CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học

189 Website:tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9: Hình học: Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc nhau, trung điểm A Bài toán (giữ nguyên màu) Bài 1: Cho hình vng điểm E cho lấy điểm BC F N ABCD DC = 3DE , nối cho cung nhỏ Chứng minh rằng: Bài 2: Cho hai đường tròn đường tròn với nội tiếp đường tròn tâm ( O) ( O) DM cắt cung nhỏ cung nhỏ ( O) đường thẳng trung điểm PN = MN cân BC BC A D ( CN BC dây ∆MAB MB , dây cung M AN lấy DC Trên cung nhỏ , nối CB cắt dây cung cắt ( O ') ( O ') Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC CD trung điểm F tiếp xúc với Chứng minh Bài 3: Cho AE O M , N Kẻ dây đường tròn cắt đường thẳng MN ( O ') P MA tiếp xúc (P≠M) · BAC < 900 Dựng DE Chứng minh ) , đường vng góc với vng góc với AH = HE AC AB ( E ∈ AC ) Gọi A cắt H Bài 4: Từ điểm M nằm đường tròn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB a Chứng minh: Liên hệ tài 039.373.2038 · · HPO = HQO liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng 1 + EA EB có giá trị nhỏ Bài 5: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK 1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường tròn 2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO 3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB Bài 6: Cho điểm ( M ≠ A,M ≠ B,MA < MB) M thuộc nửa đường Tia phân giác · AMB tròn (O) đường kính AB cắt AB C Qua C vẽ đường vng góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự D, H Chứng minh CA = CH Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E, F chân đường cao kẻ từ C, B tam giác ABC D điểm đối xứng A qua O, M trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh M trung điểm HD b) Gọi L giao điểm thứ hai CE với đường tròn tâm O Chứng minh H, L đối xứng qua AB Bài 8: Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK=DF Chứng minh CK = CF Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N tia DE cho giác góc · · MAN = BAC Chứng minh MA tia phân · NMF Bài 10: Cho tam giác ABC có (O ),( I ),( I a ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh với tâm tương ứng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word O, I , I a toán Gọi D zalo: tiếp điểm (I ) A với tam giác BC , P điểm TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com cung PO BC , N ¼ BAC , (O) PI a điểm đối xứng với cắt P (O ) điểm K Gọi qua O Chứng minh M giao điểm · · DAI = KAI a Bài 11: Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn điểm P điểm Q (P nằm A Q) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME B Lời giải (giữ nguyên màu) Bài 1: Cho hình vng điểm E cho lấy điểm BC F N ABCD DC = 3DE nội tiếp đường tròn tâm , nối cho cung nhỏ Chứng minh rằng: AE DM F cắt cung nhỏ CD cung nhỏ trung điểm O CN BC , dây cung M DC Trên cung nhỏ , nối AN lấy CB cắt dây cung Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Gọi I giao điểm EI P AB ⇒ Kẻ ⇒ DX DE = = OD AE : DM ⇒ ∆OXD ∽ ∆ADE DE DE + AD ⇒ DX = R 10 ⇒ DM = R 10 Xét CD EI ME = AB AM vng góc với OX BM ∆DEM ∽ ∆AEC ⇒ ⇒ ME DE MD = = AE CE AC 10 ⇒ ME ME = ⇒ = AE AM = 10 ME DE MD = = CE AE AC 1 ⇒ EI = AB = CD ⇒ ID = EI + DE = CD 6 ⇒ ∆CMI = ∆BNF ⇒ BF = CI = ⇒ (g.c.g) BC đpcm Bài 2: Cho hai đường tròn đường tròn với (g.g) ( O) ( O) ( O) tiếp xúc với ( O ') ( O ') Đường tròn ngoại tiếp Chứng minh PN = MN cắt dây ∆MAB MB M , N Kẻ dây đường tròn cắt đường thẳng MN MA ( O ') P tiếp xúc (P≠ M) Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp I Gọi H ,K theo thứ tự giao điểm ⇒ OO′ ⊥ MN Ta có: OO′ với MN MI HM = HN , IM = IP OM = OP đường trung trực ⇒ OI ∆MAB MA ⇒ MA ⊥ OI ⇒ OI // MO′ Tương tự: ⇒K O ′I // MO ⇒ OIMO ′ trung điểm ⇒ HK hay MA ) hình bình hành MI đường trung bình ⇒ HK // NI Mà (cùng vng góc với ∆MIN NI // OO′ MN ⊥ OO ′ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com ⇒ MN ⊥ NI Bài 3: Cho A hay c ∆ABC IN ⊥ MP ⇒ PN = MN cắt đường thẳng H trung điểm BC BC ân tại D A ( · BAC < 900 Dựng DE Chứng minh ) , đường vng góc với vng góc với AH = HE AC AB ( E ∈ AC ) Gọi Lời giải Ta có: ⇒ AH cân ∆ABC A ; HB = HC vừa đường trung tuyến vừa đường cao ⇒ AH ⊥ BC Xét tứ giác ABED , ta có: · · AHD = AED = 900 ⇒ tứ giác ABED nội tiếp đường trịn đường kính AD · · ⇒ HEA = HDA Mà · · HAE = HAB · · HDA = HAB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu ( AH đường phân giác, (cùng phụ với word toán · HAD zalo: ∆ABC cân A ) ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com · · ⇒ HEA = HAE ⇒ ∆AHE cân H ⇒ HA = HE Bài 4: Từ điểm M nằm đường tròn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB a Chứng minh: · · HPO = HQO b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng có giá trị nhỏ 1 + EA EB Giải: a) ∆ ∆ MPA đồng dạng ∆ MAQ (g.g), suy MA2 = MP.MQ (1) MAO vng A, có đường cao AH nên MA2 = MH.MO (2) Từ (1) (2) suy MP.MQ = MH.MO hay ∆ MPH ∆ MP MO = MH MQ (*) MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy MOQ (c.g.c) suy ∆ MPH đồng dạng · · MHP = MQO Do tứ giác PQOH tứ giác nội tiếp ⇒· · HPO = HQO = ¼ sdOH (đpcm) b) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ∆ 189 Website:tailieumontoan.com b) Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EB = EF hay 1· · BFA = BEA Đặt ·AEB = α ·AFB = α ∆ EBF cân E, suy nên F di chuyển cung chứa góc α dựng BC Ta có: 1 + ≥ EA EB EA + EB + EF lớn ⇔ Như 1 + EA EB nhỏ EA + EB lớn hay EA AF lớn (**) Gọi O’ điểm cung lớn AB, suy ∆ O’AB cân O’ suy O’A=O’B (3) ∆ O’EB ∆ O’EF có EB = EF, O’E chung · · FEO ' = BEO ' (cùng bù với · BAO ' ⇒∆ O’EB = O’EF (c.g.c) suy O’B = O’F (4) ∆ Từ (3) (4) suy O’ tâm cung chứa góc α dựng đoạn thẳng BC (cung cung lớn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Do AF lớn đường kính (O’) E O’ (***) ≡ Từ (**) (***) suy E điểm cung lớn AB 1 + EA EB có giá trị nhỏ Bài 5: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M nửa đường tròn (M khác A B); tiếp tuyến A M nửa đường tròn (O) cắt K Gọi E giao điểm AM OK Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com 1) Chứng minh OE.OK không đổi M di chuyển nửa đường trịn 2) Qua O kẻ đường vng góc với AB cắt BK I cắt đường thẳng BM N Chứng minh: IN = IO 3) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh: EF//AB Giải: N K M I E A a) Chứng minh OK Dựa vào ∆ ⊥ F O H B AM E OAK vuông A OE.OK = OA2 = R2 không đổi b) Chứng minh được: OK // BN ( ⊥ AM) Chứng minh được: AOK = OBN (g.c.g) OK = BN ⇒ ∆ ∆ Suy OBNK hình bình hành từ suy được: IN = IO c) Chứng minh ∆ AOK đồng dạng ⇒ HB MB HB MB = ⇒ = AO OK AO OK ∆ HBM (1) Chỉ MB2 = HB.AB OA2 = OE.OK (cma) (2) Từ (1) (2) suy