TOÀN VĂN Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN          LÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG 2. TS. TRẦN MINH THUYẾT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013 Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên R Tập hợp các số thực Z + Tập hợp các số nguyên không âm R + = [0; 1) Tập hợp các số thực không âm  = (0; 1) Q T =   (0; T ), với T > 0 Ký hiệu về đa chỉ số jj =  1 +  2 + ::: +  N Bậc của đa chỉ số  = ( 1 ;  2 ; :::;  N ) 2 Z N + ! =  1 ! 2 !::: N ! x  = x  1 1 x  2 2 :::x  N N Đơn thức bậc jj theo N biến, với x = (x 1 ; x 2 ; :::; x N ) Ký hiệu đạo hàm u (t) = u (x; t) _u (t)  u t (t) = u 0 (t) = @u @t (x; t) •u (t)  u tt (t) = u 00 (t) = @ 2 u @t 2 (x; t) u x (t)  ru (t) = @u @x (x; t) u xx (t)  u (t) = @ 2 u @x 2 (x; t) D k i f = @ k f @x k i D  f = @ jj f @x  1 1 @x  2 2 :::@x  N N , với  = ( 1 ;  2 ; :::;  N ) 2 Z N + 1 Mục lục Danh sách ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14 1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 Các ký hiệu và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé. . . . . . . . . 35 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến li ên kết với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 50 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi  1 ! 0 + . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không thuần nhất dạng chứa tích chập 85 iii Mục lục iv 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K,  . . 106 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Kết luận 118 Danh mục công trình của tác giả 121 Tài liệu tham khảo 122 Chương 1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương tr ình sóng phi tuyến 1.1 Giới thiệu Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán 8 > > > < > > > : u tt  @ @x ( (x; t; u) u x ) = f (x; t; u; u x ; u t ) ; 0 < x < 1; 0 < t < T; u x (0; t) = g 0 (t) ; u (1; t) = g 1 (t); u (x; 0) = ~u 0 (x) ; u t (x; 0) = ~u 1 (x) ; (1.1.1) trong đó ~u 0 ; ~u 1 ; ; f; g 0 ; g 1 là các hàm số cho trước. Chương nầy gồm hai phần. Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần một từ mục 1.1 – 1.4 và phần hai bắt đầu từ mục 1.5 trở đi. Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai sẽ khảo sát bài toán khai triển tiệm cận theo hai tham số bé mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương này. 1.2 Các ký hiệu và giả thiết Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V = fv 2 H 1 : v (1) = 0g: 14 Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 15 Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H 1 , do đó V là không gian Hilbert đối với tích vô hướng của H 1 : Mặt khác trên V các chuẩn v 7! kv x k và v 7! kvk H 1 là tương đương. Bổ đề sau đây cũng được sử dụng trong suốt luận án. Bổ đề 1.2.1. Phép nhúng V ,! C 0 ([0; 1]) là compact và kvk C 0 ([0;1])  kv x k; 8v 2 V: (1.2.1) Chứng minh bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Brézis [3], Lions [28].  Giả sử rằng ~u 0 2 H 2 ; ~u 1 2 H 1 ; g 0 ; g 1 2 C 3 (R + ) ; f 2 C 1 ([0; 1]  R +  R 3 ) và  2 C 2 ([0; 1]  R +  R) ; thỏa điều kiện  (x; t; z)   0 > 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1] R +  R: Dùng phép đổi biến v = u  ' với ' (x; t) = (x  1) g 0 (t) + g 1 (t) thì bài toán (1.1.1) trở thành bài toán 8 > > > < > > > : v tt  @ @x ( (x; t; v + ') v x ) = ~ f (x; t; v; v x ; v t ) ; 0 < x < 1; 0 < t < T; v x (0; t) = v (1; t) = 0; v (x; 0) = ~v 0 (x) ; v t (x; 0) = ~v 1 (x) ; (1.2.2) trong đó 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : ~ f (x; t; v; v x ; v t ) = f (x; t; v + '; v x + ' x ; v t + ' t )  (x  1) g 00 0 (t)  g 00 1 (t) + g 0 (t) D 1  (x; t; v + ') + g 0 (t) (v x + g 0 (t)) D 3  (x; t; v + ') ; ~v 0 (x) = ~u 0 (x)  (x  1) g 0 (0)  g 1 (0) ; ~v 1 (x) = ~u 1 (x)  (x  1) g 0 0 (0)  g 0 1 (0) ; (1.2.3) và g 0 ; g 1 ; ~u 0 ; ~u 1 thỏa điều kiện tương thích g 0 (0) = u x (0; 0) = ~u 0 0 (0) ; ~u 0 (1) = g 1 (0); ~u 0 1 (1) = g 0 1 (0): Ta thiết lập các giả thiết sau: (H 1 ) ~v 0 2 V \H 2 ; ~v 1 2 V; (H 2 )  2 C 2 ([0; 1]  R +  R) ;  (x; t; z)   0 > 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1] R +  R; (H 3 ) ~ f 2 C 1 ([0; 1]  R +  R 3 ) : Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 16 yếu của bài toán (1.2.2): Ta gọi một hàm v 2 L 1 (0; T ; V \ H 2 ) thỏa điều kiện v t 2 L 1 (0; T ; V ) ; v tt 2 L 1 (0; T ; L 2 ) là nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) nếu nó thỏa bài toán biến phân dưới đây 8 < : hv tt (t) ; wi+ h (x; t; v + ') v x ; w x i = h ~ f (x; t; v; v x ; v t ) ; wi; 8w 2 V; v (0) = ~v 0 ; v t (0) = ~v 1 : (1.2.4) Cố định T  > 0; với mỗi M > 0; đặt M  = k'k C 1 ([0;1][0;T  ]) ; ~ K = ~ K (M; ) = kk C 2 ( ~ A M ) ; (1.2.5) trong đó ~ A M = f(x; t; u) 2 [0; 1]  [0; T  ]  R : juj  M + M  g; K 1 (M; ~ f) =    ~ f    C 1 (A  (M)) ; (1.2.6) A  (M) =  (x; t; u; v; w) 2 [0; 1]  [0; T  ]  R 3 : juj; jvj; jwj  M  : Với mỗi T 2 (0; T  ] và M > 0; ta đặt 8 > > > < > > > : W (M; T ) = fv 2 L 1 (0; T ; V \ H 2 ) : v t 2 L 1 (0; T ; V ) và v tt 2 L 2 (Q T ) ; với kvk L 1 (0;T ;V \H 2 ) ; kv t k L 1 (0;T ;V ) ; kv tt k L 2 (Q T )  Mg; W 1 (M; T ) = fv 2 W (M; T ) : v tt 2 L 1 (0; T ; L 2 )g; (1.2.7) trong đó Q T =   (0; T ) : Ngoài ra, với f 2 C k ([0; 1]  R +  R 3 ) ; f = f (x; t; u; v; w) ; ta cũng ký hiệu D 1 f = @f @x ; D 2 f = @f @t ; D 3 f = @f @u ; D 4 f = @f @v ; D 5 f = @f @w ; và D  f = D  1 1 :::D  5 5 f;  = ( 1 ; :::;  5 ) 2 Z 5 + ; jj =  1 + ::: +  5 = k; D (0;:::;0) f = f: Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.4) như sau: Chọn số hạng đầu v 0  ~v 0 : Giả sử v m1 2 W 1 (M; T ) : (1.2.8) Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 17 Tìm v m 2 W 1 (M; T ) (m  1) thỏa bài toán biến phân 8 < : hv 00 m (t) ; wi+ h m (t) rv m (t) ; rwi = hF m (t) ; wi; 8w 2 V; v m (0) = ~v 0 ; v 0 m (0) = ~v 1 ; (1.2.9) trong đó 8 < :  m (t) =  (x; t;  m (x; t)) ;  m (x; t) = v m1 (x; t) + ' (x; t) ; F m (t) = ~ f  x; t; v m1 (t) ; rv m1 (t) ; v 0 m1 (t)  : (1.2.10) Sự tồn tại dãy fv m g như thế sẽ được chứng minh trong Định lý 1.3.1 bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compact. Trong Định lý 1.4.1, ta sẽ chứng minh dãy fv m g hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) trong một không gian thích hợp. 1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính Định lý 1.3.1. Giả sử (H 1 ) (H 3 ) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho, với v 0 = ~v 0 , tồn tại một dãy qui nạp fv m g  W 1 (M; T ) xác định bởi (1.2.9), (1.2.10). Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước. Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở fw j g của V w j (x) = s 2 1 +  2 j cos ( j x) ;  j = (2j  1)  2 ; j 2 N; (1.3.1) gồm các hàm riêng của toán tử Laplace  =  @ 2 @x 2 . Đặt v (k) m (t) = X k j=1 c (k) mj (t) w j ; (1.3.2) trong đó các hệ số c (k) mj thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính 8 < : D •v (k) m (t) ; w j E + D  m (t) rv (k) m (t) ; rw j E = hF m (t) ; w j i; 1  j  k; v (k) m (0) = ~v 0k ; _v (k) m (0) = ~v 1k ; (1.3.3) Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 18 trong đó 8 > < > : ~v 0k = X k j=1  (k) j w j ! ~v 0 mạnh trong V \H 2 ; ~v 1k = X k j=1  (k) j w j ! ~v 1 mạnh trong V: (1.3.4) Hệ (1.3.3) được viết lại •c (k) mi (t) + X k j=1  (m) ij (t) c (k) mj (t) = hF m (t) ; w i i; 1  i  k; (1.3.5) trong đó  (m) ij (t) = h m (t) rw i ; rw j i; 1  i; j  k: Tích phân hai vế phương trình trên hai lần theo t; ta được hệ phương trình tích phân dưới đây c (k) mi (t) =  (k) i +  (k) i t  Z t 0 Z  0 X k j=1  (m) ij (s) c (k) mj (s) dsd + Z t 0 Z  0 hF m (s) ; w i idsd; 1  i  k: (1.3.6) Ta bỏ qua các chỉ số m; k trong các cách viết và lần lượt viết c = (c 1 ; :::; c k ) ;  = ( 1 ; :::;  k ) ;  = ( 1 ; :::;  k ) ; thay cho c (k) m = (c (k) m1 ; :::; c (k) mk );  (k) = ( (k) 1 ; :::;  (k) k );  (k) = ( (k) 1 ; :::;  (k) k ): Khi đó hệ (1.3.6) được đưa về phương trình điểm bất động c = V [c]; (1.3.7) trong đó 8 > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > : c = (c 1 ; :::; c k ) ; V [c] (t) = (V 1 [c] (t) ; :::; V k [c] (t)) ; V i [c] (t) = U i [c] (t) + h i (t) ; U i [c] (t) =  X k j=1 Z t 0 Z  0  ij (s) c j (s) dsd; h i (t) =  i +  i t + Z t 0 Z  0 hF m (s) ; w j idsd;  ij (s) = h m (t) rw i ; rw j i; 1  i; j  k: (1.3.8) Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 19 Chú ý rằng X = C  [0; T ] ; R k  là không gian Banach đối với chuẩn kck X = sup 0tT jc(t)j 1 ; jc(t)j 1 = X k j=1 jc j (t)j; c = (c 1 ; :::; c k ) 2 X: Ta chứng minh phương trình (1.3.7) có điểm bất động trong X: Với mọi c; d 2 X; ta có jV i [c] (t)  V i [d] (t)j = jU i [c] (t)  U i [d] (t)j =     Z t 0 Z  0 P k j=1  ij (s) (c j (s)  d j (s))dsd      Z t 0 Z  0 X k j=1 j ij (s)jjc j (s)  d j (s)jdsd  X k j=1 sup 0sT j ij (s)j Z t 0 Z  0 jc i (s)  d i (s)jdsd  2 ~ K Z t 0 Z  0 jc (s)  d (s)j 1 dsd  2 ~ K t 2 2 kc  dk X : (1.3.9) Từ (1.3.9), ta suy ra jV [c] (t)  V [d] (t)j 1  2k ~ K Z t 0 Z  0 jc (s)  d (s)j 1 dsd  2k ~ K t 2 2 kc  dk X : (1.3.10) Bằng quy nạp ta chứng minh công thức sau đúng với mọi n: jV n [c] (t)  V n [d] (t)j 1   2k ~ Kt 2  n (2n)! kc  dk X : (1.3.11) Thật vậy, với n = 1 thì công thức đúng, do (1.3.10). Giả sử công thức (1.3.11) đúng đến n  1: Từ (1.3.10) và (1.3.11); ta suy ra jV n [c] (t)  V n [d] (t)j 1 =   V V n1 [c] (t)  V V n1 [d] (t)   1 (1.3.12)  2k ~ K Z t 0 Z  0   V n1 [c] (s)  V n1 [d] (s)   1 dsd  2k ~ K  2k ~ Kt 2  n1 [2(n  1)]! kc  dk X Z t 0 Z  0 s 2n2 dsd   2k ~ Kt 2  n (2n)! kc  dk X : Vậy (1.3.11) được chứng minh. [...]