Tài liệu Bài tập ôn HSG theo chủ đề

Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ Bài 1: Chứng minh số vô tỉ m m2 (tối giản) Suy = hay 7n = m (1) Đẳng thức n n chứng tỏ m M mà số nguyên tố nên m M Đặt m = 7k (k ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) (2) suy 7n = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 M số nguyên tố nên n M m n m chia hết phân số không tối giản, trái giả thiết Vậy khơng phải số hữu tỉ; n số vô tỉ số hữu tỉ ⇒ Giả sử 7= Bài 2: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 2- Cách : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy S = ⇔ x = y = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ ⇒ mim S = x = y = Bài 3: a Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 b Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Giải: a Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a ẵ)2 + ẳ ẳ Dấu “=” xảy a = ½ Vậy M = ẳ a = b = ẵ b Đặt a = + x ⇒ b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x = Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = Bài 4: a Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) b Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ - Giải: a Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = b 2M = (a + b – 2) + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998 a + b − =  Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a − = Vậy M = 1998 ⇔ a = b = b − =  Bài 5: a Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = b Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + - Giải: a Đưa đẳng thức cho dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + = b A = 1 1 = ≤ max A= ⇔ x = x − 4x + ( x − ) + 5 Bài 6: a Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú b Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = - Giải: a Viết lại phương trình dạng : 3(x + 1) + + 5(x + 1) + 16 = − (x + 1) Vế trái phương trình khơng nhỏ 6, cịn vế phải khơng lớn Vậy đẳng thức xảy hai vế 6, suy x = -1 b Bất đẳng thức Cauchy a+b a+b ab ≤ viết lại dạng ab ≤  ÷ (*) (a, b ≥ 0)   Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :  2x + xy  2x.xy ≤  ÷ =4   Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = ⇒ max A = ⇔ x = 2, y = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 Bài 7: Cho S = Giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 1998 > Áp dụng ta có S > ab a + b 1999 Bài 8: a Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ b Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] Giải: a Giả sử a + b > ⇒ (a + b)3 > ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > ⇔ + 3ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 ⇒ (a – b)2 < 0, vơ lí Vậy a + b ≤ b Cách 1: Ta có : [ x ] ≤ x ; [ y ] ≤ y nên [ x ] + [ y ] ≤ x + y Suy [ x ] + [ y ] số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, [ x + y ] số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] Cách : Theo định nghĩa phần nguyên : ≤ x - [ x ] < ; ≤ y - [ y ] < Suy : ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y ] ) < Xét hai trường hợp : - Nếu ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y ] ) < [ x + y ] = [ x ] + [ y ] (1) Nếu ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y ] ) < ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y ] + 1) < nên [ x + y] = [ x ] + [ y] + (2) Trong hai trường hợp ta có : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] Bài 9: x − 6x + 17 x y z b Tìm giá trị nhỏ : A = + + với x, y, z > y z x a Tìm giá trị lớn biểu thức : A = Giải: a Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ nên tử mẫu A số dương , suy A > : A lớn ⇔ nhỏ ⇔ x2 – 6x + 17 nhỏ A Nguyễn Đức Nghị Vậy max A = Trường THCS lương Phú ⇔ x = b Khơng dùng phép hốn vị vịng quanh x  y  z  x giả sử x ≥ y ≥ z Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z : A= x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x x y z x y z + + ÷= ⇔ = = ⇔ x = y = z y z x y z x x y x y z x y y z y Cách : Ta có : + + =  + ÷+  + − ÷ Ta có + ≥ (do x, y > 0) nên để y x y z x y x z x x x y z y z y chứng minh + + ≥ ta cần chứng minh : + − ≥ (1) y z x z x x Do  (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ ⇔ (x – z)(y – z) ≥ (2) (2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ x y z + + y z x Bài 10: a) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 b Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 Giải: a) Phương trình cho ⇔ | 2x + | + | x – | = | x + | = | 2x + + – x | ⇔ (2x + 5)(4 – x) ≥ ⇔ -5/2 ≤ x ≤  x ≤ −1 x ≥ b Điều kiện tồn phương trình : x2 – 4x – ≥ ⇔  Đặt ẩn phụ x − 4x − = y ≥ , ta : 2y2 – 3y – = ⇔ (y – 2)(2y + 1) = Bài 11 : Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x Giải : 47 Điều kiện : x ≤ Đặt − x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ⇒ x = – y2 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13 13 13 11 ≤ max B = ⇔ y=½ ⇔ x= 4 4 Bài 12 : Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = d) x − x − 2x + = b) x − + = x e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − Giải : Cần nhớ cách giải số phương trình dạng sau : A ≥ (B ≥ 0) a) A = B ⇔  A = B b) B ≥ A = B⇔  A = B A = c) A + B = ⇔  B = Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú B ≥  d) A = B ⇔   A = B   A = −B  A = e) A + B = ⇔  B = A = B b) Đưa phương trình dạng : A = B c) Phương trình có dạng : A + B = d) Đưa phương trình dạng : A = B a) Đưa phương trình dạng : e) Đưa phương trình dạng : | A | + | B | = g, h, i) Phương trình vơ nghiệm k) Đặt x − = y ≥ 0, đưa phương trình dạng : | y – | + | y – | = Xét dấu vế trái l) Đặt : 8x + = u ≥ ; 3x − = v ≥ ; 7x + = z ≥ ; 2x − = t ≥ u + v = z + t Ta hệ :  2 2 u − v = z − t Bài 13: a Giải bất phương trình : Từ suy : u = z tức : 8x + = 7x + ⇔ x = x − 16x + 60 < x − b Tìm x cho : x − + ≤ x c Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) - Giải : x − 16x + 60 ≥ (x − 6)(x − 10) ≥ ⇔ ⇔ a Điều kiện :  x−6≥ x ≥  Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 ⇔ x > Nghiệm bất phương trình cho : x ≥ 10 b Điều kiện x2 ≥ Chuyển vế : x − ≤ x2 – (1) Đặt thừa chung : x − (1 - x ≤    x ≥ 10 ⇔ x ≥ 10 x ≥  x2 − = ⇔ x2 − ) ≤ ⇔  1 − x − ≤  x = ±  x ≥  x ≤ −2  Vậy nghiệm bất phương trình : x = ± ; x ≥ ; x ≤ -2 c Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ Do : A2 – 4A + ≤ ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ ⇔ ≤ A ≤ A = ⇔ x = 0, y = ± max A = ⇔ x = 0, y = ± Bài 14 a Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = c Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = Giải : a Đặt 0,999 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân 20 chữ số Muốn cần chứng minh a < ⇒ a2 < a Từ a2 < a < suy a < a chữ số a < Thật ta có : < a < ⇒ a(a – 1) < ⇒ a2 – a < a < Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú 0,999 99 = 0,999 99 24 24 Vậy 20 chữ số 20 chữ số a) +Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b | A ≤ | x | + + | y | + = + ⇒ max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) + Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b A ≥ | x | - | y | - = - ⇒ A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) c Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy : x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥ (2) 3 Từ (1) , (2) : A = ⇔ x=y=z= ± 3 Bài 15: Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥ Giải: Thay so sánh n + n + n+1 ta so sánh n + − n + n + − n Ta có : n + − n +1 < n +1 − n ⇒ n + n + < n +1 Bài 16: Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai Giải: Viết 40 = 2.5 ; 56 = 2.7 ; 140 = 5.7 Vậy P = + + Bài 17: a Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = b Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x c Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ Giải: a Từ giả thiết ta có : x − y = − y − x Bình phương hai vế đẳng thức ta : y = − x Từ : x2 + y2 = b Xét A2 để suy : ≤ A2 ≤ Vậy : A = c Ta có : M = ( a+ b ) ≤( a+ b ) +( 2 ⇔ x = ± ; max A = ⇔ x = a− b ) = 2a + 2b ≤  a= b  max M = ⇔  ⇔a=b= a + b =  Bài 18: CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) Giải: - Xét tổng hai số : ( 2a + b − cd ) + ( 2c + d − ab ) = ( a + b − ab ) + ( c + d − = ( a + c) + ( a − b ) + ( c − d ) ≥ a + c > 2 Bài 19: ) cd + a + c = Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú x + + 2x − + x − − 2x − = 2 a Giải phương trình : a2 b2 a+ b≤ + b a b Chứng minh a, b > b) a2 +1 = a2 +1 Giải: a Nhân vế pt với ⇔ a = 2x − + + , ta : 2x − − = ⇔ 5/2 ≤ x ≤ a2 b2 a + b3 b Biến đổi tương đương : a + b ≤ + ⇔ a+ b≤ b a ab ( a + b)(a − ab + b) ⇔ a+ b≤ ⇔ ab ≤ a − ab + b ⇔ a − b ab ( Bài 20: Cho đẳng thức : Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ ( a + b ± a − b = a ± a2 − b ) ) ≥ (đúng) b Và a± b = a + a2 − b a − a − b (a, b ± 2 > a2 – b > 0) Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 Bài 21: Tìm x y cho : x + y − = x + y − - Giải: - Biến đổi : x + y − + = x + y Bình phương hai vế rút gọn, ta : 2(x + y − 2) = xy Lại bình phương hai vế rút gọn : (2 – y)(x – 2) = Đáp : x = , y ≥ , x ≥ , y = Bài 22: a Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ c Tìm giá trị lớn A = x + − x - Giải: (x + a)(x + b) x + ax + bx + ab  ab  = =  x + ÷+ (a + b) x x x   ab ≥ ab nên A ≥ ab + a + b = Theo bất đẳng thức Cauchy : x + x a Ta có A = ( ) a+ b Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú A = ( a+ b ) ab  x = chi  x ⇔ x = ab x >  b Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có : A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2) Vói cách ta khơng số α mà A2 ≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng : ) áp dụng (1) ta có : = ( ) + ( )  ( x ) + ( y )  = (2 + 3)(2x       A2 = A2 ( 2x + 3y 2 2 2 + 3y ) ≤ 5.5 = 25 x = y ⇔ x = y = −1 2x + 3y =  Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5 ⇔  x = y ⇔ x = y =1 2x + 3y =  max A = ⇔  c Điều kiện x ≤ Đặt − x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x 1 9  a = − y + y = −  y − ÷ + ≤ ⇒ max A = ⇔ y = ⇔ x = 2 4 4  Bài 23: a Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = b Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = c Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x - Giải: a Điều kiện x ≥ Phương trình biến đổi thành : x −1 +1+ x −1 −1 = ⇔ x −1 + x −1 −1 = ⇔ * Nếu x > : * Nếu ≤ x ≤ : x −1 + x −1 −1 = x − = x = , không thuộc khoảng xét x − + − x − + = Vô số nghiệm ≤ x ≤ b Điều kiện : x + 7x + ≥ Đặt Kết luận : ≤ x ≤ 2 x + 7x + = y ≥ ⇒ x + 7x + = y Phương trình cho trở thành : 3y2 – + 2y = ⇔ 3y2 + 2y – = ⇔ (y – 1)(3y + 5) = ⇔ y = - 5/3 (loại) ; y = Với y = ta có x + 7x + = ⇒ x2 + 7x + = ⇔ ⇔ (x + 1)(x + 6) = Các giá trị x = - 1, x = - thỏa mãn x2 + 7x + ≥ nghiệm (1) c Vế trái : 3(x + 1)2 + + 5(x + 1)2 + ≥ + = Vế phải : – 2x – x2 = – (x + 1)2 ≤ Vậy hai vế 5, x = - Với giá trị hai bất đẳng thức trở thành đẳng thức Kết luận : x = - Bài 24 : Chứng minh số sau số vô tỉ : − ; 2+ - Giải : a) Giả sử − = a (a : hữu tỉ) ⇒ - = a2 ⇒ số vơ tỉ Vơ lí Vậy − số vô tỉ b) Giải tương tự câu a 6= − a2 Vế phải số hữu tỉ, vế trái Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú Bài 25 : Chứng minh x − + − x ≤ - Giải : - Đặt x − = a, − x = b, ta có a2 + b = Sẽ chứng minh a + b ≤ Cộng vế bất đẳng thức : a ≤ a2 + b2 + ; b≤ 2 A b Bài 26 : Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = - Giải : - Cách : Dùng bất đẳng thức Bunhiacơpxki Ta có : ( x − y2 + y − x2 ) B c a C ≤ ( x2 − y2 ) ( − y2 + − x2 ) Đặt x2 + y2 = m, ta : 12 ≤ m(2 - m) ⇒ (m – 1)2 ≤ ⇒ m = (đpcm) Cách : Từ giả thiết : x − y = − y − x Bình phương hai vế : x2(1 – y2) = – 2y − x + y2(1 – x2) ⇒ x2 = – 2y − x + y2 = (y - 2 − x2 ) ⇒ y = − x2 ⇒ x + y = Bài 27 : a Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 b Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x c Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + d Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x ( b) A = x 99 + 101 − x ) - Giải : a Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ⇔ ≤ x ≤ b Xét A2 = + − x Do ≤ − x ≤ ⇒ ≤ + − x ≤ với x = ± , max A = với x = −x + 4x + 12 ≥ (x + 2)(6 − x) ≥  ⇔  ⇔ − ≤ x ≤ (1) c Tập xác định :  −x + 2x + ≥ (x + 1)(3 − x) ≥  ⇒ ≤ A2 ≤ A = Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > Xét : A = ( ) (x + 2)(6 − x) − (x + 1)(3 − x) Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” không xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - (x + 2)(6 − x)(x + 1)(3 − x) + = ( (x + 1)(6 − x) − (x + 2)(3 − x) A2 ≥ Do A > nên A = ) +3 với x = d a) Điều kiện : x ≤ * Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : A2 = (2x + − x )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 ⇒ A2 ≤ 25 Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú x ≥ x = − x2   A = 25 ⇔  ⇔ x = 4(5 − x ) ⇔ x = x2 ≤ x2 ≤   Với x = A = Vậy max A = với x = * Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ ⇒ - ≤ x ≤ Do : 2x ≥ - − x ≥ Suy : A = 2x + − x ≥ - Min A = - với x = - b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy : A =x ( ) 99 99 + 101 − x ≤ x (99 + 1)(99 + 101 − x ) = x 10 200 − x < x + 200 − x < 10 = 1000 x ≤ 101  99  99 A = 1000 ⇔  = ⇔ x = ±10 Do : - 1000 < A < 1000 101 − x  x = 200 − x  A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10 Bài 28: - Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = o) x − + x + + g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = k) − x − x = x − m) x + = x − x − c) 4x + − 3x + = l) 2x + 8x + + x − = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 Giải: - a) (x − 3) + ( x − 3) = Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x − = + x + Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm x − x − = + x − Bình phương hai vế Đáp số : x = 1 g) Bình phương hai vế Đáp số : ≤ x ≤ h) Đặt x − = y Đưa dạng y − + y − = Chú ý đến bất đẳng thức : e) Chuyển vế : Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú y − + − y ≥ y − + − y = Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 16 i) Chuyển vế : x + − x = − x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = ‌) 25 16 k) Đáp số : ‌ 25 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn : 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = x=− 25 loại Nghiệm : x = ± m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình p) Đặt 2x + + x + = y ; 2x + − x + = z (1) Ta có : y − z = + x + ; y + z = + x + Suy y – z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a + b = a + 15b Bình phương ;5 1 + + + >2 Bài 29 : Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta có : + n hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : Giải: - Ta có : 2 = > = k k k + k +1 ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) =2 ( ( ) n +1 −1 ) k +1 − k 1 + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) = n = 2( n + − 1) (đpcm) 1 + + + > n Bài 30 : Chứng minh : + n 1 1 + + + + > n = n Giải : + n n Vậy : + Bài 31 : a Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 + với < x < 1− x x + ) B = − x + 2x + c Tìm GTNN, GTLN : + ) A = 5+2 6−x b Tìm giá trị nhỏ A = d Tìm giá trị lớn A = x − x e Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 10 Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú Giải : a Ta phải có | A | ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + b Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = Khi : 1− x x  2x − x = (1) 2x − x  B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2)  Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x | = | – x | Do < x < nên x = – x ⇔ = − +1 Như B = 2 ⇔ x = - 1   2x − x  − 2x − + x  + ÷−  + + = +1 = Bây ta xét hiệu : A − B =  ÷= x  1− x x 1− x x  1− x ⇔ x= Do A = 2 + x = - 1 với x = ± +) B = với x = ± max B = với x = c +) A = - với x = max A = x + (1 − x ) d Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A = x (1 − x ) ≤ = 2 2 x = − x max A = ⇔  ⇔ x= 2 x > 2 e A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :    1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) =    4 2   5  2y x = − x =  =−   5 max A = ⇔ x ⇔    x + 4y = y = y = −    10 10   Bài 32: Tìm phần ngun số (có n dấu căn) : b) a = + + + + n a) a = + + + + n c) a = 1996 + 1996 + + 1996 + 1996 n Giải: 11 Nguyễn Đức Nghị Trường THCS lương Phú a) Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = ( Giải tương tự) 12 ... x ] + [ y ] số nguyên không vượt x + y (1) Theo định nghĩa phần nguyên, [ x + y ] số nguyên lớn không vượt x + y (2) Từ (1) (2) suy : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] Cách : Theo định nghĩa phần nguyên... k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 Bài 7: Cho S = Giải: Bất đẳng thức Cauchy viết lại dạng : 1998 > Áp dụng ta có S > ab a + b 1999 Bài 8: a Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ b Chứng... = Bài 11 : Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x Giải : 47 Điều kiện : x ≤ Đặt − x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x ⇒ x = – y2 B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13 13 13 11 ≤ max B = ⇔ y=½ ⇔ x= 4 4 Bài