HB HB AB HB AB HB OE = ⇒ = ⇒ = OK OE OK OE OK AB OK Chứng minh Liên hệ tài 039.373.2038 liệu HB FB = AB BK word (3) (4) toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Từ (3) (4) suy Bài 6: Cho FB OE ⇒ = KB OK điểm ( M ≠ A,M ≠ B,MA < MB) M EF // OB //AB (đl Ta let) thuộc nửa đường Tia phân giác · AMB trịn (O) đường kính AB cắt AB C Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự D, H Chứng minh CA = CH Lời giải Do MC phân giác Xét ∆BHC ∆BAM ⇒ ∆BHC Từ (1) (2) Liên hệ tài 039.373.2038 ∽ có ∆BAM ∆AMB , theo tính chất đường phân giác ⇒ · · BCH = BMA = 900 ⇒ AC AM = (1) BC BM , góc B góc chung HC BC HC AM = ⇒ = (2) AM BM BC BM ⇒ AC = HC liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com + Xét D + Nên CJH D D HIB có · · HCJ = BHI = 900 CJH đồng dạng với D CH CJ = HB HI (cmt) HIB c) + Lập luận để chứng minh + Chứng minh + Suy ∆HEI · HEI = 900 đồng dạng với ∆HCJ HE HI = HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC + Mà HJ = 1 HD; HI = HC 2 + Suy HE.HD = HC2 d) C M 450 A H O K + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho B N · BOM = 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK ⊥ AB K + Chứng minh Suy D MON vuông cân M KM = KN ·ANC = 450 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Xét C M º Ta có C º M nên H K º Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do + D ·ANC < ·ANM = 450 HNC có nên Mà · NHC = 900 · · HNC + HCN = 900 · HNC < 450 Suy nên · HCN > 450 · · HNC < HCN Suy HC < HN + Do AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho · BOC = 450 AH + CH đạt giá trị lớn Bài 11: Cho điểm ( M ≠ A,M ≠ B,MA < MB) M thuộc nửa đường Tia phân giác · AMB tròn (O) đường kính AB cắt AB C Qua C vẽ đường vng góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự D, H Gọi E hình chiếu vng góc H tiếp tuyến A (O), F hình chiếu vng góc D tiếp tuyến B (O) Gọi BCDF Chứng minh S1,S2 thứ tự diện tích tứ giác ACHE CM < S1.S2 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Do MC phân giác Xét ∆BHC ∆BAM ⇒ ∆BHC Từ (1) (2) có ∆AMB , theo tính chất đường phân giác ⇒ · · BCH = BMA = 900 đồng dạng với ∆BAM ⇒ AC AM = (1) BC BM , góc ABM góc chung HC BC HC AM = ⇒ = (2) AM BM BC BM ⇒ AC = HC Tứ giác ACHE hình vng suy AH=EC Gọi AH cắt EC I Xét vuông M ∆AMH AH EC · ⇒ MI = ⇒ MI = ⇒ EMC = 900 2 Chứng minh tương tự ta có Vậy · EMF = 900 + 900 = 1800 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu · CMF = 900 suy E, M, F thẳng hàng word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Do tứ giác ACHE hình vng ⇒ CH = ⇒ S1 = CH2 = Tương tự Xét ∆FCE ta có, CE ⇒ 2S1 = CE2 2S2 = CF vuông C, đường cao CM, theo hệ thức lượng tam giác vuông 1 2S S 2S1S2 CE2.CF 2 + = ⇒ CM = = ≤ = S1.S2 2 CE CF2 CM CE + CF S1 + S2 S1S2 Dấu “=” xảy Vậy CE ⇔ S1 = S2 ⇔ AM = BM (vô lý AM < BM) CM < S1.S2 Bài 12: Cho hình vng ABCD cạnh Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm E, F cho EC phân giác góc BEF Trên tia AB lấy K cho BK=DF Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Ta có: CD=CB, DF=BK, · · FDC = CBK = 900 nên ∆DFC = ∆BKC ⇒ CK = CF Gọi H chân đường cao kẻ từ C tam giác CEF ∆DFC = ∆HFC, ∆HEC = ∆BEC SDFC = SHFC ;SHEC = SBEC 1 SCEF = SCDFEB = ( SABCD − SAEF ) = ( 16 − SAEF ) ⇒ SCEF ≤ 2 SCEF lớn Khi E ≡ A,F ≡ D Bài 