Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2009

non

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 8

1.1.2 Một số kiến thức của giải tích hàm 9

1.1.3 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 13

2.1.1 Hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải 22

2.1.2 Hiệu chỉnh trong trường hợp tổng quát 26

2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 28

2.2.1 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường hợpnhiễu vế phải 28

2.2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường hợptổng quát 302.3 Kết quả số 32

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến Sỹ Nguyễn ThịThu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tácgiả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báucủa các giáo sư của Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc việnKhoa học và Công nghệ Việt Nam, của các thầy cô giáo trong Đại học TháiNguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cácThầy Cô.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập tại Trường.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãluôn theo sát động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống đểcó được điều kiện tốt nhất khi nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

Mở đầu

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán

dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duynhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do tínhkhông ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nógặp khó khăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thểdẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải Vì thế nảy sinh vấn đề tìm cácphương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi saisố của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần tớinghiệm đúng của bài toán ban đầu.

Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho bàitoán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nộidung của đề tài được trình bày trong hai chương Chương 1 giới thiệu mộtsố kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh, phương trình toán tửđơn điệu, các định nghĩa, định lý và các bổ đề quan trọng của giải tích hàmcó liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài Đồng thời cũng trình bàykhái niệm về toán tử hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh trong trườnghợp tổng quát.

Trong chương 2 sẽ nghiên cứu sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm

hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.1) trong hai trường

chương là hai ví dụ và kết quả số giải hệ phương trình đại số tuyến tính vàphương trình tích phân Fredholm loại I.

Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t

Chương 1

Bài toán đặt không chỉnh và phương trìnhtoán tử đơn điệu

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sởxét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gianBanach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard(xem [1] và tài liệu dẫn):

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;2) nghiệm này duy nhất;

3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán

phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thoả mãn Do vậy hầu hết

các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơn nữa điều kiệncuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.1.2 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian

phương trình (1.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Chú ý 1.1.1 Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x =

tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε,ở đây

Chú ý 1.1.2 Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưnglại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.

Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo

1.1.2 Một số kiến thức của giải tích hàm

Trước khi trình bày một số ví dụ về bài toán đặt không chỉnh, trongmục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm cóliên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài Các khái niệm này được thamkhảo trong các tài liệu [1], [2], [3] và [7].

• Không gian Banach:

Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó ứng vớimỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điềukiện sau:

1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X; (Bất đẳng thức tam giác)3) kαxk = |α|.kxk, ∀x ∈ X, α ∈ R.

Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach.

• Sự hội tụ trong không gian Banach:

Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:Tính chất 1.1.1.

ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.

Nhận xét 1.1.1 Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnhlà:

i) X là không gian hữu hạn chiều.

• Không gian phản xạ:

thì không gian X được gọi là không gian phản xạ.

gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.

Định lý 1.1.1 (xem [2]) Nếu X là không gian Banach thì các khẳng địnhsau là tương đương:

Với ánh xạ r : X → Y , ta sẽ viết là r(x) = o(kxk), x → 0 nếu

Banach X vào không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchettại x ∈ X nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho

với mọi h thuộc lân cận của điểm không Nếu T tồn tại thì nó được gọi làđạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là

• Không gian Hilbert:

Cho X là một không gian tuyến tính trên R Một tích vô hướng trong

i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X;

iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X.

Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., i được gọi là khônggian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gianHilbert.

vô hướng được xác định tương ứng làhx, yi =

S(X) = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo

• Không gian E-S (Ephimov Stechkin):

Không gian Banach X được gọi là không gian Ephimov Stechkin (haykhông gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các

A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.

Ví dụ 1.1.6 Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.1) (vô hạn chiều)nói chung là bài toán đặt không chỉnh.

vào dữ kiện ban đầu.

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toántử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) củatoán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh.

Ví dụ 1.1.7 (xem [1]) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

ρL2[a,b](f0, f1) =

|f0(x) − f1(x)|2dx12

Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong

có thể làm nhỏ tuỳ ý Thật vậy, đặt

|K(x, s)|,ta tính được

ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) =

|ϕ0(x) − ϕ1(x)|2dx12

b − a

rất nhỏ nhưng ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) lại rất lớn.

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.1), nên người tathường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng

niệm trong mục này được tham khảo trong các tài liệu [1], [3] và [7].• Toán tử đơn điệu: Toán tử A được gọi là đơn điệu (monotone) nếu

xảy ra khi x = y Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơnđiệu tương đương với tính không âm của toán tử.

Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t)không giảm với t ≤ 0, δ(t) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk
, ∀x, y ∈ D(A).

điệu mạnh.

Ví dụ 1.2.1 Toán tử tuyến tính A : RM

với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.

• Toán tử h-liên tục, d-liên tục: Toán tử A được gọi là h-liên tục continuous) trên X nếu A(x + ty) * Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X và

liên tục theo từng biến tại (0, 0) do đó nó h-liên tục tại (0, 0).• Toán tử bức: Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu

||x||→+∞ ||x|| = +∞, ∀x ∈ X.

Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được cho trong địnhlý sau.

Định lý 1.2.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức

• ánh xạ đối ngẫu: ánh xạ Us : X → X∗ được định nghĩa bởi

Mệnh đề 1.2.1 (xem [7]) Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,

2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt Trongtrường hợp X là không gian Hilbert thì U = I-toán tử đơn vị trong X.

tại trong mọi không gian Banach.

Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệuchặt.

Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụngtrong phần sau.

thực, f ∈ X∗ và A là một toán tử h-liên tục từ X vào X∗ Khi đó, nếu

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liên

toán tử (1.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.

Ví dụ 1.2.3 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp

A =

và vế phải

f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001T

∈ R5.Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm

x =

1 1 1 1 1T

∈ R5.Nếu

f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5T

thì phương trình có vô số nghiệm.

f =

5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001T

thì phương trình vô nghiệm Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trongphương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình (1.1).Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp xỉ phụthuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ

ứng thuộc X Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Yvào không gian X.

Định nghĩa 1.2.1 (xem [1]) Cho A : X → Y là một toán tử từ không gianBanach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α), phụ thuộc vàotham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh chophương trình (1.1), nếu:

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu Như vậy việc tìmnghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1) gồmcác bước:

1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α);

2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán

Chương 2

Nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonovcho phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach vô hạn chiều,đồng thời nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở thamsố hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm Các kết quả của chương này đượctham khảo trong các tài liệu [3] và [4].

2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu

đơn trị h-liên tục Trong toàn bộ chương này ta luôn giả thiết X là không

Nếu toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh

đóng và lồi trong X (xem [5]).

2.1.1 Hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải

Trong trường hợp vế phải f được cho bởi fδ thoả mãn

ta sử dụng phương trình

ta có kết quả sau (xem [3]).

Chứng minh Do X∗ lồi chặt nên Us là một ánh xạ h-liên tục Vì vậy,

Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X ta có

.Do đó

Do A là toán tử đơn điệu và Us thỏa mãn tính chất (2.4) nên từ bất đẳngthức cuối cùng suy ra

2.1.2 Hiệu chỉnh trong trường hợp tổng quát

Bây giờ ta xét trong trường hợp tổng quát khi cả toán tử A và vế phải

trong đó g(t) là một hàm giới nội và Ah là toán tử đơn điệu và h-liên tục

Các lập luận còn lại tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1.1.

2

2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

đề đặt ra là sự hội tụ đó nhanh chậm như thế nào, khi α = α(δ) đã chọn?

hiệu chỉnh: cho a, b, c là các số không âm đủ bé, p > q > 0 Nếu

hằng số (xem [4]).

Định lý 2.2.1 Giả sử các điều kiện sau được thoả mãn:

i) A khả vi Fréchet tại một lân cận nào đó của S0 với (2.10) khi x = x0;ii) Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho

Chứng minh Từ (2.1), (2.3), (2.4) và điều kiện ii) của định lý suy ramUkxδα− x0ks ≤ s(xδα − x∗) − Us(x0 − x∗), xδα− x0

(x0)(x0 − xδα) ≤ kzkkA0(x0)(x0 − xδα)k,ở đây,

kA0(x0)(xδα− x0)k ≤ kA(xδα) − A(x0)k + ˜τ kxδα− x0kkA0(x0)(xδα− x0)k≤ kA(xδα) − fδk + δ + ˜τ kxδα− x0kkA0(x0)(xδα− x0)k.

ta thu được

kxδα− x0k = O(δθ1),định lý được chứng minh.

