hệ phương trình toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh lặp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H X X ∗ X R n n ∅ x := y x y ∀x x ∃x x I A T A a ∼ b a b a = o(b) a b a = O(b) a b A ∗ A D(A) A R(A) A x k → x {x k } x x k  x {x k } x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 0 ∈ X A(x 0 ) = f, A X X ∗ X f X ∗ A Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn H x h,δ α F h,δ α (x) = A h (x) − f δ  2 + αx ∗ − x 2 α > 0 h δ x ∗ (A h , f δ ) (A, f) α = α(h, δ) x h,δ α(h,δ) h δ A : X → X ∗ M : X → X ∗ h U s X A h (x) + αU s (x − x ∗ ) = f δ A j (x) = f j , ∀j = 1, , N, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A j : X → X ∗ f j ∈ X ∗ N  j=1 α µ j A h j (x) + αU s (x − x ∗ ) = θ, µ 1 = 0 < µ j < µ j+1 < 1, j = 2, , N − 1 f j = θ A h j A j X H Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A(x) = f, A : X → Y X Y f Y f x x f A : X → Y X Y A(x) = f f ∈ Y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử Aj (x) = , ở đây (2.1) j = 1, 2, , N Aj : D(Aj ) X X là các toán tử đơn điệu, h-liên tục Chương này bao gồm ba mục: Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày phương trình hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (2.1) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. .. 1.1.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Giả thiết rằng X và Y là các không gian Hilbert thực Nội dung của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu x của phiếm hàm Tikhonov F (x) = A(x) f 2 + x x 2 (1.3) Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt cho toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh. .. 2.2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử (2.1) trong không gian Hilbert thực H trên cơ sở kết quả của Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [9], [16] Mục 2.3 trình bày kết quả tính toán thử nghiệm 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 2.1.1 á Cho của nh xạ đơn điệu cực đại X là không gian Banach thực phản xạ, X là không gian liên hợp X , A : X X là một toán tử đơn điệu. .. toán tử đơn điệu, chặn nào từ Định lý 2.3 h-liên tục và bị X vào X cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại (xem [6]) Cho B : X X X là một không gian Banach thực phản xạ, là một toán tử đơn điệu, S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn h-liên tục và bị chặn, A : X X http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A+B cũng là một toán tử đơn điệu cực đại Tính bị chặn của toán tử nó... gọi là phương pháp hiệu chỉnh S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X X có tính chất h- liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s của X Bằng phương pháp này, Alber [4] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình A(x)... phản xạ, và là một toán tử đơn điệu, h-liên tục xác định trên X Khi A là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = X 2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Cho X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E-S, X , không gian liên hợp của X , là lồi chặt Ta xét bài toán (2.1) với Aj là các toán tử đơn điệu Nếu Aj không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh,... dụ về phương pháp hiệu chỉnh là hiệu chỉnh Tikhonov Toán tử T (f, ) được định nghĩa bởi T (f , ) := arg min{ A(x) f xH 2 + x x 2 } Từ Định nghĩa 1.6, ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh dựa vào thông... (xem [1] và tài liệu dẫn) Nếu A là một toán tử đơn điệu và h- liên tục thỏa mãn điều kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x X , Định lý 1.5 x M thì Ax, x > 0 Khi đó phương trình toán tử A(x) = có ít nhất một nghiệm Định lý 1.6 (xem [2] và tài liệu dẫn) Nếu A là một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bức từ không gian Banach phản xạ tử A(x) = f có nghiệm với mọi X vào X thì phương trình toán f ... chất đơn điệu, bị chặn và suy ra, theo Định lý 2.4 ta có h- liên tục của toán tử Ah , j Ah là toán tử cực đại xác định trên không j N gian Banach X Do đó, theo Định lý 2.3, ta cũng có àj Ah + U là toán j j=1 tử đơn điệu cực đại Mặt khác, do N toán tử U là một toán tử bức nên với mỗi > 0 àj Ah + U cũng là một toán tử bức Khi đó, theo Định lý 1.6, j j=1 phương trình (2.4) có duy nhất nghiệm, kí hiệu. .. 34 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert Trong toàn bộ mục này chúng tôi xét bài toán trong không gian Hilbert thực H , A : H H là toán tử đơn điệu, bị chặn, h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh Các kiến thức trong phần này được tham khảo trong tài liệu [16] Định nghĩa 2.1 Toán tử A:H H H vào chính x, y H, (2.13) từ không gian Hilbert nó được gọi là toán tử ngược đơn điệu mạnh . PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG. KHOA HỌC PHẠM THANH HIẾU HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 Số