định lý minimax và một số ứng dụng trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Thị Tuyết Mai ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Thị Tuyết Mai ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Hoàn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy thầy hướng dẫn, bảo, giúp đỡ tận tình suốt trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư phạm TPHCM, người cung cấp kiến thức cần thiết trình học tập Tôi xin cảm ơn thầy cô phòng Sau đại học - Đại học Sư phạm TP HCM giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Cuối cùng, Luận văn hoàn thành ủng hộ, động viên lớn gia đình bạn bè Tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã quan tâm, góp ý, giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Tuyết Mai MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Error! Bookmark not defined LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TÔPÔ YẾU 0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ 0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE 0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM 11 0.6 KHÔNG GIAN HÀM 13 CHƯƠNG : ĐỊNH LÝ MINIMAX 20 1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO 20 1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT 24 CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 32 2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN 35 2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 41 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 CÁC KÝ HIỆU Ω : miền  N , Lp ( Ω= ) Lp ( Ω, µ=) { f : Ω →  đo được, ∫ f d µ < ∞ , ≤ p < ∞} p Ω u p := (∫ D ( Ω ) := u ( x ) dx p Ω ) 1/ p , {u ∈ C ( Ω ) : supp u tập compắc Ω} ∞ H (  N ) , D1,2 (  N ) , H 01 (  N ) , D01,2 (  N ) : không gian Sobolev 2* := ∞, N= 1,2, := N / ( N − ) , N ≥ o A : tập mở A A : tập đóng A B ( x, r ) : cầu mở với tâm x bán kính r B [ x, r ] : cầu đóng với tâm x bán kính r Ta định nghĩa: → hội tụ mạnh; ⇀ hội tụ yếu Cho hàm ϕ : X →  S tập X ta có: ϕ d := {u ∈ X : ϕ ( u ) ≤ d }, Sδ := {u ∈ X : dist ( u, S ) ≤ δ }, dist ( u , S )= inf { u − v , v ∈ S } MỞ ĐẦU Toán học ngành khoa học cổ xưa nhân loại Nó có sức hút mãnh liệt, niềm đam mê nhiều hệ nhà khoa học, chứa đựng kho tàng vô tận bí ẩn khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác sống Toán học sử dụng học thuyết toán, kỹ thuật tính toán, thuật toán, với hỗ trợ công nghệ thông tin để giải vấn đề từ kinh tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến vấn đề thuộc khoa học xã hội nhân văn Phương trình vi phân phi tuyến góp phần tạo nên bí ẩn ứng dụng Vậy không thử tìm hiểu để thấy vẻ đẹp nó? Có thể có người nghĩ giải toán tuyến tính dễ toán phi tuyến Nhưng dễ hay khó không vấn đề ta nắm chìa khóa toán Nhiều toán phi tuyến vật lý khoa học xã hội quy tìm điểm tới hạn hàm số (những hàm số thực không gian khác nhau) Có nhiều điểm mà người đi xuyên qua dãy núi nhìn chiều ngang, trèo lên mà không tụt xuống Những điểm tới hạn học điểm