hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh

đại học tháI nguyên TRNG đại khoa học Lê thị minh HNG Hiệu chỉnh hệ PHNG trình toán tử NGC đơn điệu mạnh luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên, 2014 đại học tháI nguyên TRNG đại khoa học Lê thị minh HNG đại học tháI nguyên TRNG đại khoa học Lê thị minh HNG Hiệu chỉnh hệ PHNG trình toán tử NGC đơn điệu mạnh luận văn thạc sĩ toán học đại học tháI nguyên TRNG đại khoa học Lê thị minh HNG Hiệu chỉnh hệ PHNG trình toán tử NGC đơn điệu mạnh Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s : 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyn Th Thu Thy TháI nguyên, 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 7 1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . 7 1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8 1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Không gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Không gian E-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Một số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . 17 2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ . . . . . . . . . . 21 2.2 Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclide n chiều X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp của X ξ, x giá trị của phiếm hàm ξ tại x S X mặt cầu đơn vị của X D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A H không gian Hilbert thực A ∗ toán tử liên hợp của toán tử A I ánh xạ đơn vị A T ma trận chuyển vị của ma trận A x n → x dãy {x n } hội tụ mạnh tới x x n  x dãy {x n } hội tụ yếu tới x 2 Mở đầu Trong luận văn này chúng tôi xét hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach X: Tìm phần tử x 0 ∈ X thỏa mãn A j (x 0 ) = f j , j = 1, . . . , N, (1) ở đây A j : D(A j ) ⊆ X → X ∗ (X ∗ là không gian liên hợp của X), f j ∈ X ∗ , N ≥ 0 là một số tự nhiên, D(A j ) là ký hiệu tập xác định của toán tử A j . Ta xét hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp dữ kiện ban đầu (A j , f j ) không được biết chính xác mà được cho xấp xỉ bởi (A h j , f δ j ), thỏa mãn f j − f δ j  ≤ δ, δ → 0, j = 1, . . . , N, (2) và A h j (x) − A j (x) ≤ hg(x), h → 0, j = 1, . . . , N, (3) với g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0. Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử A j (chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh), thì mỗi phương trình toán tử A j (x) = f j trong hệ (1) là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do đó, hệ phương trình toán tử (1) nói chung, cũng là một bài toán đặt không chỉnh. Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những 3 phương pháp giải ổn định, sao cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Những phương pháp cơ bản được sử dụng rộng rãi để tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình toán tử (1) phải kể đến đó là phương pháp kiểu hiệu chỉnh lặp hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov sau khi viết lại hệ phương trình toán tử (1) ở dạng phương trình toán tử A(x) = f, ở đây A := (A 1 , . . . , A N ) : N  j=1 D(A j ) =: D → (X ∗ ) N và f := (f 1 , . . . , f N ). Các phương pháp này tỏ ra không hiệu quả khi số phương trình của hệ (1) lớn đồng thời việc tính toán các giá trị A j (x) và A  j (x) ∗ tỏ ra tốn kém. Để cải thiện tình hình này, phương pháp lặp kiểu Kaczmarz được nghiên cứu trên cơ sở dãy lặp xoay vòng cho mỗi phương trình trong (1) (xem [9], [10]). Một số cải biên của phương pháp này giải hệ phương trình toán tử (1) được nghiên cứu mới đây trong không gian Hilbert với mỗi toán tử A j là liên tục yếu theo dãy và miền xác định D(A j ) tương ứng là đóng yếu. Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp f j = θ-phần tử không trong không gian X ∗ và A j là các toán tử hemi- liên tục, đơn điệu và có tính chất thế năng với D(A j ) = X, Ng. Bường [7] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-Tikhonov dạng: N  j=1 α µ j A h j (x) + αU(x) = θ, µ 1 = 0 < µ j < µ j+1 < 1, j = 2, . . . , N − 1, (4) ở đây A h j là các toán tử hemi-liên tục, đơn điệu và là xấp xỉ của A j thỏa mãn (3), U là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach 4 X, α > 0 là một tham số dương, được gọi là tham số hiệu chỉnh. Những nghiên cứu tiếp theo của phương pháp này được phát triển trong [8], [11]. Chú ý rằng phương pháp Kaczmarz vốn là thuật toán tuần tự, nên khi số phương trình của hệ đủ lớn thì phương pháp này trở nên tốn kém trên một bộ xử lý đơn, trong khi phương pháp hiệu chỉnh (4) của Ng. Bường và một số cải biên của phương pháp có thể được sử dụng tính toán song song (xem [4], [5], [6]). Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Cụ thể là nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở kết quả trong [8] và [11]. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, toán tử đơn điệu và hệ phương trình toán tử đơn điệu. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô. 5 Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Lê Thị Minh Hương 6 Chương 1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về phương trình và hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2] và [3]. 