Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai với phương trình truyền sóng trong miền không trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— DƯƠNG THỊ HẠ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— DƯƠNG THỊ HẠ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng , người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Dương Thị Hạ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Dương Thị Hạ Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Không gian L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn . . . . . . . . 15 2.1. Đặt toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Tính nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Sự tồn nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3. Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn 27 3.1. Đặt toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 v 3.3. Tính nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Sự tồn nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng môn học quan trọng toán học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù bản. Thứ mối liên hệ trực tiếp với toán vật lý trình nghiên cứu toán vật lý dẫn đến toán phương trình đạo hàm riêng. Thứ hai mối liên hệ mật thiết phương trình đạo hàm riêng với nghành toán học khác : Giải tích hàm, lý thuyết hàm, tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đại gồm có: phương trình loại Eliptic, phương trình loại Parabolic, phương trình loại Hyperbolic. Không gian nghiệm phương trình vấn đề việc nghiên cứu đạo hàm riêng tuyến tính. Nghiệm cổ điển nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết với nhau. Mỗi loại phương trình nghiên cứu đặt câu hỏi nghiệm suy rộng phương trình có tồn không? có không? phụ thuộc liên tục vào kiện cho toán không? Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học, nhờ giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng chọn nghiên cứu đề tài :"Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn" 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. Kết nhận định lí tồn nghiệm không gian Sobolev toán miền không trơn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, tài liệu liên quan. Từ áp dụng vào nghiên cứu tính giải toán. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm Sobolev. 6. Đóng góp đề tài Nhận định lí tồn nghiệm tổng kết xét trường hợp đặc biệt toán giải. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các kí hiệu Rn không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈ Rn . Giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ S = ∂Ω biên nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω. Kí hiệu Ωa,b = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , ≤ a < b < ∞} trụ Rn+1 . Kí hiệu Ω∞ h = Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}là trụ Rn+1 . Mặt xung quanh là: Sa,b = ∂Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}. Sh∞ = ∂Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)}. +∞ Nếu (a, b) = R ta viết ΩR = Ω+∞ −∞ SR = S−∞ . Ta viết ΩT = Ω × (0, T ) , ST = ∂Ω × (0, T ). Giả sử u hàm vector phức với thành phần u1 , ., un . Ta kí hiệu u = (u1 , ., un ) Dp = ∂ |p| p1 ∂x1 .