Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử

Header Page of 16 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NG VN HIU MT S PHNG PHP HIU CHNH GII H PHNG TRèNH TON T LUN VN THC S KHOA HC H Ni - 2011 Footer Page of 16 Header Page of 16 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NG VN HIU MT S PHNG PHP HIU CHNH GII H PHNG TRèNH TON T Chuyờn ngnh: Toỏn hc tớnh toỏn Mó s: 604630 LUN VN THC S KHOA HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH Phm K Anh H Ni - 2011 Footer Page of 16 Header Page of 16 LI CM N hon thnh bn lun ny tụi ó nhn c s giỳp to ln ca cỏc Thy, Cụ giỏo, gia ỡnh v bn bố xung quanh Tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo hng dn GS.TSKH Phm K Anh, Khoa Toỏn - C - Tin hc, Trng i hc khoa hc t nhiờn, HQG H Ni Trong quỏ trỡnh ging dy cng nh hng dn, thy ó õn cn, ng viờn, giỳp ch bo tn tỡnh cho tụi Tụi cng gi li cm n ti cỏc Thy, Cụ Khoa Toỏn - C - Tin hc, Phũng sau i hc, Trng i hc khoa hc t nhiờn, HQG H Ni ó dy d, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc tp, c bit l cỏc Thy, Cụ Seminar ca B mụn Toỏn hc tớnh toỏn ó cú nhng ý kin úng gúp quý bỏu giỳp cho bn lun hon chnh hn Ngoi tụi cng xin gi li cm n ti cỏc bn ng nghip ó giỳp , ng viờn tụi quỏ trỡnh thc hin lun ny Cui cựng, tụi xin gi li cm n ti gia ỡnh ó sinh thnh, nuụi dng v ng viờn tụi rt nhiu thi gian qua Dự ó c gng ht sc nhng lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Mi ý kin úng gúp tụi xin c ún nhn vi lũng bit n chõn thnh H Ni, ngy 23 thỏng 11 nm 2011 Hc Viờn ng Vn Hiu Footer Page of 16 Header Page of 16 Mc lc Li cm n Bng kớ hiu M u Hiu chnh a tham s - s hi t v tc hi t 1.1 t bi toỏn 1.2 Cỏc kt qu v tớnh n nh 1.3 Tc hi t 12 1.4 Hiu chnh a tham s khụng gian Hilbert 16 1.5 Mi liờn h gia phng phỏp nhõn t Lagrange v phng phỏp hiu chnh a t Phng phỏp hiu chnh a tham s Tikhonov 22 2.1 Nhc li bi toỏn 22 2.2 Mt s kt qu 23 2.3 Vớ d minh 34 Phng phỏp chnh lp song song dng Gauss - Newton 37 3.1 Gii thiu 37 3.2 S hi t 40 3.3 Vớ d minh 46 Kt lun 53 Ti liu tham kho 54 Footer Page of 16 Header Page of 16 BNG K HIU u L2 () H k () D(F) J(x) M D(x, x) Br (x ) < , > < , >X ,X Y j F L(X,Y ) L(x, ) F (x) T (x) IRGNM PIRGNM Toỏn t Laplace ca u Khụng gian cỏc hm bỡnh phng kh tớch trờn Khụng gian Sobolev Min xỏc nh ca toỏn t F Biờn ca Phim hm n nh Tp cỏc phn t chp nhn c Khong cỏch Bregman gia x v x Hỡnh cu m tõm x bỏn kớnh r Chun Euclid Tớch vụ hng khụng gian X Tớch i ngu X Khụng gian liờn hp ca khụng gian Y j Toỏn t liờn hp ca toỏn t F Khụng gian cỏc ỏnh x tuyn tớnh t X vo Y Hm Lagrange o hm Frộchet ca toỏn t F ti x Phim hm lm trn Tikhonov Phng phỏp lp