Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)

Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT ——————–o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: ĐH2015-TN09-01 Chủ nhiệm đề tài: ThS Trần Thị Hương THÁI NGUYÊN, 4/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT ——————–o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC HIỆU CHỈNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU ĐẶT KHÔNG CHỈNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: ĐH2015-TN09-01 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài ThS Trần Thị Hương THÁI NGUYÊN, 4/2017 DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài (1) PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên (2) TS Phạm Thanh Hiếu, trường Đại học Nông Lâm, Đại học Thái Nguyên (3) ThS Nguyễn Song Hà, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đơn đơn vị phối hợp Phòng Thống kê, Tính toán Ứng dụng – Viện CNTT – Viện Hàn Lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam i Mục lục Danh mục ký hiệu iii Thông tin kết nghiên cứu iv Mở đầu Chương Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh 1.1 Bài toán đặt không chỉnh không gian Banach 5 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Toán tử không gian Banach 10 1.1.3 Bài toán đặt không chỉnh 15 1.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh 19 1.2.1 Phương trình toán tử 19 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 20 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 22 Chương Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach 26 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 27 2.1.1 Phát biểu toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 27 2.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh 28 2.2 Cách chọn tham số hiệu chỉnh 38 2.2.1 Nguyên lý tựa độ lệch 38 2.2.2 Nguyên lý tựa độ lệch suy rộng 43 ii 2.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 46 2.4 Kết tính toán thử nghiệm 50 2.5 Xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ 52 Kết luận chung 63 Kiến nghị nghiên cứu 64 Danh mục công trình công bố liên quan đến đề tài 65 Tài liệu tham khảo 66 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm H không gian Hilbert H X không gian Banach X x∗ , x giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X ∪ phép hợp ∩ phép giao G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 iv THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach - Mã số: ĐH2015-TN09-01 - Chủ nhiệm đề tài: ThS Trần Thị Hương - Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: năm (01/2015 - 12/2016) Mục tiêu Đề tài đạt mục tiêu sau đây: - Nghiên cứu đưa số kết giải hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach, cụ thể là: đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach; đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp; nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ - Xây dựng ví dụ số minh họa cho phương pháp nghiên cứu thử nghiệm máy tính - Nâng cao lực nghiên cứu chủ nhiệm đề tài thành viên tham gia thực đề tài, giảng viên giảng dạy chuyên ngành giải tích thuộc Đại học Thái Nguyên - Phục vụ hiệu cho việc thực phần luận án tiến sĩ chủ nhiệm đề tài - Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học Đại học Thái Nguyên với sở nghiên cứu khác nước Tính sáng tạo Đưa phương pháp hiệu chỉnh, thiết lập hội tụ phương pháp, cách chọn tham số hiệu chỉnh đánh giá hội tụ phương pháp; xấp xỉ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh; đưa ví dụ tính toán