cực đại điểm cực tiểu nhiều hoạt động giải tích dành để tìm điểm Một toán khó tìm điểm mà chúng điểm cực đại hay cực tiểu Cho nên từ định lý minimax đời, công cụ quan trọng cho toán ứng dụng bao trùm nhiều lĩnh vực học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý thuyết điều khiển, sinh vật học kinh tế học Mục đích luận văn trình bày bổ đề, định lý quan trọng số ứng dụng định lý minimax nghiên cứu tồn nghiệm toán biên ( tham khảo [8] ) Luận văn gồm chương Chương gồm khái niệm tôpô yếu, điều kiện PalaisSmale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré Chương gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết Chương gồm ứng dụng định lý đường đèo định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TÔPÔ YẾU Giả sử X không gian tuyến tính, X ′ không gian liên hợp đại số X , F không gian tuyến tính X Tôpô đầu xác định họ ánh xạ F kí hiệu σ ( X , F ) Đó tôpô yếu X cho phiếm hàm f ∈ F liên tục Giả sử X không gian định chuẩn, X * không gian liên hợp X Tôpô σ ( X , X * ) gọi tôpô yếu X Họ tập hợp có dạng n { } U ( x0 ; f1 , , f n , ε ) =  x ∈ X : f k ( x ) − f k ( x0 ) < ε , k =1 (trong x0 ∈ X , { f1, , f n } họ hữu hạn phần tử X * , ε số dương) sở tôpô yếu X Tôpô yếu không gian định chuẩn yếu tôpô xác định chuẩn (được gọi tôpô mạnh) Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô yếu Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc mạnh,…được hiểu tập hợp đóng, compắc,…đối với tôpô mạnh Dãy phần tử { xn } X gọi hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ X { xn } hội tụ đến x0 tôpô yếu σ ( X , X * ) Khi đó, ta viết xn ⇀ x0 Dãy phần tử { xn } X gọi hội tụ mạnh đến x0 ∈ X { xn } hội tụ đến x0 tôpô mạnh Khi đó, ta viết xn ⟶ x0 lim xn − x0 = n→∞ Định lý 0.1 Giả sử { xn } dãy phần tử không gian định chuẩn X , x0 ∈ X Khi đó: 1) xn ⇀ x0 ⇔ lim f ( xn ) = f ( x0 ) với f ∈ X * n→∞ 2) xn ⇀ x0 ⇒ { xn } bị chặn x0 ≤ lim xn Định lý 0.2 Cho không gian Banach X , Y ánh xạ tuyến tính A : X → Y Khi đó: A liên tục ⇔ A liên tục σ ( X , X * ) , σ (Y , Y * ) 0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ Cho ( X , d X ) , (Y , dY ) hai không gian mêtric Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ Lipschitz tồn số thực k ≥ cho với x1 , x2 ∈ X dY ( Ax1 , Ax2 ) < k d X ( x1 , x2 ) (*) - Số k ( A ) bé thỏa (*) gọi hệ số Lipschitz A - Nếu k ( A ) < ta nói A ánh xạ co hệ số k = k ( A ) hay A k -co Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ Lipschitz địa phương với x X tồn lân cận U x cho A bị thu hẹp đến U ánh xạ Lipschitz 0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Cho f ∈ Lp , g ∈ Lq , 1 + = fg ∈ L1 , ta có p q ∫ Ω fg d µ ≤ f p g 0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE q với ≤ p < ∞ Nhiều toán biên tương đương với phương trình Au = (1) A : X → Y ánh xạ hai không gian Banach Trong toán biến phân, tồn hàm số ϕ : X →  cho A = ϕ ′ (đạo hàm Gateaux ϕ ), nghĩa ϕ ( u + tv ) − ϕ ( u ) t →0 t Au , v = lim Không gian