Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS.Khuất Văn Ninh Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc PGS.TS.Khuất Văn Ninh, người quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp Trường THPT Võ Thị Sáu động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Nguyễn Đăng Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS.Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Nguyễn Đăng Long MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian tuyến tính 12 1.1.3 Không gian định chuẩn 13 1.1.4 Không gian Hilbert 16 1.2 Phương trình toán tử 17 1.2.1 Khái niệm 17 1.2.2 Một số khái niệm toán tử đơn điệu 17 1.2.3 Một số khái niệm toán tử liên tục 19 Chương Phương pháp thác triển theo tham số phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz 21 2.1 Phương trình toán tử đơn điệu không gian Hilbert không gian định chuẩn 21 2.1.1 Trong không gian Hilbert 21 2.1.2 Trong không gian định chuẩn 24 2.2 Phương pháp thác triển theo tham số 25 2.2.1 Sự tồn nghiệm 25 2.2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ 31 Chương Ứng dụng giải phương trình toán tử loại 35 3.1 Ví dụ giải xấp xỉ toán biên phi tuyến 35 3.2 Ứng dụng giải số máy tính điện tử 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG KÝ HIỆU ` Tập số tự nhiên `* Tập số tự nhiên khác không _ Tập số hữu tỷ \ Tập số thực ^ Tập số phức \k Không gian thực k chiều L( X , Y ) Không gian toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn ∅ Tập hợp rỗng ( ⋅ , ⋅) Tích vô hướng θ Phần tử không MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Rất nhiều vấn đề, nhiều toán khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, sống dẫn đến việc nghiên cứu phương trình toán tử Ax = y (1) A toán tử từ tập X đến tập Y, x ∈ X , y ∈ Y Toán tử A tuyến tính phi tuyến, đơn trị đa trị (lúc y ∈ Ax ) A ký hiệu cho toán tử xác định toán biên cổ điển không cổ điển, với biên trơn không trơn Chính phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn Phạm vi ứng dụng rộng có hiệu lực thực tiễn trước phát triển nhanh chóng máy tính điện tử với phát triển mạnh mẽ công trình nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1) Về phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình có dạng (1) phong phú, đa dạng Những phương pháp thường sử dụng cải biên, phát triển thêm phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp điều chỉnh, phương pháp thác triển theo tham số… Phương pháp thác triển theo tham số dùng để nghiên cứu phương trình toán tử loại hai x + Ax = f công trình J Schauder S N Bertein, nhiều công trình theo hướng hạn chế việc nghiên cứu toán tử phi tuyến khả vi, số khác V A Trenoghin, J L Gaponenko nghiên cứu toán tử phi tuyến không khả vi, chẳng hạn toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz Với mong muốn tìm hiểu sâu giải xấp xỉ phương trình toán tử hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp thạc sĩ ngành Toán giải tích Ở trình bày phương pháp thác triển nói toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz tác dụng không gian Banach tùy ý Phương pháp trình lặp sử dụng số hữu hạn bước theo tham biến ε bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu phương pháp thác triển tham số phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz - Nghiên cứu giải phương trình toán tử loại hai máy tính điện tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cụ thể phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình loại hai x + Ax = f - Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi tích phân với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: nghiên cứu phương pháp toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz - Phạm vi nghiên cứu: Các giáo trình, tài liệu liên quan đến phương pháp thác triển theo tham số Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng số kỹ thuật giải xấp xỉ phương trình toán tử: phương pháp lặp, đánh giá sai số - Thu thập nghiên cứu giáo trình, tài liệu liên quan - Phân tích, tổng hợp kiến thức Dự kiến đóng góp luận văn - Trình bày cách hệ thống ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình vi tích phân phi tuyến - Giải phương trình vi tích phân phi tuyến máy tính điện tử Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric Cho X tập tùy ý khác rỗng Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric tập hợp X khác rỗng với ánh xạ d: X ×X →\ tích X × X vào tập số thực \ , thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) ( ∀x, y ∈ X ) , d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = ⇔ x = y ; (tiên đề đồng nhất) 2) ( ∀x, y ∈ X ) , d ( x, y ) = d ( y, x ) ; (tiên đề đối xứng) 3) ( ∀x, y, z ∈ X ) , d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) ; (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric X , số d ( x, y ) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm; tiền đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm ( xn ) , n = 1,2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d ( a, xn ) = n →∞ Khi đó, ta kí hiệu lim xn = a xn → a , n → ∞ n →∞ Tập hợp B ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) < r} ( r > ) gọi hình cầu mở tâm a, bán kính r không gian metric X 10 Tương tự, tập hợp B ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) ≤ r} ( r > ) gọi hình cầu đóng tâm a, bán kính r không gian metric X Mỗi hình cầu mở B ( a, r ) gọi lân cận phần tử a X Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm ( xn ) gọi dãy không gian metric X với ε > cho trước, tồn số n0 cho với n ≥ n0 m ≥ n0 ta có d ( xn , xm ) < ε Nói cách khác, ta có lim d ( xn , xm ) = n , m→∞ Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định nghĩa 1.1.5 Cho X Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ f : X → Y gọi ánh xạ co tồn số α với ≤ α < cho với x, x ' ∈ X ta có d ( f ( x ) , f ( x ' ) ) ≤ α d ( x, x ' ) Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy X vào có điểm bất động x* nhất, nghĩa x* ∈ X thỏa mãn: Ax* = x* Chứng minh: Lấy điểm x0 ∈ X lập dãy xn = Axn−1 ( n = 1,2, ) ta d ( x2 , x1 ) = d ( Ax1 , Ax0 ) ≤ α d ( x1 , x0 ) = α d ( Ax0 , x0 ) , 50 Với m = Với m = 51 Với m = Với m = 52 Với m = Sử dụng phần mềm Maple giải phương trình (3.3.3) um,, +1 = 200um3 + 200uk3 + u( m+1) ( ) = u( m+1) (1) = 0, u( k +1) ( ) = u( k +1) (1) = u0 ( x ) = x ( x − 1) , m, k = 0,1,2, Ta có thuật toán: Gán h := 0,05 u0 ( x ) = x ( x − 1) (*) Với k = Tính u03k ( ih ) , ( i = 1, ,19 ) (sử dụng công thức (*) ) Với m = Bước 1: Tính u03m ( ih ) , ( i = 1, ,19 ) (sử dụng công thức (*) ) Bước 2: Với u03m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u03m ( ih ) + 200.u03k ( ih ) + 1⎤⎦ 53 Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) Với m = Bước 1: u13m ( ih ) := ui3 ( ui tìm trường hợp m = ) Bước 2: Với u13m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u13m ( ih ) + 200.u03k ( ih ) + 1⎤⎦ Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) Quá trình lặp tương tự với m = Với k = Tính u13k ( ih ) := ui3 ( ui tìm trường hợp m = , ứng với k = ) Với m = Bước 1: Tính u03m ( ih ) , ( i = 1, ,19 ) (sử dụng công thức (*) ) Bước 2: Với u03m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u03m ( ih ) + 200.u13k ( ih ) + 1⎤⎦ Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) Với m = Bước 1: u13m ( ih ) := ui3 ( ui tìm trường hợp m = ) Bước 2: Với u13m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u13m ( ih ) + 200.u13k ( ih ) + 1⎤⎦ Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) 54 Quá trình lặp tương tự với m = Với k = Tính u23k ( ih ) := ui3 ( ui tìm trường hợp m = , ứng với k = ) Với m = Bước 1: Tính u03m ( ih ) , ( i = 1, ,19 ) (sử dụng công thức (*)) Bước 2: Với