3  x2  x   y � - 2 *Nếu x   � x  ta có  y  y  với y nguyên Vậy ngiệm PT (1;y �Z) 2 2 *Nêu x  x  x  x   y � x  x  x  x   (2 y ) Ta có  2y   x2  x   4x  x3  x2  x   x4  x3  x2 2 � 2�  3x  x   �x  �  � 3� Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Vậy ta có (2 x  x )   y  *  2x Ta có  x    (2 y )  x �0 2 , Vậy ta có  2y � x  x   ** 2 Từ * ** ta có (2 x  x )   y  � x  x   �  y    x  x  1 ; 2  y Nếu   x  x  2  2y 2 2  (2 x  x  1)2 �  x  x   � x  x   x  1 � � ( x  1)( x  3)  � � x3 � + x  1 � y  � y  �1 +Nếu x  � y  121 � y  �11 -Nếu  2y  (2 x  x  2) � 5 x  � x  � y  � y  �1 Kết luận Bài 76: Tìm thỏa mãn: Lời giải y x  x  y   x  y  xy � y x  x  y   x  y  xy  �  x  1 (2 y  y  x)  1 Vì x, y�Z nên x - 1�Ư(-1) =  1; 1 +) Nếu x – = � x = Khi 2y2 - y – = - 1 � � y = (t/m) y = Z (loại) +) Nếu x – = -1 � x = Khi 2y2 - y = 1 � � y = (t/m) y = Z (loại) Vậy �x  �x  ; � � y  � �y  Bài 77: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 Lời giải Cách 1: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 � 6x2 – 24 = 50 – 5y2 � 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) M5 Mà (6;5) = nên (x2 – 4) M5 Đặt x2 – = 5t ( t ��) � x2 = 5t + Thay vào (*) � y2 = 10 – 6t � t � �x  �x  5t   � � �2 �� � t  �2 5 �y  �y  10  6t  � t � Vì � t  t = � Khi t = y2 = 10 (loại y ��) � Khi t = �x  �x  �� �2 �y  �y  (vì x > 0; y > 0) Cách 2: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 � 6x2 – 24 = 50 – 5y2 � 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) M5 Mà (6;5) = nên (x2 – 4) M5 � [(x2 – 4) +5] M5 � (x2 +1) M5 (**) Từ � < 6x2 < 74 � < x2 �12 Kết hợp (**) � x2 = x2 = � Khi x2 = y2 = 10 (loại y ��) � Khi x2 = y2 = � (x = y = 2) (vì x > 0; y > 0) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... 46  13? ?? �  46n  13n  M 33 �  46n  13n   33 .9.13n �  46 n  296.13n  M 33 46n  296.13n   46 n  13n   295.13n   46 n  13n   59.5.13n Để ý :  46  46 Vậy ta có : n n  13n  M...   c  3 � a  b3  3ab(a  b)  c3 � a  b3  c3  3abc Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) Liên hệ tài 039 .37 3.2 038 liệu word... Trở lại tốn chính: Vì q �p  � p ? ?3; q ? ?3 � p  p  3? ??  q  q  3? ?? : Mà n  n  3? ?? : dư n  n  3? ?? M3 dư (nếu n ? ?3) nM3 � p  p  3? ??  q  q  3? ?? �n  n  3? ??  p; q; n  thỏa mãn yêu cầu Suy