∂xpnn đạo hàm suy rộng cấp p theo biến x = (x1 , .xn ). utk = ∂ k u/∂tk đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t. Ở p = (p1 , ., pn ) kí hiệu đa số với pi số nguyên không âm, |p| = p1 + . + pn . Co∞ (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact ηxi (x, h) = vi (x, b) , ≤ i ≤ n. Từ (2.10) ta nhận ηt (x, b) L2 (Ω) +µ0 Z n i=1 |vi (x, t)| Ở Z (t) = ηt (x, b) b h Z (b) ≤ 2C Ω L2 (Ω) +(µ0 (b) dt+2C b h Z (t) dt+ b h ηt (x, t) L2 (Ω) dt + |v (x, t)|2 dx. Do − 2bC) Z (b) ≤ 2C b h Z (t) dt+C b h ηt (x, t) L2 (Ω) dt Đặt J (t) = ηt (x, t) L2 (Ω) + Z (t) Ta thu b J (t) dt, b ∈ (h, µ0 /4C) J (b) ≤ C1 h C1 = const > phụ thuộc vào µ0 , µ λ0 . Do theo bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta có J (b) = với b ∈ [h, µ0 /2C] Lập luận tương tự trên, ta chứng minh u (x, b) = với b ∈ [µ0 /2C, µ0 /C]. Tương tự, sau số bước hữu hạn ta thu u (x, b) = 0, với b ∈ (h, T ) .Vì b tuỳ ý nên ta có u1 (x, t) = u2 (x, t). Định lý chứng minh. 2.4. Sự tồn nghiệm suy rộng Mục dành cho trình bày việc phát biểu chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. Sự tồn nghiệm suy rộng khẳng định qua định lí sau: Định lý 2.4.1. Giả sử (i) f ∈ L2 (e−γt , Ω∞ h ) 21 sup (ii) (x,t)∈Ω∞ h ∂aij ∂t ≤ µ; ≤ i, j ≤ n, µ = const > Khi tồn số γ0 cố định cho với γ > γ0 toán (2.1) − (2.3) có nghiệm suy rộng u (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , Ω∞ h ) thoả mãn: u W 1,1 (e−γt ,Ω∞ h ) ≤C f ,C L2 (e−γt ,Ω∞ h ) = const > C không phụ thuộc vào h, u, f . Chứng minh o m Giả sử {ϕk (x)}∞ k=1 sở W (Ω) trực giao L2 (Ω). Đặt: N N cN k (t) ϕk (x) u (x, t) = k=1 cN k , k = 1, ., N nghiệm hệ phương trình vi phân thường sau: n aij uN xj , ϕkxi − i,j=1 Ω − uN tt , ϕk Ω = f, ϕk Ω,k = 1, ., N (2.11) với điều kiện ban đầu cN k (h) = Nhân (2.11) với dcN k (t) dt d N c (h) = 0, k = 1, .N. dt k (2.12) lấy tổng theo k từ đến N ta có: n N aij uN xj , uxi t − i,j=1 Ω N − uN tt , ut Ω = f, uN t Ω Lấy τ ≥ h, tích phân đẳng thức thu theo t từ h đến τ , ta n N aij uN xj , uxi t − i,j=1 Ωτh N − uN tt , ut 22 Ωτh = f, uN t Ωτh . Cộng vào đẳng thức với liên hợp phức ta nhận : n N aij uN xj , uxi t −2Re i,j=1 Ωτh N − 2Re uN tt , ut Ωτh = 2Re f, uN t Ωτh . Từ điều kiện ban đầu (2.12) cho ta kết luận uN t (., h) L2 (Ω) Từ suy uN (., h) = 0, uxNi W (Ω) = B uN , uN (h) = 0. Ta có: N 2Re uN tt , ut Từ aij = aji , λ0 uN (., τ ) 1≤i≤n = 0, L2 (Ω) Ωτh L2 (Ω) = uN t (., τ ) L2 (Ω) N = 2Re λ0 uN t ,u Ωτh , λ0 xác định từ (2.6) τ Bt uN , uN (t) dt B uN , uN (τ ) − B uN , uN (h) − h N −2Re uN tt , ut Ωτh = 2Re f, uN t Ωτh Lấy tích phân phần , ta suy ra: uN t (., τ ) L2 (Ω) − B uN , uN (τ ) + λ0 uN (., τ ) L2 (Ω) n N (aij )t uN xj , uxi = i,j=1 Ωτh N + 2Re λ0 uN t ,u Ωτh − 2Re f, uN t Ωτh (2.13) Sử dụng Bổ đề 2.2.1, từ (2.13) ta nhận bất đẳng thức: uN t (., τ ) L2 (Ω) + µ0 uN (., τ ) W (Ω) n N (aij )t uN xj , uxi ≤ i,j=1 Ωτh N + 2Re λ0 uN t ,u Ωτh − 2Re f, uN t Ωτh (2.14) Sử dụng giả thiết (ii) bất đẳng thức Cauchy, ta thu bất đẳng thức sau 23 uN t (., τ ) L2 (Ω) +(n + 1)µ uN , uN + 1δ f, f Ωτh ≤ × δ (., t) Ωτh + n i=1 ≤ (n + 1)µ N uN t , ut N uN xi , uxi Ωτh W (Ω) (2.15) Ωτh f, f τ uN t W (Ω) (µ+λ0 ) (n+1)µ + δ + µ0 uN (., τ ) L2 (Ω) h Ωτh + (µ+λ0 ) (n+1)µ +δ (n + 1)2 µ2 uN (., t) + (µ + λ0 ) + (n + 1) µδ Xét hàm (n + 1)µ (µ + λ0 )2 δ (ε) = − ,ε ≥ µ0 − ε (n + 1)µ Kí hiệu ε0 = max 0, µ0 − (n + 1)2 µ2 / (µ + λ0 )2 . Khi δ = δ (ε) > δ (ε0 ) ≥ (n + 1)2 µ2 = µ0 − ε (µ + λ0 )2 + (n + 1)µδ (µ + λ0 )2 +δ (n + 1)µ = (n + 1)µ µ0 − ε với ε > ε0 . Do đó, từ (2.15) ta có uN t (., τ ) (n + 1)µ ≤ µ0 − ε Đặt γ0 = L2 (Ω) + (µ0 − ε) uN (., τ ) τ uN t (., t) h (n+1)µ µ0 −ε0 . L2 (Ω) W (Ω) + (µ0 − ε) uN (., t) W (Ω) dt+ Với γ − γ0 tồn ε > ε0 cho γ = thu (n + 1)µ γ (n + 1)µ = δ (n + 1)µγ − (µ + λ0 )2 µ0 − ε = 24 f, f Ωτh δ (2.16) (n+1)µ µ0 −ε , ta Tập hợp L2 (Ω) J0 (t) = uN t (., τ ) + (n + 1)µ N u (., τ ) γ W (Ω) Từ (2.16) ta có τ J0 (τ ) ≤ γ J0 (t) dt + Cτ f h L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Ở C = const > phụ thuộc vào µ0 , µ γ. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman, ta viết uN t (x, τ ) L2 (Ω) (n + 1)µ N u (x, τ ) γ + W (Ω) ≤ Ceγτ f L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Do ta có: uN t (x, τ ) L2 (Ω) + uN (x, τ ) W (Ω) ≤ Ceγτ f L2 (e−γt ,Ω∞ h ) (2.17) với C = const > phụ thuộc vào µ0 , µ γ Nhân hai bất đẳng thức với e−2γτ , lấy tích phân theo τ từ h đến ∞, ta có: uN W 1,1 (e−γt ,Ω∞ h ) ≤C f L2 (e−γt ,Ω∞ h ) (2.18) với C = const > phụ thuộc vào µ0 , µ γ Từ bất đẳng thức trên, trích dãy dãy uN hội tụ yếu tới u ∈ W 1,1 (e−γt , Ω∞ h ) u (x, h) = 0. Từ dễ dàng chứng minh u nghiệm suy rộng toán (2.1) − (2.3). Hơn u W 1,1 (e−γt ,ΩT ) ≤C f Định lý chứng minh. 25 . L2 (e−γt ,Ω∞ h ) 2.5. Ví dụ Xét phương trình truyền sóng u − utt = f, (x, t) ∈ ΩT . (2.19) Với điều kiện ban đầu u (x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, x ∈ Ω. (2.20) điều kiện biên Neumann ∂u |S = ∂ν T (2.21) Ở ν vector pháp tuyến mặt xung quanh ST . Hàm u (x, t) gọi nghiệm suy rộng toán (2.19)−(2.21)trong không gian W 1,1 (e−γt , ΩT ) u (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩT ) , u (x, 0) = với τ , < τ < T đẳng thức sau đúng: n ut , ηt ΩT − uxj , ηxj ΩT = f, η ΩT . j=1 với hàm thử η (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩT ), η (x, t) = với t ∈ [τ, T ) . 26 Chương Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn Trong chương này, tác giả trình bày tính tồn nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. 