Gauss-Newton Phng phỏp lp song song dng Gauss-Newton Footer Page of 16 Header Page of 16 M U Nhiu bi toỏn khoa hc k thut dn n vic gii phng trỡnh F(x) = y, ú F : X Y l toỏn t (tuyn tớnh hoc phi tuyn), X,Y l cỏc khụng gian Banach Bi toỏn trờn c gi l t chnh, nu Phng trỡnh luụn cú nghim nht vi mi y Y Nghim ph thuc liờn tc vo cỏc d liu F, y Khi ú ta cú nhiu phng phỏp gii bi toỏn trờn Tuy nhiờn thc t khụng phi lỳc no bi toỏn cng t chnh, tc l Tn li y Y phng trỡnh vụ nghim hoc cú nhiu hn mt nghim Nghim khụng ph thuc liờn tc vo cỏc d liu F, y Cỏc bi toỏn t khụng chnh rt khú gii cú sai s ca d liu v phi tớnh toỏn gn ỳng trờn mỏy tớnh Khi ú ta cn cú chin lc hiu chnh gii bi toỏn trờn Núi nụm na, ta s thay bi toỏn t khụng chnh bng mt h cỏc bi toỏn t chnh ph thuc tham s m nghim ca chỳng hi t n nghim ca bi toỏn t khụng chnh tham s hiu chnh dn ti khụng Trong cỏc bi toỏn nhn dng a tham s, ta phi xỏc nh x, bit cỏc d liu gn ỳng yi ca yi , tc l phi gii h phng trỡnh (thụng thng l t khụng chnh) Fi (x) = yi , i = 1, , l Nu xem y nh l mt vộc t y = (y1 , y2 , , yl ), vi yi Yi , nh l mt vộct nhiu = (1 , , , l )T Rl (mc nhiu) thỡ h phng trỡnh toỏn t trờn a v mt phng trỡnh toỏn t khụng gian tớch F(x) = y Footer Page of 16 Header Page of 16 Trong nhiu trng hp vic xột h phng trỡnh thay cho mt phng trỡnh khụng gian tớch vi b tham s hiu chnh cho kt qu kh quan Sau õy l hai vớ d a v h phng trỡnh toỏn t t khụng chnh Vớ d (Bi toỏn khụi phc h s ca phng trỡnh t ỏnh x Dirichlet Neumann) c lng h s q t phng trỡnh vi phõn riờng u + qu = 0, x Rd , u trờn biờn ca Gi s bit trc p v cỏc giỏ tr Dirichlet ca u trờn biờn l f0, f1 , , f p1 v o c c cỏc ui trờn biờn tng ng Khi ú ta vit li bi toỏn giỏ tr Neumann gi = v vi iu kin biờn Neumann g = Fi (q) = gi , i = 0, , p 1, ú Fi : D(Fi ) L2 () H 1/2 ( ) l toỏn t phi tuyn ỏnh x q ti ui , ui H () l nghim yu ca h v u + qu = 0, x Rd i i ui = fi , x Bi toỏn c lng q t h trờn l t khụng chnh (xem [5]) Vớ d (Bi toỏn c lng mụmen phi tuyn) Bi toỏn c lng mụmen phi tuyn l tỡm hm u L2 () trờn b chn Rd tha h phng trỡnh tớch phõn phi tuyn gi = ki (x, u(x))dx Rm , i = 1, , p, vi cỏc nhõn trn ki : ì R Rm v cỏc vộct gi cho trc (i = 1, , p) Ta a v bi toỏn Fi (u) = gi , i = 1, , p, ú Fi : L2 () Rm l toỏn t phi tuyn a u vo cng l bi toỏn t khụng chnh (xem [5]) Footer Page of 16 ki (x, u(x))dx õy Header Page of 16 ó cú nhiu phng phỏp gii h phng trỡnh toỏn t t khụng chnh Ngoi cỏc phng phỏp lp xoay vũng nh Landweber - Kaczmarz, Newton Kaczmarz, ng dc Kaczmarz, mt nhúm cỏc nh khoa hc ti Trng i hc khoa hc t nhiờn, HQG H Ni ó xut cỏc phng phỏp chnh lp song song: Newton hiu chnh song song, Gauss - Newton hiu chnh song song, phng phỏp chiu im gn k song song, phng phỏp CQ - song song gii h phng trỡnh toỏn t c im ca cỏc phng phỏp ny l hai quỏ trỡnh hiu chnh v phõn ró song song c thc hin ng thi v tng thớch vi Lun ny s trỡnh by ba phng phỏp gii h phng trỡnh toỏn t t khụng chnh: Phng phỏp cc tiu phim hm n nh vi hn ch lch mc sai s cho phộp Phng phỏp cc tiu phim hm lm trn Tikhonov v phng phỏp Gauss - Newton hiu chnh song song Ni dung chớnh ca bn lun bao gm cỏc sau õy: Thit lp tớnh t chnh ca bi toỏn ti u cú rng buc liờn kt vi h phng trỡnh toỏn t t khụng chnh ỏnh giỏ tc hi t ca phng phỏp hiu chnh a tham s trng hp tng quỏt Thit lp mi liờn h gia phng phỏp nhõn t Lagrange v phng phỏp hiu chnh a tham s Nghiờn cu phng phỏp hiu chnh a tham s Tikhonov v ỏnh giỏ tc hi t Trỡnh by phng phỏp chnh lp song song dng Gauss - Newton Cỏc c trỡnh by bi bỏo ca Torsten Hein [2] Phn c nghiờn cu cụng trỡnh ca Phm K Anh v V Tin Dng [1] Phn l cỏc kt qu hc viờn phỏt trin da theo ti liu ca Torsten Hein [2], Nguyn Bng v Nguyn ỡnh Dng [3] Footer Page of 16 Header Page of 16 Chng Hiu chnh a tham s - s hi t v tc hi t Trong chng ny, chỳng tụi cp ti phng phỏp hiu chnh a tham s Torsten xut da trờn vic cc tiu phim hm n nh vi iu kin lch ca cỏc phng trỡnh nm gii hn sai s cho phộp, bao gm cỏc b v tớnh n nh v nh lý v tc hi t Cui chng, chỳng tụi gii thiu hai thut toỏn gii bi toỏn ti u v mi liờn h gia phng phỏp hiu chnh a tham s v phng phỏp nhõn t Lagrange Ni dung chớnh ca chng c trỡnh by theo da theo ti liu [2] 1.1 t bi toỏn Cho X,Y j , ( j = 1, , l) l cỏc khụng gian Banach phn x n gin, chun cỏc khụng gian X,Y j cựng c kớ hiu l Fj : D(Fj ) X Y j ( j = 1, , l) núi chung l cỏc toỏn t phi tuyn t D = lj=1 D(Fj ), gi s D = Nu v phi cho l chớnh xỏc ta cú h sau Fj (x) = y j ( j = 1, , l), x D (1.1.1) Tuy nhiờn d liu y j thng b nhiu bi yj : ||yj y j || j ú ta ch cú phng trỡnh ( j = 1, , l), x D (1.1.2) Fj (x) = yj Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Trong ng dng thỡ bi toỏn (1.1.2) thng l bi toỏn t khụng chnh Ngay c cỏc h (1.1.1) v (1.1.2) gii c nht thỡ nghim ca (1.1.2) cng khụng chc ph thuc liờn tc vo d liu Ngha l nu x l nghim nht ca (1.1.1) v x l nghim nht ca (1.1.2) thỡ ||x x || cú th ln tựy ý j ( j = 1, , l) nh Chin lc hiu chnh Xột phim hm n nh J : D X R m tớnh cht ca nú c lit kờ mc 1.2 v thay (1.1.2) bi bi toỏn ti u cú rng buc sau J(x) x D (1.1.3) F (x) y , j = 1, , l j j j Trong lý thuyt hiu chnh Tikhonov, ta thay (1.1.2) bng bi toỏn cc tiu phim hm l j=1 Yj j Fj (x) yj + J (x) min, xD (1.1.4) ú j > 0( j = 1, , l) l cỏc tham s hiu chnh Khi dựng phng phỏp Lagrange gii bi toỏn (1.1.3) ta cú th xem