Bat dang thuc 1

Câu 7: Đây mới là câu hay nhất trong đề, cảm ơn các em đã gửi đến anh những bài sáng tạo của các em, đây mới là ý nghĩa của khóa học này!. Cảm ơn các em..[r]

Đáp án Ngày July 31, 2015 Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2  a  b  c 1  a  1 b  1 c  1 Hướng đi: Vì a, b, c có vai trò nên ta đoán a  b  c Khi đó: P 3a    a  1  f a f 'a  3a 3a  1 3a    a  1  Đến đây ta không cần giải nghiệm đạo hàm mà dùng chức SOLVE máy tính để tìm nghiệm là a  Vậy ta dự đoán a  b  c  2  Giải: Ta có: a  b  c   a  b   c Áp dụng Cauchy ba số:  a  1 b  1 c  1  1  a  b  2  a  b  c  3   c  1  27   a  b  c  1  x  y  z ( Ta áp dụng xyz  27 , để nhớ số thì các em cần cho x  y  z  , từ đây thay x  a  1; y  b  1; z  c  thì có BĐT 27 trên) P 54  a  b  c   a  b  c  3 Đặt t  a  b  c  3, t   P  f ' t   2 t  2  54   f t  t2 t 162   t  81 t   t  t      t  9t  18  t  9t  18    t   t  9  17  Mà t   t  Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy P  f    a  b  c  Đối với em 11 không dùng đạo hàm thì ta làm sau: Chiến thắng thân! Đáp án Ngày July 31, 2015  t    t  2t  12  54    0 Ta cần chứng minh f  t   t  t3 4t  t   1 Vì t   t  2t  12  32  2.3  12   a  b  c  Vậy (1) luôn đúng Từ đó P  Câu 2: Cho các số dương a; b; c Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a3  b3  c3  1   a  1 b  1 c  1 Hướng đi: Nhìn vào biểu thức P ta thấy a, b, c có vai trò nên ta dự đoán a  b  c Khi đó P   3a3  1 f ' a    a  1 3a  3a  1  3a  1 3   f a  a  1  Đến đây ta dùng máy tính SOLVE thì thấy a  là nghiệm phương trình trên Vì ta dự đoán a  b  c  Giải: Trước tiên ta cần chứng minh a b  a  b   a3  b3  ab  a  b    a3  a 2b    b3  b a     a  b   a  b2     a  b   a  b   luôn đúng (BĐT này nên nhớ nha, nhớ số ¼ theo cách anh nhé) Tương tự ta chứng minh: c  a  b3  c    c  1 1  (vì ta đã dự đoán c  ) 1 3 a  b    c  1    a  b  c  1   16 4 Và ta dùng AM-GM cho ba số:  a  1 b  1 c  1 Chiến thắng thân!  a  b  c  3  27 Đáp án Ngày July 31, 2015 Do đó P  54  a  b  c   a  b  c  3 Đặt t  a  b  c  3, t   P  f ' t   2 t  2  54   f t  t2 t 162   t  81 t   t  t      t  9t  18  t  9t  18    t   t  9  17  Mà t   t  Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy P  f    a  b  c  Các em 11 thử làm mà không dùng đạo hàm thử nha! Câu 3: Cho a, b và c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ của: P (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc  abc (b  c) Hướng đi: Việc đầu tiên ta dự đoán dấu nó Đối với bài này, thông thường dấu = xảy b  c (a  2b)(ab  b2  ab) (a  2b)(b  2a) a b 1  1  2    1  Khi đó P  ab ab b a Đến đây ta có thể dự đoán a  b (theo Cauchy) Từ đây ta biết a  b  c Giải: P  (a  b  c)(ab  bc  ca) 4bc   abc (b  c)2 Ta dùng Bất đẳng thức phụ: 1 1 4bc     a b c  (b  c)  a  b  c   (a  b)( x  y )  ax  by  (a  b)( x  y)  ax  by  abxy  ay  bx  abxy (luôn đúng theo