Y tương ứng không gian đối ngẫu X ′ X phương trình (1) tương đương với ϕ ′ ( u ) = , nghĩa ϕ ′ ( u ) , v = , ∀v ∈ X (2) Một điểm tới hạn ϕ nghiệm u (2) giá trị ϕ u giá trị tới hạn ϕ Làm để tìm giá trị tới hạn? Khi ϕ bị chặn dưới, cận c := inf ϕ X ứng cử tự nhiên Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến tồn dãy ( un ) cho ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → Một dãy gọi dãy Palais-Smale mức c Phiếm hàm ϕ gọi thỏa điều kiện ( PS )c dãy Palais-Smale mức c chứa dãy hội tụ Nếu ϕ bị chặn thỏa điều kiện ( PS )c mức c := inf ϕ c giá trị tới hạn ϕ X Theo Ambrosetti Rabinowitz, ta xét trường hợp ϕ có cực tiểu địa phương không cực tiểu toàn cục Khi tồn r > e ∈ X cho e > r u := ∇u + λ u 2 Bổ đề 2.2 (Brézis-Lieb, 1983) Cho Ω tập mở  N ( un ) ⊂ Lp ( Ω ) , ≤ p < ∞ Giả sử : a) ( un ) bị chặn Lp ( Ω ) , b) un → u hầu khắp nơi Ω , ( ) Khi đó: lim un p − un − u p = u p n→∞ p p p Chứng minh Bổ đề Fatou’s đưa đến: u p ≤ lim un p < ∞ Cố định ε > Tồn c ( ε ) cho, với a, b ∈  có: a+b − a p p ≤ ε a + c (ε ) b p p Như ta được: ( ε f n= : un − un − u − u p p p − ε un − u p ) + ≤ (1 + c ( ε ) ) u Do định lý Lebesgue, ∫ Ω Do un − un − u − u p p p f nε → 0, n → ∞ ≤ f nε + ε un − u nên ta được: p lim ∫ un − un − u − u p n→∞ Ω = c : sup un − u p < ∞ p n Cho ε → Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3 p p ≤ cε p Cho dãy ( un ) ⊂ H 01 ( Ω ) cho S N /2 = cho t0v > r ϕ ( t0v ) < Từ bước suy max ϕ ( tt0v ) < c* t∈[ 0,1] Theo bổ đề 2.3 định lý đường đèo, ϕ có giá trị tới hạn c ∈ ( b, c* ) toán −∆u + λu = f ( u )  u ∈ H ( Ω ) có nghiệm không tầm thường u Nhân phương trình với u − tích phân Ω ta 2 2 ∇u − + λ u − = 0= u− Như vậy, u − = u nghiệm toán ( P2 ) Định lý chứng minh Bổ đề 2.4 Với điều kiện định lý 2.2, tồn hàm không âm v ∈ H 01 \ {0} cho v 2 v 2* ε > , định nghĩa U ε ( x ) := ε ( U ( x / ε ), 2− N ) /2 uε ( x ) := ψ ( x )U ε ( x ) Định lý Aubin-Talenti khẳng định: ( N − ) /4  N ( N − )  U ( x ) :=  ( N − ) /2 1 + x    Suy ra: ∇U ε = U ε 2* 2* đánh giá tốt cho S = S N /2 Cho ε → 0+ , ta có: ∫ ∇uε = ∫ ∇U ε + O ( ε N −2 ) =S N /2 + O ( ε N −2 ) , ∫ uε Ω Ω 2 N 2* = ∫ Uε 2* S N /2 + O ( ε N ) , + O (ε N ) = N = ∫ uε Ω ∫ρ Uε B( 0, ) + O ( ε N −2 )  N ( N − ) ε  N −2 ∫ B( 0,ε ) ( 2ε ) ≥ N −2  N ( N − ) ε  ∫ρ + (2 x ) ε< x< N −2 N −2 + O ( ε N −2 ) d ε ln ε + O ( ε ) , N =  = N −2 d ε + O ( ε ) , N ≥ d số dương Nếu N = , ta uε u 2* ≤ S + λ d ε ln ε + O ( ε )  S + O (ε )   1/2 = S + λ d ε ln ε S −1 + O ( ε ) < S , với ε > đủ nhỏ Tương tự, N ≥ , ta uε uε 2 2* ≤ S N /2 + λ d ε + O ( ε N −2 )  S N /2 + O ( ε N )    * 2/2 = S + λ dε 2S ( 2− N ) /2 + O ( ε N −2 ) < S , với ε > đủ nhỏ Cho ε → , bổ đề chứng minh 2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH Định lý liên kết áp dụng cho toán: −∆u + a ( x ) u = f ( x, u )  u ∈ H ( Ω ) ( P3 ) Ω miền  N a ∈ LN /2 ( Ω ) N ≥ Bổ đề 2.5 Nếu N ≥ a ∈ LN /2 ( Ω ) , phiếm hàm χ : D01,2 ( Ω ) →  : u → ∫ a ( x ) u dx liên tục yếu Ω