cỏc tham s j > 0( j = 1, , l) nh cỏc nhõn t Lagrange Cỏc hng s j = , ( j = 1, , l) úng vai trũ cỏc tham s hiu chnh phng phỏp hiu j chnh a tham s 1.2 Cỏc kt qu v tớnh n nh Ta s ch tớnh t chnh ca bi toỏn (1.1.3) C th ta s thit lp mt s iu kin bi toỏn (1.1.3) cú nghim nht x ph thuc liờn tc vo cỏc d liu yj , j = 1, , l Ta s ch rng cỏch tip cn bi toỏn (1.1.3) cng gn ging nh vic chng minh s tn ti, tớnh n nh v hi t ca im cc tiu x ca phim hm Tikhonov F(x) y Y Footer Page 10 of 16 + J(x), (1.2.1) Header Page 43 of 16 thỡ Fi , (i = 1, , N) tha k sau õy [10, 13]: x, z B2r (x0 ), v X, hi (x, z, v) X cho i Nu < (Fi (x) Fi (z))v = Fi (z)hi (x, z, v) v (3.2.2) hi (x, z, v) K0 x z v ii Nu < thỡ Fi liờn tc Lipschitz, tc l (Fi (x) Fi (x)) L x x , i = 1, , N, x, x B2r (x0 ) (3.2.3) nh lý 3.2.2 Cho cỏc gi thit G1 v G2 v ch s dng thut toỏn PA (3.1.6.) v (3.1.7.) tha iu kin tiờn nghim à+ N 1 à+ à+ N < n , n : n < N , (3.2.4) ú > l tham s c nh N Nu vi v nh v x0 gn x thỡ phng phỏp (thut toỏn song i=1 song) PA (3.1.6.), (3.1.7.) hi t v ta cú ỏnh giỏ xn x = O(n ) (3.2.5) Chng minh Gi s xn Br (x ) t [7, 5, 9, 12] Ai := Fi (x ); Ain := Fi (xn ); en := xn x; ein+1 := xn+1,i x T 3.1.6 ta suy ein+1 = en (Ain Ain + nI)1 Ain (Fi (xn ) yi ) + n(xn x0) , hay l ein+1 = (Ain Ain + nI)1 (n x0 x + Ain yi yi Ain Fi (xn ) yi Ain en ) (3.2.6) Footer Page 43 of 16 41 Header Page 44 of 16 Ta xột hai trng hp sau: Trng hp 1: < Ta cú (Ai Ai + nI)1 (Ain Ain + nI)1 = = (Ain Ain + nI)1 [(Ai Ain ) Ai + Ain (Ai Ain )] (Ai Ai + nI)1 Khi ú ein+1 = n(Ai Ai + nI)1(Ai Ai )à vi n (Ain Ain + nI)1 [Ain (Ai Ain) + (Ai Ain ) Ai ] (Ai Ai + nI)1(Ai Ai )à vi (Ain Ain + nI)1 Ain Fi (xn ) yi Ain en (3.2.7) Chỳ ý, ta cú mt s ỏnh giỏ quen thuc sau [7, 5, 12] (Ai Ai + nI)1(Ai Ai ) vi (1 )1 vi vi , wni ( ) := n (0; 1] (Ain Ain + nI)1 n (Ain Ain + nI)1Ain 12 n Ai (Ai Ai + nI)1 (Ai Ai )1/2 Ain Ai = Ain Ai = Fi (xn ) Fi (x ) L en Ta cú Fi (xn ) yi Ain en Yi = Fi (xn ) Fi (x ) Fi (xn )en + Fi (x ) yi Fi (xn ten) Fn(xn ) endt + L en Yi + Do ú (Ain Ain + nI)1 Ain Fi (xn ) yi Ain en Footer Page 44 of 16 42 1 n 2 L en 2 + (3.2.8) Header Page 45 of 16 Hn na, t T1 := n (Ain Ain + nI)1 [Ain (Ai Ain) + (Ai Ain ) Ai ] (Ai Ai + nI)1 (Ai Ai )à vi n (Ain Ain + nI)1 Ain Ai Ain (Ai Ai + nI)1(Ai Ai )à vi + + n (Ain Ain + nI)1 Ai Ain Ai (Ai Ai + nI)1 (Ai Ai )1/2 (Ai Ai )à 1/2 vi Do vy 1/2 n wni (à ) + (Ai Ai )à 1/2 vi , (3.2.9) n (Ai Ai + nI)1(Ai Ai )à vi = n wni (à ) (3.2.10) T1 L en v cui cựng T (3.2.6)-(3.2.10) ta cú ein+1 n wni (à ) + L en 1/2 n wni (à ) + (Ai Ai )à 1/2 vi 1 L en + + n 2 T (3.1.7) v ỏnh giỏ trờn ta cú en+1 = N N ein+1 i=1 N n wni (à ) + L en N i=1 1/2 n wni (à ) + (Ai Ai )à 1/2 vi 1 + n 2 Chn n := en nà L en 2 +1/2 , v chỳ ý iu kin dng 3.2.4 ta cú < n Footer Page 45 of 16 43 + ,0n< Header Page 46 of 16 N Kt hp vi bt ng thc cui cựng, suy N n n+1 N i=1 n+1 L en N nà n n+1 N L en wni (à ) + 2N nà (Ai Ai )à 1/2 vi i=1 n n+1 L 1/2 + n à 1/2 n en n N wni(à )+ i=1 n n+1 n + n+1 + à N Ln à 1/2 N Ln N wni (à )+ wni (à )+ (Ai Ai )à 1/2 vi N i=1 2N N i=1 i=1 L 1/2 + n + N vi + N i=1 + a +L à 1/2 N N v + (Ai Ai )à 1/2 vi i 2N N i=1 i=1 L 1/2 n + n c b Vy n+1 a + bn + cn2 (3.2.11) N Nu vi v nh thỡ a, b nh, ú b + ac v i=1 2a0 r b + (3.2.12) (1 b)2 4ac Nu x0 gn x thỡ x0 x 1b+ e0 = = M = + 0 Footer Page 46 of 16 44 (1 b)2 4ac 2c Header Page 47 of 16 Theo B 3.2.1 suy n := enà l := max {0 , M } n 1b (1b)2 4ac 2a Chỳ ý rng M = = 2c c bit xn+1 x = 1b+ (1b) 4ac à en+1 = n+1 n+1 l Ngoi 00 = x0 x r, v t (3.2.12) suy M0 2a0 = r 1b+ (1 b) 4ac Do ú l r Vy xn+1 Br (x ) Vy trng hp < thỡ en l n = Trng hp 2: < Ta thy rng l n Nà = O n Fi (xn )yi Fi (xn )(xn x ) = Fi (x + t(xn x )) Fi (xn ) (xn x )dt 1 Fi (xn )hti dt = Fi (xn ) = ú hti := hi x + t(xn x ), xn , xn x v T (3.2.6), ta cú ein+1 n (AinAin + nI)1 x0 x hti dt hti dt Yi K20 xn x + (Ain Ain + nI)1Ain yi yi + (Ain Ain + nI)1Ain Ain K0 xn x T ú suy ein+1 n (Ain Ain + nI)1 x0 x 1/2 K0 + xn x + n 2 Kt hp bt ng thc ny vi iu kin ngun (3.2.1) v ỏnh giỏ [10] Footer Page 47 of 16 n (Ain Ain + nI)1 (Ai Ai + nI)1 2K0 xn x , 45 Header Page 48 of 16 ta suy 1/2 ein+1 n (Ai Ai + nI)1 (Ai Ai )à vi +2K0 xn x x0 x + n 2 1/2 K0 K0 + + xn x n wni (à )+2K0 en (Ai Ai )à vi + n xn x 2 t n = en nà , kt hp vi bt ng thc cui cựng, suy N ein+1 N en+1 n n+1 = N i=1 n+1 N i=1 n+1 n+1 2K0 en + N nà n n+1 N (Ai Ai )à vi i=1 wni (à )+ 1/2 K0 + n + n+1 en n 2à n n+1 Kt hp vi iu kin dng (3.2.4), ta suy n+1 N 2K0 N wni (à ) + n (Ai Ai )à vi N i=1 N i=1 K0 à 1/2 +1/2 + n n n + 2 n+1 Do ú ú a = N n+1 a + bn + cn2, N N 2K wni (à ) + ; b = N0 (Ai Ai ) vi ; c = i=1 i=1 K0 N Tng t nh trng hp 1, nu vi v nh v x0 gn x thỡ xn+1 Br x v xn x =O i=1 n vi n 3.3 Vớ d minh Gii h phng trỡnh Fi (x1 , , xm ) = yi , i = 1, 2, , N Footer Page 48 of 16 46 (3.3.1) Header Page 49 of 16 vi m n s x1 , , xm v N phng trỡnh m >> N Fi : Rm R kh vi Frộchet lõn cn nghim x ca h (3.3.1), v ly x0 = Ta vit li dng vộct (3.3.2) F(x) = y ú F : Rm RN , F = (F1 , , FN ) kh vi Frộchet, x = (x1 , , xm )T , y = (y1 , , yN )T Gi s ta cú h thng mỏy tớnh gm N b x lý Theo (3.1.6) v (3.1.7), ta s tớnh toỏn ng thi xn+1,i = xn T Fi (xn ) Fi (xn ) yi + nxn Fi (xn ) + n , i = 1, ã ã ã , N (3.3.3) v t xn+1 N = xn+1,i N i=1 (3.3.4) C th, vi N = v m = 104 