BAI TAP ON HSG TOAN 9

b Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn đi qua một điểm cố ñònh.. là tọa độ điểm cố định mà d đi qua.[r]

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x(m  2)  ( m  3) y m  a) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1) b) Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố ñònh Giải: a) Vì đường thẳng (d) qua P(-1;1) nên (m  2).( 1)  (m  3).1 m    m   m 3  x0 ; y0  b) Goïi là tọa độ điểm cố định mà (d) qua Ta coù: (m  2) x0  (m  3) y0 m  m  ( x0  y0  1) m   x0  y0   0 m  x0  y0  0    2 x0  y0  0  x0    y0 2 Vaäy ñieåm coá ñònh maø (d) ñi qua laø (-1;2) Câu 2: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a b c   (b  c  a) ( a  c  b) ( a  b  c) Giải: Ñaët yx  a   x b  c  a  xz   y  a  c  b  ( x; y; z  0)  b   z a  b  c   x y  c   Ta coù yz zx x y 1 x y  1 x z  1 y z  S             2x 2y 2z 2 y x  2 z x 2 z y  1    3 2 Daáu “ =” xaåy x = y = z  a = b = c Vaäy S nhoû nhaát laø vaø xaåy a = b = c Câu 3: Biết a,b là các số thoả mãn a > b > và a.b = a  b2 2 Chứng minh : a  b 2 a  b  a  b   2ab  a  b   2    a  b   a b a b a b Giải: * Vì a.b = nên a  b * Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương 2 2  a  b    a  b  a b a b Ta có : Vậy a  b2 2 a b Câu 4: Tìm tất các số tự nhiên có chữ số abc cho : abc n2   cba  n   Giải: Viết với n là số nguyên lớn  abc 100a  10b  c n   cba 100c  10b  a n  4n  Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n –  99 (3) 2 Mặt khác : 100 n  999  101 n 1000  11 n 31  39 4n  119 (4) Từ (3) và (4) => 4n – = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675 Câu : Giải phương trình √3 x2 +26+3 √ x +√ x+3=8 Giải : Ta nhận thấy x = là nghiệm của PT (1) Với ≤ x <1 thì: √ x +26+3 √ x +√ x+3< √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với ≤ x <1 Với x >1 Thì: √3 x2 +26+3 √ x +√ x+3> √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với x >1 Vậy PT (1) có nghiệm x = Câu 6: Giải các phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x  Giải: xác định đúng điều kiện: x  2 ;x  2 2  x  x   x   2 x   =  ( x  2)  ( x    x  0   x   b)  x      x 2  x 2 0   x    x2  7) 0 (Thỏa mãn) x  16  x   x  y  y  5  y   x 0 (1)  (2)  x  16 0  (3)  x  0 2  x  y  y  0 (4) Giải: Điều kiện :  Từ (2)  (x2 – 4)(x2 + 4) 0  x  0 kết hợp với (1) và (3) suy x = Thay vào (4): y2 – 2y + 0 ; Đúng với giá trị của y Thay x = vào phương trình và giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Giải: Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) =  x2 – 2y – =  x2 = 2y2 +  x lẻ Đặt x = 2k + ; ( k  Z )  4k2 + 4k +1 = 2y2 +  2y2 = 4k2 + 4k –  y2 = 2(k2 + k – 1)  y chẵn Đặt y = 2n; (n  Z )  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + là hai số nguyên liên tiếp)  (*) vô nghiệm  pt đã cho vô nghiệm   29  12 Câu 7: Chứng minh đẳng thức: = cotg450 Câu 8: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ của A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn của B=xy x  y 8  x 8  y Giải: a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ của A = a2 + b2 B  y   y  8 y  y a  b 2  b 2  a A a    a      8   A 2a  4a   A  A  2a  2a  2a    2 2 2   2 y.2  2 2y  2  8 Câu 9: Giải phương trình x   x  x  0 b/ x   x  0 a / x   x  x  0   b/ Bmax 8 A 2 Amin 2 2y  x  3   x   x  0   x  3 0    x   x  0 Giải:  x 3  ptvn  nghiệm của pt là x=3 b / x   x  0 x    x   0  t 1 t  t 0  t  t 0    t 0 x 2  x  2 Câu 10: Giải phương trình : x  x  ( x  4) x  2 Giải: Đặt t = x  , phương trình đã cho thành : t  x ( x  4)t  t  ( x  4)t  x 0  (t  x)(t  4) 0  t = x hay t = 4, 2 Do đó phương trình đã cho  x  4 hay x  x 2  x   x   x2 + = 16 hay  x   x2 =  x = 3 Câu 11: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = x  y  12 xy x y Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: A = Giải: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy =   8  x  y  12 xy x y Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: A = 2 x  y  3.4 xy x  y   ( x  y )  xy   2.