Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử không chỉnh loại Hammerstein

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Một số khái niệm 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Bài toán đặt không chỉnh 11 1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein 16 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein 2.1 19 Hiệu chỉnh liên tục cho toán không chỉnh với toán tử đơn điệu 19 2.2 Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều 22 2.3 Hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS TS Nguyễn Bường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy giáo cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Hải Phòng, tháng 07 năm 2012 Tác giả Đào Thị Tuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Cho H không gian Hilbert với chuẩn tích vô hướng ký hiệu tương ứng x∗ , x Cho Fi , i = 1, 2, toán tử phi tuyến đơn điệu liên tục H Nội dung chủ yếu nghiên cứu phương pháp ổn định để tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình toán tử Hammerstein có dạng: x + F2 F1 (x) = f, f ∈ R(I + F2 F1 ), (1.1) dựa việc xây dựng hệ phương trình vi phân bậc một, I toán tử đơn vị R(A) ký hiệu ảnh A Sau đó, phương pháp xét liên kết với trình xấp xỉ hữu hạn chiều H Lưu ý tập nghiệm (1.1), ký hiệu S0 , tập đóng lồi (xem [7]) Thông thường, thay cho Fi , i = 1, 2, f ta biết xấp xỉ Fih fδ thỏa mãn: F1h (x) − F1 (x) hg ( x ) , F2h (x) − F2 (x) fδ − f δ hg ( x ) ∀x ∈ H, g(t) hàm thực không âm, không giảm giới nội (đưa tập giới nội lên tập giới nội) Nếu thêm điều kiện bổ xung lên Fi tính đơn điệu mạnh, phương trình (1.1) toán đặt không chỉnh Thật vậy, xét toán sau với H = E2 , không gian Ơcơlit, F1 = −1 , F2 = −1 1 , x = (x1 , x2 ) Dễ dàng kiểm tra F1 x, x = x21 ≥ 0, F2 x, x = x22 ≥ ∀x ∈ E2 Có nghĩa Fi , i = 1, 2, có tính đơn điệu Phương trình (1.1) có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0x1 = f1 , 2x1 = f2 với f = (f1 , f2 ) Rõ ràng, hệ phương trình có nghiệm f = (0, f2 ) với f2 Khi fδ = (f1δ , f2 ) với f1δ = phương trình nghiệm Vì vậy, (1.1) toán đặt không chỉnh Để giải (1.1) ta phải dùng phương pháp ổn định Một phương pháp ổn định dựa việc giải phương trình h h x + F2,α F1,α (x) = fδ (1.2) h (xem[7], [11]), Fi,α = Fih + αI , α > tham số hiệu chỉnh h,δ Với α > 0, phương trình (1.2) có nghiệm xh,δ α , dãy {xα } hội tụ đến nghiệm x0 thỏa mãn x0 + x∗0 = x∈S0 x + F1 (x) , x∗0 = F1 (x0 ), (1.3) (h + δ)/α, α → Hơn nữa, nghiệm xh,δ α này, với α > cố định, phụ thuộc liên tục vào Fih , i = 1, fδ Mới đây, việc sử dụng phương trình vi phân để hiệu chỉnh toán không chỉnh nghiên cứu rộng rãi (xem [1], [18] tài liệu dẫn), rời rạc phương trình vi phân ta thu nhiều phương pháp lặp khác Tư tưởng áp dụng phương pháp để tìm nghiệm cho phương trình toán tử loại Hammerstein (1.1) Chúng ta tìm hàm khả vi mạnh u(t) : [t0 , +∞) → H, t0 ≥ 0, nghiệm phương trình vi phân cho lim u(t) = x0 (1.4) t→+∞ Trong phần 2, nghiên cứu hệ phương trình vi phân với nghiệm u(t), u∗ (t) u(t) thỏa mãn (1.4) Xấp xỉ hữu hạn chiều un (t) cho u(t) thỏa mãn lim un (t) = x0 , n,t→+∞ xét chương Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm Các vấn đề liên quan đến đề tài toán đặt không chỉnh trình bày chương Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein Hiệu chỉnh liên tục vô hạn chiều phương pháp hiệu chỉnh liên tục với xấp xỉ hữu hạn chiều trình bày chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu H Không gian Banach thực ký hiệu X Không gian liên hợp X ký hiệu X ∗ Tập rỗng ký hiệu φ Với x ký hiệu ∀x infimum tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu I Tập số thực ký hiệu R Miền xác định toán tử A ký hiệu D(A) Ma trận chuyển vị ma trận A ký hiệu AT Toán tử liên hợp A ký hiệu