Chứng minh Phiếm hàm χ xác định bất đẳng thức Sobolev Holder Giả sử un ⇀ u D01,2 xét dãy ( ) ( un ) Do → u L2loc Ta giả sử → u hầu khắp nơi Ω ( ) Do ( ) bị chặn L2 , v n2 bị chặn LN /( N −2) * Như v n2 ⇀ u LN /( N −2) : ∫ a ( x ) v dx → ∫ a ( x ) u dx n Ω Ω Như χ liên tục yếu Bổ đề 2.6 Nếu Ω bị chặn, N ≥ a ∈ LN /2 ( Ω ) λ1 : = inf1 ∫ ( ∇u u∈H ( Ω ) Ω u =1 ) + a ( x ) u dx > −∞ Chứng minh Xét dãy cực tiểu ( un ) ⊂ H 01 thỏa mãn = ∇un 1, + χ ( un ) un → λ1 Ta giả sử un ⇀ u H 01 Từ định lý Rellich bổ đề 2.5 suy un → u , χ ( un ) → χ ( u ) 2 Do λ1 < +∞, u ≠ Ta được: ∇u + χ ( u ) λ1 ≥ u2 Vậy λ1 > −∞ Bổ đề chứng minh Cho λ1 < λ2 ≤ ≤ λn ≤ < λn+1 ≤ dãy giá trị riêng −∆u + a ( x ) u = λu  u ∈ H ( Ω ) giá trị riêng lập lại ứng với số bội Cho e1 , e2 , e3 , vectơ riêng trực chuẩn tương ứng L2 ( Ω ) Bổ đề 2.7 Dưới giả thiết bổ đề 2.6, nếu: Y := span ( e1 , , en ) , { } Z :=u ∈ H 01 ( Ω ) : ∫ uv =0, v ∈ Y , = δ : inf ∫ ( ∇u u∈Z 1Ω ∇u = Chứng minh Ω ) + a ( x ) u dx > Từ định nghĩa, Z , ta có: ∫ ( ∇u ) + au ≥ λn+1 ∫ u Xem dãy làm cực tiểu ( un ) ⊂ Z cho ∇u n = , + χ ( un ) → δ Ta giả sử un ⇀ u H 01 Theo bổ đề 2.5 suy δ= + χ ( u ) ≥ ∫ ∇u + χ ( u ) ≥ λn+1 ∫ u Nếu = δ u ≠ 0, δ ≥ λn+1 ∫ u > u 0,= Ω Bổ đề chứng minh Bây xét phiếm hàm ψ ( u ) := ∫ F ( x, u )dx , Ω u F ( x, u ) := ∫ f ( x, s ) ds Bổ đề 2.8 ( Giả sử Ω bị chặn, f ∈ C ( Ω ×  ) f ( x, u ) ≤ c + u p −1 ) với < p < ∞ N = 1,2 < p ≤ 2* N ≥ Khi phiếm hàm ψ thuộc lớp C1 ( H 01 ( Ω ) ,  ) ψ ′ ( u ) , h = ∫ f ( x, u )hdx Ω Chứng minh * Tồn đạo hàm Gateaux Cho u , h ∈ H 01 Với x ∈ Ω < t < Do định lý giá trị trung bình tích phân, tồn λ ∈ ( 0,1) cho F ( x, u ( x ) + th ( x ) ) − F ( x, u ( x ) ) = t ( ( ≤ c + u ( x) + h( x) ) p −1 ) f ( x, u ( x ) + λ h ( x ) ) h ( x ) ( ( h ( x ) ≤ c + p −1 u ( x ) Bất đẳng thức Holder suy (1 + ( u ( x ) p −1 p −1 + h( x) p −1 p −1 + h( x) p −1 )) h ( x ) )) h ( x ) ∈ L ( Ω) Từ định lý Lebesgue suy ψ ′ ( u ) , h = ∫ f ( x, u ) hdx Ω * Tính liên tục đạo hàm Gateaux Giả sử un → u H 01 Do định lý nhúng Sobolev, un → u Lp = q : p / ( p − 1) Từ bổ đề suy ra: f ( x, un ) → f ( x, u ) Lq với Ta có: ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) , h = ψ ′ ( un ) , h − ψ ′ ( u ) , h = = ∫ f ( x, u ) hdx − ∫ f ( x, u ) hdx ∫ ( f ( x, u ) − f ( x, u ) )hdx Ω Ω n Ω n Do ta có ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) , h = ∫ ( f ( x, u ) − f ( x, u ) )hdx ≤ ∫ ( f ( x, u ) − f ( x, u ) ) h dx Ω n Ω n Áp dụng bất đẳng thức Holder với = p, q p / ( p − 1) ta ψ ′ ( u n ) − ψ ′ ( u ) , h ≤ f ( x, u n ) − f ( x, u ) q h p ≤ c p f ( x, u n ) − f ( x , u ) q h Và vậy: ψ ′ ( un ) − ψ ′ ( u ) ≤ c p f ( x, un ) − f ( x, u ) q → 0, n → ∞ Bổ đề chứng minh Ta chứng minh điều kiện hạn chế hơn, phiếm hàm  ∇u a ( x ) u  ϕ ( u ) := ∫  + − F ( x, u )  dx   Ω  thỏa mãn điều kiện ( PS )c với c ∈  Bổ đề 2.9 Giả sử Ω bị chặn ( f1 ) a ∈ LN /2 ( Ω ) N ≥ 3, a ∈ Lq ( Ω ) , q > N = a ∈ L1 ( Ω ) ( ( ) N = , f ∈ C Ω ×  với < p < 2* , c > 