3.1. Đặt toán Ta giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ với biên S = ∂Ω. Cho a < b, đặt Ωa,b = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)}, Sa,b = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}. +∞ Nếu (a, b) = R ta viết ΩR = Ω+∞ −∞ , SR = S−∞ . Ω∞ h hình trụ Ω × (h, ∞). Kí hiệu Ωh,b = Ω × (h, b) = {(u, t) | x ∈ Ω, t ∈ (h, b)}. Ta đưa vào không gian hàm: W 1,1 (e−γt , ΩR ), L2 (e−γt , ΩR ). Xét toán tử vi phân cấp hai sau: n L (x, t, ∂) = ∂ ∂xi i,j=1 27 aij (x, t) ∂ ∂xj . Ở aij ≡ aij (x, t) hàm phức khả vi vô hạn ΩR , aij = aji (i, j = 1, ., n) . Hơn giả sử aij , i, j = 1, ., n liên tục với x ∈ Ω theo biến t ∈ R kí hiệu n N (x, t, ∂) = aij (x, t) cos (xi , ν) i,j=1 ∂ . ∂xj Ở ν vector pháp tuyến mặt SR . ta nhận toán sau trụ ΩR . Xét miền trụ ΩR phương trình: L (x, t, ∂) u − utt = f (x, t) trênΩR . (3.1) điều kiện biên N (x, t, ∂) u|SR = 0. (3.2) Bài toán (3.1) − (3.2) gọi toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. 3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa: Cho f ∈ L2 (e−γt , ΩR ). Khi hàm u (x, t) đuợc gọi nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) không gian W 1,1 (e−γt , ΩR ) u (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) đẳng thức : n aij uxj , ηxi ΩT−∞ + ut , ηt ΩT−∞ = f, η ΩT−∞ . (3.3) i,j=1 với hàm thử η = η (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) cho η (x, t) = 0, ∀t ≥ T . Đặt n B (u, u) (t) = − aij uxj (., t) , uxi (., t) i,j−1 28 Ω , t ∈ R. B (., .) (t) thỏa mãn điều kiện Eliptic đều, tức ∃µo > cho ta có: −B (u, u) (t) ≥ µo u (., t) W (Ω) . với hầu khắp t ∈ R. 3.3. Tính nghiệm suy rộng Mục dành cho việc phát biểu chứng minh tính nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. Tính nghiệm suy rộng toán khẳng định qua định lí sau. Định lý 3.3.1. Giả sử cho γ > ∂aij ∂t < µ1 e2γt ,µ1 = const > 0, ∀t ∈ R, ∀i, j ≤ n. Khi toán (3.1) − (3.2) có không nghiệm suy rộng W 1,1 (e−γt , ΩR ). Chứng minh Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2). Gọi u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t). Ta có u ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ). Cho T > 0, b ≤ T , kí hiệu   t u (x, τ ) dτ, −∞ ≤ t ≤ b b η (x, t) =  0, b ≤ t ≤ T Thì η (x, t) ∈ W 1,1 e−γt , ΩT−∞ , η (x, T ) = ηt (x, t) = u (x, t) , −∞ ≤ t ≤ b. 29 Từ định nghĩa nghiệm suy rộng ,ta có: n aij ηxj t , ηxi Ωb−∞ + ηtt , ηt Ωb−∞ = 0. (3.4) i,j=1 Cộng (3.4) với liên hợp phức nó, ta đuợc: n 2Re aij ηxj t , ηxi Ωb−∞ + ηtt , ηt Ωb−∞ =0 i,j=1 b ⇒ 2Re B (ηt , η) (t) dt + ηtt , ηt −∞ = 0. Ωb−∞ (3.5) Mà b b B (ηt , η) (t) dt = − lim B (η, η) (t) − 2Re τ →−∞ −∞ Bt (η, η) (t) dt −∞ n Bt (η, η) (t) = − (aij )t ηxj (., t) , ηxi (., t) Ω i,j=1 Thay vào (3.5) ta đuợc b − lim B (η, η) (τ ) − τ →−∞ Bt (η, η) (t) dt + ηtt , ηt −∞ Ωb−∞ = 0. Mà tính Eliptic B (., .) (t) nên − lim B (η, η) (h) ≥ µo lim h→−∞ ⇒ µo lim h→−∞ η (., h) h→−∞ − Bt (η, η) (t) dt + ηtt , ηt −∞ η (., h) W (Ω) + ηtt , ηt ⇒ µo lim η (., h) W (Ω) ≤− h→−∞ Ωb−∞ n i,j=1 ≤ n i,j=1 ≤ µ1 (aij )t ηxi , ηxj ∂aij ∂t Ωb−∞ n i,j=1 