Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình và ứng dụng vào giải gần đúng một số phương trình tích phân tuyến tính Volterra

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 i Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình tìm hiểu, nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, chuyên ngành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận ý kiến đóng góp phản hồi từ phía thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Hường Footer Page of 258 Header Page of 258 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân, không trùng lặp với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Người thực Nguyễn Thị Hường Footer Page of 258 Header Page of 258 iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục kí hiệu viết tắt Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 1.1.4 Không gian L(X, Y ) 1.1.5 Một số không gian hàm 11 1.1.6 Khai triển Taylor 13 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 2.1 14 Phương trình tích phân Volterra 14 2.1.1 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 14 2.1.2 Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 14 2.1.3 Biến đổi phương trình tích phân Volterra loại thành phương trình tích phân Volterra loại hai 15 2.2 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai 17 Footer Page of 258 Header Page of 258 iv 2.2.1 Phương pháp phân tích Adomian 18 2.2.2 Phương pháp biến đổi phân tích 24 2.2.3 Hiện tượng số hạng nhiễu âm 28 2.2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 31 2.2.5 Phương pháp biến đổi Laplace 37 2.2.6 Phương pháp chuỗi lũy thừa 42 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 48 3.1 Công thức cầu phương 48 3.2 Công thức hình thang 48 3.3 Phương pháp số giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 50 Kết luận Footer Page of 258 67 Header Page of 258 Danh mục kí hiệu viết tắt Các kí hiệu thường dùng C C1 Rn M = (X, d) L x∈M x∈ /M ∀x ∈ M ∃x Footer Page of 258 Không gian hàm liên tục Không gian hàm khả vi liên tục Không gian Euclid n chiều Không gian metric Biến đổi Laplace x thuộc tập M x không thuộc tập M Với x thuộc tập M Tồn x Header Page of 258 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong lớp phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng Phương trình tích phân tuyến tính Volterra xuất nhiều ứng dụng khoa học lý thuyết động lực, thiết vị bán dẫn, lan truyền bệnh dịch, Trong ứng dụng thực tế việc tìm nghiệm xác phương trình tích phân thường gặp nhiều khó khăn, lúc người ta quan tâm đến giải xấp xỉ phương trình Để giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Volterra người ta sử dụng nhiều phương pháp xấp xỉ liên tiếp, chuỗi lũy thừa, Với mong muốn tìm hiểu sâu việc giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài: “Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra, số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra Footer Page of 258 Header Page of 258 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại một, loại hai Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải gần số phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan Vận dụng số phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, Lí thuyết phương trình tích phân Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình tích phân tuyến tính Volterra Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập tùy ý Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X ; ii) d(x, y) = ⇔ x = y ; iii)d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X Một không gian metric tập hợp với metric tập hợp Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn ), n = 1, 2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d(a, xn ) = n→∞ Khi ta kí hiệu lim xn = a xn → a n → ∞ n→∞ Footer Page 10 of 258 Header Page 60 of 258 54 +) i = 7, (3.8) trở thành x7 u (x7 ) = − u (t) dt (3.15) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,7 u7 = − u (t) dt ⇔u7 = − 0, 478882 − 0, 05u7 ⇔u7 = 0, 496303 +) i = 8, (3.8) trở thành x8 u (x8 ) = − u (t) dt (3.16) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,8 u8 = − u (t) dt ⇔u8 = − 0, 528512 − 0, 05u8 ⇔u8 = 0, 449036 +) i = 9, (3.8) trở thành x9 u (x9 ) = − u (t) dt (3.17) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,9 u9 = − u (t) dt ⇔u9 = − 0, 573416 − 0, 05u9 ⇔u9 = 0, 40627 Footer Page 60 of 258 Header Page 61 of 258 55 +) i = 10, (3.8) trở thành x10 u (x10 ) = − u (t) dt (3.18) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có u10 = − u (t) dt ⇔u10 = − 0, 614043 − 0, 05u3 ⇔u10 = 0, 367578 Theo kết phương pháp giải tích ví dụ (2.2.23) chương 2, Phương trình (3.7) có nghiệm xác u(x) = e−x Khi ta có bảng sau đánh giá độ xác nghiệm u(xi ) giá trị xác nghiệm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm Footer Page 61 of 258 Header Page 62 of 258 56 x = xi , u(xi ) = |u (xi ) − ui | Ví dụ 3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại sau x (x − t)u (t) dt, u (x) = + (3.19) Lấy x ∈ [0, 1], chia đoạn [0, 1] làm 10 phần mốc chia h = 0, x0 = 0; x1 = 0, 1; x2 = 0, 2; x3 = 0, 3; x4 = 0, 4; x5 = 0, 5; x6 = 0, 6; x7 = 0, 7; x8 = 0, 8; x9 = 0, 9; x10 = Thay x xi Khi phương trình (3.19) có dạng xi (xi − t)u (t) dt u (xi ) = + (3.20) +) i = u0 = u (0) = +) i = 1, (3.20) trở thành x1 (x1 − t)u (t) dt u (x1 ) = + (3.21) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,1 (0, − t)u (t) dt u1 = + ⇔u1 = − 0, 05 ⇔u1 = 0, 995 +) i = 2, (3.20) trở thành x2 (x2 − t)u (t) dt u (x2 ) = + Footer Page 62 of 258 (3.22) Header Page 63 of 258 57 Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,2 (0, − t)u (t) dt u2 = + ⇔u2 = − 0, 019995 ⇔u2 = 0, 98005 +) i = 3, (3.20) trở thành x3 (x3 − t)u (t) dt u (x3 ) = + (3.23) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,3 (0, − t)u (t) dt u3 = + ⇔u3 = − 0, 00447 ⇔u3 = 0, 9553 +) i = 4, (3.20) trở thành x4 (x4 − t)u (t) dt u (x4 ) = + (3.24) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,4 (0, − t)u (t) dt u4 = + ⇔u4 = − 0, 079004 ⇔u4 = 0, 920996 Footer Page 63 of 258 Header Page 64 of 258 58 +) i = 5, (3.20) trở thành x5 (x5 − t)u (t) dt u (x5 ) = + (3.25) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,5 (0, − t)u (t) dt u5 = + ⇔u5 = − 0, 122517 ⇔u5 = 0, 877483 +) i = 6, (3.20) trở thành x6 (x6 − t)u (t) dt u (x6 ) = + (3.26) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,6 (0, − t)u (t) dt u6 = + ⇔u6 = − 0, 174805 ⇔u6 = 0, 825194 +) i = 7, (3.20) trở thành x7 (x7 − t)u (t) dt u (x7 ) = + (3.27) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,7 (0, − t)u (t) dt u7 = + ⇔u7 = − 0, 235345 ⇔u7 = 0, 764655 Footer Page 64 of 258 Header Page 65 of 258 59 +) i = 8, (3.20) trở thành x8 (x8 − t)u (t) dt u (x8 ) = + (3.28) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,8 (0, − t)u (t) dt u8 = + ⇔u8 = − 0, 303532 ⇔u8 = 0, 696468 +) i = 9, (3.20) trở thành x9 (x9 − t)u (t) dt u (x9 ) = + (3.29) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,9 (0, − t)u (t) dt u9 = + ⇔u9 = − 0, 378684 ⇔u9 = 0, 621316 +) i = 10, (3.20) trở thành x10 (x10 − t)u (t) dt u (x10 ) = + (3.30) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có (1 − t)u (t) dt u10 = + ⇔u10 = − 0, 460048 ⇔u10 = 0, 539952 Footer Page 65 of 258 Header Page 66 of 258 60 Áp dụng phương pháp phân tích Adomian chương 2, ta tìm nghiệm xác phương trình (3.19) u(x) = cos t Khi ta có bảng sau đánh giá độ xác nghiệm u(xi ) giá trị xác nghiệm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm x = xi , u(xi ) = |u (xi ) − ui | Ví dụ 3.3 Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại sau 5 u (x) = 3x + x2 − x u (t) dt, (3.31) Lấy x ∈ [0, 1], chia đoạn [0, 1] làm 10 phần mốc chia h = 0, x0 = 0; x1 = 0, 1; x2 = 0, 2; x3 = 0, 3; x4 = 0, 4; x5 = 0, 5; x6 = 0, 6; x7 = 0, 7; x8 = 0, 8; x9 = 0, 9; x10 = Thay x xi Khi phương trình (3.31) có dạng 5 u (xi ) = 3xi + x2i − Footer Page 66 of 258 xi u (t) dt, (3.32) Header Page 67 of 258 61 +) i = u0 = u (0) = +) i = 1, (3.31) trở thành 5 u (x1 ) = 3x1 + x21 − x1 u (t) dt, (3.33) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có u1 ⇔u1 ⇔u1 ⇔u1 5 = × 0, + × (0, 1)2 − = 0, 325 − × [u0 + u1 ] 20 = 0, 325 − (0, 05u1 ) = 0, 0,1 u (t) d +) i = 2, (3.32) trở thành 5 u (x2 ) = 3x2 + x22 − x2 u (t) dt, (3.34) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có u2 ⇔u2 ⇔u2 ⇔u2 5 0,2 = × 0, + × (0, 2) − u (t) dt = 0, − × 0, 05[u0 + 2u1 + u2 ] = 0, − (0, 05u2 + 0, 03) = 0, +) i = 3, (3.32) trở thành 5 u (x2 ) = 3x2 + x22 − Footer Page 67 of 258 x2 u (t) dt (3.35) Header Page 68 of 258 62 Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,3 u (t) dt u (x3 ) = × 0, + × (0, 3) − ⇔u3 = 1, 125 − 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + u3 ] ⇔u3 = 1, 125 − (0, 05u3 + 0, 09) ⇔u3 = 0, +) i = 4, (3.32) trở thành 5 u (x4 ) = 3x4 + x42 − x4 u (t) dt (3.36) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 5 0,4 u (x4 ) = × 0, + × (0, 4) − u (t) dt ⇔u4 = 1, − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + u4 ] ⇔u4 = 1, − (0, 05u3 + 0, 18) ⇔u4 = 1, +) i = 5, (3.32) trở thành 5 u (x5 ) = 3x5 + x25 − x5 u (t) dt (3.37) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Footer Page 68 of 258 Header Page 69 of 258 63 Ta có 5 0,5 u (x5 ) = × 0, + × (0, 5) − u (t) dt ⇔u5 = 2, 125 − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + u5 ] ⇔u4 = 2, 125 − (0, 05u5 + 0, 3) ⇔u5 = 1, +) i = 6, (3.32) trở thành 5 u (x6 ) = 3x6 + x26 − x6 u (t) dt (3.38) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,6 u (t) dt u (x6 ) = × 0, + × (0, 6) − ⇔u6 = 2, − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + u6 ] ⇔u6 = 2, − (0, 05u6 + 0, 45) ⇔u6 = 1, +) i = 7, (3.32) trở thành 5 u (x7 ) = 3x7 + x27 − x7 u (t) dt (3.39) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Footer Page 69 of 258 Header Page 70 of 258 64 Ta có 5 0,7 u (x7 ) = × 0, + × (0, 7) − u (t) dt ⇔u7 = 3, 325 − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + u7 ] ⇔u7 = 3, 325 − (0, 05u7 + 0, 63) ⇔u7 = 2, +) i = 8, (3.32) trở thành 5 u (x8 ) = 3x8 + x28 − x8 u (t) dt (3.40) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 0,8 u (t) dt u8 = × 0, + × (0, 8) − ⇔u8 = − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + u8 ] ⇔u8 = − (0, 05u8 + 0, 84) ⇔u8 = 2, +) i = 9, (3.32) trở thành 5 u (x9 ) = 3x9 + x29 − x9 u (t) dt (3.41) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Footer Page 70 of 258 Header Page 71 of 258 65 Ta có 5 0,9 u9 = × 0, + × (0, 9) − u (t) dt ⇔u9 = − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + 2u8 ] + u9 ] ⇔u9 = 4, 725 − (0, 05u9 + 1, 08) ⇔u8 = 2, +) i = 10, (3.32) trở thành 5 u (x10 ) = 3x10 + x210 − x10 u (t) dt (3.42) Áp dụng phương pháp cầu phương theo công thức hình thang để tính tích phân vế phải Ta có 5 u10 = + − u (t) dt ⇔u10 = − × 0, 05[u0 + 2u1 + 2u2 + 2u3 + 2u4 + 2u5 + 2u6 + 2u7 + 2u8 ] + 2u9 + u10 ] ⇔u10 = 5, − (0, 05u10 + 1, 35) ⇔u10 = Áp dụng phương pháp phân tích Adomian chương 2, ta tìm nghiệm xác phương trình (3.31) u(x) = 3x Footer Page 71 of 258 Header Page 72 of 258 66 Khi ta có bảng sau đánh giá độ xác nghiệm u(xi ) giá trị xác nghiệm x = xi , ui giá trị xấp xỉ nghiệm x = xi , Footer Page 72 of 258 u(xi ) = |u (xi ) − ui | Header Page 73 of 258 67 Kết luận Luận văn trình bày số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra bao gồm phương pháp số phương pháp giải tích, đồng thời trình bày số ví dụ giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra cụ thể Luận văn gồm chương, đó: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Chương trình bày phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại 1, loại Phương pháp giải tích giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại Chương trình bày phương pháp số để giải số phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại cụ thể Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Footer Page 73 of 258 Header Page 74 of 258 68 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ia.D Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] L.G.Chambers, (1976), Integral Equations, A Short Course, Intextbook Company, London [5] V.Volterra, (1959), Theory of Functionals of Integro – Differential Equations, Dover, New York [6] A.M.Warwar, (2010), Linear and Nonlinear Integral Equation, Springer [7] A.F.Verlan, V.C.Sizikov, (1986), Integral equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev Footer Page 74 of 258 ... tính Volterra loại một, loại hai Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, số phương pháp giải xấp xỉ phương trình ứng dụng vào giải gần số phương trình tích phân tuyến tính Volterra. .. văn nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra, số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Volterra. .. cho phương trình tích phân tuyến tính Volterra loai 2.2 Một số phương pháp giải gần phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai Để giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại hai,