Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THU THỦY

TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG

THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THU THỦY

TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

none

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 17

1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 18

1.3 Bất đẳng thức biến phân 20

1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 20

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm 24

Chương 2 Nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơnđiệu 272.1 Nghiệm hiệu chỉnh 27

2.1.1 Bài toán hiệu chỉnh 27

2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 28

2.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 31

2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh 34

2.2.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều 34

Mở đầu

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liênhợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : X → X∗ là toántử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng trong X Với f ∈ X∗, hãytìm x0 ∈ K sao cho

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ K, (0.1)ở đây hx∗, xi kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ tạix ∈ X Bài toán được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (variationalinequality) Nếu K ≡ X thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh ra từ nhiềuvấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lýtoán, tối ưu hoá Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như các bài toán cân bằngmạng giao thông đô thị, các mô hình cân bằng kinh tế đều có thể mô tảđược dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân đơn điệu Rất tiếc là bấtđẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại là bài toán đặt không chỉnh.

Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải sốcủa nó gặp khó khăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toáncó thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải Vì thế nảy sinh vấn đề tìmcác phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh, sao chokhi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được cànggần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu.

Năm 1963, A N Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng vàkể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôiđộng và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế.

Mục đích của đề tài luận văn nhằm nghiên cứu một phương pháp giảiổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu trên cơ sở xây dựng nghiệm hiệuchỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân Nghiên cứu sự hội tụ vàđánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệumạnh trong không gian Banach phản xạ thực dựa trên việc chọn tham sốhiệu chỉnh tiên nghiệm.

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 trìnhbày một số kiến thức cơ bản nhất về toán tử đơn điệu, bài toán đặt khôngchỉnh và bất đẳng thức biến phân.

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bấtđẳng thức biến phân đơn điệu Kết quả chính của chương này là đánh giátốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọntiên nghiệm Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều và đánhgiá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này ởphần cuối của chương là kếtquả số có tính chất minh hoạ cho phương pháp nghiên cứu, chương trìnhthực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB.

Kết quả về sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạnchiều của bất đẳng thức biến phân (0.1) được đăng tải trên Tạp chí Khoahọc và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, số 5 năm 2009.

Em mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ NguyễnThị Thu Thuỷ, cô đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt thời gian

em thực hiện khóa luận và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luậnnày.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư , tiến sĩ ở Viện Toánhọc , Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việtnam, các thầy giáo, cô giáo trong Trường Đại học Khoa học nói chung vàKhoa Toán-Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiềukiến thức khoa học trong suốt thời gian em học tập tại Trường.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới những người thân, những ngườibạn của tôi đã động viên và cổ vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua.Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn nên khóa luận này khôngtránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópquý báu của các quý thầy cô và toàn thể các bạn.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009

Lương Thị Thu Thuỷ

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

H không gian Hilbert thựcX không gian Banach thựcX∗ không gian liên hợp của XRn không gian Euclide n chiều

AT ma trận chuyển vị của ma trận Aa ∼ b a tương đương với b

A∗ toán tử liên hợp của toán tử AD(A) miền xác định của toán tử AR(A) miền giá trị của toán tử Axk → x dãy {xk} hội tụ mạnh tới xxk * x dãy {xk} hội tụ yếu tới x

kxk =

 Z b

Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc, X∗ lµ kh«ng gian liªn hîp cña X.Kh«ng gian liªn hîp cña X∗ ®­îc gäi lµ kh«ng gian liªn hîp thø haicña Xvµ kÝ hiÖu lµ X∗∗, tøc lµ X∗∗ = L( X∗

, R).

Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạnếuX = X∗∗.

Ví dụ 1.1.2 Lp[0, 1], p > 1 là một không gian phản xạ Mọi không gianđịnh chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.

Định nghĩa 1.1.3 Tập M ⊂ X được gọi là

1) lồi nếu ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ M;

2) compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa dãy con xnk hội tụ đếnmột phần tử x0 ∈ M ;

3) compact yếu nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa một dãy con xnk hộitụ yếu đến một phần tử x0 ∈ M ;

4) đóng (đóng yếu) nếu {xn} ⊂ M, xn → x (xn * x) thì x ∈ M.Định nghĩa 1.1.4 Dãy các phần tử xn trong không gian Banach X đượcgọi là hội tụ mạnh đến phần tử x0 khi n → ∞ nếu k xn − x0 k−→ 0 Dãycác phần tử xn được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x0 nếu với mọi f ∈ X∗

3) Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội.

4) Nếu X là không gian phản xạ thì xn * xkhi và chỉ khi dãy {hf, xni}hội tụ trong R với mọi f ∈ X∗.