u03m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u03m ( ih ) + 200.u23k ( ih ) + 1⎤⎦ Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) Với m = Bước 1: u13m ( ih ) := ui3 ( ui tìm trường hợp m = ) Bước 2: Với u13m ( ih ) tính ta tính b [i ] = h ⎡⎣ 200.u13m ( ih ) + 200.u23k ( ih ) + 1⎤⎦ Bước 3: Tính b [i ] thay vào hệ Au = b tìm nghiệm ui ( i = 1, ,19 ) Quá trình lặp tương tự với m = Cụ thể : Với k = +) m = > h:=0.05: > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od: > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: 55 >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1482129883e-1 u[2] = -0.2715599414e-1 u[3] = -0.3708181445e-1 u[4] = -0.4476671874e-1 u[5] = -0.5046362304e-1 u[6] = -0.5448450194e-1 u[7] = -0.5716300585e-1 u[8] = -0.5881332811e-1 u[9] = -0.5969165038e-1 u[10] = -0.5996508788e-1 u[11] = -0.5969165038e-1 u[12] = -0.5881332811e-1 u[13] = -0.5716300585e-1 u[14] = -0.5448450194e-1 u[15] = -0.5046362304e-1 u[16] = -0.4476671874e-1 u[17] = -0.3708181445e-1 u[18] = -0.2715599414e-1 u[19] = -0.1482129883e-1 +) m = > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[1,i])^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od: > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1870317065e-1 u[2] = -0.3491466744e-1 u[3] = -0.4868173980e-1 u[11] = -0.8772702225e-1 u[12] = -0.8557311036e-1 u[13] = -0.8188491635e-1 56 u[4] = -0.6010384903e-1 u[5] = -0.6932681584e-1 u[6] = -0.7652602470e-1 u[7] = -0.8188491635e-1 u[8] = -0.8557311036e-1 u[9] = -0.8772702225e-1 u[10] = -0.8843483521e-1 u[14] = -0.7652602470e-1 u[15] = -0.6932681584e-1 u[16] = -0.6010384903e-1 u[17] = -0.4868173980e-1 u[18] = -0.3491466744e-1 u[19] = -0.1870317065e-1 +) m = > for i from to 19 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[2,i])^3+200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1760585158e-1 u[2] = -0.3272167267e-1 u[3] = -0.4540433734e-1 u[4] = -0.5577422972e-1 u[5] = -0.6400868386e-1 u[6] = -0.7032172483e-1 u[7] = -0.7493765539e-1 u[8] = -0.7806402003e-1 u[9] = -0.7986770022e-1 u[10] = -0.8045651295e-1 u[11] = -0.7986770022e-1 u[12] = -0.7806402003e-1 u[13] = -0.7493765539e-1 u[14] = -0.7032172483e-1 u[15] = -0.6400868386e-1 u[16] = -0.5577422972e-1 u[17] = -0.4540433734e-1 u[18] = -0.3272167267e-1 u[19] = -0.1760585158e-1 57 k =1 > for i from to 19 > u[1,k,i]:=subs(sols,u[i]): > od; +) m = > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1799364177e-1 u[2] = -0.3349671039e-1 u[3] = -0.4656285918e-1 u[4] = -0.5730535171e-1 u[5] = -0.6589059450e-1 u[11] = -0.8265658337e-1 u[12] = -0.8072735805e-1 u[13] = -0.7739999346e-1 u[14] = -0.7251894995e-1 u[15] = -0.6589059450e-1 58 u[6] = -0.7251894995e-1 u[7] = -0.7739999346e-1 u[8] = -0.8072735805e-1 u[9] = -0.8265658337e-1 u[10] = -0.8328809833e-1 u[16] = -0.5730535171e-1 u[17] = -0.4656285918e-1 u[18] = -0.3349671039e-1 u[19] = -0.1799364177e-1 +) m = > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[1,m,i])^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.2103630678e-1 u[2] = -0.3957825508e-1 u[3] = -0.5565651321e-1 u[4] = -0.6933204955e-1 u[5] = -0.8068842875e-1 u[6] = -0.8981896765e-1 u[7] = -0.9681407062e-1 u[8] = -0.1017514278 [9] = -0.1046896921 u[10] = -0.1056650479 +) m = > for i from to 19 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; u[11] = -.01046896921 u[12] = -0.1017514278 u[13] = -0.9681407062e-1 u[14] = -0.8981896765e-1 u[15] = -0.8068842875e-1 u[16] = -0.6933204955e-1 u[17] = -0.5565651321e-1 u[18] = -0.3957825508e-1 u[19] = -0.2103630678e-1 59 > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[2,m,i])^3+200*(u[1,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1969544129e-1 u[2] = -0.3689826574e-1 u[3] = -0.5164960632e-1 u[4] = -0.6403395077e-1 u[5] = -0.7417168273e-1 u[6] = -0.8220320601e-1 u[7] = -0.8827090972e-1 u[8] = -0.9250274275e-1 