ηxj e2γt + |ηxi |2 e2γt dxdt Ωb−∞ 30 Ωb−∞ ≤0 b −∞ Bt (η, η) (t) dt (aij )t ηxj , ηxi Sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết − W (Ω) b W (Ω) ⇒ µo lim h→−∞ η (., h) Ωb−∞ . < µ1 e2γt ta có: ≤ µ1 (n + 1) ⇒ lim η (., h) h→−∞ b −∞ η (., t) W (Ω) 2γt W (Ω) e dt b ≤ µ1 (n + 1) 2γt W (Ω) e dt. η (., t) −∞ (3.6) Kí hiệu h vi (x, t) = −∞ ≤ t ≤ b. uxi (x, τ ) dτ, t Khi t ηxi (x, t) = uxi (x, τ ) dτ. b = vi (x, b) − vi (x, t) . lim ηxi (x, h) = vi (x, b) . h→−∞ n lim η (., h) h→−∞ ⇒ W (Ω) |vi (x, b)|2 dx. = i=1 Ω b −∞ |vi (x, b)|2 dx ≤ µ1 (n + 1) n i=1 Ω ≤ 2µ1 (n + 1) η (., t) 2γt W (Ω) e dt e2γt |vi (., b)|2 + |vi (x, t)|2 dxdt n i=1 Ωb−∞ n ≤ 2µ1 (n + 1) vi (., b) L2 (Ω) +2µ1 (n n b + 1) e 2γt −∞ i=1 vi (., t) L2 (Ω) dt. i=1 Lấy b ≤ T cho µo − 2µ1 (n + 1) e2γb > suy : µo − 2µ1 (n + 1) e2γb n i=1 vi (., t) n b 2γt ≤ 2µ1 (n + 1) e −∞ Đặt : J (t) = n i=1 vi (., t) L2 (Ω) vi (., t) i=1 L2 (Ω) . b e2γt J (t) dt. ⇒ J (b) ≤ C −∞ Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman ta có: 31 L2 (Ω) dt. (3.7) ln C1 J (t) ≡ −∞, 2γ ⇒ u ≡ hầu khắp nơi với t ≤ 1 2γ ln C kết hợp với tính nghiệm suy rộng toán có điều kiện ban đầu xét chương ta suy : u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) hầu khắp t ∈ R Định lý đuợc chứng minh 3.4. Sự tồn nghiệm suy rộng Trong mục này, ta chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. Nghiệm suy rộng toán (3.1)−(3.2) đánh giá xấp xỉ nghiệm suy rộng toán có điều kiện ban đầu (2.1) − (2.3). Giả sử tồn hàm χ (t) (1, ∞] , (−∞, 0] đạt giá trị [0, 1] [0, 1]. Hơn ta giả sử tất đạo hàm χ (t) bị chặn. Cho h ∈ (−∞, 0]. Đặt f h (x, t) = χ (t − h) f (x, t) cho :  f (x, t) , t ≥ h + h f (x, t) =  0, t ≤ h Hơn f ∈ L2 (e−γt , ΩR ), f h ∈ L2 (e−γt , ΩR ) : fh L2 (e−γt ,ΩR ) ≤C f L2 (e−γt ,ΩR ) số C không phụ thuộc vào f, h. 32 Xét nghiệm suy rộng uh uk toán (2.1) − (2.3) ∞ h k trụ Ω∞ h Ωk với f (x, t) thay f (x, t) f (x, t) tương ứng với h h > k, coi uh ∈ W 1,1 (e−γt , Ω∞ k ) với u (x, t) = 0, ∀k ≤ t ≤ h. Xác định uhk (x, t) = uk (x, t) − uh (x, t) uhk (x, t) nghiệm suy rộng toán (2.1) − (2.3) trụ Ω∞ k với f (x, t) thay f kh (x, t) = f k (x, t) − f h (x, t). Theo (2.18) ta có : ukh W 1,1 (e−γt ,ΩR ) W 1,1 (e−γt ,Ω∞ k ) f h − f k L2 (e−γt ,Ω∞ ) k = ukh ≤C Bởi : L2 (e−γt ,ΩR ) fh − fk = fh − fk h+1 = k h+1 = k h+1 ≤ e−2γt f h − f k e−2γt f Ta có f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) , lim Sau lấy dt L2 (Ω) L2 (Ω) dt e−2γt |χ (t − h) − χ (t − k)| . f k ∞ uh h=0 L2 (e−γt ,Ω∞ k ) h+1 L2 (Ω) dt. e−2γt f k L2 (Ω) dt = 0, h, k → −∞. dãy Cauchy uh hội tụ tới u ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) Tức ta có : uh ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) thỏa mãn: n aij uhxj , ηxi i,j=1 ΩTh + uht , ηt ΩTh = f h, η Với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) , η (x, t) = 0, ΩTh . (3.8) t ≥ T. Do uh (x, t) = 0, f h (x, h) = 0, ∀t ≥ T nên từ (3.8) ta có : n aij