5) Nếu xn * x0 thì kx0k ≤ limn→∞kxnk.

? Nhận xét: Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh là:1) X là không gian hữu hạn chiều.

2) {xn} ⊂ M, ở đây M là một tập compact trong X.

Định lý 1.1.1 (Banach-Steinhaus) Cho X là không gian Banach, fn ∈ X∗

và giả sử dãy {hfn, xi} bị chặn với mọi x ∈ X Khi đó dãy {fn} bị chặntrong X∗.

Định lý 1.1.2 Giả sử {fn} ⊂ X∗ hội tụ mạnh đến f ∈ X∗ và {xn} ⊂ Xhội tụ yếu đến x ∈ X hoặc {fn} ⊂ X∗ hội tụ yếu đến f ∈ X∗ và {xn} ⊂ Xhội tụ mạnh tới x ∈ X Khi đó lim

n→∞hfn, xni = hf, xi.

Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X được gọilà không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay tính chất E-S) nếu trongX sự hội tụ yếu các phần tử xn * x
và sự hội tụ chuẩn kxnk → kxk
luôn kéo theo sự hội tụ mạnh kxn − xk → 0
.

1.1.2 Phiếm hàm lồi nửa liên tục dưới

Cho X, Y là các không gian Banach, toán tử A : X → Y là một toántử đơn trị Chúng ta kí hiệu miền xác định của A là D(A) với

D(A) = domA = {x ∈ X|Ax 6= ∅}và miền giá trị là

R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}.Định nghĩa 1.1.6 Toán tử A gọi là tuyến tính nếu

1) A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X;

2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X, ∀α ∈ R.

Nếu Y ≡ R thì ta có phiếm hàm tuyến tính f với miền xác định của hàmf là

domf = {x ∈ X|f (x) 6= ∅}.

Định nghĩa 1.1.7 Toán tử A được gọi là một toán tử tuyến tính liên tụcnếunó là toán tử tuyến tính, đồng thời là toán tử liên tục giữa hai không gianX và Y

Ví dụ 1.1.3 Cho X = Rk, Y = Rm, toán tử A được xác định bởiA(x1, x2, , xk) = (y1, y2, , ym)

(giới nội) nếu tồn tại số K > 0 thỏa mãn:

trong đó K(x, s) là một hàm hai biến có bình phương khả tích, nghĩa làZ b

|xi|21/2, kxk∞ = max

1≤i≤n|xi|,ở đây x = (x1, , xn) ∈ Rn.

2) Trong không gian hữu hạn chiều Rn, khi có một cơ sở cố định, toántử tuyến tính A được cho bởi ma trận (aij)ni,j=1 thì ba chuẩn tương ứng củama trận A là:

kAk1 = max

|aij|,trong đó λi(ATA) là các giá trị riêng của ma trận đối xứng ATA.

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian BanachY, ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với x → θX, nếu r(x)/kxk → 0 khi x → θX.Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y

Định nghĩa 1.1.10 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian BanachX vào không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểmx ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),

với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ Nếu tồn tại thì T được gọi là đạohàm Fréchet của A tại x, và ta viết A0(x) = T.

Định nghĩa 1.1.11 Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên X nếuvới mọi x, y ∈ X ta có

1) chính thường nếu domf 6= ∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ X;2) hữu hạn nếu |f(x)| < ∞, ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.15 Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ X nếutồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho

Định nghĩa 1.1.16 Không gian định chuẩn X được gọi là lồi chặtnếu mặtcầu đơn vị S = {∀x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ Skéo theo kx + yk < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì mộtđoạn thẳng nào).

Ví dụ 1.1.5 Không gian Lp[a, b], 1 < p < ∞ là không gian lồi chặt.1.1.3 Toán tử đơn điệu

Cho A : X → X∗ là toán tử đơn trị từ không gian Banach phản xạ thựcX vào X∗ với miền xác định là D(A) ⊆ X (thông thường ta coi D(A) ≡ Xnếu không nói gì thêm) và miền giá trị (miền ảnh) R(A) nằm trong X∗.Định nghĩa 1.1.17 Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).

A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y.

Định nghĩa 1.1.18 Nếu ∀x ∈ X ta có hAx, xi ≥ 0 thì A được gọi là toántử xác định không âm, kí hiệu là A ≥ 0.

? Nhận xét: Nếu A là một toán tử tuyến tính trong không gian Banach Xthì tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm của toán tử.

Định nghĩa 1.1.19 Toán tử A được gọi làđơn điệu đềunếu tồn tại một hàmkhông âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A).

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơnđiệu mạnh.

