Vậy ta có đpcm. Câu 9.[r]
(1)Câu HÀ TĨNH Cho số a, b, c lớn 25
4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 5
a b c
Q
b c a
.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có:
2 5 2
2 5
a
b a
b (1);
2 5 2
2 5
b
c b
c (2) ;
2 5 2
2 5
c
a c
a (3)
Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q5.3 15
Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 a b c 25 Bài 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNH
2
x 2x 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
x
(với x 0 )
Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x x
1 1
= 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0)
x x x
1 1
= 2011 t t
2011 2011 2011 2010 2010 = 2011 t
2011 2011 2011
dấu"=" t = x 2011 ; thõa x 2011
0
*
2010
Vaäy MinA = x = 2011 2011
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
2
2 2
2
x 2x 2011
A = với x A.x x 2x 2011 A x 2x 2011 *
x
coi phương trình ẩn x
2011 Từ (*): A = A = x = (1)
2
Nếu A (*) ln phương trình bậc hai ẩn x.
x tồn phương trình (*) có nghiệm
/
/
2
0 2011 A
2010 b 1
A daáu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thõa x (2)
2011 a A 1
2011
So sánh (1) (2) 1 giá trị nhỏ nhất A mà:
*
2010
MinA = x = 2011 2011
Bài 5: ( điểm ) THANH HểA
Cho số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức:
2
x y
z z
x y z
y x
Áp dơng B§T Cosi ta cã :
z y x
x z
y x x
z y x x
z y x
z y
2
1
z y x
y z
x y y
z y x y
z x y
z x
2
1
z y x
z x
y z z
z y x z
x y z
x y
2
1
Céng vÕ víi vÕ ta cã :
2 ) (
2
x y z
z y x x y
z z
x y z
y x
dÊu b»ng x¶y
y+ z = x
x+ z = y x + y + z = y+ x = z
V× x, y ,z > nªn x + y + z > dấu xảy
=>
2
y x
z z
x y z
y x
víi mäi x, y , z > ( Đpcm )
Câu 5: (0,5 điểm) bắc giang
Cho hai số thực dơng x, y tho¶ m·n:
3 3 2 4 2 4 3 0
x y xy x y x y x y x y
Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = x + y
Đặt a = x+y = M; b = xy; a2 4b Tõ gi¶ thiÕt cã: 3 3 6 4 4
a ab a b b ab b =
2
2
2
( )( )
2
a b
a b a ab b b
a ab b b
(2)+) NÕu a =2b Th×: x+y = 2xy Mà (x+y)2 4xy nên (x+y)2 2(x y ) M x y2;" " khi x: y 1. (*)
+) NÕu a2 ab2b2 3b0
2 2 3 0 2 ( 3) 0
a ab b b b a b a (1)
Gi¶ sư (1) cã nghiƯm b tho¶ m·n b
4
a
th×
b=
2
3
2
a a
2 2 6 0 1 7;( : 0)
a a a Do a
vµ
2
( 3) ( 2)( 2)
2
a a a a a a a
VËy a 1 (**)
Tõ (*) vµ (**) suy a = M có giá trị nhỏ nhÊt b»ng x = y =1
Bài V (0,5 điểm) Hà Nội Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 1
M 4x 3x 2011
4x
Cách 1:
2 2
4 2011 4 2010 (2 1) ( ) 2010
4 4
M x x x x x x x
x x x
Vì (2x1)2 0 x >
1 4x
, Áp dụng bdt Cosi
cho số dương ta có: x +
1 4x
1
2
4
x x
M =
2
(2 1) ( ) 2010
4
x x
x
+ + 2010 = 2011
M 2011 ; Dấu “=” xảy
2
1
1
2 2 1
1 2
1
4
0
0
0
x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x =
1
Vậy Mmin = 2011 đạt x =
1
Bài 5: Cách 2:
2 2
2
1 1 1
4 2011 2010 ,
4 8
1 1
3 2010
2 8
M x x x x x
x x x
M x x
x x
Áp dụng cô si cho ba số x x 8x ,
1 ,
ta có
4
1
1
1
1
3 2
x x x x x x
Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2
mà
0
x
Dấu ‘=’ xẩy x = ½ Vậy 2011
2010
1
0
M
Vậy giá trị nhỏ M 2011 M =
1
NAM ĐỊNH Chứng minh : Với mọi
2
2
1 1
x 1, ta ln có x 2 x
x x
(1)
2
2
2
1 1 1
3 x x x x x x
x x x x x x
1 1
3 x x (vì x nên x 0) (2)
x x x
Đặt
2
2
1
x t x t
x x
, ta có (2)
2
2t 3t t 2t
(3)
Vì
2
x nên x x 2x x hay t
x
=> (3) Vậy ta có đpcm
Câu 9.(2.0 điểm) VĨNH PHÚC Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca .
Có: a b c 1 ca b c c ac bc c c ab ac bc c 2ab a c b ( )c b c( )=
(c a c b )( ) ( )( )
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
Tương tự:
( )( ) ( )( ) a bc a b a c b ca b c b a
( )( )
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
(3)( )( )
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
P
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
=
2
a c c b b a a c c b b a
=
Dấu “=” xảy
1 a b c
Từ giá trị lớn
của P
2 đạt
1 a b c Câu (1,0 điểm) HẢI DƯƠNG Cho ba số x y z, , thoả mãn 0x y z, , 1 x y z 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2 2
(x 1) (y 1) (z 1)
z x y
Do x, y, z đặt a = – x 0, b = 1- y 0, c = 1- z a + b + c =
suy z = – x + 1- y = a + b, y = – x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b
Khi A =
2 2
a b c
a b b c c a
Với m, n
m n 0 m n mn
(*) Dấu “=” m = n
Áp dụng (*) ta có:
2 2
a a b a a b a a b
2 a
a b a b a b
2
a a b
a
a b
Tương tự ta có:
b b c
b
b c
;
2
c c a
c
c a
Suy
ra:
2 2
a b c
a b b c c a
a b c
=
1
Dấu “=” xảy a = b = c =
1
3suy x = y = z =
Vậy giá trị nhỏ A
1
2 x = y = z =
Bài ( 0,5 điểm) THÁI BÌNHCho a, b, c số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3 Chứng minh
rằng:
3 3 3
a 1 b 1 c 1
4
Đặt x = a -1; y = b - -1; z = c – -1; Đ/K x -1 ; y - 1; z -
⇒ x + y + z = VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz
Bài (1,0 điểm)HƯNG YÊN Tìm giá trị lớn biểu thức: y4(x2 x1) 2 x1 với -1 < x <
y x x 1 3 2x1
với -1< x <
2
y 4x 4x 3
9 (2 1) 3 (2 1)
4 x
x x x x
2
3 3
2
2 4
x
Vậy ymax =
3
Khi
3
2
2
x
= *
5
x
(loại ); *
1
x
(thoả mãn điều kiện )
Bài (1,0 điểm) b¾c ninhCho biểu thức:
2 6 12 24 3 18 36
P xy x y x x y y
Chứng minh P dương với giá trị x y;
P x 2x y 6y 12 x 2x 3 y 6y 12
x 2x y 6y 12 y 6y 12
y2 6y 12 x 2x 3
y 32 x 12 x, y
Vậy P dương với giá trị x, y
Câu 5: (0,5 điểm) BẮC GIANG Cho hai số thực dương x, y thoả mãn:
3 3 2 4 2 4 3 0
x y xy x y x y x y x y
Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y
ta có
2
3 2
3
3
2
3
2 2
2 2
3 4
3 3
2
2
2
x y x xy y xy x xy y xy xy x x xxy xy y y xy y xy xy x xy y xy xy
x xy y xy xy x y xy
x y xy x xy y xy x xy y xy xy Taco x xy y xy x xy y xy xy
y x x xy
2
2
2
2
3( ) 0
2
2 2
4
2( )
y y xy xy
x y x y a x y xy xy
x y x y x y