( x  y )  xy     x y x y xy xy Ta có A = 2.( x  y )2   2.( x  y )   2.( x  y )  2  ( x  y )  1 2( x  y )       x y x y x y x y xy 2( x  y )    2  ( x  y)  x  y  x y =  ( x  y)  Xét x y Áp dụng Cosi cho số (x+y) và ( x  y ) ta có: (x+y) + ( x  y ) ≥  x  y  ( ) x y =    ( x  y)  x  y  ≥ Do đó: A =  Vậy Min A =  (x+y) = ( x  y )  (x+y)2 =1  x + y = ±1 Kết hợp với điều kiện 4xy = ta x = y = - x=y= Câu 12: Cho sè thùc x > T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S= x2-x+ x  Giải: S= x2- x+ x  = 2 1 25    5 = x -x+ =  x -  +  x - 2 + +8=  x -  +  x - 2 + + x-2  2 x-2  2 x-2    x -  0     x + 4(Cosi )    x-2 Ta cã  23 MinS = + = x=2,5 Câu 13: Cho x2 + 2y2 + z2 -2xy - 2yz + zx - 3x - z +5 = 0.TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc S = x3 + y7 + z2010 Giải: x2 + 2y2 + z2 -2xy - 2yz + zx - 3x - z +5 = 1 2 2 <=> (x + 4y + z -4xy - 4yz + 2zx) + ( x – 6x + 9) + ( z2 – 2z +1) = 1 <=> (x - 2y + z)2 + ( x - 3)2 + (z - 1)2 = => x = ; y = ; z = => S = x3 + y7 + z2010 =33 + 27 + 12010 = 92 Câu 14: Cho x,y l à các số dương thoả mãn : x + y = P x  y  Tìm giá trị nhỏ : 33 xy Giải: Từ x+y=4 ( x  y)2  4 Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy 33 33  xy Do đó Mặt khác: x2+y2= ( x  y ) -2xy=16-2xy 16  2.4 =8( xy 4) 33 65 8   4 Vậy P 65 Do đó : MinP= , đạt x=y=2 Câu 14: Cho số dương x, y có x + y = Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:    1  1  y  B =  x   1  x2  y B 1      2 1  2  2 y  x y x y x y x Giải: Ta có: 1  1   x  y 2  xy x y  x y     2  1  xy 1  2  2 1  x y x y x y xy 9 x y  x y  x  y  Vậy: Giá trị nhỏ của B là B =    A Câu 15: Rút gọn biểu thức 3 10    3 10   B= 3- 2- +2 +3 + 2+ - 2   2  3   C    2     (24  6)   2 3 2 3    2 D  49  20  49  20 E  3  44  16 Câu 16: Chứng minh với số nguyên n thì phân số n3 +2 n laø phaân soá toái giaûn n4 +3 n2 +1 Giải: Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu có ước chung lớn là Gọi d là Ước chung n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n ⋮ d ⇒ n(n3 +2 n)⋮ d => n4 + 2n ⋮ d (1) 2 n +1 ¿ =n +2 n + 1⋮ d (2) ⋮d⇒ ¿ 4 Từ (1) và (2)=>(n +3n +1)- (n +2n2) ⋮ d ⇒ ⋮ d ⇒ d=1 n+1 Câu 17: Chứng minh phân số n2 −1 Tối giản với n là số tự nhiên HD:Goïi d laø UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 ⋮ d vaø 2n2-1 ⋮ d => n(2n+1)-(2n2-1) n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1 +1 ⋮ d n +n+ Câu 18: Chứng minh phân số : n +n +1 không tôi giản với n là số nguyên dương HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1 2 Câu 19: Tìm nghiệm nguyên của PT : x  xy  y 16 2 Giải: Ta có : x  xy  y 16  ( x  y )  y 16 42  02 0   x  y 4    y 0 ⋮ d => n  x  y 0   y 4 Giải các hệ PT trên và thử lại, ta nghiệm nguyên là : (x;y)   ( 4; 0); (4; 0);(4;8); (  8;  4) Câu 20: Tìm các nghiệm nguyên của PT : ( x  3)( y  4) 3xy Giải: Ta có : ( x  3)( y  4) 3xy  y (2 x  3) 4 x  12 18 y 2   x  (vì x  Z  x  0 ) Do x, y là các số nguyên nên 18 phải chia hết cho (2 x  3)  (2 x  3) là ước số của 18  (2 x  3) 1; 2; 3; 6; 9; 18 Từ đó ta tính các giá trị nguyên của x là : 2; 1; 3; 0; 6;   Các giá trị tương ứng của y là : 20;  16 ; 8;  ; 4; ( x; y )   (2; 20);(1;  16); (3;8); (0;  4);(6; 4); (  3; 0) Vậy PT (7) có các nghiệm nguyên