Định nghĩa 1.1.20 Toán tử A được gọi là h-liên tụctrên X nếu A(x+ty) *Axkhi t → 0 với ∀x, y ∈ X và d-liên tụcnếu xn → xthì suy ra Axn * Ax.Chú ý rằng nếu A là toán tử đơn điệu và h-liên tục thì A là toán tử d-liêntục.

Định nghĩa 1.1.21 Toán tử A được gọi là toán tử bức, nếulim

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X.

Khi s = 2 thì Us thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc của X Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được chotrong mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1.1 (xem [5]) Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R;

2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt.

hUs(x) − Us(y), x − yi ≥ mUkx − yks, mU > 0, (1.2)kUs(x) − Us(y)k ≤ C(R)kx − ykν, 0 < ν ≤ 1, (1.3)ở đây C(R) là một hàm dương và đơn điệu tăng theo R = max{kxk, kyk}(xem [1] và tài liệu dẫn) Nếu X là không gian Hilbert H thì mU = 1, ν = 1và C(R) = 1.

Định lý 1.1.3 (xem [5]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục.Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệuchặt.

Định nghĩa 1.1.23 Cho X là không gian Banach phản xạ, f : X → R làmột phiếm hàm lồi, chính thường trên X Ta định nghĩa ∂f(x) bởi

∂f (x) = {x∗ ∈ X∗ : f (x) ≤ f (y) + hx∗, x − yi, ∀y ∈ X}.

Phần tử x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới Gradient của hàm f tại x và ∂f(x) đượcgọi là dưới vi phân của f tại x.

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gianY Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;2) nghiệm duy nhất và;

3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán(1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.

? Nhận xét:

1) Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f),được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 có thể tìm

được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) ta có ρX(x1, x2) ≤ ε,ở đây

1.2.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Sau đây ta sẽ chỉ ra một ví dụ về toán tử A mà (1.4) là bài toán đặtkhông chỉnh.

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nóánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh tức là nếu xn * x suy raAxn → Ax.

Mệnh đề 1.2.1 (xem [4]) Cho X và Y là các không gian Banach thực.Nếu A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.

Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn chiều) nóichung là bài toán đặt không chỉnh Thật vậy,giả sử {xn}là một dãy chỉ hộitụ yếu đến x, xn * x, xn 6→ x và yn = A(xn), y = A(x) Khi đó do tínhliên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = fkhông phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toántử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) củatoán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tínhcompact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chunglà liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh.

Ví dụ 1.2.1 Hệ phương trình

x1 + x2 + x3 = 3x1 + 1.02x2 + x3 = 3.02x1 + x2 + 1.01x3 = 3.01

có nghiệm là x1 = 1; x2 = 1 và x3 = 1 Trong khi đó hệ phương trình

x1 + x2 + x3 = 3x1 + 1.02x2 + 1.03x3 = 3.051.003x1 + x2 + x3 = 3.06có nghiệm là x1 = 20; x2 = −56 và x3 = 39.

Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong hệ phương trình ban đầu đã kéotheo những thay đổi đáng kể của nghiệm Do vậy, đây là một bài toán đặtkhông chỉnh.

Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.4), nên ta cầnphải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng nghiệmx0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất.

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x0 được gọi là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhấtcủa phương trình (1.4) nếu

kx0 − x∗k = min

kx − x∗k,với S0 = {x ∈ X : A(x) = A(x0) = f }.

1.3 Bất đẳng thức biến phân1.3.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên hợpcủa X, A : X → X∗ là một toán tử đơn trị và K là tập con lồi đóng củaX Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: với f ∈ X∗,hãy tìm x0 ∈ K sao cho

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ K (1.5)Ví dụ 1.3.1 Cho f(x) là một hàm thực khả vi trên J = [a, b] Hãy tìmx0 ∈ J sao cho

f (x0) = min

x∈J f (x).Có ba khả năng xảy ra:

1) Nếu a < x0 < b thì f0(x0) = 0;2) Nếu x0 = a thì f0(x0) ≥ 0 và;3) Nếu x0 = b thì f0(x0) ≤ 0.

Những phát biểu này có thể tổng quát bằng cách viết như sau:f0(x0)(x − x0) ≥ 0, ∀x ∈ J,

đây là một bất đẳng thức biến phân.

Trong trường hợp A là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm F : X →R ∪ {+∞} lồi chính thường nửa liên tục dưới và f ≡ 0 ∈ X∗ thì bất đẳngthức biến phân (1.5) tương đương với bài toán cực trị lồi không khả vi

Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đươngvới

| hA(x0 − tz) − A(x0), zi |≤ 1

3kzkkA(x0) − f k (1.9)Từ hAx − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X, thay x bởi x0 − tz ta được

hA(x0 − tz) − f, (x0 − tz) − x0i ≥ 0