Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T.S Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn T.S Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Nguyễn ngọc Bình MỤC LỤC Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.2 Nguyên lý ánh xạ co 1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 1.4 Toán tử đơn điệu không gian Banach không gian Hilbert phương trình toán tử 10 1.4.1 Khái niệm toán tử đơn điệu 10 1.4.2 Toán tử d - đơn điệu 10 1.4.3 Toán tử đơn điệu 11 1.4.4 Toán tử đơn điệu mạnh 11 1.4.5 Toán tử coercive 11 1.4.6 Phương trình toán tử 12 1.5 Một số khái niệm liên tục 12 1.5.1 Toán tử đêmi liên tục 12 1.5.2 Toán tử mi liên tục 12 1.5.3 Toán tử rađian liên tục 13 1.5.4 Toán tử liên tục Lipschitz 13 1.5.5 Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn 13 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến không gian Euclide 14 2.1 Phương pháp thác triển theo tham số 14 2.1.1 Sự tồn nghiệm 14 2.1.2 Ước lượng tốc độ hội tụ 18 2.2 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính n 21 2.2.1 Điều kiện tồn nghiệm hệ phương trình (2.19) sử dụng phương pháp thác triển theo tham số 23 2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp thác triển theo tham số 23 2.2.3 Ví dụ 27 2.3 Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến không gian n 31 2.3.1 Định nghĩa 31 2.3.2 Định lý tồn phương trình nghiệm (2.33) 32 2.3.3 Ví dụ 33 Ứng dụng phần mềm Toán học vào giải toán hệ phương trình phi tuyến nhiều biến không gian Euclide 39 3.1 Giải hệ phương trình tuyến tính phần mềm Toán học 39 3.1.1 Ví dụ 39 3.2 Giải hệ phương trình phi tuyến phần mềm toán học 47 3.2.1 Ví dụ 47 3.2.2 Ví dụ 52 Mở Đầu Lý chọn đề tài Bài toán giải phương trình toán tử có nhiều nhà khoa học đề cập đến Phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn có hiệu lực mạnh mẽ Nhưng thực tiễn yếu tố toán nhiều nguyên nhân có tính chất gần đúng, có nhiều công trình tập trung nghiên cứu phương trình toán tử theo quan điểm xấp xỉ Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử phong phú đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu liên tục Lipschitz phương pháp có ứng dụng rộng rãi Phương pháp sử dụng trình lặp thông qua số hữu hạn bước theo tham số bước thực nhờ phương pháp ánh xạ co Phương pháp thác triển tham số ứng dụng nhiều để giải phương trình toán tử phi tuyến không gian định chuẩn khác giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến không gian Euclide ứng phương pháp Bởi chọn đề tài : “Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến không gian Euclide” Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày nghiên cứu lí thuyết phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình toán tử phi tuyến nhiều biến không gian Euclide Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Phương pháp thác triển theo tham số - Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán tử phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp nói để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến không gian Euclide Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào tập Đóng góp luận văn - Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp thác triển theo tham số - Giải hệ phương trình tuyến tính phi tuyến máy tính điện tử Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Giả sử X không gian vectơ trường vô hướng K thực hay phức Hàm thực p X gọi chuẩn X nếu: i) p  x   x  X ; p  x    x  ii) p   x    p  x    K x  X iii) p  x  y   p  x   p  y  x, y  X Không gian vectơ X với chuẩn gọi không gian định chuẩn Sau ta dùng ký hiệu để chuẩn không gian định chuẩn X Không gian định chuẩn X không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn: d  x, y   x  y 1.1.2 Không gian Banach Không gian định chuẩn X không gian mêtric đầy với mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach Ví dụ 1.1.1 Cho không gian Ca ,b Với x  t  , y  t   Ca ,b , k  , ta định nghĩa: i)  x  y  t   x  t   y  t  , t a, b ii)  kx  t   k.x  t  , t  a, b Như với hai phép toán trên, không gian Ca ,b không gian vectơ trường số Với x  t   Ca ,b , đặt x  max x  t  lúc ta có chuẩn t a ,b Ca ,b , Ca ,b với không gian Banach Ví dụ 1.1.2  Xét không gian l2   x   x1 , x2 , , xi ,  | xi  , i    ,  xi    i 1   * Với x   xi  , y   yi   l2 , k  , ta định nghĩa: i)  x  y i  xi  yi , i  ii)  kx i  k.xi , i  * * Khi đó, l2 không gian vectơ trường số   2 Với x  l2 , đặt x    xi  , lúc ta có chuẩn l2 , l2  i 1  với chuẩn không gian Banach 1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian metric M1   X , d1  , M  Y , d2  Ánh xạ A : M1  M gọi ánh xạ co tồn    cho: d2  A( x), A( y)    d1  x, y  , x, y  X Định lý 1.2.1 Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M   X , d  vào có điểm bất động x nhất, nghĩa x  X thỏa mãn hệ thức Ax =x Giả sử X không gian metric đủ ánh xạ A : X  X thỏa mãn điều kiện : d ( Ax, Ay)   d ( x, y) với số   x, y  X * Khi tồn tạo phần tử x cho x*  Ax* , với x0  X dãy xn nN xác định xk 1  Axk , k  N hội tụ ,đồng thời ta có ước lượng: n d ( xn , x )  d ( x1, x0 ) 1 * 1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Ta xét phương trinh toán tử phi tuyến x  A( x) (1.1) Áp dụng dạng khác phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta giải gần phương trình Giả sử X không gian Banach Kí hiệu  S  x0 , r   hình cầu X với tâm x0 bán kính r S  x0 , r   x  X ; x  x0  r Giả sử toán tư phi tuyến A tác động X, nghĩa A(x)  X với x X Ta nói toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu: A( x)  A( y)   x  y , x, y  X , Trong  =const   Nếu giả thiết thêm 