uhxj , ηxi i,j=1 ΩT−∞ + uht , ηt 33 ΩT−∞ = f, η ΩT−∞ . (3.9) với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) , η (x, t) = 0, t ≥ T. Cho f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) h → −∞. Từ (3.9) ta thu : n aij uxj , ηxi ΩT−∞ + ut , ηt ΩT−∞ = f, η ΩT−∞ . (3.10) i,j=1 Với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) , η (x, t) = 0, t≥T Tức u (x, t) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2). Và ta chứng minh xong định lý tồn toán (3.1) − (3.2). Định lý phát biểu sau: Định lý 3.4.1. Giả sử cho γ > γ0 = (i) sup (ii) ∂aij ∂t ∂aij ∂t : (x, t) ∈ ΩR , (n+1)µ 2µ0 và: ≤ i, j ≤ n = µ < ∞ ≤ µ1 .e2γt , ∀ (x, t) ∈ ΩR , ≤ i, j ≤ n (iii) f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) Khi tồn hàm u (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) thỏa mãn: u W 1,1 (e−γt ,ΩR ) ≤C f 34 L2 (e−γt ,ΩR ) Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền sóng miền không trơn. Những kết mà đạt trình nghiên cứu là: • Đưa nghiệm suy rộng toán • Chứng minh tồn nghiệm suy rộng • Chứng minh tính nghiệm suy rộng Đặc biệt, việc đưa nghiệm suy rộng , chứng minh tồn tại, tính toán với biên miền không trơn kết Một số vấn đề mở đặt sau kết đạt luận văn: • Tính trơn theo biến thời gian không gian nghiệm suy rộng • Dáng điệu nghiệm suy rộng Do khả thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót. Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn 35 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Hệ phương trình hyperbolic trụ không trơn, NXB Đại học sư phạm . [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm. [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [4] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Quốc gia Hà Nội. [5] Nguyen Manh Hung and Nguyen Thi Lien (2013), On the solvability of the boundary value problem with out initial condition for schrodinger systems in cylineders. Boundary Value Problems, 2013:156 (ISSN: 1686-2770,SCIE) [6] Nguyen Manh Hung, Yao J.C (2009), Cauchy-Neumann problem for second-order hyperbolic equations in cylineders with base containing conical points . Applicable Analysis. Vol.89,No.8,pp.12931311 (SCIE). 36 [...]... và với mỗi τ , 0 < τ < T đẳng thức sau là đúng: n ut , ηt ΩT − uxj , ηxj ΩT = f, η ΩT j=1 với mọi hàm thử η (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩT ), η (x, t) = 0 với t ∈ [τ, T ) 26 Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Trong chương này, tác giả trình bày về tính duy nhất và sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện. .. đây ν là vector pháp tuyến ngoài của mặt SR ta nhận được bài toán sau trong trụ ΩR Xét trong miền trụ ΩR phương trình: L (x, t, ∂) u − utt = f (x, t) trênΩR (3.1) và điều kiện biên N (x, t, ∂) u|SR = 0 (3.2) Bài toán (3.1) − (3.2) được gọi là bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa: Cho f ∈ L2... đẳng thức Gronwall- Belman thông thường, tức là : u (t) ≤ CeL(t−t0 ) , ∀t ∈ [t0 , T ) Đặc biệt nếu ϕ (t) ≡ 0 trên [t0 , T ) thì ta có t u (t) ≤ L u (s) ds ⇒ u (t) ≡ 0, ∀t ∈ [t0 , T ) t0 14 Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban. .. nghiệm suy rộng Mục này dành cho trình bày việc phát biểu và chứng minh tính duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Tính duy nhất của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau 18 Định lý 2.3.1 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, ∂) thoả mãn điều kiện (2.4) và thoả mãn điều kiện sau: sup (x,t)∈Ω∞ h ∂aij ∂t... luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán trong trụ Ω∞ với đáy có biên không trơn và thỏa h mãn điều kiện Lipschitz 2.1 Đặt bài toán Xét toán tử vi phân cấp 2 n L (x, t, ∂) = ∂ ∂xi i,j=1 aij (x, t) ∂ ∂xj , ∞ ở đây aij ≡ aij (x, t)... là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Bài toán ta đang xét là Hyperbolic mạnh, tức là với ξ ∈ Rn \ {0} và (x, t) ∈ Ωh , tồn tại µ1 = const > 0, ta luôn có bất đẳng thức sau: n aij (x, t) ξi ξj ≥ µ1 |ξ|2 (2.4) i,j=1 2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa: Cho f ∈ L2 (Ω) Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1)... Eliptic đều, tức là ∃µo > 0 sao cho ta có: −B (u, u) (t) ≥ µo u (., t) 2 W 1 (Ω) với hầu khắp t ∈ R 3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng Mục này dành cho việc phát biểu và chứng minh tính duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán được khẳng định qua định lí sau Định... của nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn Sự tồn tại của nghiệm suy rộng được khẳng định qua định lí sau: Định lý 2.4.1 Giả sử rằng (i) f ∈ L2 (e−γt , Ω∞ ) h 21 sup (ii) (x,t)∈Ω∞ h ∂aij ∂t ≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0 Khi đó tồn tại số γ0 cố định sao cho với mọi γ > γ0 bài toán (2.1) − (2.3) có nghiệm suy rộng u (x,... đều với x ∈ Ω theo biến t ∈ [h, ∞) Kí hiệu n N (x, t, ∂) = aij (x, t) cos (xi , ν) i,j=1 15 ∂ ∂xj ∞ Ở đây ν là vector pháp tuyến ngoài của mặt Sh ta nhận được bài toán sau trong trụ Ω∞ h Xét trong miền trụ Ω∞ phương trình: h trên Ω∞ h (2.1) trênΩ L (x, t, ∂) u − utt = f (x, t) (2.2) Với điều kiện ban đầu u|t=h = ut |t=h = 0 Và điều kiện biên ∞ N (x, t, ∂) u|Sh = 0 (2.3) Bài toán trên được gọi là bài. .. không trơn Trong chương này, tác giả trình bày về tính duy nhất và sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 3.1 Đặt bài toán Ta vẫn giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2 với biên S = ∂Ω Cho a < b, đặt Ωa,b = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)}, Sa,b = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} . được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp. Ví dụ . . . . . . . . 26 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 27 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 27 3.2. Định nghĩa. 2 ——————————————— DƯƠNG THỊ HẠ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người