Cauchy) Chiến thắng thân! July 31, 2015 Dấu = xảy Đáp án Ngày a x  b y Tiếp theo ta lồng biểu thức 1 1    vào BĐT phụ trên, và điều ưu tiên là ta khử a b c  a  b  c   ẩn a 1 1 bc 1 1     a  (b  c)      a bc a b c b c  a  b  c   a a bc Đến đây ta kiểm tra, dấu = xảy  a    a  bc Điều này đúng bc 1 b  c a (b  c ) b c với hướng đã vạch là a  b  c ( Ở bước này ta có thể làm sau 2  b  c   a(b  c)  b  c    b  c   b  c   b  c ) 1  a  b  c        bc bc a bc bc bc a b c  P  1 bc 4bc bc       4t  f (t ), t    0; t b  c   bc  b  c  8t  f '(t )  8t    t t 1 23   f (t ) nghịch biến trên 22 1  f (t )  f    Dấu = t   a  b  c 2 Vậy MinP  a  b  c Cách em 11 có thể dùng sau: 1 1  P    4t      4t    3 4t  t 2t 2t  2t 2t  Vậy MinP  a  b  c Chiến thắng thân!  1  0;   2 July 31, 2015 Đáp án Ngày 2 Câu 4: Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xy   x  y  z  Tìm GTNN 20  x z P  x yz 20 y2 Hướng đi: Bài này thực là bài khá khó, đây không phải BĐT nửa đối xứng, và ta khó mà đoán điểm rơi nó Nhưng khó không phải là không thể Để ý kĩ, ta thấy xuất biểu thức và xz Điều này giúp ta liên tưởng đến việc khử mẫu và để ý thấy, hệ số chúng y2 là 20, nên có thể chúng 2 2 Khi chúng thì x  z  y   x  y  z  xy   x  y  z   x  y  x  y   40  Khảo sát hàm số này thì hàm số có GTNN là 26 và x  z  x z Và P  2( x  z )  x  z    x  z  y   x  1; y  2; z   x2  y2  2x  y    Từ đó ta đã biết điểm rơi BĐT 2 2 Giải:  x  y  z   x  y  z  xy   x  y   z (dễ thấy x  y  z nên ta làm tiếp)  x  y  z  2 P  x yz  x yz 6 20  x z 20  x y z y2 40  x  z  y     x  y  z  2  40 2 x y z2 Đến đây thì đã đơn giản, có nhiều cách sử lí, và tôi chọn cách gần gũi với các bạn Đặt t  x y z2  2  P  f t   t  f '(t )  2t  40 2 t 40 2t  40   0t  2  f  t  nghịch biến trên t2 t2 Chiến thắng thân!  2; 2  July 31, 2015  Đáp án Ngày  Vậy f  t   f 2  26 Vậy MinP  26 x  1; y  2; z  Các em hãy làm thử bài này: 2 (moon.vn) Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  xy   x  y  z  Tìm GTNN P  x yz 54 54  y7 z  x5 Câu 5: Cho a, b, c  thỏa c  và a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a  b2   c  a  1 b  1 c  1 8 Hướng đi: Ta dự đoán a  b đó 2a  c   a  3c 2 3  c  3 P   c   c  f c 2  a  1  c  1 8   c   c  1 8 2a 2 2  c  3  c   c  1   c     c   c  1   c  3   f '  c    0 2  c    c  1    Đạo hàm vất vả, ta tiếp túc dùng máy tính SOLVE thì ta nghiệm c  Nhưng để ý kĩ đề bài thì c  nên nhiều khả c  Vậy ta dự đoán a  b  c  Giải: Giờ anh xin so sánh hai cách giải sau: Cách 1: Khi ta chưa biết điểm rơi: a  b 2 3  c  3 P   c   c  f c 2  a  b    c  1 8   c   c  1 8 Chiến thắng thân! July 31, 2015 Đáp án Ngày  c  c  c   c  2 c  c   c                    f '(c )       (khúc này đạo c  c          hàm thấm, và không có bao nhiêu bạn chứng minh đạo hàm nhỏ 0)  f  c  nghịch biến  P  f 1  a  b  c  Nhưng cách này chúng ta thời gian cho công việc đạo hàm và