0, f ( x, u ) ≤ c + u ( f ) tồn α > p −1 ) R > cho u ≥ R ⇒ < α F ( x, u ) ≤ uf ( x, u ) cho d : sup ϕ ( un ) < ∞, ϕ ′ ( un ) → Khi đó, dãy ( un ) ⊂ H 01 ( Ω ) sao= n chứa dãy hội tụ Chứng minh 1) Xét trường hợp N ≥ Trên H 01 , chọn chuẩn u := ∇u Sau lấy tích phân, từ ( f ) tồn c1 > cho ( ) c1 u − ≤ F ( x, u ) α (17)  1 Cho β ∈  ,  Với n đủ lớn c2 , c3 > ta có: α 2 d + + un ≥ ϕ ( un ) − β ϕ ′ ( un ) , un ( )    − ∇ + + − β u au β f x u u F x u , , ( ) ( ) n n n n n   dx ∫    2 1  ≥  − β  δ zn + λ1 yn + (αβ − 1) ∫ F ( x, un )dx − c2 2  = ( ) ( ) 2 1  ≥  − β  δ zn + λ1 yn + c1 (αβ − 1) un − c3 2  yn + z n , yn ∈ Y , z n ∈ Z đó, kết hợp bổ đề 2.7, un = Khi kiểm tra ( un ) bị chặn H 01 cách dùng kiện dimY hữu hạn 2) Ta giả sử un ⇀ u H 01 Do định lý Rellich, un → u Lp = q : p / ( p − 1) Từ bổ đề (chương 0) suy ra: f ( x, un ) → f ( x, u ) Lq với Nhận xét ϕ ′ ( u ) , u = ∫  ∇u + a ( x ) u − f ( x, u ) u dx   ϕ ′ ( un ) − ϕ ′ ( u ) , un − u + ∫ ( f ( x, un ) − f ( x, u ) ) ( un − u ) − a ( un − u ) dx un − = u   Rõ ràng ϕ ′ ( un ) − ϕ ′ ( u ) , un − u → Theo bổ đề 2.5 ta có ∫ a ( un − u ) dx → Ω Áp dụng bất đẳng thức Holder với = p, q p / ( p − 1) ta ∫ ( f ( x, u ) − f ( x, u ) ) ( u n n − u )dx ≤ f ( x, un ) − f ( x, u ) q un − u p → 0, n → ∞ Ta chứng minh được: un − u → 0, n → ∞ Bổ đề chứng minh Định lý Giả sử Ω bị chặn, ( f1 ) , ( f ) f ( x, u ) ( f3 )= ( f4 ) o ( u ) , u → Ω , u2 λn ≤ F ( x, u ) , Khi đó, toán ( P3 ) có nghiệm không tầm thường Chứng minh 1) Xét trường hợp N ≥ Ta kiểm tra giả thiết định lý liên kết Điều kiện ( PS )c suy từ bổ đề 2.9 Như trước đây, chọn u := ∇u 2) Dùng ( f1 ) ( f3 ) , ta được: ( ∀ε > ) ( ∃cε > ) : F ( x, u ) ≤ ε u + cε u p Từ bổ đề 2.7 suy ra, Z ϕ (u ) ≥ δ ( u − ∫ ε u + cε u 2 p )= δ u − ε u − cε u p 2 p Do định lý nhúng Sobolev, tồn r > cho: = b : inf ϕ ( u ) > u =r u∈Z  u2  3) Do giả thiết ( f ) , Y , ta có: ϕ ( u ) ≤ ∫ λn − F ( x, u ) dx ≤   Định nghĩa z := ren+1 Từ (17) suy ra: en+1 2 u * u α ϕ (u ) ≤ + a N /2 − c1 u α + c1 Ω ( Ω thể tích Ω ) 2 Do không gian hữu hạn chiều Y ⊕ z , chuẩn tương đương, ta có: ϕ ( u ) → −∞, u → ∞, u ∈ Y ⊕ z Như tồn ρ > r cho: = max ϕ , M0 M :== ρ λ ≥ u ≤ ρ λ = 0} {u y + λ z : y ∈ Y , u = 4) Nếu λ1 > , ta dùng định lý đường đèo thay định lý liên kết Định lý chứng minh Hệ Giả sử Ω bị chặn < p < 2* Khi đó, với λ ∈  toán −∆u + λu = u p −2 u  u ∈ H ( Ω ) ( *) có nghiệm không tầm thường Chứng minh Ta áp dụng định lý 2.3 cho toán (*) với a ( x ) = λ f ( x, u ) = u Kiểm tra toán (*) thỏa điều kiện ( f1 ) , p −2 u ( f ) , ( f3 ) , ( f ) Vậy (*) có nghiệm không tầm thường KẾT LUẬN Nội dung Luận văn trình bày số kết phép tính vi phân không gian Banach, định lý Minimax số ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vật lý Luận văn gồm chương - Chương trình bày số định nghĩa hội tụ yếu, điều kiện Palais-Smale, đạo hàm Gateaux, không gian hàm kết định lý nhúng Sobolev, định lý nhúng Rellich - Chương trình bày định lý quan