số minh họa cho phương pháp v Kết nghiên cứu Nhóm tác giả nghiên cứu đề tài hoàn thành nội dung đăng ký theo thuyết minh đề tài bao gồm: - Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach, cụ thể sau: thiết lập hội tụ phương pháp; đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng; đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh - Nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh - Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp Sản phẩm Đề tài thu sản phẩm theo đăng ký thuyết minh, cụ thể sau: 5.1 Sản phẩm khoa học: 02 báo quốc tế; 01 sách chuyên khảo; 01 báo cáo khoa học hội thảo khoa học nước a Bài báo khoa học: Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Tran Thị Huong (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 Nguyen Buong, Tran Thị Huong, Nguyen Thi Thu Thuy (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên b Báo cáo khoa học hội nghị/ hội thảo: Trần Thị Hương (2016), "Regularization for the problem of finding a solution of a system of nonlonear monotone ill-posed equations in Banach spaces", hội thảo Tối ưu Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì-Hà Nội, 21-23/4/2016 5.2 Sản phẩm đào tạo: Nội dung nghiên cứu đề tài phần nội vi dung luận án tiến sĩ "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đơn điệu không gian Banach" chủ nhiệm đề tài Cở sở đào tạo, trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu - Đăng báo khoa học nước quốc tế - Làm tài liệu nghiên cứu toán giải tích nói chung nghiên cứu lý thuyết toán đặt không chỉnh nói riêng Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2017 Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài ThS Trần Thị Hương vii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General Information - Project Title: Regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces - Code Number: ĐH2015-TN09-01 - Coordinator: MsC Trần Thị Hương - Implementing Institution: College of Economic and Techology-Thai Nguyen University - Duration: years (01/2015 - 12/2016) Objectives We have gained some objectives as follows: - Study and propose some new results for finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces Namely, we proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of the proposed methods - Give numerical examples for illustrating purpose of the studied methods - Enhance research capacity for coordinator, and et all., and for faculty Mathematical Analysis in Thai Nguyen University - Effectively serving as a part of the PhD dissertation of coordinator of the project - Expanding scientific research cooperation betwween Thai Nguyen University and other research institutions Creativeness and innovativeness Study and propose some new results for finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces Namely, we proposed new regularization methods for a system of ill-posed equations in Banach spaces, the regularization parameter is selected by the principle is named "quasi residual", the estimation of the convergence rates of the proposed methods; studing the finite-dimensional approximation for a 56 c(δ, α) = (δ + Kγn (z))(1 + N αµ ) Do đó, xδα,n ≤ z + c(δ, α) z + α + ≤ z + c(δ, α) α c(δ, α) + α + 4c(δ, α) z α (2.46) c(δ, α) z α Vậy, dãy {xδα,n } bị chặn, δ/α, γn (z)/α → α → n → ∞ Do E phản xạ nên tồn dãy {xδα,n } hội tụ yếu đến x ∈ E Để đơn giản, giả sử xδα,n x α → n → ∞ Trước tiên, ta chứng minh x ∈ S0 Thật vậy, sử dụng tính chất đơn điệu Ani = Pn∗ Ai Pn U n = Pn∗ JPn , từ (2.37) ta