tìm nghiệm đạo hàm Chính vì mình đưa thêm cách để các bạn có thể so sánh với cách Cách 2: Để ý ta thấy c  và dự đoán a  b nên ta thử ngầm a  b  c  và ta có cách nào sau 2 27  a  b  3  c   c a  b2 3 P   c   c 16 8  a  1 b  1 c  1 8  a  b  c  3 8 c  4c  1  c   c    0 16 16 Vậy MinP  a  b  c  Cả hai cách có ưu điểm và khuyết điểm, quan trọng là ứng dụng chúng ta vào chúng, hãy thử sáng tạo theo hướng chính mình các bạn hiểu lại có kết Câu 6: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn xyz  và x  y  xy  Tim giá trị lớn biểu thức P  xy   x  y   2 z Hướng đi: Nhìn vào biểu thức P, ta theo hướng dồn biến z và lại có xy   Giải: x  y  xy   x  y  2 z   xy   xy   x  y   xy   xy  4 Và xy   x  y   xy    xy  P  x  y  xy  1   xy   xy   xy  (ta quy xy để biến đổi đỡ phức tạp hơn) 2 z 2 xy Chiến thắng thân! Đáp án Ngày July 31, 2015 Đặt t  xy, t  1;3  P  2t  8t   t  2t  f 't    2t  8t  1  2t  1  2t  8t  22  2t   2t  8t   t  f t  2t  2t   2t  8t  2t  8t   2t  8t   2t  1   2t  1  0t  1;3  f  t  đồng biến trên 1;3   xy  x  y   12  Vậy P  f  3   x  y   z    z  xy  Câu 7: Đây là câu hay đề, cảm ơn các em đã gửi đến anh bài sáng tạo các em, đây là ý nghĩa khóa học này! Cảm ơn các em   1.(Văn Tuân Ngô) Cho các số dương x, y, z thỏa y  x  z  xz  x  z  Tìm giá trị nhỏ x2 2z2 y2     y2 y 2 xz biểu thức: P    x 3  z 3  x zx z Giải: y   x  z   xz  x  z              y y y y  y   y   Đặt a  3 x z 2 ; b    a3  b3   9ab  a  b      a  b    a  b    a  b     a  b    y y   a  b  ab  ab  P  2a  1  2b2    2 4ab Chiến thắng thân!   a b  1  2 ab  4ab 4ab July 31, 2015  Đặt t  ab , t   0;  f 't   2  Đáp án Ngày 1   P  2t   f  t   4t 2   y   P f   x  z   t   0;   t 2  2  2 2.(Nguyễn Công Hoan) Cho các số thực dương a, b, c thỏa 3a  3b  c   a  b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  4c   a  b   6ab  6c 3c 2 ab    Giải: Theo giả thiết c   a  b    3a  3b  c   a  b    a  b    a  b  1  c2   a  b     a  b    a  b    c  a  b  P  c 1 ab 3c  6ab   c   a  b    4c   a  b   6ab  3c 3c  2  2 2 6c ab 6c ab 2  c  a  b 3c  6ab  3a  3b3 3c 3c  2  2 2 6c ab 2c ab a  b  c 2c 2  3c 2 ab abc 3c ab 3c  2   2c ab c ab Đặt t  c t 1 5 , t   P  3t        t      ab 2t  2t  2 2 Vậy MinP  a  b  1; c  3.(Ôn Cẩm Lê) Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa a  b  c  d  Tim giá trị nhỏ biểu   thức: P  a  b3  c  d  27 8abcd  a  b  c  d  a  b  c  d  Giải: Áp dụng AM-GM abcd  Và a  1 1   a  a 8 8 Chiến thắng thân! 4  16 Đáp án Ngày July 31, 2015 Tương tự ta có b3  1   b 8 1 c3    c 8 Cộng vế theo vế ta a  b3  c  d   Vậy P   1 d    d 8 3  a  b  c  d    a  b3  c3  d  2 27  31 Dấu  a  b  c  .2 16 4.