13: Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm bên ngồi đường trịn (O) cho ∆ABC có ba góc nhọn chu vi đường trịn ngoại tiệp ∆ABC khơng lớn chu vi (O) Lời giải * Gọi đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (I), I nằm ∆ABC Nếu A, B, C nằm (O) (I) (O) trùng * Nếu (O) đựng (I) (O) và(I) tiếp xúc với đường kính (I) nằm (O) suy chu vi (I) nhỏ chu vi (O) * Nếu (O) (I) cắt M, N Vì ∆ABC có ba góc nhọn nên số đo cung nhỏ MN< 1800 Suy cung lớn MN>180 0, tồn đường kính (I) nằm (O) Vậy chu vi (I) nhỏ chu vi (O) Bài 14: Cho điểm M nằm nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác · IAM cắt nửa đường tròn O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K Xác định vị trí M nửa đường tròn O để chu vi ∆AMB đạt giá trị lớn tìm giá trị theo R? Lời giải I F M H E K A Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word O toán zalo: B TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Ta có M, E nằm nửa đường trịn đường kính AB nên · FEK = 900 Chu vi · FMK = 90 ∆AMB = C∆AMB = MA + MB + AB lớn khi MA + MB lớn (vì AB khơng đổi) Áp dụng bất đẳng thức ( MA + MB ) dấu "=" xảy ( a + b ) ≤ ( a2 + b2 ) ⇔a=b , ta có ≤ 2( MA2 + MB ) = AB Nên MA + MB đạt giá trị lớn MA = MB hay M AB nằm cung AB Vậy M nằm cung AB C∆AMB đạt giá trị lớn Khi C∆AMB = MA + MB + AB = AB + AB = (1 + 2) AB = 2R (1 + 2) Bài 15: Cho ABC có diện tích S Một đường thẳng xy chuyển động ∆ qua điểm A.Gọi E, F hình chiếu B C xy Đường thẳng xy phải vị trí để tổng BE + CF có giá trị nhỏ xác định giá trị Lời giải Nếu xy cắt cạnh BC điểm G Ta có: 2S = AG(BE+CF) => BE + CF = A 2S AG Bởi 2S khơng thay đổi nên (BE + CF) nhỏ AG đạt giá trị Max E G B C F Vậy AG lớn AG độ dài lớn hai cạnh Nếu AC Nếu AC ≥ ≤ AB AG =AC max AG = AC min(BE+CF) = hb AB max AG = AB min(BE+CF) = hc Khi xy qua cạnh lớn hai cạnh AB; AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Bài 16: Cho (O; R) hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA =R Tìm vị trí điểm M đường trịn cho tổng MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải Gọi C giao điểm đoạn thẳng OA với (O; R) Trên đoạn OC lấy điểm N cho B OC = ON M Suy ⇒ OC OM OA = = = ON ON OM suy ∆MOA ∽ ∆NOM (c.g.c) N O C MA = ⇒ MA = 2MN MN ⇒ MA + 2MB = 2MN + 2MB = ( MN + MB ) ≥ 2NB (không đổi) Dấu “=” xảy M thuộc đoạn NB Vậy M giao điểm đoạn NB với đường tròn (O; R) Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường thẳng d qua A cho d không cắt đoạn BC Gọi H, K hình chiếu vng góc B C d Tìm giá trị lớn chu vi tứ giác BHKC Lời giải Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK² Ta cần chứng minh bất đẳng thức: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) (*) Ta có: (*) ⇔ a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d² ⇔ ⇔ a²d² – 2abcd + b²c² ≥ (ad – bc)² ≥ (đúng với a, b, c, d) Dấu xảy ad = bc hay a b = c d Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC A 189 Website:tailieumontoan.com Áp dụng (*) ta được: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)² (1) Tương tự ta có: 2(AK² + CK²) ≥ (AK + CK)² (2) Suy ra: 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)² (3) Đặt BH + AH = m; đặt AK + CK = n Vì · · CAK + BAH = 900 ⇒Δ ABH ∽ Δ mà · · BAH + ABH = 900 nên · · CAK = ABH CAK ⇒ AH BH AB AH + BH m = = = = CK AK CA CK + AK n Nên AB AC AB + AC BC = = ≥ = 2 2 m n m +n 2BC Hay m ≤ AB n ≤ AC Chu vi tứ giác BHKC BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC) Vậy chu vi BHKC lớn BC + (AB + AC) Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH ⊥ PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn Giải: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com ∆ABC vng cân A ⇒ AD phân giác góc A AD ⊥ BC A ⇒ D ∈ (O; AB/2) H' Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) N O ⇒ tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà H thuộc đường · NHP = 900 ⇒ P M B · · AHN = AMN = 450 C D trịn đường kính NP ⇒ H (1) Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD E E ⇒ tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác ∆BED = ∆CDP (g.c.g) ⇒ BE = PC Từ (1) (2) suy ⇒ H ∈ (O; AB/2) · AHB = 900 gọi H' hình chiếu H AB HH '.AB ⇒ SAHB = ⇒ SAHB lớn ⇔ HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD ⊥ AB) Dấu "=" xẩy ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D Bài 19: Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC E D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB AC M N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB BC F H Biết diện tích tam giác ODH, ONE, OMF a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh S ≤ 3(a2 + b2 +c2) Giải: a Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Đặt SABC = d2 Ta có: ; SODH a  DH  a DH = = ⇒ = ÷  BC  S ABC d d BC 2 ; Tương tự S EON b b HC  ON   HC  = = = ⇒ = ÷ ÷     S ABC d BC BC d BC c BD = d BC Suy ra: Vậy a + b + c DH + HC + DB = = 1⇒ d = a + b + c d BC S = d = (a + b + c )2 b Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; a + c ≥ 2ac S = ( a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca S ≤ a + b2 + c + (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = 3( a + b + c ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Bài 20: Cho nửa đường trịn đường kính Gọi điểm nằm nửa AB M ( O; R ) đường tròn khác A B xác định vị trí điểm M cho tam giác MAB có chu vi lớn Giải: Ta có : ·AMB = 900 Suy tam giác AMB vuông M MA2 + MB = AB = R (1) Chu vi tam giác MAB : MA + MB + AB = MA + MB + 2R Chu vi lớn : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu MA + MB word tốn lớn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Lại có ( MA + MB ) = MA2 + 2MA.MB + MB = R + 2.MA.MB lớn MA + MB ⇔ ( MA + MB ) lớn ⇔ MA.MB lớn Gọi H chân đường cao hạ từ M đến AB MA.MB = MH AB = MH R Bài 21: Cho tam giác R đường trịn ( O) ( D khác điểm cung lớn M để cân ABC điểm nằm cạnh M 2MA + AD lớn MH lớn MA.MB điểm cung MH = R ⇔ H ≡ O ⇔ M kính A A BC ), điểm » BC , ED H ( · BAC > 90° ) ( BM > CM ) AB nội tiếp đường tròn Gọi D giao điểm trung điểm đoạn thẳng cắt BC N Khi ( O) 2AB = R BC Gọi bán AM E , xác định vị trí đạt giá trị nhỏ Giải: D HAM ” D DAE Þ Với (g.g) AM AH Þ = AE AD AE = R Þ AM AD = ; AM AD = AH AE AB R AH = = AE R2 Theo BĐT Cô- si: AM + AD ³ 2 AM AD Liên hệ R tài 039.373.2038 = 2 =R liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com = 2 R2 =R GTNN đạt khi: Þ M 2AM = AD trung điểm Þ OM ^ AD Þ M AD gia điểm đường trịn đường kính OA với BC Bài 22: Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định điểm A chuyển động nửa đường tròn (A khác B C) Hạ AH vng góc với BC (H thuộc BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB tâm Q đường kính HC, chúng cắt AB AC E F Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị Giải: SPQFE = 1 ( PE + FQ).FE = BC.FE Mà N K A F M FE PQ hay FE ≤ ≤ BC ⇒ SPQFE I BC ≤ E B P H O Q C Dấu đẳng thức xảy A điểm nửa đường trịn tâm O, đường kính BC Bài 23: Cho tam giác ABC vng A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Giải: Ta có ∆AMB ∆ANC vng cân nên MA = MB NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC Theo tính chất phan giác ta có DC AC = ≤1 DB AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com ∆CDN ∆BDM nên DN DC = ≤1 DM DB => DN ≤ DM Nếu I trung điểm củaMN AD≤ AI AM+AN= 2AI Khi 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) Bài 24: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Giải: + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho · BOM = 450 C M + Tiếp tuyến nửa đường trịn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK ⊥ AB K + Chứng minh 450 A H O K B N D MON vuông cân M KM = KN Suy ·ANC = 450 Xét C º Ta có C M º M nên H º K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do + D ·ANC < ·ANM = 450 HNC có Liên hệ tài 039.373.2038 · NHC = 900 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com nên Mà · · HNC + HCN = 900 · HNC < 450 Suy nên · HCN > 450 · · HNC < HCN Suy HC < HN + Do AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C nửa đường trịn (O) cho · BOC = 450 AH + CH đạt giá trị lớn 10 Một số vấn đề mở rộng: Đường thẳng Simson, đường tròn đường thẳng Ơle, tốn bướm, định lí Ptolemes đặc trưng tứ giác nội tiếp,… A Bài tốn Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC, CA, AB r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y + z - x = R + r B Lời giải Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC, CA, AB r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y + z - x = R + r Giải: Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB ⇒ OM = x, ON = y, OP = z Đặt AB = c, BC = a, CA = b Ta có tứ giác OMNC nội tiếp nên theo định lý Ptôlêmê suy ra: MN.OC +OM.CN =ON.MC c b a ⇔ R + x = y 2 ⇔ c.R + x.b = y.a ( 1) A N P B M C O Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com Tương tự, từ hai tứ giác nội tiếp OMPB ONAP ta có: b.R + x.c = z.a ( 2) y.c + z.b = R.a ( 3) Mặt khác: SABC = SOAB + SOAC − SOBC ⇔ r ( a + b + c) = c.z + b.y − a.x ( 4) Cộng v.v.v (1) (2) trừ v.v.v cho (3) ta c.R + b.x + c.x + b.R − c.y − b.z = a.y + a.z − a.R ⇔ R ( a + b + c) = a( y + z) + b( z − x) + c( y − x) ( 5) Cộng v.v.v (4) (5) ( R + r) ( a + b + c) = ( a + b + c) ( y + z − x) ⇔ R + r = y + z − x ( ñpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Lời giải Liên hệ tài 0 39. 373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 89 Website:tailieumontoan.com Gọi I giao điểm EI P AB ⇒ Kẻ ⇒ DX DE = = OD AE : DM ⇒ ∆OXD ∽ ∆ADE DE DE + AD ⇒ DX = R 10 ⇒... = ⇒ MI = ⇒ EMC = 90 0 2 Chứng minh tương tự ta có Liên hệ tài 0 39. 373.2038 liệu word · CMF = 90 0 toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 89 Website:tailieumontoan.com Vậy · EMF = 90 0 + 90 0 = 1800 suy E,... 90 ° Liên hệ tài 0 39. 373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 1 89 Website:tailieumontoan.com AE FM = EF ME ⇒ ∆AEF ∽ ∆FME (c.g.c) · · ⇒ FEA = FME Mà · · · · FEA + HEM = 90 ° ⇒ FME + MEH = 90 °