trọng: định lý đường đèo cho không gian Hilbert, định lý minimax, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết - Chương trình bày ứng dụng định lý đường đèo, định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán Cuối cùng, thời gian thực luận văn có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Do đó, mong nhận ý kiến đóng góp Quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Hoàn Hóa (2012), Phép tính vi phân không gian Banach, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở [2] Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [4] Ekeland I (1990), Convexity methods in Hamiltonian mechanics, Springer, Berlin [5] Rabinowitz P.H (1978), Some critical point theorems and applications to seminlinear elliptic partial differential equations, Ann Scuola Normale Sup.Pisa, Classe Scienza 4, page 215-223 [6] Schwartz L ( 1991-1994), Cours d’analyse, Hermann, Paris [7] Willem M (1995), Analyse harmonique réelle, Hermann, Paris [8] Willem M (1996), Minimax Theorems, Birkhauser [...]... Ω là một miền của  N Kết quả như sau: Định lý 2.1 Giả sử Ω bị chặn và 2 < p < 2* Khi đó bài toán ( P1 ) có một nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu λ > −λ1 ( Ω ) (trong đó λ1 ( Ω ) > 0 là giá trị riêng bé nhất của −∆ trong H 01 ( Ω ) ) Chứng minh * Điều kiện cần: Giả sử u là một nghiệm không tầm thường của ( P1 ) Đặt e1 ∈ H 01 là một vectơ λ1 ( Ω ) với e1 > 0 trên Ω Ta có: riêng của −∆ ứng với... > r và ϕ ( e ) ≤ 0 Do định lý đường đèo nên ϕ có một giá trị tới hạn dương và bài toán: −∆u + λu = f ( u )  1 u ∈ H 0 ( Ω ) có một nghiệm không tầm thường u Nhân phương trình với u − và tích phân trên Ω ta được: 2 2 2 2 2 0= ∇u − + λ u − = u− Như vậy, u − = 0 và u là một nghiệm của bài toán ( P1 ) Định lý được chứng minh 2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN Lần này đề cập đến bài toán: −∆u + λu = u 2 −2... ( e,ϕ ( e ) ) bởi một “vòng núi” Nếu ta xét tập hợp Γ các đường nối 0 và e thì c := inf max ϕ ( γ ( t ) ) γ ∈Γ t∈[ 0,1] cũng là một ứng cử tự nhiên Lần nữa nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến sự tồn tại của một dãy ( un ) sao cho ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → 0 , Nhưng c tổng quát không là một giá trị tới hạn của ϕ 0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM Định nghĩa 0.1 Cho U là một tập con mở trong không gian Banach... η (1, γ ( u ) ) ≤ c − ε , = u∈M u∈M Mâu thuẫn với định nghĩa của c Định lý được chứng minh Định lý 1.4 Với điều kiện (12) trong định lý 1.3, thì tồn tại một dãy con ( un ) ⊂ X thỏa mãn ϕ ( u n ) → c, ϕ ′ ( u n ) → 0 Đặc biệt, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( PS )c thì c là giá trị tới hạn của ϕ Ta cho 3 thí dụ trong đó điều kiện (12) được thỏa mãn Định lý đường đèo (Mountain pass Theorem, Ambrosetti-Rabinowitz,... (Brezis-Nirenberg, 1991) Với các giả thiết trong Định lý 1.1 tổng quát, c không là giá trị tới hạn của ϕ Ta định nghĩa ϕ ∈ C ∞ (  2 ,  ) bởi ϕ ( x, y ) := x 2 + (1 − x ) y 2 3 Khi đó, ϕ thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 1.1 Nhưng chỉ có 0 là giá trị tới hạn của ϕ 1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT Phần này ta chỉ chứng minh nguyên lý Minimax tổng quát 1.2.1 Bổ đề biến đổi số lượng Định nghĩa 1.2 Cho M là không... {0} và R là phép co rút từ Y ⊕ z \ { z} trên M 0 Nếu γ ( M ) ∩ N = φ thì ánh xạ biến ( u  R Pγ ( u ) + (1 − P ) γ ( u ) r −1 z ) là phép co rút từ quả cầu M vào M 0 Điều này không thể do M đồng phôi với quả cầu mở trong không gian hữu hạn chiều Như vậy, với mọi γ ∈ Γ, ta được: max ϕ  γ ≥ b = inf ϕ M N Suy ra : c ≥ b Định lý được chứng minh CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ta áp dụng một số định lý minimax. .. gian định chuẩn và h : M → X ′ \ {0} là ánh xạ liên tục Một trường vectơ giả gradient (pseudogradient) của h trên M là một trường vectơ liên tục Lipschitz địa phương g : M → X sao cho với mọi u ∈ M , g (u ) ≤ 2 h (u ) , h (u ) , g (u ) ≥ h (u ) 2 Bổ đề 1.2 Với các giả thiết của định nghĩa trên, tồn tại một trường vectơ giả gradient của h trên M Chứng minh Với mỗi v ∈ M , tồn tại x ∈ X sao cho x = 1 và. .. N ≥ 3 và p = 2* Phiếm hàm ψ và χ thuộc lớp C 2 ( D01,2 ( Ω ) ,  ) Chứng minh Kết quả suy trực tiếp từ định lý Sobolev CHƯƠNG 1 : ĐỊNH LÝ MINIMAX 1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO 1.1.1 Bổ đề biến đổi số lượng Ta sẽ chứng minh trường hợp đơn giản của bổ đề biến đổi số lượng Trường hợp tổng quát sẽ chứng minh sau ( ) ϕ d ϕ −1 ( −∞, d ] Ta định nghĩa:= Bổ đề 1.1 Cho X là không gian Hilbert, ϕ ∈ C 2 ( X ,  )... một dãy con hội tụ Định lý 1.2 (Ambrosetti-Rabinowitz, 1973) Với các giả thiết trong Định lý 1.1, nếu ϕ thỏa mãn điều kiện ( PS )c thì c là giá trị tới hạn của ϕ Chứng minh Từ Định lý 1.1 suy ra tồn tại dãy ( un ) ⊂ X sao cho ϕ ( u n ) → c, ϕ ′ ( u n ) → 0 Từ điều kiện ( PS )c , ( un ) có một dãy con hội tụ về u ∈ X Khi đó, ϕ ( u ) = c và ϕ ′ ( u ) = 0 Vậy c là giá trị tới hạn của ϕ Thí dụ (Brezis-Nirenberg,... với bài toán mẫu p −2  −∆u + λu = u u ( P) 1  u ∈ H 0 ( Ω ) hoặc với một số biến thể Cho ϕ : H 01 ( Ω ) →  xác định bởi  ∇u 2 λ u 2 u p  ϕ ( u= + − dx ): ∫ 2 2 p   Ω Vì ϕ ′ ( u ) , v = ∇u.∇v + λuv − u p uv dx nên điểm tới hạn của ϕ là nghiệm ∫  Ω yếu của ( P ) 2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH Ta khảo sát lớp bài toán ( P1 ) −∆u + λu = u p −2 u  1 u ≥ 0, u ∈ H 0 ( Ω ) trong ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Thị Tuyết Mai ĐỊNH LÝ MINIMAX VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN Chuyên ngành: Toán. .. Hilbert, định lý minimax, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết - Chương trình bày ứng dụng định lý đường đèo, định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán. .. đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết Chương gồm ứng dụng định lý đường đèo định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TÔPÔ YẾU Giả