Bất đẳng thức, cực trị là một trong những nội dung khó, thường được ra trong các đề thi học sinh giỏi toán các cấp, cũng như đề thi vào lớp 10 chuyên. Chuyên đề về bất đẳng thức không thiếu, tuy nhiên để phù hợp với tình hình bồi dưỡng môn toán cho học sinh tại đơn vị hiện nay, vào tháng 10 năm 2013 tôi đã biên soạn lại chuyên đề này nhằm làm tài liệu phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán của nhà trường từ năm học 20162017 về sau:
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán I Lý chọn đề tài: Bất đẳng thức, cực trị nội dung khó, thường đề thi học sinh giỏi toán cấp, đề thi vào lớp 10 chuyên Chuyên đề bất đẳng thức không thiếu, nhiên để phù hợp với tình hình bồi dưỡng môn toán cho học sinh đơn vị nay, vào tháng 10 năm 2013 biên soạn lại chuyên đề nhằm làm tài liệu phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nhà trường từ năm học 2013-2014 sau: II Nội dung đề tài: Tóm tắt lý thuyết cần nhớ: a Các tính chất bất đẳng thức: Tính chất 1: a ≥ ( ∀a ∈ R ) Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c (cộng số vào hai vế) Tính chất 3: a > b ⇔ a − b > (chuyển vế đổi dấu) a > b ⇔ ac > bc ( c > ) (nhân số vào hai vế) a > b ⇔ am < bm ( m < ) Tính chất 4: Tính chất 5: a > b ; b > c ⇒ a > c (tính bắc cầu) a > b ⇒ a + c > b + d (cộng theo vế bất đẳng thức chiều) c > d Tính chất 6: Tính chất 7: Với số dương a, b, c, d ta có: a > b ⇒ ac > bd (nhân theo vế bất đẳng thức chiều) c > d Tính chất 8: * Với a, b dương; n số nguyên dương: a > b ⇔ a n > bn * Với hai số a, b bất kỳ; n số nguyên dương a > b ⇔ a n +1 > b n +1 (lũy thừa hai vế) Tính chất 9: a, b hai số dấu: a>b ⇔ 1 < (nghịch đảo hai vế) a b b Các bất đẳng thức thường dùng: - Bất đẳng thức Cô-si: cho n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1a2 a3 an (đẳng thức a1 = a2 = a3 = = an ) n - Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki: Cho hai số thực: a1 , a2 , a3 , , an b1 , b2 , b3 , , bn Ta có: (a + a22 + a32 + + an2 ) ( b12 + b22 + b32 + + bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) (đẳng thức a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ; ; an = kbn ) tồn số thực k cho c Các phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương - Xuất phát từ bất đẳng thức biết d Phương pháp để tìm cực trị: * Để tìm giá trị lớn (max) biểu thức P chứa biến ta thực bước sau: - Bước 1: thiết lập bất đẳng thức: P ≤ a với a số - Bước 2: Xem xét điều kiện biến để P = a Từ tìm tìm giá trị tương ứng biến - Kết luận: max P = a (cùng giá trị tương ứng biến) * Để tìm giá trị bé (min) biểu thức P chứa biến ta thực bước sau: - Bước 1: thiết lập bất đẳng thức: P ≥ a với a số - Bước 2: Xem xét điều kiện biến để P = a Từ tìm tìm giá trị tương ứng biến - Kết luận: P = a (cùng giá trị tương ứng biến) Hệ thống tập: Chứng minh bất đẳng thức thường dùng sau đây: a a + b ≥ 2ab b a ± ab + b2 ≥ c a + b + c ≥ ab + bc + ca d a + b 2 ( a + b) ≥ 2 đ a b a b + ≥ với a, b dấu + ≤ −2 với a, b trái dấu b a b a e Với a, b số dương 1 + ≥ a b a+b f Với n số dương a1 , a2 , a3 , , an ta có: 1 1 n2 + + + ×××+ ≥ a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + + an g a + b ≤ a + b h a − b ≥ a − b (a đến e g,h biến đổi tương đương, f dùng cô-si Bunhia-cốp-xki) 1 1 1 1 Cho < x ≤ y ≤ z Chứng minh: y + ÷+ ( x + z ) ≤ + ÷( x + z ) x z x y z (Biến đổi tương đương) Chứng minh với số thực a,b,c ta có ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) Biến đổi tương đương: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ (Cô-si Bunhia-cốp-xki) b+c c+a a +b x y x Cho: x, y, z số dương thỏa mãn : + + = Chứng minh rằng: 1 + + ≤ (Dùng 1f) x + y + z x + y + z x + y + 