hoc m = 5.107 Xột cỏc hm Fi (x) sau F1 (x) = x21 + x22 + + x2m = xT A1 x F2 (x) = x1x2 + x2x3 + + xm1xm = xT A2 x F3 (x) = x1x3 + x2x4 + + xm2xm = xT A3 x F4 (x) = x1x4 + x2x5 + + xm3xm = xT A4 x ú A1 = I v Al = (ali j )mìm , l = 2, 3, vi nu |i j| = l ali j = nu |i j| = l 1, l = 2, 3, Bõy gi ta i kim tra cỏc gi thit v iu kin ngun G1 v G2 thut toỏn song song PA Rừ rng cỏc khụng gian X = Rm ,Y j = R, j = 1, 2, 3, l cỏc khụng gian Hilbert Trờn ú ta xỏc nh chun Euclid Gi thit G1 Vi d liu chớnh xỏc y = (1, 0, 0, 0)T thỡ h cú nghim chớnh xỏc l x = (1, 0, , 0)T , cỏc hm Fj u kh vi liờn tc trờn Rm Footer Page 49 of 16 47 Header Page 50 of 16 Gi thit G2 Trong trng hp ny vi = v x0 = 0, cỏc hm Fj u liờn tc Lipschitz Tht vy cỏc hm Fj (x), j l cỏc hm a thc nờn nú kh vi Frộchet n cp v ta cú Fj (x) = 2A j x v Fj (x) = 2A j , j (3.3.5) v Fj (x) = 2A j = 2, j Do ú theo nh lý giỏ tr trung bỡnh, ta cú Fj (x) Fj (y) sup t[0;1] Mt khỏc Fj (y + t(y x)) x y = x y j = Fj (x ) Fj (x ) = A j x = j = (3.3.6) Do ú iu kin ngun (3.2.1) nghim ỳng nu chn v1 = x v v2 = v3 = v4 = x Sau õy ta so sỏnh phng phỏp IRGNM v phng phỏp song song PIRGNM ca nú Cỏc tớnh toỏn c thc hin trờn mỏy IBM1350 vi node, mi node cha hai nhõn Intel Xeon dual core 3.2 GHz, 2GBRam Theo (3.2.5) thỡ tc hi t ca thut toỏn PIRGNM l O(n ), tc hi t ny tng t nh thut toỏn IRGNM Tuy nhiờn mi bc lp IRGNM ta phi gii h tuyn tớnh cp m ì m, tớnh toỏn ny tn nhiu thi gian m ln Trong ú cỏc thnh phn xn+1,i c tớnh toỏn song song mt cỏch d dng theo (3.3.2) Do ú thut toỏn (3.3.2), (3.3.3) cho ta kt qu vi thi gian tớnh toỏn tit kim hn Sau õy ta tớnh toỏn cp chớnh xỏc ca thut toỏn IRGNM v PIRGNM dựng sai s tng i (the relative error norm (REN)), ngha l err := xn x / x Trong vớ d ny x = 1, ú err := xn x Mt s kớ hiu m : s n ca h phng trỡnh (3.3.1) Footer Page 50 of 16 48 Header Page 51 of 16 Tpi : thi gian tớnh toỏn ca thut toỏn PIRGNM (mt phn triu giõy) Ti : thi gian tớnh toỏn ca thut toỏn IRGNM (mt phn triu giõy) Tp : thi gian tớnh toỏn song song tớnh theo giõy trờn h thng mỏy tớnh cú p b vi x lý Ts : thi gian tớnh toỏn tun t tớnh theo giõy Ts Sp = : S tng tc Tp Sp Ep = : hiu nng tớnh toỏn song song dựng h thng mỏy tớnh cú p b p vi x lý Trng hp 1: m = 104, n = 0.1 0.25n Bng 3.1 cho ta sai s tng i ca thut toỏn PIRGNM v IRGNM v thi gian tớnh toỏn song song cng nh l tun t m n = 0.1 0.25n xn x p xn x s Tpi Ti 0.0026753 0.0033257 17.5 2540 0.0003565 0.0003905 26.25 5070 0.000085 0.000097 45 6340 0.0000047 0.0000061 57.5 8240 10000 0.00000041 0.00000043 66.2 95.10 0.00284 0.00316 22.5 2600 0.00168 0.00172 25 3500 0.001 0.000576 0.000606 31.2 5210 0.000354 