A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu xn → x x := y tức x định nghĩa y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm Chương trình bày số vấn đề khái niệm không gian Hilbert, toán tử đơn điệu; toán đặt không chỉnh khái niệm phương trình toán tử loại Hammerstein 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực không gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0; x + y x + y , ∀x, y ∈ X; αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H, , ) H không gian tuyến tính , :H×H→R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện : x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H, gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1 L2[a,b] không gian hàm bình phương khả tích [a,b] b với f ∈ L2[a,b] cho f (x) dx < +∞ không gian Hilbert với tích a vô hướng b f, g = f (x) g (x) dx a chuẩn f L2[a,b]  21 b  f (x)dx = a 1.2 Toán tử đơn điệu Cho X không gian Banach thực, A : D (A) → X∗ toán tử với miền xác định D(A) = X miền ảnh (A) nằm X ∗ Định nghĩa 1.3 Toán tử A gọi a)Đơn điệu, A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) b)Đơn điệu chặt dấu xảy x = y c)Đơn điệu đều, tồn hàm không âm δ (t), không giảm với t 0, δ (0) = A (x) − A (y) , x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D (A) ; Nếu δ (t) = cA t2 với cA số dương A toán tử đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.4 Toán tử A đơn điệu x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A (x) , y ∗ ∈ A (y) Tập Gr (A) gọi đơn điệu thỏa mãn bất đẳng thức Nếu Gr (A) không chứa thực tập đơn điệu khác X × X∗ toán tử A gọi toán tử đơn điệu cực đại Toán tử A gọi nửa đơn điệu, tồn toán tử compact C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho A + C toán tử đơn điệu Toán tử A gọi toán tử lim A (x) , x / x = +∞ x →+∞ Một ví dụ toán tử đơn điệu ánh xạ đối ngẫu U s , s Ánh xạ tồn không gian Banach X Khi s = U s thông thường viết U gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc không gian X Đối với không gian lp , < p < +∞, U (x) = x 2−p lp z , x = (x1 , x2 , , xn , , ) z = |x1 |p−2 x1 , |x2 |p−2 x2 , ∈ lp/(p−1) Còn không gian Lp (Ω), với Ω tập đo không gian Rn chuẩn Lp (Ω) , < p < +∞, ánh xạ U có dạng U (ϕ) = ϕ 2−p p−2 ϕ (t) , t Lp (Ω) |ϕ (t)| ∈ Ω Ánh xạ đối ngẫu toán tử đơn vị I không gian H U s U toán tử đơn điệu chặt có tính chất Trong số trường hợp không gian Lp (Ω), U s có tính chất đơn điệu liên tục theo Holder, U s (x) − U s (y) , x − y U s (x) − U s (y) mU x − y c (r) x − y ϑ s , mU > 0, ,0 < ϑ 1, (1.5) c(r) hàm dương tăng dần r = max { x , y } Nếu X = L2 (Ω), không gian Hilbert, U s = I , s = 2, mU = 1, ϑ = c(R) = Với p = không gian lp , Lp , Wpm , p > 1, ta có < p < : s = 2, mU = p − 1, c (p) = p22p−1 ep Lp−1 , e = max {2p , 2p} , < L < 3.18, ϑ = p − 1; < p : s = p, mU = 22−p /p, c (p) = 2p pp−2 {p [p − + max {p, L}]}−1 , ϑ = Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X gọi lồi, ϕ x+y [ϕ (x) + ϕ (y)] , x, y ∈ X Phiếm hàm ϕ (x) với x ∈ X gọi lồi đều, hàm δ (t) với tính chất cho x+y 1 ϕ [ϕ (x) + ϕ (y)] − δ ( x − y ) , x, y ∈ X 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Phương trình toán tử loại Hammerstein 16 Phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein 2.1 19 Hiệu chỉnh liên tục cho toán không chỉnh với toán tử đơn điệu... Chương trình bày số khái niệm Các vấn đề liên quan đến đề tài toán đặt không chỉnh trình bày chương Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh liên tục cho phương trình toán tử loại Hammerstein Hiệu chỉnh. .. KHOA HỌC ĐÀO THỊ TUYẾT PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LIÊN TỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH LOẠI HAMMERSTEIN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN