THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội- 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số : 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội- 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành động viên, khích lệ hướng dẫn tận tình PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy phản biện: GS.TSKH Đinh Nho Hào, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Thầy Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG bỏ công sức đọc thảo cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa q báu để hồn thành tốt luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lịng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh hồn thành luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, thành viên Seminar Bộ mơn Giải tích Khoa TốnCơ Tin học bạn đồng nghiệp mơn Tốn học trường Đại học Xây dựng Hà nội động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập cơng tác Cuối cùng, xin chia sẻ niềm vui lớn với bạn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận án Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng ii Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu, định nghĩa định lí sở Mở đầu BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn Neumann cho phương trì tốn tử p-laplacian miền khơ 1.2 Bài tốn Neumann cho hệ phương miền không bị chặn 1.3 Sự không tồn tồn đa nghi Laplacian với điều kiện biên không số BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH KHƠNG ĐỀU, KHƠNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Sự tồn nghiệm yếu khơng âm tốn Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng 2.3 Sự tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet đối v trình elliptic nửa tuyến tính khơng có tham số Kết luận 81 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 82 Tài liệu tham khảo 83 DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ Các kí hiệu N N ’ R tập đo R , tập compact chứa u : ! R hàm đo Lebesgue p L ( ) = fu : ! R: R p juj dx < +1g; p < +1 với chuẩn Z p L ()= f p Lloc ( ) = fu : C0 ( ) khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact m;p p p H ( ) = fu L ( ) : D u L ( ); 8j j mg với chuẩn H m;p ( ) bao đóng khơng gian C ( ) H m;p ( ): Nếu bị chặn trang bị chuẩn tương đương =m m;q H ( ) không gian đối ngẫu H m;p 1 ( ) với p + q = 1: Trong trường hợp p m = q = 2; ta viết ngắn gọn H ( ): Bt ng thc Holderă p q Vi mi u L ( ) v L ( ) với Z u(x)v(x)dx jjujjLp :jjvjjLq : u: Bất đẳng thức nội suy Giả sử miền bị chặn R r u L ( ) Khi đó, jjujjLq N jjujjLp :jjvjjL r Hàm Carathéodory N Ta nói f : R ! R hàm Carathéodory với x cố định, hàm u 7!f(x; N N u) liên tục R với u R cố định, hàm x 7!f(x; u) đo : Đạo hàm Fréchet đạo hàm Gâteax Giả sử X; Y không gian Banach, U tập mở X, x U, f : U ! Y hàm xác định U: Ta nói f khả vi Fréchet điểm x tồn ánh xạ tuyến tính liên tục D F f(x) L(X; Y ) cho jjf(x + h) f(x) DF f(x)hjjY = o(jjhjjX ); 8h X x + h U: Nếu f khả vi Fréchet x U ta nói f khả vi Fréchet tập U Nếu f khả vi Fréchet x U ánh xạ x 7!D F f(x) từ U vào L(X; Y ) liên tục x ta nói f khả vi Fréchet liên tục x Nếu f khả vi Fréchet liên tục x U, ta nói f khả vi Fréchet liên tục U kí hiệu f C (X; Y ): Ta nói f khả vi Gâteaux điểm x theo hướng h tồn ánh xạ tuyến tính liên tục DGf(x) L(X; Y ) cho lim f(x + th) t ! Nếu f khả vi Gâteaux điểm x U ta nói f khả vi Gâteaux tập U Nếu f : U ! Y khả vi Fréchet x f khả vi Gâteaux x Nếu f : U ! R có đạo hàm Gâteaux DGf liên tục U f khả vi Fréchet f C (U; R): t n+1 Định lí 0.0.1 (Định lí C1 [30])) Giả sử F = F (x; u; p) : R ! R đo với n x , khả vi liên tục với u R p R điều kiện sau thoả mãn: s 1) jF (x; u; p)j C(1 + juj + jpj ); với s1 2) jFu(x; u; p)j C(1 + juj s t + jpj ); với t2 n+2 s2 n s 3) jFp(x; u; p)j C(1 + juj + jpj) với s3 Khi phiếm hàm Z E(u) = F (x; u(x); ru(x))dx xác định phiếm hàm C H Z hv; DE(u)i = 1;2 ( ) Hơn nữa, DE(u) cho bởi: (Fu(x; u; ru)v + Fp(x; u; ru)rv)dx; với DE(u) đạo hàm Fréchet E(u) u m Định lí 0.0.2 (Định lí C2 [30]) Giả sử g : R ! R hàm Carathéodory thoả mãn điều kiện s 1) jg(x; u)j C(j1 + juj j) với s 1: sp p Khi toán tử u 7!(g(:; u(:))) liên tục từ L ( ) vào L ( ) với p [1; +1]: Tính nửa liên tục tính nửa liên tục yếu Giả sử X không gian Banach, f : X ! R phiếm hàm xác định X Phiếm hàm f gọi nửa liên tục X với dãy fu mg hội tụ mạnh đến u X, ta có f(u) lim inf f(um): m!1 76 Kết hợp (2.37), (2.38), ta = k! +1 lim DI Hơn J hàm lồi nên ta có bất đẳng thức sau Cho k ! +1 ta thu k! J(u) lim Vì J ( u Từ (2.34),(2.39) ta thu J(u) = Cuối cùng, ta chứng minh dãy fumk g hội tụ mạnh tới u M, nghĩa k! +1 lim jjumk ujjM = 0: Thật vậy, ta giả sử phản chứng dãy fumk g không hội tụ mạnh tới u M Khi tồn số > dãy fumkj g cho jjumkj ujjM > 0; j = 1; 2::: Nhắc lại đẳng thức j j = 1; 2::: Ta ý dãy f 2.3.2 ta có Hơn nữa, từ (2.40) cho j ! +1 ta thu J(u) Vì Điều vơ lí Vậy dãy fumk g hội tụ mạnh tới u M Điều suy phiếm hàm I thoả mãn điều kiện compac Cerami (C)c M Mệnh đề 2.3.6 chứng minh xong 77 Mệnh đề 2.3.7 Giả sử giả thiết I1), I2) thoả mãn Khi i) Tồn ; > cho I (u)với u M; jjujjM = : ii) Tồn u1 M cho jju1jjM > I (u1) < 0: Chứng minh i) Điều kiện I1) kéo theo với S > jF (x; s)j S * Chú ý < pj + < ; j = 1; 2:::r; ta thu lim jsj! jsj Vì với > 0, tồn > 0; > 0( < 2) cho jF (x; s)j jsj 2 jF (x; s)j jsj * tồn số C > cho jF (x; s)j C Vì với > tồn C > cho 2 jF (x; s)j jsj + C jsj * ; 8s R; với h.k.n x 2 ta suy từ (2.41) phép nhúng liên tục từ M vào L * ( ) 1 với C > 0; Định lí 2.3.1 78 Vì ta thu Khi cho Từ ta khẳng định với u M với jjujj M = I (u) ( ii) Từ giả thiết I2) ta có sup s6=0 C 2* 2 ) = > 0: jj Vì tồn s0 6= cho F (x; t) jtj với t; jtj > js0j; với h.k.x : Hơn nữa, từ ánh xạ t 7!F (x; t) liên tục t [ s0j; js0j], tồn số B > cho Từ (2.42) ta thu Lấy u = ’1(x) hàm riêng toán ứng với giá trị riêng 1(xem Mệnh đề 2.3.3) Vậy ’1(x) > x 79 ta thu I (t’1) ( )t2jj’1jj2 + Bj j: 21M Vì Chọn t1 I (u1) < 0: đủ lớn s Mệnh đề 2.3.7 chứng minh xong Chứng minh Định lí 2.3.1 Ta có I (0) = 0: Theo Mệnh đề 2.3.7, tồn u1 M; jju1jj > ; I (u1) < tập = f C([0; 1]; M) : (0) = 0; (1) = u1g không rỗng ( rõ ràng (t) = tu1 : Hơn từ I (u)> jjujjM = ; nên I maxf Phiếm hàm I thoả mãn tất giả thiết Định lí 2.3.2 , phiếm hàm I có giá trị tới hạn cˆ> > 0, nên tốn (2.18) có nghiệm yếu khơng tầm thường u M: Định lí 2.3.1 chứng minh xong Tóm tắt kết chương Trong chương ta nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn Dirichlet lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng thơng qua việc chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với tốn Lập luận dựa vào Định lí qua núi trường hợp phần phi tuyến phương trình khơng thoả mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz 80 KẾT LUẬN Các kết luận án: Sử dụng phương pháp biến phân định lí qua núi, luận án chứng minh được: 1) Bài tốn Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với tốn tử p- Laplacian miền khơng bị chặn có nghiệm yếu không tầm thường không gian H xây dựng thích hợp khơng gian W 1;p ( ), sử dụng phương pháp biến phân định lí qua núi [16] 2) Sự tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền khơng bị chặn với cách xây dựng không gian nghiệm G không gian không gian 1 H ( ) H ( ), mở rộng kết 3) Bài toán biên hệ phương trình tựa tuyến tính tốn tử p-Laplacian với điều kiện biên khơng tuyến tính, mà xem cách suy rộng điều kiện biên Neumann có bội nghiệm dương khơng có nghiệm dương điều kiện