2z Cho x ≠ ≠ y Chứng minh x y x2 y2 + + ≥ + ÷ Biến đổi tương đương, y x y x đổi biến a b3 c Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: + + ≥ ab + bc + ca b c a Giải: * Cách 1: Ta có: a − ab + b ≥ ab 2 3 Với a, b ta suy ra: ( a + b ) ( a − ab + b ) ≥ ab ( a + b ) hay a + b ≥ ab ( a + b ) chia hai vế cho b ta a3 a3 + b ≥ a ( a + b ) nên + b ≥ a + ab (1) b b Tương tự: b3 c3 + c ≥ b + bc (2) + a ≥ c + ca (3) cộng theo vế bất đẳng thức c a ta có điều chứng minh * cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a3 b3 c3 + ab ≥ 2a (1); + bc ≥ 2b (2); + ca ≥ 2c (3) b c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: a b3 c + + ≥ 2a + 2b + 2c − ab − bc − ca ≥ 2ab + 2bc + 2ca − ab − bc − ca b c a Vậy a b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a Cho x, y, z số dương x + y + z = Chứng minh: + > 14 (Dùng 1f) xy + yz + xz x + y + z Cho a b hai số dương thỏa mãn a + b ≥ Chứng minh: a + b3 ≤ a + b Giải: Ta có: a − a − a + = ( a − 1) ( a + a + 1) ≥ 4 3 4 Nên ( a + b − a − b ) + ( − a − b ) = ( a − a − a + 1) + ( b − b − b + 1) ≥ ⇒ a + b − a − b3 ≥ − a − b ≥ ⇔ a + b ≥ a + b3 10 Cho số không âm a; b; c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a + b + b + c + c + a ≤ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki ta có: ( a+b + b+c + c+a ) ≤ ( 2a + 2b + 2c ) = 11 Cho : > , i = 1, 2,3 , n a1 + a2 + a3 + ×××+ an = Chứng minh: a a1 a n + + ×××+ n ≥ − a1 − a2 − an 2n − Giải: Ta có: 1 n2 2 2n + + ×××+ ≥ ⇒ + + ×××+ ≥ − a1 − a2 − an 2n − − a1 − a2 − an n − a a a n n Trừ n vào vế ta có − a + − a + ×××+ − a ≥ 2n − n 12 Chứng minh: + + ×××+ n ≤ n × n +1 với n nguyên dương (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki) 13 Chứng minh: Ta có: + + + ×××+ 2004 2003 n n +1 < n +1 n + Bài 15: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC, p nửa chu vi tam giác Chứng minh: a a b c + + ≥6 p −a p −b p −c b a b c + + Do M > 3c − a − b > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a b b c c a − + ÷− + ÷− + ÷ c + a a+b b + c b a c b a c ≤ 9− 2− 2− =1 3− ÷ − ÷ − ÷≤ a b c 3 x + 17 x + 12 7 16 A = x > − ÷ Tìm minA 3x + 3 Giải: A= x + 17 x + 12 5 11 = 2x +1+ = ( 3x + ) + − 3x + 3x + 3x + Với x > − ta có x + > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 10 10 11 ≥2 ⇒ A≥2 − Đẳng thức xảy khi: ( 3x + ) + 3x + 3 15 30 − 14 ⇔ ( 3x + ) = ⇔ x = ( 3x + ) = 3x + 17 Cho x; y hai số thực thỏa mãn: x > y ; xy = Chứng minh: x2 + y2 ≥2 x− y (Cô-si) 18 Cho A = x − x Tìm maxA.(Cô-si) 19.Cho x ≥ ; A = x − x + 10 Tìm maxA Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số không âm gồm x số x2 + 3 ta được: 16 3 1 3 + + ≥ 4 x 16 16 16 16 16 16 1 ⇒ x − x + 10 ≥ 10 − 3 16 16 1 ≤ x − x + 10 10 − 3 16 ⇒ x ≥ x − 3 ⇒ Đẳng thức xảy x = 20 Cho A = max A = Lúc ta có 1 ⇔x= 16 10 − 3 16 1 1 + − < x < ÷ Tìm A − 3x x + 3 Giải: Với điều kiện ta có − 3x x + dương Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki ta có: 2 + ÷÷ − 3x ÷ x + ÷ ⇒ ( − 3x ) + ( x + 5) ÷ ÷ 3 ÷ ≥ 1 + ÷ ÷ 2÷ 17 5+2 5+2 A≥ ⇒ A≥ 2 17 Đẳng thức xảy khi: ( − 3x ) = ( x + 5) Lúc A = ⇔ = − 3x ( x + 5) ⇔x= 2−5 6−2 5+ 17 21 Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x15 + y15 + z15 = A = x + y + z Tìm maxA Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 15 số dương, gồm số x15 số ta có: 22 Cho A = x + 16 x ( x > ) Tìm minA x x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có x + + ≥ 3 16 = 12 ⇒ x3 + 16 ≥ 12 x a 2b + = ( a > 0; b > ) Chúng minh: 1+ a 1+ b 23 Cho a ab ≤ b a b ≤ 27 Giải: a a 2b + = ⇒ a + ab + 2b + 2ab = + a + b + ab ⇒ b + 2ab = 1+ a 1+ b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2ab.b ≤ 2ab + b 1 = ⇒ 2ab ≤ ⇒ ab ≤ 2 b Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: b.ab.ab ≤ b + ab + ab b + 2ab 1 ⇒ b a2 ≤ = ⇒ a 2b ≤ 3 27 24 Biết A = x − x + a Tìm minA b Với −3 ≤ x ≤ Tìm max A 25 Cho A = − x − x a Tìm maxA b Biết −10 ≤ x ≤ Tìm maxA A 26 Cho A = ( x + x ) + x + 18 x + 20 Tìm minA (Bình phương đủ) 27 Cho A = x − xy + y − x + Tìm A (Bình phương đủ) 28 Cho A = 3x + 3x + Tìm max A x2 + x + Giải: A= 3x + 3x + = 3+ 2 x + x +1 1 x+ ÷ + 2 1 3 5 29 ≤ ⇒ A≤ x+ ÷ + ≥ ⇒ Ta có: 4 3 x+ ÷ + 2 Đẳng thức x = − 29 cho A = 29 lúc max A = 3x + 3x − Tìm A x2 + x + Giải: 3x + 3x − A= = 3− x + x +1 1 x+ ÷ + 2 1 3 5 11 ≥− ⇒ A≥− x+ ÷ + ≥ ⇒− Ta có: 4 1 x+ ÷ + 2 Đẳng thức x = − 30 Cho y = 11 lúc A = − x2 + tìm giá trị lớn bé y x2 + x + (đề bình phương đủ, điểu kiện có nghiệm phương trình bậc hai) 31 Cho A = x + + 17 − x Tìm max A Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-ki ta có: ( x + + 17 − x ) ≤ ( x + + 17 − x ) ( + 1) = 38 ⇒ A ≤ 38 32 Cho A = x − x + + x − x + Tìm A Giải: A = x2 − x + + x2 − x + = − x + x − ≥ − x + x − = Đẳng thức ( − x ) ( x − ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Khi ta có A = 4 33 Cho x,y thỏa mãn: x + y − = xy ( − xy ) Tìm Max Min tích số xy Giải: 4 Đặt t = xy Ta có x + y ≥ 2t (1), kết hợp với x + y − = xy ( − xy ) (2) ta được: 2t − ≤ t (1 − 2t ) ⇔ 4t − t − ≤ ⇔ − ≤ t ≤1 Trường hợp t = − xảy khi: Lúc xy = − xy = − ta có x2 = y2 3 3 ; − − ; ÷ ÷ 2 ÷ ÷ xy = Trường hợp t = xảy khi: 2 x = y ta có ( 1; 1) ( −1; − ) Lúc max xy = 34 Cho a ≥ S = a + Tìm S a2 Giải: 10 S= a a 3a + + 2+ ≥ + = 8 a 4 4 Đẳng thưc a = lúc ta có S = 35 Cho a, b hai số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + 3ab + b ( a + b ) ab Giải: Ta có: P = a+b ab a + b ab ab + = + − ab a + b ab a + b a + b Do P ≥ − = Đẳng thức xảy a = b Và ta có P = III Kết đạt được: Chuyên đề sử dụng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi đơn vị năm học qua qua khảo sát thấy kiến thức bất đẳng thức em chắn hơn, hơn, hạn chế sai sót chứng minh bất đẳng thức cải thiện khả giải toán cực trị trước Tổ môn nhà trường có tài liệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi theo kịp với kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi lớp 10 chuyên (Vì chuyên đề bất đẳng thức cực trị trước tổ môn có không theo kịp kỳ thi) Chuyên đề trích in tài liệu hệ thống kiến thức THCS môn toán nhà xuất Giáo dục chi nhánh Cần Thơ phát hành tháng năm 2014 11 [...]... khảo sát thấy kiến thức về bất đẳng thức của các em chắc chắn hơn, cơ bản hơn, hạn chế được các sai sót trong chứng minh bất đẳng thức cũng như cải thiện được khả năng giải toán cực trị hơn trước Tổ bộ môn của nhà trường đã có được một tài liệu dạy bồi dưỡng học sinh giỏi theo kịp với các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, thi lớp 10 chuyên hiện nay (Vì chuyên đề về bất đẳng thức cực trị trước đây tổ bộ môn... 1 3a 1 6 9 + + 2+ ≥ 3 + = 8 8 a 4 4 4 4 Đẳng thưc khi a = 2 lúc đó ta có min S = 9 4 35 Cho a, b là hai số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + 3ab + b 2 ( a + b ) ab Giải: Ta có: P = a+b ab a + b 4 ab 3 ab + = + − ab a + b ab a + b a + b 3 2 Do đó P ≥ 4 − = 5 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b Và khi đó ta có min P = 5 2 III Kết quả đạt được: Chuyên đề này đã được sử dụng làm tài liệu bồi... dưỡng học sinh giỏi theo kịp với các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, thi lớp 10 chuyên hiện nay (Vì chuyên đề về bất đẳng thức cực trị trước đây tổ bộ môn đã có nhưng đã không còn theo kịp các kỳ thi) Chuyên đề đã được trích in trong tài liệu hệ thống kiến thức THCS môn toán do nhà xuất bản Giáo dục chi nhánh Cần Thơ phát hành tháng 4 năm 2014 11