Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

Tác giả xin được bày tở lòng biết ơn chân thành tới T.s Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cún và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, thảng 6 năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cún của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.s Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Mỏ Đầu 1. Lý do chon đề tài Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến. Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực mạnh mẽ. Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán tủ' theo quan điểm xấp xỉ Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong phú đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi. Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn bước theo tham số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Phương pháp thác triển tham số úng dụng nhiều để giải các phương trình toán tử phi tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong nhũng úng của phương pháp này. Bởi vậy tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tủ’ phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 3. Nhiệm vụ nghiên cún Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương pháp thác triển theo tham số. 3 - ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán tử phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún Nghiên cún ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống nhũng vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập. 6. Đóng góp mới của luận văn - Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triến theo tham số. Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy tính điện tử. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian định chuẩn Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức. Hàm thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu: /) /?(*)>0 \/XGX; P(X) = 0<^>X = 0. iĩ) /?(Ẳx) = |>l|jơ(jt) V/lEK VxeX. ỉiỉ) p(x + y)<p(x) +p{y) Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian định chuẩn. Sau này ta luôn dùng ký hiệu ||.II để chỉ một chuẩn trên không gian định chuẩn X. Không gian định chuấn X là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn: 4 d(x, j) = ||x-y||. 1.1.2. Không gian Banach Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.1 Cho không gian Cị ^. Với x(r),y(í) eCj h yk e M, ta định nghĩa: /)(*+ ;y)(í) = *(/) + V/e[a,&]. /z)(Ấ2t)(/) = &.*(/), Vre[ữ,&]. Như vậy với hai phép toán trên, không gian là một không gian vectơ trên trường số R . Với if/)eCr ,1, đặt llxll = maxlxiril lúc đó ta có ||.|| là một chuẩn trên V ) M’ • I I II V ỉI IN I Cị b -ị, hơn nữa Cị a b -ị cùng với ||.|| trên là một không gian Banach. Ví dụ 1.1.2 Xét không gian / 2 =|x = (x 1 ,x 2 , ,x / , )lx / . eM,V/ eN*,y]x y | 2 <+oo|. Với X = (), y = (y.) e / 2 , \ỉk e M, ta định nghĩa: 0(* + y); = Xị + y n V/ e N*. //)(£*). = k.Xị, V/ e N*. Khi đó, / 2 là một không gian vectơ trên trường số M . \_ f ” ,2 V Với xe/ 2 , đặt 11*1 = 2JX;! , lúc đó ta có ||.|| là một chuân trên / 2 , và / 2 V i=1 ) cùng với chuấn đó là một không gian Banach. 1.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.2.1 5 Cho hai không gian metric Mị =(X,d ] ),M 2 =(Y,d 2 ) . Ánh xạ A: M, —» M 2 được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 < 6 < 1 sao cho: d 2 (A(x),A(y)^<ỡdị(x,ỵ), Vx,y G X . Định lý 1.2.1 Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M =(x,d ) vào chính nó đều có điểm bất động X duy nhất, nghĩa ìầ X eX thỏa mãn hệ thức Ax =x. Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ A: X —» X thỏa mãn điều kiện : d (Ax, Aỵ) < ỡd (x, ỵ) với hằng số 0 < 1 và Vx, ỵ eX . 