thích hợp tham số 4) Sự tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic khơng miền bị chặn mà khơng thoả mãn điều kiện (A-R) Các kết phương pháp nghiên cứu luận án mở rộng cho lớp phương trình có số mũ biến thiên loại p(x) Laplacian, phương trình có hệ số kì dị miền bị chặn khơng bị chặn Đó hướng nghiên cứu sau luận án 81 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2009), " Non-existence and multiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in bounded domain", Acta Mathematica Vietnamica, 34(2), pp 173-182 [2 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011), " On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving pLaplacian in an unbounded domain", Bull Korean Math Soc , 48(6), pp.1169-1182 (Tạp chí ISI) [3 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), " On existence of weak solution of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equations in an unbounded domain",Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp 137-147 [4 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2012), ” Existence of weak nonnegative solutions for a class of nonuniformly boundary value problem”, Bull Korean Math Soc., 49 (4), pp 737-748 (Tạp chí ISI) [5 ] Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan (2014), ” On some semilinear nonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without the Ambrosetti and Rabinowitz condition”, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1), pp 1-15 82 Tài liệu tham khảo [1] Adams R.A.(1975), Sobolev Spaces, Academic Press London [2] Alif M., Omari P.(2002), ”On a p-Laplace Neumann problem with asymp- totically asymetric perturbations ”, Nonlinear Analysis, 51, pp 369-389 [3] Anello G.(2004), ”Existence of infinitely many weak solutions for a Neu- mann problem,” Nonlinear Analysis, 57, pp 199-209 [4] Ambrosetti A., P.H.Rabinowitz(1973), ”Dual variational methods in criti-cal point theory and application ,” J.Functional Analysis, 14(4,) pp 349-381 [5] Babuska I., Osborn J.(1991), Egenvalue Problems, Handbook of Numer Anal., Vol.q North-Holland [6] Binding P.A , Drábek P , Huang Y.X.(2000), ”Existence of multiple solu-tions of critical quasilinear elliptic Neumann problems,” Nonlinear Anal., 42, pp 613-629 [7] Bonanno G., Candito P.(2003), ”Three solutions to a Neumann problem for the elliptic equations involving the p-Laplacian,” Arch.Math., 80, pp 424429 [8] Brezis H.(1992), Analyse fonctionelle: théorie et applicaions, Massion, Paris [9] Costa D.G., Magalhães C.A.(2004), ”Variational elliptic problems which are nonquadratic at infinity,” Nonlinear Anal., 23, pp 1401-1412 [10] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”Existence result for nonuniformly degenerN ate semilinear elliptic systems in R ”, Glassgow.Math.J., 51, pp 561-570 [11] Chung N.T., Toan H.Q.(2009), ”On a class of degenerate and singular elliptic systems in bounded domains”, J.Math.Anal.Appl.,360, pp.422-431 83 [12] Chung N.T.(2008), ”Existence of weak solutions for a nonuniformly elliptic N nonlinear systems in R ”, Electron.J.Diff.Equ.,2008(119), pp 1-10 [13] Chung N.T.(2010),’ ’On the existence of weak solutions for a degenerate N and singular elliptic systems in R , ” Acta Appl.Math.,110(1,) pp 47-56 [14] Dautray R., Lions J.L.(1985), Mathematical analysis and numerical meth- ods for science and technology I: Physical origins and classical methods, Springer- Verlag, Berlin [15] De Nápoli P.,Mariani M.C.(2003), ”Mountain pass solutions to equations of p-Laplacian type," Nonlinear Analysis,54, pp 1205-1219 [16] Duc D.M (1989), ”Nonlinear singular elliptic equations, ” J Lond Math.Soc., 40(2,) pp 420-440 [17] Duc D.M., Vu N.T.