u[9] = -0.9499917074e-1 u[10] = -0.9582402668e-1 k =2 > for i from to 19 > u[2,k,i]:=subs(sols,u[i]): > od; u[11] = -0.9499917074e-1 u[12] = -0.9250274275e-1 u[13] = -0.8827090972e-1 u[14] = -0.8220320601e-1 u[15] = -0.7417168273e-1 u[16] = -0.6403395077e-1 u[17] = -0.5164960632e-1 u[18] = -0.3689826574e-1 u[19] = -0.1969544129e-1 60 +) m = > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(i*h*(i*h-1)/2)^3+200*(u[2,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.1718647354e-1 u[2] = -0.3188346535e-1 u[3] = -0.4415113782e-1 u[4] = -0.5411724464e-1 u[5] = -0.6197063217e-1 u[6] = -0.6794003248e-1 u[7] = -0.7226598391e-1 u[8] = -0.7517173710e-1 u[9] = -0.7683725206e-1 u[10] = -0.7737900091e-1 u[11] = -0.7683725206e-1 u[12] = -0.7517173710e-1 u[13] = -0.7226598391e-1 u[14] = -0.6794003248e-1 u[15] = -0.6197063217e-1 u[16] = -0.5411724464e-1 u[17] = -0.4415113782e-1 u[18] = -0.3188346535e-1 u[19] = -0.1718647354e-1 +) m = > for i from to 19 > u[1,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 > b[i]:=h^2*(200*(u[1,m,i])^3+200*(u[2,k,i])^3+1): > od; 61 > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; u[1] = -0.2049026788e-1 u[2] = -0.3848689401e-1 u[3] = -0.5402484396e-1 u[4] = -0.6717471869e-1 u[5] = -0.7803512006e-1 u[6] = -0.8671854165e-1 u[7] = -0.9333650229e-1 u[8] = -0.9798705546e-1 u[9] = -0.1007457602 u[10] = -0.1016599635 u[11] = -01007457602 u[12] = -0.9798705546e-1 u[13] = -0.9333650229e-1 u[14] = -0.8671854165e-1 u[15] = -0.7803512006e-1 u[16] = -0.6717471869e-1 u[17] = -0.5402484396e-1 u[18] = -0.3848689401e-1 u[19] = -0.2049026788e-1 +) m = > for i from to 19 > u[2,m,i]:=subs(sols,u[i]): > od; > for i from to 19 >b[i]:=h^2*(200*(u[2,m,i])^3+200*(u[2,k,i])^3+1): > od; > u[0]:=0: u[20]:=0: > for i from to 19 > eqn[i]:=u[i-1]-2*u[i]+u[i+1]=b[i]: > od: >sols:=evalf(solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5],eqn[6],eqn[7] ,eqn[8],eqn[9],eqn[10],eqn[11],eqn[12],eqn[13],eqn[14],eqn[15],eqn [16],eqn[17],eqn[18],eqn[19]})): > for i from to 19 > lprint(u[i]=subs(sols,u[i])): > od; 62 u[1] = -0.1917305678e-1 u[2] = -0.3585423502e-1 u[3] = -0.5008903560e-1 u[4] = -0.6197156926e-1 u[5] = -0.7163694467e-1 u[6] = -0.7924394220e-1 u[7] = -0.8495474464e-1 u[8] = -0.8891599959e-1 u[9] = -0.9124342585e-1 u[10] = -0.9201079842e-1 u[11] = -0.9124342585e-1 u[12] = -0.8891599959e-1 u[13] = -0.8495474464e-1 u[14] = -0.7924394220e-1 u[15] = -0.7163694467e-1 u[16] = -0.6197156926e-1 u[17] = -0.5008903560e-1 u[18] = -0.3585423502e-1 u[19] = -0.1917305678e-1 63 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Bản luận văn trình bày phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại Cụ thể: Chương 1: Trình bày khái niệm, định lí, tính chất kiến thức sở Chương 2: Trình bày lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại Chương 3: Ví dụ giải xấp xỉ toán biên phi tuyến phương pháp lặp đơn phương pháp thác triển theo tham số Ứng dụng giải số máy tính điện tử ngôn ngữ lập trình Maple Với thời gian khả có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt Xin chân thành cảm ơn! 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, Nhà xuất giáo dục [4] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [5] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] H.Gajewski, K.Groger, K.Zacharias (1978), phương trình toán tử phi tuyến phương trình toán tử vi phân, Nhà xuất “Mir” Moskva [B] Tài liệu tiếng Anh [8] Yu L Gaponenko (1986), “The parameter-extension method for an equation of the second kind with a Lipschitz-continuous and monotonic operator”, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, Volume 26, Issue 4, Pages 104-110 [9] Khuất Văn Ninh (2011), “A method of extending by parameter for approximate solutions of operator equations”, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No