Chú ý 2.2.1 Điều kiện (2.10) có thể thay bằng

và kết luận của định lý không thay đổi.

2.2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường hợp tổng quátBây giờ ta nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường

(2.10) bằng

Khi đó ta có kết quả sau (xem [4]).

Định lý 2.2.2 Giả sử các điều kiện sau được thoả mãn:

ii) Tồn tại phần tử zh ∈ X sao cho

Chứng minh Từ (2.1), (2.8) và điều kiện ii) của định lý ta cómUkxτα− x0ks ≤ s(xτα− x∗) − Us(x0 − x∗), xτα − x0

α(δ + hg(kx0k))kxτα− x0k + h, A0h(x0)(x0 − xτα) (2.14)Ta có

h, A0h(x0)(x0 − xτα) ≤ kzhkkA0h(x0)(xτα − x0)k,ở đây

mUkxτα− x0ks ≤ 1

Do α ∼ (δ + h)p, 0 < p < 1 từ bất đẳng thức cuối cùng suy ramUkxτα− x0ks ≤ C1(δ + h)1−pkxτα− x0k + C2(δ + h)p.Cũng như trong chứng minh Định lý 2.2.1 ta có

Định lý được chứng minh.

22.3 Kết quả số

Trong mục này chúng tôi đưa ra một ví dụ và kết quả số minh họacho tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của hệ phương trình đại số tuyến

MATLAB 7.0 và đã thử nghiệm chạy trên máy tính ACER 1.73 GHz Ram504.

Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình toán tử (2.1) với A là một ma trận vuông cấp

A = 5 ∗

trình (2.1) là một bài toán đặt không chỉnh Ta có một hệ phương trình đại

trong đó h = 1

0; sj = s0+ jh, j = 0, 1, 2, , n, b0 = bn = h

2; bj = h, j = 1, 2, , n − 1,để xấp xỉ tích phân trong (2.16), khi đó ta có phương trình

trình (2.15).

Kết luận

Đề tài đã đề cập đến các vấn đề sau:

hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm;

L2[0, 1].

Với những ứng dụng quan trọng trong thực tế, những vấn đề được trìnhbày trong đề tài hiện đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đi sâunghiên cứu.

Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực song chắc hẳn đề tài không tránhkhỏi những hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng gópcủa các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Tµi liÖu tham kh¶o

Quèc gia Hµ néi, 2005.

arbi-trarily perturbative operators,Zh Vychisl Math i Math Fiz., SSSA, 43,pp 323-327.

Amstedam: North Holland, 1976.

of zero order for unconstrained vector optimization of convex functionals,KØ yÕu Héi nghÞ Khoa häc kØ niÖm 30 n¨m thµnh lËp ViÖn C«ng nghÖth«ng tin 27-28/12/2006, pp 168-173.

New York, 1985.

Phụ lục

Chương trình tính toán ví dụ

clear all;clc;

for j = 1 : N;for i = 1 : N;

while saiso > epxilon; xluu = x; count = count + 1;

for j = 1 : N;

if saiso < abs(x(j) − xluu(j));

clear all;clc;

format short g;

while saiso > epxilon;

if saiso < abs(z(j) − zluu(j));

end;end;

... (2.10) thay bằng

và kết luận định lý không thay đổi.

2.2.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường hợp tổng quátBây ta nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường

(2.10)... số minh họacho tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hệ phương trình đại số tuyến

MATLAB 7.0 thử nghiệm chạy máy tính ACER 1.73 GHz Ram504.

Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình tốn tử (2.1) với A... tài đề cập đến vấn đề sau:

hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm;

L2[0, 1].

Với ứng dụng quan trọng thực tế, vấn đề trìnhbày đề tài nhiều nhà toán học quan tâm, sâunghiên cứu.

Mặc