(2005), ”Nonuniformly elliptic equations of p-Laplacian type ”, Nonlinear Analysis, 61, pp 1483-1495 [18] Di Benedetto E.(1983), ”C 1+ local regularity of weak solutions of degener-ate elliptic equations,” Nonlinear Analysis, T.M.A., (8), pp 827- 850 [19] Fernandez B.J.(2004), ”Multiple positive solutions for quasilinear elliptic problems with Sign-Changing nonlinearities”, Asbtract and Applied Analysis, 2004(2), pp.1047-1056 [20] Giusti E.(2003), ”Direct methods in the Calculus of variation World scien- tific,” New Jersey [21] Gilbarg D., Trudinger N.(1998), ” Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ” Springer Verlag, Berlin [22] Jean J.L.(1999), ”On the existence of bounded Palais-Smale sequence and N application to a Landesman-lezer type problem set on R , ” Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A., 129 pp 787-809 [23] Mihăilescu M (2006), ”Existence and multiplicity of weak solution for a class of degenerate nonlinear elliptic equations,”Boundary Value Prob-lems Article ID 41295, pp 1-17 [24] Miyagaki O.H., Souto M.A.S (2008), ”Superlinear problems without Am- brosetti and Rabinowitz growth condition, ” J Differential Equations 245, pp 3628-3638 84 [25] Perera K.(2003), ”Multiple positive solutions for a class of quasilinear ellip-tic boundary value problems”, Electron J Differential Equation, 2003(7), ap 1-5 [26] Rabinowitz P.H.(1986), ”Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations”, CBMS Reg.Conf.Series Math., 65 Amer Math.Soc Provindence [27] Rădulescu(Dinu) T.L.(2005), ”Subcritical perturbations of resonant linear problem with sign-changing potential”, Electronic Journal of Differential Equations,2005(117), pp.1-15 [28] Ricceri B (2001), ”Infinitely many solutions of the Neumann problem for elliptic equations involving the p-Laplacian ,” Bull.London Math Soc., 33, ap 331-340 [29] Schechter M., Zou W.(2004), ”Superlinear problems, ” Pacific J.Math 214, pp.145-160 [30] Struwe M.(2000), Variational Methods, Second Edition, Springer- Verlag [31] Szulkin A., Zou W (2001), ”Homoclinic orbits for asymptotically linear Hamintonian systems ”, J.Func.Anal., 187, pp.25-41 [32] Tang C.L.(2001), ”Solvability of Neumann problem for elliptic equations at resonnance ”, Nonlinear Analysis., 44, pp 325-335 [33] Tang C.L.(2002), ”Some existence theorems for the sublinear Neumann boundary value problem”, Nonlinear Analysis 48, pp.1003-1011 [34] Toan H.Q., Anh N.Q.(2009), ”Multiplicity of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equation of p-Laplacian type,”Nonlinear Analysis 70, pp.1536-1546 [35] Toan H.Q., Chung N.T (2009), ”Existence of weak solutions for a class of nonuniformly nonlinear elliptic equations in unbounded domains, ” Nonlinear Analysis, 70, pp.3987-3996 [36] Trudinger N.(1967), ”On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations”, Comm Pure Appl Math., 20, pp.721-747 85 [37] Wu X ,Tan K.K.(2006), ”On existence and multiplicity of solutions of Neumann boundary value problems for quasi-linear elliptic equations,” Nonlinear Analysis, 65, pp.1334-1347 [38] Zhou H.S.(1998), ”Positive solutions for a semilinear elliptic equation which is almost linear at infinity,” Z.Angew.Math.Phys 49, pp.896-906 86 ... Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã... Hướng nghiên cứu luận án sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên phương trình hệ phương trình elliptic khơng tuyến tính So với nhiều phương pháp giải tích phi tuyến áp dụng. .. BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH Chúng tơi dành chương để trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Neumann cho lớp phương trình hệ phương
Ngày đăng: 13/11/2020, 15:58
Xem thêm: