Phương pháp hiệu chỉnh nghiệm cho bài toán bù Tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHUẤT THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho toán trở nên vô nghiệm vô định Người ta nói toán đặt không chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại sử lý máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số Chính thế, ta cần phải có phương pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số liệu toán nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Những người có công đặt móng cho Lý thuyết toán không chỉnh Tikhonov A.N, Lavrantev M.N, Lion JJ, Ivanov V.K, Do tầm quan trọng lý thuyết mà nhiều nhà toán học giành phần lớn thời gian công sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải toán không chỉnh, điển hình là: Alber Ya.I, Atkinson K.E, Bakushinskii A.B, Đặng Đình Áng, Phạm Kỳ Anh,Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Vấn đề không chỉnh xảy hầu hết loại toán Tuy nhiên khuôn khổ luận văn này, tìm hiểu trình bày "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho toán bù tổng quát" Một ứng dụng toán bù giải toán quy hoạch toàn phương ứng dụng nhiều tài chính, vấn đề gần có nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả nghiên cứu Tseng, Yamashita, Fukushima, Luo, Mangarian, Ren, Solodov, Kanzow, Facchinei, Soares, Geiger Năm 2008, MrPires N.G.Krachenko đưa thuật toán để "hiệu chỉnh nghiệm cho toán bù tuyến tính": Tìm điểm x ∈ Rn cho Ax − b ≤ 0, x ≤ 0, (Ax − b)T x = 0, A ma trận vuông cấp n b ∈ Rn vectơ Hamburger Reitrage đưa thuật toán "Hiệu chỉnh nghiệm cho toán bù phi tuyến": Tìm véctơ x thoả mãn điều kiện: x ≥ 0, F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0, bất đẳng thức lấy theo thành phần F : Rn −→ Rn hàm cho liên tục khả vi hầu khắp nơi Cuối giới thiệu tương đương toán bù tổng quát: Tìm x∗ ∈ Rn thỏa mãn điều kiện: F (x) ≥ 0, G(x) ≥ 0, F (x)T G(x) = 0, F, G : Rn −→ Rn hai hàm liên tục, với toán cực tiểu không ràng buộc khả vi đưa thuật toán "Hiệu chỉnh nghiệm cho toán bù tổng quát" Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội dung luận văn gồm chương Chương I: Kiến thức Trong chương trình bày khái niệm không gian Euclid, không gian Mêtric, khái niệm toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Chương II Bài toán bù tổng quát Trong chương trình bày lại kết "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho toán bù tuyến tính, toán bù phi tuyến, toán bù tổng quát" Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2010 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Euclid không gian Mêtric 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán chỉnh không chỉnh 1.2.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Bài toán bù tổng quát 2.1 Bài toán bù tuyến tính 2.1.1 Phương pháp hàm phạt lũy thừa cho toán bù tuyến tính 2.1.2 Về ổn định toán bù tuyến tính 12 2.2 Bài toán bù phi tuyến 13 2.2.1 Giới thiệu 14 2.2.2 Một số định nghĩa 15 2.2.3 Sự tồn nghiệm quy 16 2.2.4 Hình dạng quỹ đạo nghiệm 16 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.5 Những phương pháp hiệu chỉnh 16 2.3 Bài toán bù tổng quát (GCP) 18 2.3.1 Giới thiệu 18 2.3.2 Một số khái niệm vài lớp hàm 19 2.3.3 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát 19 Kết luận 22 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm hai mục Trong mục 1.1, trình bày khái niệm không gian Euclid không gian Metric Mục 1.2 giới thiệu khái niệm toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Các khái niệm vấn đề sử dụng [1] - [3] [19] 1.1 Khái niệm không gian Euclid không gian Mêtric 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán chỉnh không chỉnh Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi toán chỉnh cặp không gian Metric (X, Y ), có: 1) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X, 2) Nghiệm x xác định cách nhất, 3) Bài toán ổn định cặp không gian X, Y Nếu ba điều kiện không thoả mãn, toán gọi toán không chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đối với toán tìm nghiệm xấp xỉ phương trình A(x) = f, f ∈Y (1.1) kiện ban đầu toán tử A vế phải f Giả sử toán tử A cho trước cách xác, vế phải f cho fδ với sai số ρ1 (fδ , f ) ≤ δ Như vậy, với (fδ , δ) ta phải tìm phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm xác (1.1) δ → Phần tử xδ có tính chất gọi nghiệm xấp xỉ toán không chỉnh Nếu ta ký hiệu Qδ = {x ∈ X : ρY (A(x), fδ ≤ δ} Thì nghiệm xấp xỉ phương trình phải nằm tập Qδ Nhưng tiếc tập Qδ lại lớn, tức phần tử cách xa Chính vậy, tất phần tử Qδ coi nghiệm xấp xỉ (1.1) Vì lẽ đó, toán đặt phải chọn phần tử Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.1) 1.2.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục thay cho f ta biết fδ thoả mãn fδ − f ≤ δ Định nghĩa 1.8 Cho A : X → Y toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α, tác động từ Y vào X gọi toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.1), nếu: (1) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử T (fδ , α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với fδ ∈ Y thoả mãn fδ − f ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ), Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tồn hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ cho với (2) ε > 0, tìm δ(ε) ≤ δ1 để với fδ ∈ Y thoả mãn: fδ − f ≤ δ ≤ δ(ε) xδα − x0 ≤ ε; x0 nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ toán (1.1) xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) định nghĩa nói chung đa trị Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình (1.1), α = α(δ, fδ ) gọi tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ ) phải chọn cho lim α(δ, fδ ) = δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với liệu ban đầu Như việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào kiện phương trình (1.1) gồm bước: (B1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α), (B2) Chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin toán phần tử fδ mức sai số δ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... niệm toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Chương II Bài toán bù tổng quát Trong chương trình bày lại kết "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho toán bù tuyến tính, toán bù phi... không chỉnh xảy hầu hết loại toán Tuy nhiên khuôn khổ luận văn này, tìm hiểu trình bày "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho toán bù tổng quát" Một ứng dụng toán bù giải toán quy hoạch toàn phương. .. 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán chỉnh không chỉnh 1.2.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Bài toán bù tổng