có An0 (Pn x) − f0nδ , Pn x − xδα,n = An0 (Pn x) − An0 (xδα,n ) + An0 (xδα,n ) − f0nδ , Pn x − xδα,n ≥ An0 (xδα,n ) − f0nδ , Pn x − xδα,n N =α µ Ani (xδα,n ) − finδ , xδα,n − Pn x + α U n (xδα,n ), xδα,n − Pn x i=1 N ≥ αµ Ani (Pn x) − finδ , xδα,n − Pn x + α U n (Pn x), xδα,n − Pn x , ∀x ∈ E i=1 Bởi Pn Pn = Pn nên từ bất đẳng thức cuối ta có N A0 (Pn x) − f0δ , Pn x − xδα,n ≥α µ Ai (Pn x) − fiδ , xδα,n − Pn x i=1 + α U (Pn x), xδα,n − Pn x , ∀x ∈ E Trong bất đẳng thức δ, α → n → ∞ ta A0 (x) − f0 , x − x ≥ 0, ∀x ∈ E Vì vậy, x ∈ S0 (xem [40]) Ta chứng minh x ∈ Si , i = 1, 2, , N 57 Từ (2.37), (1.4), (2.45) với tính chất đơn điệu An0 , Ani , U n ta có N Ai (xδα,n ) − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z i=1 N Ani (xδα,n ) − Ani (Pn z), xδα,n − Pn z = i=1 N Ani (xδα,n ) − finδ + finδ − Ani (Pn z), xδα,n − Pn z = i=1 N finδ − Ani (Pn z), xδα,n − Pn z + α1−µ U n (xδα,n ), Pn z − xδα,n = i=1 + nδ f0 − An0 (xδα,n ), xδα,n − Pn z µ α N fiδ − Ai (Pn z) + Ai (z) − fi , xδα,n − Pn z ≤ i=1 + α1−µ U (Pn z), Pn z − xδα,n + µ f0δ − A0 (Pn z) + A0 (z) − f0 , xδα,n − Pn z α N N fiδ ≤ − fi + i=1 ≤ xδα,n − Pn z i=1 +α + Ai (z) − Ai (Pn z) 1−µ αµ U (Pn z), Pn z − xδα,n f0δ − f0 + A0 (z) − A0 (Pn z) xδα,n − Pn z (δ + δN αµ + Kγn (z) + Kγn (z)N αµ ) xδα,n − Pn z µ α + α1−µ U (Pn z), Pn z − xδα,n , ∀z ∈ S0 Sử dụng tính chất λi -ngược đơn điệu mạnh Ai suy N N λi Ai (xδα,n ) i=1 − Ai (Pn z) Ai (xδα,n ) − Ai (Pn z), xδα,n − Pn z ≤ i=1 ≤ δ 1−µ γn (z) 1−µ α (1 + N αµ ) + α (K + N Kαµ ) xδα,n − Pn z α α 1−µ +α Pn (z) Pn z − xδα,n , ∀z ∈ S0 Vậy, Ai (xδα,n ) − Ai (z) → α → 0, n → ∞ δ/α → 0, γn (z)/α → 58 Mỗi toán tử Ai đơn điệu cực đại (xem [8], Định lí 1.3, trang 40) Như ta biết, đồ thị Gr(A) toán tử cực đại A từ không gian Banach phản xạ E vào E ∗ demi-đóng Tức là, xn → x, yn f xn x, yn → f , (xn , yn ) ∈ Gr(A) suy (x, f ) ∈ Gr(A) (xem [6]) Vì vậy, Ai (x) = fi , i = 1, 2, , N , nghĩa x ∈ Si Tiếp theo, Si tập lồi đóng nên S tập lồi đóng Vì vậy, phần tử x0 S có chuẩn nhỏ không gian Banach lồi chặt E Từ (2.46) với z thay x suy xδα,n → x and x ≤ z , ∀z ∈ S Vậy, {xδα,n } → x, x phần tử x0 phải tìm Định lí chứng minh ✷ Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn đến nghiệm xác toán (2.1) ta cần có thêm điều kiện đặt lên toán tử A0 sau: A0 (y) − f0 − [A0 (x0 )]∗ (y − x0 ) ≤ τ A0 (y) − f0 , (2.47) y thuộc lân cận x0 ∈ S, A (x0 ) đạo hàm A0 x0 , [A (x0 )]∗ đối ngẫu A (x0 ), τ số dương Định lí 2.9 Giả sử điều kiện sau đúng: (i) A0 toán tử liên tục khả vi Fréchet thỏa mãn (2.47) x = x0 ; (ii) tồn phần tử ω ∈ E cho A0 (x0 )∗ ω = U (x0 ), U toán tử đối ngẫu chuẩn tắc thỏa mãn (1.2); (iii) tham số α = α(δ) chọn α ∼ (δ + γn )ν , < ν < với γn = max γn (x) x∈S Khi đó, xδα,n − x0 = O((δ + γn )h + γnl ), h = − ν µν , , s−1 s l = ν , , s s−1 s ≥ 59 Chứng minh: Thay Pn xδα x0,n = Pn x0,n (2.41) ta nhận αmU xδα,n − x0,n s ≤ A0 (x0,n ) − f0δ , x0,n − xδα,n N +α µ Ai (x0,n ) − fiδ , x0,n − xδα,n (2.48) i=1 + α U (x0,n ), x0,n − xδα,n Từ (2.45) ta có A0 (x0,n ) − f0δ , x0,n − xδα,n ≤ A0 (x0,n ) − A0 (x0 ) + δ x0,n − xδα,n ≤ (C0 γn + δ) x0,n − xδα,n (2.49) C0 số dương phụ thuộc vào x0 , N Ai (x0,n ) − fiδ , x0,n − xδα,n i=1 N ≤ Ai (x0,n ) − Ai (x0 ) + δ x0,n − xδα,n (2.50) i=1 N ≤ Ci γn + N δ x0,n − xδα,n i=1 ≤ Cγn + N δ x0,n − xδα,n Ci số dương phụ thuộc vào x0 , C = R > x0 ta có N i=1 Ci Từ (1.2) với U (x0,n ) − U (x0 ), x0,n − xδα,n ≤ T (R)γnν x0,n − xδα,n , < ν < (2.51) Sử dụng điều kiện (ii) định lí (2.47) ta có U (x0 ), x0,n − xδα,n ≤ U (x0 ), x0,n − x0 + U (x0 ), x0 − xδα,n ≤ U (x0 ), x0,n − x0 + ω, A0 (x0 )(x0 − xδα,n ) ≤ U (x0 ) ≤ x0 x0,n − x0 + ω A0 (x0 )(x0 − xδα,n ) (I − Pn )x0 + ω A0 (x0 )(x0 − xδα,n ) ≤ Rγn + ω (τ + 1) A0 (xδα,n ) − f0 (2.52) 60 Ta lại có A0 (xδα,n ) − f0 ≤ δ + A0 (xδα,n ) − f0δ N ≤δ+α µ Ai (xδα,n ) − fiδ + α xδα,n i=1 N Ai (xδα,n ) − Ai (x0 ) + δ + α xδα,n ≤ δ + αµ i=1 N (2.53) Ai (xδα,n ) − Ai (x0,n ) + Ai (x0,n ) − Ai (x0 ) + δ ≤ δ + αµ +α i=1 xδα,n N ≤δ+α µ Li xδα,n − x0,n + αµ Cγn + αµ N δ + α xδα,n i=1 Kết hợp (2.49), (2.50), (2.51), (2.52), (2.53), bất đẳng thức (2.48) có dạng αmU xδα,n − x0,n s ≤ ≤ (C0 γn + δ) x0,n − xδα,n + αµ Cγn + N δ x0,n − xδα,n + αT (R)γnν x0,n − xδα,n + αRγn N µ + α ω (τ + 1) (1 + α N )δ + α µ Li xδα,n − x0,n i=1 + αµ Cγn + α xδα,n N µ ≤ C0 γn + δ + α (Cγn + N δ) + αT (R)γnν +α µ+1 Li × ω (τ + 1) i=1 × x0,n − xδα,n µ + αRγn + α ω (τ + 1)δ(1 + N α ) + αµ+1 ω (τ + 1)Cγn + α2 ω (τ + 1) xδα,n 61 Từ bất đẳng thức suy mU xδα,n − x0,n s ≤ C0 γn + δ Cγn + N δ + αµ α α N + T (R)γnν µ + α ω (τ + 1) Li x0,n − xδα,n (2.54) i=1 + Rγn + ω (τ + 1)δ(1 + N αµ ) + αµ ω (τ + 1)Cγn + α ω (τ + 1) xδα,n Nếu α chọn điều kiện (iii) định lí α ≤ 1, từ (2.54) ta nhận xδα,n − x0,n s ≤ C1 (γn + δ)1−ν + C2 (γn + δ)µν + C3 γnν x0,n − xδα,n + C4 γn + C5 (γn + δ)µν , (2.55) Ci , i = 1, , số dương Sử dụng bất đẳng thức sau cho bất đẳng thức (2.55) a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c ⇒ as = O(bs/(s−t) + c) ta xδα,n − x0,n = O (δ + γn )h + γnl Vậy, xδα,n − x0 = O (δ + γn )h + γnl ✷ 62 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có tính chất không gian Banach Từ đề xuất phương pháp hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Các kết đạt sở phương pháp hiệu chỉnh (2.3), đưa phương pháp hiệu chỉnh (2.7) cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (2.1) vế phải cách xác mà biết giá trị xấp xỉ, cách xấp xỉ hệ phương trình cho phương trình hiệu chỉnh Bên cạnh đó, đưa phương trình hiệu chỉnh (2.11) cho hệ (2.1) đơn giản như, tham số hiệu chỉnh đưa điều kiện đặt lên toán tử giảm nhẹ, toán tử A0 cần đơn điệu, hemi-liên tục toán tử Ai khác λi ngược đơn điệu mạnh Đồng thời, nghiên cứu xấp xỉ hữu hạn chiều phương trình (2.11) Chúng chứng minh được: phương trình hiệu chỉnh tồn nghiệm; nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều hội tụ mạnh nghiệm xác hệ (2.1) Đề xuất nguyên lý tựa độ lệch nguyên lý tựa độ lệch suy rộng để chọn tham số hiệu chỉnh Trên sở đó, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều nghiệm hệ (2.1), tốc dộ hội tụ đánh giá bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, tính liên tục lên đạo hàm Fréchet toán tử, điều kiện nguồn mà không đòi hỏi điều kiện đặt lên toán tử Cuối cùng, đưa ví dụ số để minh họa cho lý thuyết trình bày chương 63 KẾT LUẬN CHUNG Đề tài đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach sở giải phương trình toán tử phụ thuộc tham số • Nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh kết hợp với toán xấp xỉ hữu hạn chiều cho hệ phương trình toán tử đơn điệu sở chọn tham số hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch nguyên lí tựa độ lệch suy rộng Các kết nhận đề tài gồm: Xây dựng phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch nguyên lí tựa độ lệch suy rộng Dựa cách chọn này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh giá sai số δ dần tới không Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều cho toán tìm nghiệm hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach Đưa số ví dụ số có tính chất minh họa cho kết nghiên cứu 64 KIẾN NGHỊ VÀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Từ kết đạt đề tài, đề xuất hướng nghiên cứu toán mở tiếp tục nghiên cứu sau: Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên toán tử Ai điều kiện đặt lên không gian Banach E Chẳng hạn làm giảm nhẹ điều kiện λi -ngược đơn điệu mạnh toán tử Ai xuống điều kiện đơn điệu, hemi-liên tục Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp để tìm nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp tác giả nghiên cứu trước Nghiên cứu xây dựng ví dụ số không gian phức tạp tổng quát ví dụ nghiên cứu đề tài 65 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI Nguyen Buong, Nguyen Thi Thu Thuy, Tran Thị Huong (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 Nguyen Buong, Tran Thị Huong, Nguyen Thi Thu Thuy (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên 66 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Thị Hương, Nguyễn Đình Dũng (2016), Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử loại đơn điệu, Nhà xuất Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [3] Anh Ph K., Chung C V (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput, 212, pp 542-550 [4] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D.R (2000), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer Dordrecht Heidelberg London New York [5] Alber Ya I (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal, 26, pp 3-11 [6] Alber Ya I., Ryazantseva Ir P (2006), Nonlinear ill-posed Problems of monotone Types, Springer Verlag [7] Bakushinskii A B and Goncharskii A G (1994),Ill-Posed Problem: Theory and Application, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, London 67 [8] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Acad.Bucuresti Romania [9] Baumeister J., Kaltenbacher B., Leitao A (2010), "On LevenbergMarquardt Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear illposed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), pp 335-350 [10] Buong Ng (2004), "Generalized dicscrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators", Nonlinear Functional Analysis and Applications, Korea, 9(1), pp 73-78 [11] Buong Ng (2005), " On monotone ill-posed problems", Acta Mathematica Sinica, 21(5), pp 1001-1004 [12] Buong Ng., Thuy Ng T T (2005), "Convergence rates in regularization for ill-posed mixed variational inequalities", J of Comput Sci and Cybern Vietnam, 21, pp 343-352 [13] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), pp 372-378 [14] Buong Ng., Thuy Ng T T (2007), " Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex functional", Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, pp 168-173 [15] Buong Ng (2008), "Regularization extragradient method for Lipschitz continuous mappings and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces" Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 48(11), pp 19271935 [16] Buong Ng., Thuy Ng T T., Huong T T (2015), "A generalized quasi-residual principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Nonlinear Funct Anal App, 20(2), pp 187-197 68 [17] Buong Ng., Huong T T., Thuy Ng T T (2016), "A quasi-residual principle in regularization for a common solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations", Iz VUZ , 60(3), pp 47-55 [18] Browder,F.E (1965), " Remarks on nonlinear functional equations", II, III, ILLinois J Math, 9(4) [19] Browder,F.E (1966), " Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080-1086 [20] Cezaro A D., Haltmeier M., Leitao A., Scherzer O (2008), "On steepest-descent Kaczmarz method for regularing systems of nonlinear ill-posed equations", Applied Mathematics and Computations, 202(2), pp 596-607 [21] Cezaro A D., Baumeister J., Leitao A (2010), "Modified iterrated Tikhonov method for solving system of nonlinear ill-posed equations", Inverse problem and Imaging, 5(1), pp 1-17 [22] Ekeland I., Temam R (1970), "Convex Analysis and Variational Problems", North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland [23] Engl H.W (1987), "Discrepancy principle for Tikhonov regularization of ill-posed problems leading to optimal convergence rates", J of Optim Theory and Appl, 52, pp 209-215 [24] Engl H.W., Kunish, K., Neubauer A (1988), "Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems", Inverse Problem, pp 523-540 [25] Engl H.W., Hanke, M., Neubauer A (1996), "Regularization of Inverse Problems", Kluwer Dordrecht [26] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: convergence analysis", Inverse problem and Imaging, 1(2), pp 289-298 69 [27] Haltmeier M., Kowar R., Leitao A., Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed equations II: Applications", Inverse problem and Imaging, 1(3), pp 507-523 [28] Hanke M., Neubauer A., Scherzer O (1995), "A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems", Numer Math 72, pp 21-37 [29] Ivanov V K (1962), "On linear ill-posed problems", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 145 [30] Ivanov V K (1963), "On ill-posed problems", Math Sbornik, 61 N.2 [31] Kim J.K., Buong Ng (2010), "Regularization inertial proximal point algorithm for monotone hemicontinuous mapping and inverse strongly-monotone mappings in Hilbert spaces", J of Inequalities and Applications, Article ID 451916 [32] Minty G J (1963), On a "monotonicity" method for the solutions of nonlinear equations in Banach spaces, Proc Nat Acad Sc USA, 50, N.6 [33] Lavret’ev M M (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New York [34] Liu F., Nashed M Z (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp 313-344 [35] Neumann J V (1949), "On rings of operators Reduction theory", Annals of Mathematics, pp 401-485 [36] Prenter P M (1975), Splines and Variational Methods , WileyIntetscince Publishers, New York, London, Sydney, Toronto [37] Ryazantseva I P (1989), "On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors", Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 29, pp 1572-1576 70 [38] Tikhonov A N (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk Acad Nauk SSSR Math, 4, pp 1624-1627 [39] Thuy N T T (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly monotone operator equations", Nonlinear Funct Anal Appl, 17(1), pp 71-87 [40] Vainberg M M (1972), Variational Method and Method of Monotone Operators in the theory of Nonlinear Equations M, Nauka, in Russian ... trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh không gian Banach" Mục đích đề tài cải tiến phương pháp hiệu chỉnh (0.6) Nguyễn Bường cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.5), Ai toán tử đơn điệu, ... phương trình toán tử đặt không chỉnh 1.1 Bài toán đặt không chỉnh không gian Banach 5 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Toán tử không gian Banach 10 1.1.3 Bài toán. .. phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh Chương đưa phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh dựa tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh (0.6) Nguyễn Bường,