Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình schrodinger trong miền nón (LV01229)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ NGỌC HẢI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ NGỌC HẢI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Ngọc Hải Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Ngọc Hải Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Các kí hiệu. . . . . . . . . 4 1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . . 6 1.2.1. Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . 6 1.2.2. Không gian L ∞ (Ω) . . . . . . . 7 1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . 7 1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản. . . . . . . 12 Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón . . . . . . . . . . . 16 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . 16 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 17 2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 19 2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 22 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón. . . . . . . . 27 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . 27 3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 28 3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 28 3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 31 v Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tài liệu tam khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỉ thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, La- grange và Laplace như một công cụ để mô tả các mô hình của vật lý học, cơ học. Đến thế kỉ thứ 19 công trình toán học, đặc biệt là công trình của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ mạnh trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán thực tiễn. Chính vì thế, phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của toán học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản. Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng. Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêng với các ngành toán học khác nhau như: giải tích hàm, lý thuyết hàm, tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hiện đại gồm có: Phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic, phương trình loại hypebolic. Không gian nghiệm đối với 3 loại phương trình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng tuyến tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết với nhau. Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu hỏi nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất 1 không? phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không? Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, nên nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón”. Nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về các kí hiệu, một số không gian hàm, và một số bất đẳng thức cơ bản. Điều này giúp cho bạn đọc thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc tìm hiểu luận văn. Chương 2: Nêu định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, và đánh giá nghiệm của bài toán có điều kiện ban đầu trong trụ có đáy không trơn. Chương 3: Xét bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương tình Schrodinger trong miền nón. Nội dung chính là đưa ra nghiệm suy rộng, chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất, đánh giá nghiệm của bài toán. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón. Kết quả nhận được là các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong 2 miền nón. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp xấp xỉ Galerkin. 6. Đóng góp mới của đề tài Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các kí hiệu R n là một không gian Euclide n− chiều, x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n . Cho hai điểm x, y ∈ R n , x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ). Tích vô hướng được xác định bởi công thức: xy = n  i=1 x i y i , và khoảng cách giữa chúng được xác định bởi công thức |x − y| =  n  i=1 (x i − y i ) 2  1 2 . Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω. Kí hiệu Ω b a = Ω×(a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, a < t < b, 0 ≤ a < b < ∞} là trụ trong R n+1 và mặt xung quanh của nó là: S b a = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}. và Ω ∞ h = Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}; S ∞ h = ∂Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)}. Giả sử rằng ∂Ω là mặt khả vi vô hạn khắp nơi trừ gốc toạ độ, còn trong lân cận nào đó của gốc toạ độ Ω trùng với nón K = {x : x/ |x| ∈ G}, ở đây G là miền trơn trên mặt cầu đơn vị S n−1 . 4 [...]... trên [t0 , T ) thì ta có t u(t) ≤ L u(s)ds ⇒ u(t) ≡ 0, t0 Bất đẳng thức được chứng minh đầy đủ 15 ∀t ∈ [t0 , T ) Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón, ta nhận được kết... 0 không phụ thuộc vào 16 t và u, sao cho − B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) o 1,0 với ∀u ∈ H 2 H 1 (Ω) , (2.1) trong Ω∞ h (2.2) (Ω∞ ) và t ∈ [h, ∞) h Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ Ω∞ h iL (x, t, ∂) u − ut = f (x, t) với điều kiện ban đầu u|t=h = 0, x ∈ Ω, (2.3) và điều kiện biên ∞ u|Sh = 0 (2.4) Bài toán (2.2) − (2.4) được gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger. .. mạnh với t ∈ R, nghĩa là tồn tại một hằng số µ0 > 0 không phụ thuộc vào t 27 và u, sao cho B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) 2 H 1 (Ω) , (3.1) o với ∀u ∈ H 1 (ΩR ) và t ∈ R Bây giờ ta xét bài toán sau trong trụ ΩR iL (x, t, ∂) u − ut = f (x, t) trong ΩR , (3.2) với điều kiện biên u|SR = 0 (3.3) Bài toán (3.2) − (3.3) được gọi là bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger. .. trình Schrodinger trong miền nón Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón, ta nhận được kết quả về tính giải được của bài toán trong các không gian Sobolev 3.1 Đặt bài toán Xét toán tử vi phân cấp 2 n L (x, t, ∂) = ∂ ∂xi i,j=1 aij (x, t) ∂ ∂xj , ở đây aij ≡ aij (x,... ηdxdt ΩT h ΩT h Điều này chứng tỏ u(x, t) là một nghiệm suy rộng của bài toán (2.2) − (2.4) Hơn nữa, từ tính chất của sự hội tụ yếu và (2.14), ta có u 2 H 1,0 (ΩT ) h ≤C f ≤ lim uN N →∞ 2 L2 (ΩT ) + ft Định lý được chứng minh 26 2 H 1,0 (ΩT ) h 2 L2 (ΩT ) Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón Trong chương này luận văn trình bày sự tồn... mật trong H (−γ, Ω∞ ) |η(x, h) = 0 , h (−γ, Ω∞ ) h 2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng Định lý 2.3.1 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, D) thoả mãn điều kiện (2.1) và thoả mãn điều kiện sau: 19 ∂aij ∂t sup (n+1)µ 2µ0 , Khi đó ∀γ > γ0 = o 1,0 suy rộng u ∈ H : (x, t) ∈ Ω∞ , 1 ≤ i, j ≤ n = µ < ∞ h bài toán (2.2) − (2.4) có không quá một nghiệm (−γ, Ω∞ ) h Chứng minh Giả sử bài toán (2.2) − (2.4) có. .. nghĩa 1.2.11 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian o ∞ Rn , n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian H 1,1 Ωb là bao đóng của C0 (Ω) a trong chuẩn của không gian H 1,1 Ωb a o 1,0 • Không gian H Ωb a 11 Định nghĩa 1.2.12 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian o 1,0 n ∞ Ωb là bao đóng của C0 (Ω) a R , n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian H trong chuẩn của không gian H 1,0 Ωb a • Không gian H k,l −γ, Ωb a... tất cả các o hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞; C (Ω) và o o o C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω), ở đó C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact thuộc Ω ∞ Co (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω Cho X là không gian Banach với chuẩn X Kí hiệu L∞ (0, T ; X) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian X, xác... một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không gian Banach Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert 6 với tích vô hướng (f, g) = f (x) g (x)dx Ω 1.2.2 Không gian L∞ (Ω) Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi đó L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn: u L∞ (Ω) = esssup |u (x)| x∈Ω 1.2.3 Không. .. a Ω là không gian hàm véctơ với chuẩn như sau  1 u H 1,0 (Ωb ) a 1 2 |Dα u|2 dx = |α|=0 Ω Không gian H 1,0 Ωb là một không gian Hilbert với tích vô hướng được a sinh bởi chuẩn o • Không gian H k,l Ωb a Định nghĩa 1.2.10 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian o k,l n R , n ≥ 2 Ta định nghĩa không gian H ∞ Ωb là bao đóng của C0 (Ω) a trong chuẩn của không gian H k,l Ωb a o 1,1 • Không gian . giá nghiệm của bài toán có điều kiện ban đầu trong trụ có đáy không trơn. Chương 3: Xét bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương tình Schrodinger trong miền nón. Nội dung. rộng. . . . . . . 22 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình Schrodinger trong miền nón. . . . . . . . 27 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . 27 3.2. Định. 2 ——————————————— LÊ NGỌC HẢI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MIỀN NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người