6 Khi đó tồn tạo duy nhất phần tử X* sao cho X* = Ax*, hơn nữa với mọi x ữ eX thì dãy Ị* Ị xác định bởi x k+] =Ax hĩ VkeN là hội tụ đều ,đồng thời ta có ước lượng: (1.1) Áp dụng những dạng khác nhau của phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta giải gần đúng các phương trình đó. Giả sử X là không gian Banach. Kí hiệu (s(i; 0 ,r)) là hình cầu trong X với tâm X Q và bán kính r .S(jc 0 ,r) = Ị;ce X;||jc-jt 0 ||< rỊ. Giả sử toán tư phi tuyến A tác động trong X, nghĩa là A(x) G X với XGX . Ta nói rằng toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu: Trong đó a=const > 0. Neu giả thiết thêm rằng a<l thì ta nói rằng toán tử A là toán tử co trong X. Định lí 1.3.1 Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tủ’ co . Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn n = 1,2, 7 (1.2) Trong đó x 0 là phần tử tùy ý trong X. Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định bởi một trong các công thức <-^llx 0 -A(x 0 )ll, 1-a trong đó X* là nghiệm của phương trình (1.1) Chủng minh. Trước hết ta chứng minh rằng dãy {x } là dãy cơ bản từ đó suy ra sự hội tụ của nó. Ta có Ik + I - N H*») - A{ - x »~' )|| - a k - X «-1 II’ k + i-*Jp a Fi-*0 Từ đó k + * MP Ihu ~ x n*k-íII+IKu-1 “Vt-2||+—+I-Vi <(a" + *-' +a" + *' 2 + + a")||x, -x 0 || a" 1 Fi-*o 1-a Từ đó suy ra dãy {x n } là dãy cơ bản vì a < 1. Ta chứng minh rằng giới hạn X* của dãy {*„} là nghiệm của phương trình (1.1). Rõ ràng là II* - y\\ = ||^w - ^(y)|| ^ «Ik - y\\ ■ Từ đó ta có lim A(x n _ x ) = A(x). n—>oc Cho nên Jt*=i4(/). Điều này có nghĩa là X* là nghiệm của phương trình (1.1). 8 <a n (1.3)-X x 0 -x (1.4) X., -X (1.5) Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất. Kí hiệu X, y là nghiệm của phương trình (1.1). Khi đó II* " >1 = ll A W - ^(y)|| ^ a||* - y|| Vì a < 1 nên x = ỵ. Có thể nhận được bất đẳng thức (1.4) bằng cách cho k —>00 trong công thức (1.5). Còn công thức(l .3) nhận được từ bất đẳng thức sau: * x„— <a n * 1 —X n n-1 Định lí 1.3.2 Giả sử toán tủ’ A tác động trong s(x 0 , r) và toán tò co trong hình cầu đó. Khi đó phương trình (1.1) có một nghiệm duy nhất trong s, nghiệm đó là giói hạn của dãy (1.2). Tốc độ hội tụ được xác lập bởi công thức (1.3) hoặc (1.4). Định lí 1.3.3 Giả sử A là toán tử co trong s(-Ỉ0, r ) và \\A(x 0 )-x 0 \\<ạ-a)r. Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng. Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tủ’ tác động trong s. Thật vậy với XGS ta có II A(x) - í 0 || < I A(x) - A(ỉ 0 )|| + |ẩ(ẵ 0 ) - i 0 || < <a||x-x 0 || + (l -a)r Áp dụng đinh lí 1.3.2 ta có điều phải chứng minh. Định lí 1.3.4 Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một lũy thừa nào đó A k của toán tử A là một toán tử co trong X. Khi đó phương 9 trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2). Tốc độ hội tụ được xác định bằng công thức n>k; Trong đó a < 1 là hệ số co của toán tò A k . Chứng minh. Theo định lí 1.3.1, X* là điểm bất động của toán tủ’ A x=A k {x) Khi đó A*[A(jc*)] = A[A*(jt*)] = A(jc*), Nghĩa là /4(x*)là điểm bất động của toán tử A k . Do đó tính chất duy nhất của điểm bất động của toán tử A k , ta suy ra X = A(x). Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (1.1) có nghiệm. Tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1) được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của phương trình X = A k (x). Bây giờ ta chứng minh rằng các xấp xỉ liên tiếp (1.2) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.1). Với n > k ta có x„=A k (.x n _ k ). Ta đưa vào kí hiệu 8. = Xị - X* . Khi đó e „^ as „-í • Nếu đặt n = k + j thì Ẽ t + j^ aẼ j 0’ = 0,1,2, ) Từ đó dễ dàng thu được bất đẳng thức 1 0 u = 0,1,2, ) . [...]... (2.3) được dựng với quá trình lặp (2.13) là x(n,N), trong đó N là số các bước theo tham biến €, n là số phép lặp được thục hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng Ta thu được: 11 11 (l-g)[exp(g)-l] Định lý được chứng minh 2.2 Phương pháp thác triến theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính trong R” Trong không gian R n xét hệ phương trình tuyến tính Ax =b , Ae w im là ma trận n Xn , b G M” , X (2.18)... phương trình là: (-0.2654; 0.9177; -3.4453) 2.3 Phưong pháp thác triển theo tham số giải phưong trình phi tuyến trong không gian R n Xét phương trình phi tuyến trong M" , F ( x ) = 0 trong đó F : R n ->Rn X h-> F ( x ) /l(xl, ,x„)=0 Hay (2.33) trong đó X = (X\,~;X I 1 ), fr M" ->E" x = (x l , ,x„) i-> Ta đưa phương trình (2.33) về dạng : X + Bx = g Trong đó ọ x (x { , ,x n ) B ( x ) = < ->... do đó phương trình (2.19) có nghiệm duy nhất 2.2.2 Giải hệ phưoìig trình tuyến tính bằng phưoìig pháp thác triển theo tham số Xét phương trình: x = Bx + f Trong đó 'a B = n ••• a a , u nn x= , f= J« s Ta biến đổi phương trình Thực hiện N-l phép thay biến y = x + — Bx = F.x N (2.20) z = y + — BF~'y = F 2 y (2.21) N 2 =V+ BF~'F 2 ~' F~' N _ 2 V = /V, (2.22) Sau phép thay biến trên ta có phương trình. .. Lipschỉtz bị chặn nếu tồn tại hàm số ỊẤ đơn điệu tăng trên [0,+oo) sao cho Vw,v E X : II Au - Av II < JLỈ (R), R = max(||w||,||v||) Chưong 2 Phượng pháp thác triển theo tham số đối với phượng trình loại hai vói toán tử đon điệu và liên tục Lipschitz 2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 2.1.1 Sự tồn tạỉ nghiệm Xét họ một tham biến các phương trình toán tử 0 Khi đó phương trình X + £ {) Ax = f xác định... toàn không gian và liên tục Lipschitz với hệ số L= 1 Do đó ánh xạ foAFj-'F^1 ^-1 là ánh xạ co với hệ số co q = S Q L < 1 Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.5) với f tùy ý có nghiệm duy nhất Cữ Như vậy phương trình xuất phát (2.3) tương đương với phương trình (2.5) cũng giải được duy nhất với phần tử tùy ý f Cụ thể đối với phương trình: X+A X=/ Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian. .. tử co Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là x(£)và giả sử x(s 0 ) tìm được Như vậy ta đã trượt một bước £ 0 theo tham biến £ từ phần tử x(0) = / theo hướng đến phần tử x(l) = u Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến £ sẽ đến nghiệm của phương trình (2.2) sau một số hữu hạn bước Xét phương trình loại hai: X + sAx = / (2.3) Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f... N>L, n=l,2, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng X của phương trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng Trong đó {i(n) = -f^\\fịn = \,2,: K =ị-, n = 1,2, \-q N Chứng minh: Ta thiết lập ước lượng Bài toán 1 (một bước theo tham biến £) Xét phương trình X + £0Ax=f Vì toán tử £ 0 A là toán tử co vói hệ số co q = € Q L = — < 1, nên phương trình trên với phần... Banach và toán tử A: X —» X Xét phương trình: x = Ax + j\ /eX, phương trình (ỉ 7) được gọi là phương trình toán tử loại 2 Ví dụ 1.4.2 Cho không gian Banach X =Cị ab ^ hàm số Kịt.s) liên tục theo hai biến t,s trên [a,b ] X [a,b] Ta có phương trình toán tử b xịt) = ÃỊ K (t,.f)xịs)ds + /(/), / (í) e a Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2 1.5 Một số khái niệm liên tục 1.5.1 Toán tử... với hàng số L=l, nên mang sai số qju(n) vào vế phải của phương trình y + £0AF,-1 y = / sẽ gây ra trong nghiệm tương ứng sai số không quá qụịrỉ ) Sai số ju(n) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình y + £0AFj_1;y = /, đối với nghiệm xấp xỉ y n, ta sẽ thu được I yn - >il - ô2 (”) - w W + M ( n ) = C A ( n ) + M ( n ) Mặt khác vói phép thay đổi biến ngược, nghĩa là nếu chuyển từ biến y về... và dựng quá trình lặp *™+i= 2 Ax™ 2A*+f’ x°=*’ m=0’1’2’- Giả sử dãy này hội tụ đến phần tử JC Ta tiếp tục dựng quá trình lặp (2.11) =-^-Axm-2A^+f’ x 0=*’ m=0,l,2,„ Trong trường hợp £ 0 =— (N bước theo tham biến s) ta đi đến quá trình lặp có dạng: -1 1 1 *„+i = M Ax »‘ - 2 Ax»' - -^Axf+f ; m> n’ 2.1.2 (2-12) Ước lượng tốc độ hội tụ Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách . tài: Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide . 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác. giải các phương trình toán tử phi tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong nhũng úng của phương pháp này. Bởi. thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tủ’ phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide 3. Nhiệm vụ nghiên cún Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương pháp thác triển theo tham