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y, f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard. Định nghĩa 1.1. Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y. Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2) nghiệm này là duy nhất; và 7 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρ Y (f 1 , f 2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρ X (x 1 , x 2 ) ≤ ε, ở đây x i = R(f i ), x i ∈ X, f i ∈ Y, i = 1, 2. Nhận xét 1.1. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ f δ của nó thỏa mãn f δ − f ≤ δ. Giả sử x δ là nghiệm của bài toán (1.1) với f thay bởi f δ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f δ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì x δ nói chung không hội tụ đến x. 1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp M = 7 được xác định bởi A =                         2 2 2 2 2 2 2 2 2, 001 2 2 2 2 2 2 2 2, 001 2 2 2 2 2 2 2 2, 001 2 2 2 2 2 2 2 2, 001 2 2 2 2 2 2 2 2, 001 2 2 2 2 2 2 2 2, 001                         8 [...]... chỉnh 19 Chương 2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh Chương này nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach Nội dung của chương được viết trên cơ sở các kết quả trong [8] và [11] bao gồm: nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở tham số hiệu chỉnh được chọn theo... là toán tử đơn điệu mạnh Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với tính không âm của toán tử Ví dụ 1.2 Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 2x là một toán tử đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.4 Một toán tử A : D(A) ≡ X → X ∗ được gọi là toán tử mA -ngược đơn điệu mạnh nếu A(x) − A(y), x − y ≥ mA A(x) − A(y) 2 , với mọi x, y ∈ X, mA là hằng số dương 11 (1.3) Ví dụ 1.3 Toán tử. .. một số phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (1.1) • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Giả thiết rằng X và Y là các không gian Hilbert thực Nội dung của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδ α của phiếm hàm Tikhonov δ Fα (x) = A(x) − fδ 2 + α x − x∗ 2 (1.5) Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov... cực tiểu của (1.5) • Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X → X ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát U s của X Bằng phương pháp này, Alber... chặn, A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệu cực đại Tính bị chặn của toán tử sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau Định lý 1.2 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và A : D(A) ≡ X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A)... đặt lên các toán tử Aj , chẳng hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì mỗi phương trình Aj (x) = fj , nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa tập nghiệm 20 Sj không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (Aj , fj ) Do đó, bài toán (2.1), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh Để tìm nghiệm cho phương trình toán tử đặt không chỉnh Aj (x) = fj ta phải sử dụng các phương pháp... n → ∞ Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi-liên tục Định nghĩa 1.8 Toán tử A được gọi là bức (coercive) nếu lim ||x||→+∞ Ax, x = +∞, ||x|| ∀x ∈ X Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn nào từ X vào X ∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại 12 Định lý 1.1 Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, B : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên... số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh Cho A : X → Y là một toán tử khả nghịch trong lân cận của x0 và giả sử A(x0 ) = f Với phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.1), nếu chỉ biết dữ kiện fδ sao cho fδ − f ≤ δ, (1.4) thì thậm chí ngay cả khi tồn tại A−1 , xδ := A−1 fδ vẫn có thể không là xấp xỉ của nghiệm của bài toán này Để nhận được nghiệm ổn định ta phải sử dụng các phương. .. , 0 < η < 1, từ (2.21) suy ra ||xτ − x0 || = O((h + δ)µ2 ), µ2 = min α 1 − η λ2 η , s−1 s Sau đây chúng tôi trình bày một ví dụ số minh họa sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu, với tham số hiệu chỉnh chọn trước Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình toán tử Aj (x) = 0, j = 1, 2, 3 với Aj là ma trận vuông cấp M = 5 được xác định bởi T Aj = Bj Bj , j = 1, 2, 3, ở... nhỏ nhất của bài α toán (1.1) và xδ ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) α Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị Phần tử xấp xỉ xδ ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của α phương trình (1.1), còn α = α(δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ ) phải được chọn sao cho lim α(δ, fδ ) = 0 δ→0 Từ Định nghĩa 1.10 ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với . bản về bài toán đặt không chỉnh, toán tử đơn điệu và hệ phương trình toán tử đơn điệu. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong. nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach. Cụ thể là nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh, . số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . 17 2 Hiệu chỉnh hệ phương