Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)

Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Phương trình toán tử 1.1 1.2 1.3 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Toán tử đơn điệu Phương trình toán tử đơn điệu 10 1.2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh 10 1.2.2 Ví dụ phương trình toán tử đặt không chỉnh 12 Một số toán liên quan đến phương trình toán tử đơn điệu 17 1.3.1 Bài toán điểm bất động 17 1.3.2 Bài toán cân thị trường 19 Hiệu chỉnh phương trình toán tử: Tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều 2.1 21 Hiệu chỉnh phương trình toán tử 21 2.1.1 Toán tử hiệu chỉnh 22 2.1.2 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A liên tục đóng yếu 23 ii 2.1.3 2.2 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A đơn điệu 26 Xấp xỉ hữu hạn chiều 30 2.2.1 Sự hội tụ 30 2.2.2 Tốc độ hội tụ 31 Tài liệu tham khảo 39 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Việt Hà Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A toán tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A x, y tích vô hướng hai vectơ x y x chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu x I ánh xạ đơn vị Lời nói đầu Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Hilbert H: Tìm phần tử x0 ∈ H thỏa mãn (1) A(x0 ) = f A : D(A) ⊆ H → H, f ∈ H, D(A) ký hiệu tập xác định toán tử A Ta xét phương trình toán tử (1) trường hợp f xác mà cho xấp xỉ fδ , thỏa mãn f − fδ ≤ δ , δ → (2) Nếu điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A (chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh), phương trình toán tử (1), nói chung, toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban đầu Những người có công đặt móng cho lý thuyết toán đặt không chỉnh nhà toán học A N Tikhonov [6], M.M Lavrentiev [5] V.K Ivanov [4] vv Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu giải toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Kể từ năm 1963 A.N Tikhonov [6] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu (1) không gian Hilbert báo [3] Cụ thể nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phương trình toán tử (1) trường hợp toán tử A liên tục, đóng yếu, đơn điệu; đồng thời nghiên cứu tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Giới thiệu toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Hilbert, không gian Banach số toán liên quan đến toán tử đơn điệu, toán điểm bất động, toán cân Chương 2: Trình bày kết nghiên cứu [3] phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Chương Phương trình toán tử Chương trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach không gian Hilbert; giới thiệu số toán liên quan đến phương trình toán tử toán tử đơn điệu Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]–[3] 1.1 1.1.1 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Không gian Banach Mục trình bày khái niệm số kết không gian Banach Các kiến thức mục tham khảo [2] Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X Ánh xạ d : X × X → R gọi mêtric thỏa mãn tiên đề sau: (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d xác định gọi không gian mêtric, ký hiệu (X,d) Định nghĩa 1.1.2 Không gian mêtric (X,d) gọi không gian đầy đủ (hay không gian đầy) dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian tuyến tính X trường số thực, ánh xạ ||.|| : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: (i) ||x|| ≥ với x ∈ X; ||x|| = ⇔ x = 0; (ii) ||kx|| = |k|.||x|| với x ∈ X, với k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y ∈ X Không gian tuyến tính X với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn, ký hiệu (X, ||.||) Định nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ yếu tới x0 ∈ X, ký hiệu xn ⇀ x0 với f ∈ X ∗ -không gian liên hợp X ta có f (xn ) → f (x0 ) n → ∞ Nhận xét 1.1.5 Một dãy hội tụ mạnh hội tụ yếu, ngược lại chưa Ví dụ, không gian l2 lấy dãy {ei}∞ i=1 cho ei , e j = i = j ei , e j = i = j Khi đó, với ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , ) ∈ l2 ta có e j , ϕ = ϕ j Vì ϕ ∈ l2 nên lim ϕ j = 0, tức dãy {e j }∞j=1 hội tụ yếu đến phần j→∞ √ ∞ tử Nhưng dãy {e j } j=1 không hội tụ mạnh Thật vậy, ei − e j = nên dãy {e j }∞j=1 dãy bản, không hội tụ mạnh Chú ý 1.1.6 Trong không gian định chuẩn X dãy {xn } hội tụ mạnh đến x0 xn ⇀ x0 xn → x0 Định nghĩa 1.1.7 Toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y liên tục với dãy {xn } ⊂ X xn → x ∈ X A(xn ) → A(x) Tính liên tục toán tử tuyến tính A xác định cách A(xn ) → với dãy {xn } ⊆ X xn → 25 (i) A khả vi Fréchet; (ii) Tồn số L ≥ cho A′ (x0 ) − A′ (x) ≤ L x0 − x với x ∈ D(A); (iii) Tồn phần tử z ∈ X cho x0 − x∗ = A′ (x0 )∗ z và; (iv) L z < Khi đó, (1) Nếu α = cδ , c > 0, xδα − x0 ≤ √ 1+c z c (1 − L z ) δ (2) Nếu tham số hiệu chỉnh α chọn thỏa mãn δ ≤ A(xδα ) − fδ ≤ c1 δ , c1 ≥ 1, (2.5) xδα − x0 ≤ 2(1 + c1 ) z 1−L z 1/2 δ Tham số hậu nghiệm chọn theo (2.5) nguyên lý độ lệch Morozov Với nguyên lý độ lệch cổ điển, tham số hiệu chỉnh α chọn thỏa mãn A(xδα ) − fδ = cδ , c ≥ Với α > fδ ∈ H nghiệm hiệu chỉnh xδα (2.3) tìm phương pháp bình phương tối thiểu dựa việc giải phương trình đây: A ∗ xαδ ′ A xαδ − fδ + α xαδ − x∗ = 0, (2.6) A′ đạo hàm Fréchet A A′∗ toán tử liên hợp A′ Nếu A 26 toán tử tuyến tính bị chặn phương trình (2.6) có dạng: A∗ (A xδα + α xδα − x∗ = A∗ fδ (2.7) 2.1.3 Hiệu chỉnh trường hợp toán tử A đơn điệu Trong trường hợp A toán tử đơn điệu, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bao gồm việc giải phương trình toán tử: A xαδ + α xαδ − x∗ = fδ (2.8) Việc giải toán (2.3), (2.7) phức tạp việc giải phương trình (2.8) Phương trình (2.8) có nghiệm xαδ với α > fδ ∈ H dãy nghiệm xαδ hội tụ theo chuẩn H đến x0 δ α α dần Ta có kết sau Định lý 2.1.5 Cho fδ ∈ H với fδ − f0 < δ x0 nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ toán (2.1) Giả sử, điều kiện sau thỏa mãn: (i) A khả vi Fréchet lân cận x0 ; (ii) Tồn số L > cho: A′ (x0 ) − A′ (x) ≤ L x0 − x với z ∈ S (x0 , r), S (x0 , r) hình cầu với tâm x0 bán kính r; (iii) Tồn phần w ∈ H cho x0 − x∗ = A∗ (x0) w (iv) L w < e Với tham số α chọn thỏa mãn α = O (δ p ), < p < ta có xδα − x0 = O (δ q ) , q = − p, p 27 Chứng minh Từ phương trình (2.1) (2.8) ta suy ra: A xαδ − A (x0 ) , xαδ − x0 + α xαδ − x0 ≤ δ xαδ − x0 + α x∗ − x0 , xαδ − x0 Kết hợp với điều kiện (iii) định lý ta nhận α xδα − x0 ≤ δ xδα − x0 + α w, A′ (x0 ) x0 − xδα Vì toán tử A khả vi Fréchet, nên A′ (x0 ) x0 − xδα = A (x0 ) − A xδα + rαδ rαδ ≤ L δ xα − x0 Vì α xδα − x0 ≤ δ xδα − x0 + α w (δ + α ) xδα − x∗ L + xαδ − x0 , hay 1−L w xδα − x0 ≤ (δ + α w ) /α + xαδ − x0 + w (δ + α x∗ − x0 ) Từ ta nhận xδα − x0 ≤ (1 − L w /2)−1/2 δ α + α w (1 − L w /2)−1/2 ( w (δ + α x∗ − x0 ))1/2 xαδ − x0 = O (δ q ) , q = − p, p + (2.9) 28 Chú ý 2.1.6 Nếu fδ = f0 xα0 − x0 = O α 1/2 , xα0 nghiệm (2.8) với fδ = f0 Thật vậy, từ (2.1) (2.8) ta thu được: A x0α − A (x0 ) , xα0 − x0 + α x0α − x0 ≤ α w, A xα0 − A (x0 ) + rα0 Như chứng minh định lý ta xác định rằng: xα0 − x0 ≤ α w.xα (x − xα ) Trong tính toán, ta cần chọn tham số hiệu chỉnh α dựa vào kiện ban đầu số liệu tính toán Một phương pháp sử dụng rộng rãi 29 nguyên lý độ lệch, chọn tham số α thỏa mãn: α xδα − x∗ = k1 > (2.10) Phương trình (2.10) có nghiệm α = α (δ ) với < δ < δ1 dãy xα (δ ) hội tụ đến x0 δ → Ta giả thiết (2.10) có nghiệm α (δ ) với δ > đủ nhỏ điều kiện định lý thỏa mãn, từ (2.9) (2.10) ta có xαδ (δ ) − x0 ≤ (1 − L w /2)−1 (δ /α (δ )) xαδ (δ ) − x0 + w (δ + k1 δ p0 ) Bởi xαδ (δ ) − x0 ≤ (1 − L w /2)−1 δ /α (δ ) + (δ + k1 δ p0 )1/2 ( w / (1 − L w /2))1/2 Suy xαδ (δ ) − x0 = O (δ τ ) , τ = − p0 , p0 Ta nhận thấy rằng: A xαδ − f0 ≤ δ + α x0 − x∗ Suy A xαδ − f0 = O (δ p0 ) 30 2.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều 2.2.1 Sự hội tụ Ta xấp xỉ không gian Hilbert H dãy không gian hữu hạn chiều Hn thỏa mãn: H1 ⊂ H2 ⊂ · · · ⊂ Hn · · · ⊂ H Ký hiệu Pn phép chiếu chiếu H lên không gian hữu hạn chiều Hn H Từ (2.8), ta xét toán hữu hạn chiều sau đây: n − x∗n = fδn , An xnαδ + α xαδ (2.11) An = Pn∗ APn , x∗n = Pn x∗ fδn = Pn fδ Ta thấy An toán tử đơn điệu liên tục, phương trình (2.11) có nghiệm xnαδ với α > Ta có định lý sau Định lý 2.2.1 n Với α > fδ ∈ H, dãy xαδ hội tụ đến xδα -nghiệm toán (2.8) n → ∞ Pn x → x với x ∈ H n Chứng minh Nếu Pn x → x với x ∈ H dãy xαδ hội tụ đến xαδ n → ∞ Thật vậy, cho x ∈ H phần tử tùy ý, f = A (x) A (xα ) + α (xα − x∗ ) = f Từ dãy {xαn }, xαn nghiệm (2.12) với f n = pα f thay fαn hội tụ đến xα thì: ∀ε > ∃N : n>N xαn − x < ε Mặt khác, A đơn điệu, A(x) = f có nghiệm x Nhưng {xn } hội tụ tới x α → 0, nên ∃α1 > 0, ∀α : < α < α1 , ε xα − x < 31 Cuối ta có: Pn x − x ≤ xαn − x ≤ xαn − x + xα − x < ε 2.2.2 Tốc độ hội tụ Định lý 2.2.2 Giả sử (i) Toán tử A khả vi Fréchet lân cận x1 ; (ii) Tồn số L > cho A′ (x0) − A′ (x) ≤ L x0 − x với x ∈ S (x0 , r); (iii) Tham số α chọn α = α (n, δ ) thỏa mãn α , δ α → γ n (I − Pn ) x0 + L (I − Pn ) x0 /2 /α → δ → n → ∞, γ n xác định γ n = (I − Pn ) An (x0) n dãy xαδ hội tụ đến x0 Chứng minh Từ (2.11) ta có: n − An (xn0 ) + α xnαδ − xn0 An xαδ = fδn − An (xn0 ) + α xn0 − x∗n , xn0 − xnαδ Khi đó, A (Pn x0 ) = A (x0 ) + A′ (x0) (Pn x0 − x0 ) + τ n (2.12) 32 với τ n ≤ L (I − Pn ) x /2 Từ (2.12) ta có: n α xαδ − x0 ≤ (δ + xn ) (I − Pn ) x0 + L (I − Pn ) x0 /2 xnαδ − xn0 +α xn0 − x∗n , xn0 − xnαδ (2.13) n → x δ → n → ∞ A xn n bị chặn Cho xαδ vậy, dãy xαδ n αδ → f theo (2.12) Từ tính chất đơn điệu An suy ra: An (xnβ δ − An (xn ), xnαδ − xn ≥ ∀x ∈ H, xn = Pn x hay An (xnβ δ − A(xn ), xnαδ − xn ≥ Từ liên tục A ta suy ra: f − A(x), x1 − x ≥ ∀x ∈ H x0 ∈ S Với α δ cố định, dãy xnαδ hội tụ tới xαδ n → ∞ xαδ tới n hội tụ đến x0 x0 δ /α tới Bởi dãy xαδ Từ (2.13) ta suy hội tụ mạnh dãy xαδ tới x0 n → ∞, α δ dần đến Ta chứng minh định lý sau Định lý 2.2.3 Cho toán tử A khả vi Fréchet lân cận x0 thỏa mãn điều kiện (ii) Định lý 2.2.1 x0 − x = A(x0 )w, w ∈ H; L w < α (I − Pn )x0 = O( f n ) = (I − Pn ) fα 33 Nếu ta chọn α = O( f + f n ), thì: 1 n xαδ − x0 = O( f + f n ) Chứng minh Dễ thấy rằng: A(Pn x0 ) − fδ ≤ δ + γ n (I − Pn )x0 + L (I − Pn )x0 /2 Do đó, A(Pn x0 ) − fδ = O(δ + γ n2 ), (I − Pn )x0 ≤ (I − Pn )(x0 − x∗ ) + (I − Pn )x∗ ≤ (I − Pn )A′∗ (x0 ) w + (I − Pn )x∗ = O(γ n) Từ (2.13) tính chất đơn điệu An suy ra: α xnαδ − x0 n ≤ α x∗n − xn0 , xnαδ − xn0 + fδ − An (xn0 ) xαδ − xn0 n ≤ (δ + γ n2 ) xαδ − xn0 + α ω , A′(x0 )(x0 − xnαδ + α ω O(γ n) ≤ O(δ + γ n2 ) xnαδ − xn0 + α ω O(γ n ) +α ω n xnαδ + α ω , A(x0) − A(xαδ ) n n rαδ = A(rαδ ) − A(x0 ) + A′ (x0)(xn0 − xnαδ ), với n n − x0 /2 ≤ L xnαδ − xn0 /2 + O(γ n2 ) rαδ ≤ L xαδ 34 Ta có n = α w, α (xnαδ − x∗n ) + f0 − fδn α w, A(x0 ) − A(xαδ ≤ α w O(α + δ + γ n ) Suy α (1 − L ω /2) xnαδ − xn0 ≤ O(δ + γ n2 ) xαn − xn0 + α ω O(γn + γ n2 ) + α ω O(α + δ + γ n ) n − xn0 ≤ [O((δ + γ n2 )/α ) xnαδ − xn0 + O(α + δ + γ n )](1 − L ω /2)−1 xαδ Do đó, 1 1 n xαδ − xn0 = O( f + f n ), xnαδ − x0 = O( f + f n ) Ví dụ 2.2.4 Bây ta áp dụng kết thu mục trước để nghiên cứu phương trình tích phân phi tuyến tính Hammerstein loại I k(t, ε )F(y(s))ds = f (t), < t < 1, (2.14) k(t, s) ∈ L2 [0, 1] × [0, 1] hàm f (t) thỏa mãn điều kiện sau: (i) F(t) hàm khả vi, (ii) |F(t)| ≤ C0 +C1 |t| ; C1 > 0; F(t1 ) ≤ F(t2 ), L2 [0; 1] 35 Ta xác định toán tử K Ky(t) = k(t, s)y(s)ds Giả sử phương trình (2.14) có nghiệm dạng y(t) = K x(t) Khi đó, để tìm y ta phải giải phương trình A(x) = kFk0x = f Dễ dàng nhận thấy A toán tử đơn điệu khả vi Fréchet Trong trường hợp này, điều kiện (iii) Định lý 2.2.1 mô tả sau: x0 − x0 = kF α (k0 x0 )k0w (2.15) A′ liên tục Lipschitz F ′ liên tục Lipschitz Dĩ nhiên, điều kiện (2.15) thỏa mãn x0 = K ∗ ξ0 với ξ0 (t) ∈ R(K) tồn u ∈ R(K ∗ ) mà: ξ0 = F ∗ (x0)u (x∗ = 0), F ∗ (y0 ) thuộc L2 [0; 1] Ta xét ví dụ, khi: k(t, s) = a(1 − t), a − t ≤ 0; t(1 − a), a − t > 0, 36 F(t) =     t + (1 − 5) + 5, t ≤ −5, (1 + t)3 , −5 ≤ t < 5,    t(1 + 5)3 /5, t > Với y0(t) = (t/5 + t /3 − t /5 − t /15)/24 k(t, s)(1 + y(s)))3 ds f0 (t) = Hiển