0.000362 37.5 6510 0.000313 0.000315 43.7 7810 Bng 3.1: Sai s tng i ca thut toỏn PIRGNM v IRGNM Hỡnh 3.1 v 3.2 cho ta mi liờn h gia sai s tng i v thi gian tớnh toỏn ca thut toỏn IRGNM v PIRGNM = v = 0.001 tng ng Trờn hỡnh v ta thy rng thc hin thut toỏn PIRGNM tt hn nhiu thut toỏn IRGNM k c trng hp cú nhiu cng nh khụng cú nhiu Hỡnh 3.3 cho ta mi liờn h gia sai s tng i v thi gian tớnh toỏn ca thut toỏn PIRGNM i vi cỏc mc nhiu khỏc Footer Page 51 of 16 49 Header Page 52 of 16 10000 9000 8000 Thoi gian (phan trieu giay) 7000 IRGNM 6000 5000 4000 3000 2000 PIRGNM 1000 0 0.5 1.5 2.5 + ||xnx || 3.5 x 10 Hỡnh 3.1: So sỏnh gia PIRGNM v IRGNM vi = Trng hp 2: m = 107, n = 0.1 0.25n Bng 3.2 cho ta tc v hiu sut tớnh toỏn ca thut toỏn PIRGNM Footer Page 52 of 16 50 Header Page 53 of 16 8000 7000 Thoi gian (phan trieu giay) 6000 IRGNM 5000 4000 3000 2000 1000 PIRGNM 0 0.5 1.5 2.5 + ||xnx || 3.5 x 10 Hỡnh 3.2: So sỏnh gia PIRGNM v IRGNM vi = 0.001 Tc v hiu sut ca thut toỏn PIRGNM m Processors Thi gian S p E p 178 50000000 124 1.4 0.7 90 0.5 Bng 3.2: Tc v hiu sut ca thut toỏn PIRGNM Footer Page 53 of 16 51 Header Page 54 of 16 x 10 2.5 =0 =0.001 n ||x x+|| 1.5 0.5 10 20 30 40 50 Thoi gian (phan trieu giay) 60 70 Hỡnh 3.3: th v sai s tng i REN v thi gian thc hin ca PIRGNM Footer Page 54 of 16 52 Header Page 55 of 16 KT LUN Lun nghiờn cu ba phng phỏp hiu chnh gii h phng trỡnh toỏn t, bao gm: i Phng phỏp hiu chnh a tham s Torsten Hein xut, da trờn vic cc tiu phim hm n nh J(x) vi iu kin lch ca cỏc phng trỡnh nm gii hn sai s cho phộp ii Phng phỏp hiu chnh a tham s Tikhonov, ú phim hm lm trn Tikhonov cha tham s hiu chnh v cỏc tham s - trng s i , i = 1, , l Trong phn ny hc viờn ó da vo hng tip cn tng quỏt ca Torsten Hein m rng mt kt qu ó bit ca GS Nguyn Bng v NCS Nguyn ỡnh Dng iii Phng phỏp chnh lp song song Gauss - Newton cỏc tỏc gi Phm K Anh v V Tin Dng xut Lun cú th phỏt trin theo cỏc hng sau: a Thit lp s hi t ca mt s phng phỏp tun t v song song gii h phng trỡnh toỏn t di cỏc gi thit tng quỏt ca Torsten Hein b Tỡm cỏc ng dng ca cỏch tip cn ca Torsten Hein cho mt s bi toỏn t khụng chnh thng gp thc t Footer Page 55 of 16 53 Header Page 56 of 16 Ti liu tham kho [1] P K Anh, V T Dung, A parallel version of the iteratively regularized Gauss - Newton method Submitted for publication [2] T Hein, Convergence rates for multi - parameter regularization in Banach spaces Int J Pure Appl Math 43(4)(2008) 593-614 [3] N Buong, N D Dung, Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations, Int J Math Anal., 34(3)(2009) 1693-1699 [4] D Dăuvelmeyer, B Hofmann, A multi-parameter regularization approach for estimating parameters injump diffusion processes J Inverse ill-posed Probl., 14(9)(2006) 861-880 [5] M Burger, B Kaltenbacher, Regularizing Newton-Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J Numer Anal., 44 (2006) 153182 [6] A B Bakushinskii, The problem of the convergence of the interatively regularized Gauss-Newton mehtod, Comput Math Math Phys., 32 (1992) 1353-1359 [7] B Blaschke, A Neubauer and O Sherzer, On convergence rates for the iteratively regularized Gauss-Newton method, IMA J Numer Anal., 17 (1997) 421-436 Footer Page 56 of 16 54 Header Page 57 of 16 [8] P Deuflhard, H.W Engl and O Scherzer, A convergence analysis of iterative methods for the solution of nonlinear ill-posed problems under affinely invariant conditions, Inverse Problems, 14 (1948) 1081-1106 [9] T Hohage, Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss-Newton mehtod for an inverse potential and inverse scattering problem, Inverse Problems, 13 (1997) 1279-1299 [10] Q N Jin, On the iteratively regularized Gauss-Newton mehtod for solving nonlinear ill-posed problems, Math Comput., 69(2000) 1603-1623 [11] H W Engl, K Kunisch and A Neubauer, Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 5(1989) 523-540 [12] B Kaltenbacher, A Neubauer, and O Scherzer, Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems, Walter de Gruyter, Berlin New York, 2008 [13] O Sherzer, H W Engl and K Kunisch, Optimal a posteriori parameter choice for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems, SIAM J Numer Anal., 30 (1993) 1796-1838 [14] K Kunisch, W Ring, Regularization of nonlinear ill-posed problems with closed operators, Numer Funct Anal Optimization (1993) [15] T Lu, P Neittaanmaki, X C Tai, A parallel splitting up method for partial differential equations and its application to Navier - Stokes equations, RAIRO Math modell Numer Anal., 26(1992) 673-708 [16] B Hofmann : Regularization for applied inverse and ill-posed problems Teubner Verlag Leipzig (1986) Footer Page 57 of 16 55 ... với hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh đa tham số trường hợp tổng quát Thiết lập mối liên hệ phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp hiệu chỉnh. .. toán tử Đăc điểm phương pháp hai trình hiệu chỉnh phân rã song song thực đồng thời tương thích với Luận văn trình bày ba phương pháp giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh: Phương pháp. .. 1.4 Hiệu chỉnh đa tham số không gian Hilbert 16 1.5 Mối liên hệ phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp hiệu chỉnh đa t Phương pháp hiệu chỉnh đa tham số Tikhonov 22 2.1 Nhắc lại toán