(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P  Giải: P   2abc a  b2  c2 1  2abc   2abc   2abc 2 a b c   ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  abc  1    a; b; c    3;0;  cùng các hoán vị   2.0  Dấu  xảy a  b  c   2.0 ab  bc  ca   P  2  2abc  a b c  a b  c  b  c   a 2  2a    a  a 3  a   2 2 a  6a  9a   f a 3a  6a    a  1 a  3 33  a   1 a  0 f ' a     a       a  2a  32  a  2a   2     a  vì  a  2a  3  3  a   a   0;3 Vẽ bảng biến thiên  P  f 1  Vậy MinP  10 a  b  c   a; b; c    3;0;0  cùng các hoán vị Chiến thắng thân! Đáp án Ngày July 31, 2015 MaxP  a  b  c  .(Phạm Văn Huy) Cho các số không âm a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P  a  b  c  2abc Giải: Không tính tổng quát, giả sử a  max a; b; c  a   2;6  a  a   a    2 2 P  a  b  c  2abc  a   b  c   2bc  2abc  a   b  c   2abc  a   b  c   a  b  c  2 2  P  2a    a   a   a   a  8a  12a  72  a  a   a    72  72  MaxP  36  a; b; c    6;0;0  cùng các hoán vị 2 2 P  a   b  c    a  1 bc  a   b  c   a    a  a   a  2  18  MinP  18  a; b; c    3;3;0  cùng các hoán vị 6.(Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x; y  và x  y   z Tìm giá trị lớn  biểu thức: P   z      x2     4 z 1 y   Giải: Theo giả thiết, ta có z  x  y   z   0;3 và xy   x  y 2   z  1  xy  TH1: z   0; 2  P  1  z  1  x  y    z  z  1  2 1   4 z 42 TH2: z   2;3 Ta chứng minh BĐT: 1 x  1 y  1     2 2 1 x 1 y  xy  xy 1 x 1 x  1   1   0       2   x  y  xy    x  y  xy  11 Chiến thắng thân! Đáp án Ngày July 31, 2015  x  y   xy  1   xy   1  x 1  y  1  xy  1  xy  1  x 1  y  0 1  x 1  y   x  y   xy  1   1  x2 1  y  1  xy  1  xy   P   z  2  xy 2 2  x  y 1  x2 1  y   1  xy   z  2  4 z  1  z  z  1  1  x2 1  y   (đúng)  z  2 1   4 z 4 z z2  2z  z2 2   f  z z 1 4 z f ' z   2  z  1  4  z 4 z  z   2;3  f  z  đồng biến trên  2;3  P  f  3   Vậy MaxP   x  y  1; z  2 (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1 x  1 y  z2 1 Giải: Theo giả thiết  z   0;3 P 1 x  2 5 z 2  1 y 2  z2 1  1  x 1  y  2  z2 1  2 2 x  y  z2 1  z2 1 t   z , t  1;   P  2   t  f t  t   t3  26  t2  2 2t f 't       t    t   t  12  2t 2 2 t 6t t 6t 12 Chiến thắng thân! July 31, 2015 t Đáp án Ngày   t  2t     t  Lập bảng biến thiên thấy MinP  f    2 Dấu = xảy x  y  0; z  (Nkok Iu Bé) Cho các số thực dương a; b; c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c P     a b a b 3ab 2 4c 4c 9c 1  a  9c 1  b  c c 1 1      13c     9c  a  b2    36c Giải: P  a b a b 3ab 3ab a b 2 16c 9c  a  b  4c 16c 9c 1  c  4c     36 c     36c  f  c  2 ab 1 c 3 a  c  1  c  Đến đây các em tự làm tiếp nhé! 2 (Phạm Văn Huy) Cho các số thực không âm x; y; z thỏa x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1   1 x 1 y z 1 Giải: Đặt a  1 0 1   a  x  1  3a  x 1 x 1 Ta có  y 1  a  y  1  3a  y 1  P  a3  x  y    a3   z   f ' z   13 a3 z 3 z   3a  a3  x  1 x 1  3a  a  y  1 y 1 4  2a  6a   a  x  y    2a  6a z 1 z 1  a  6a  f  z  z 1  z  1   f  z  đồng biến trên 0;  Chiến thắng thân! July 31, 2015 Đáp án Ngày  P  f     a  2a  a   P  Vậy MinP  1 14  x  y  Chiến thắng thân!  a  2a  6a    ;z   1 2