nhiên, K ∗ = K R(K) ⊂ {y ∈ H [0, 1], y(0) = y(1) = 0} toán tử F(y) từ L2[0, 1] tới L2 [0, 1] xác định F(t) thỏa mãn tất điều kiện với F ′ (y0 ) = 3(1 + y0 )2 x0(t) = (t − 2t + t )/12 ε0 (t) = t(1 − t) Từ (2.15) ta suy u = ε0 /(3(1 + y0 )2 ) n cho toán phương pháp Do u ∈ R(k) Ta tính nghiệm hiệu chỉnh xαδ lặp [14] với sai số 0.001 Ta xấp xỉ không gian Hilbert H = L2 [0; 1] dãy không gian tuyến tính Hn , Hn = L(ψ1 , ψ2 , , ψn ) ψj = 1, t ∈ [t j−1 ,t j ]; 0, t ∈ / [t j−1 ,t j ], 37 Ta có (I − Pn ) y0 = O(n−1 ), n Pn y = ∑ y( f j )Ψ j (t) j=1 Ta áp dụng Định lý 2.2.3 với α = O(n−1 ) δ = O(n−2 )) Ta có tỉ lệ hội tụ enf = 30 − yn5 = O(n−1/2 ) Tất kết thu từ chương trình FORTRAN IBM 3031 Cột cuối tính toán với sai số δn = n−2 điểm n α rnα 04 0.250000 0.138846 08 0.125000 0.054429 16 0.062500 0.026688 32 0.031250 0.017663 38 Kết luận Luận văn trình bày tổng quan kiến thức phương trình toán tử đơn điệu không gian Hilbert không gian Banach Trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh Các nội dung luận văn là: (1) Trình bày số kiến thức phương trình toán tử đơn điệu toán đặt không chỉnh không gian Hilbert không gian Banach; (2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử liên tục đóng yếu; toán tử đơn điệu; (3) Trình bày định lý đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh; (4) Trình bày việc xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh với toán tử đơn điệu ví dụ số minh họa Trong kết luận văn việc sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu không gian Hilbert Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải toán đặt không chỉnh phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu nghiên cứu toán đặt không chỉnh Việc phát triển phương pháp hiệu chỉnh cho lớp toán rộng hơn, chẳng hạn bất đẳng thức biến phân, từ không gian Hilbert sang không gian Banach, từ toán tuyến tính sang toán phi tuyến, từ toán đơn trị sang toán đa trị vv hướng phát triển đề tài 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005) [2] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003) Tiếng Anh [3] Ng Buong (1995), "Linear and strongly monotone operators in regularization for ill-posed problem", Proc of NCST Viet Nam, 7, 9–18 [4] V.K Ivanov, V.V Vasin, and V P Tanana (1978), Theory of Linear IllPosed Problems and Its Applications, Moscow Nauka (in Russian) [5] M.M Lavrentiev (1967), Some Improperly Posed Problems in Mathematical Physics, Springer, New York [6] A.N Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Doklady Akademii Nauk SSSR, 151, 501–504 (Russian) ... cứu [3] phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh 4 Chương Phương trình toán tử Chương trình. .. - NGUYỄN THỊ VIỆT HÀ HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46... nghiệm hiệu chỉnh phương trình toán tử (1) trường hợp toán tử A liên tục, đóng yếu, đơn điệu; đồng thời nghiên cứu tốc độ hội tụ xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Nội dung luận văn trình