... nhất nghiệm Giả sử v1 ; v2 2 W1 (M; T ) là hai nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) Khi đó v = v1 thỏa bài toán biến phân 8 > hv 00 (t) ; wi + h > > < 1 (t) vx (t) ; wx i + h( > > > : v (0) = v 0 (0) = 0; 1 (t) = hF1 (t) 2 v2 (t))rv2 (t) ; wx i F2 (t) ; wi ; 8w 2 V; (1.4.28) 33 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến trong đó 0 ~ Fi (t) = f ( ; t; vi ; rvi ; vi ) ; i... ; vt ) ; 2 (1.5.20) 41 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến trong đó E~ (x; t) = f [h] " f [u0 ] + "2 f1 [h] @ + @x [h] [u0 ] + "1 P [h] hx 1 F~ : " (1.5.21) 1 j j N Khi đó ta có bổ đề sau ~ Bổ đề 1.5.2 Giả sử (H1 ) ~ (H3 ) thỏa Khi đó tồn tại một hằng số K sao cho K k~ kN +1 ; " kE~ kL1 (0;T ;L2 ) " trong đó K là một hằng số chỉ tùy thuộc N; T; f; f1 ; ;... D 2 vm (x; s) dx @ m @x D E (k) 2 Fm (t) ; vm (t) E P (0) r~0k ; v0k + 2 hFm (0) ; v0k i + 7 Ij : v ~ ~ j=3 (1.3.17) Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 21 Ta sẽ đánh giá các tích phân bên phải của (1.3.15) và (1.3.17) như dưới đây Tích phân thứ nhất I1 : Do 0 m (x; t) = @ m @t (x; t) = D2 (x; t; (x; t)) + D3 (x; t; m m (x; t)) (vm _ 1 (x; t) + ' (x; t)) ;... 1.4.1 (i) Từ đây ta suy ra nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) được tính theo công thức u = v+'; với ' (x; t) = (x 1) g0 (t) + g1 (t) : Ta cũng kiểm tra không khó khăn rằng nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) là duy nhất (ii) Trường hợp 1; f = f (x; t; u; ux ; ut ) với f 2 C 1 ([0; 1] R+ R3 ) ; và vài điều kiện biên khác thay cho (1.1.1)2 ; các kết quả đã thu được trong các bài báo [33], [36], [38] (iii) Kết... W1 (M; T ) : 0 Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu u ; 2 Z2 ; 1 + f [u0 ] ; 0 < x < 1; 0 < t < T; j j N; được xác định bởi các bài toán sau: ~ P 8 @ > u00 ( [u0 ] u x ) = F ; 0 < x < 1; 0 < t < T; > > @x > > > < u x (0; t) = u (1; t) = 0; > u (x; 0) = u0 (x; 0) = 0; > > > > > : u 2 W (M; T ) ; 1 37 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến trong đó F ; 2 Z2 ; 1 j j... Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến Hơn nữa, nếu ta đặt 0 ~ (1) RN [ ;~ ] = k~ k " " N N X 1 1@ m D3 [u0 ] m! m=2 X N +1 j j mN Do tính bị chận của các hàm u ; ru ; u0 ; j j ~ (1) từ (1.5.12), (1.5.14), ta suy ra RN [ ;~ ] " vào N; T; ; u ; j j 1 ~ (1) " T (m) [u]~ + RN [ ; h1 ]A : (1.5.14) N trong không gian hàm L1 (0; T ; H 1 ) ; L1 (0;T ;L2 ) C; với C là hằng số. .. (M; T ) và chứng minh của định lý 1.3.1 được hoàn tất 1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Định lý 1.4.1 Giả sử (H1 ) (H3 ) thỏa Khi đó (i) Tồn tại các hằng số dương M và T thỏa (1.3.47), (1.3.49) và (1.3.50) sao cho bài toán (1.2.2) có duy nhất nghiệm yếu v 2 W1 (M; T ) : (ii) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính fvm g xác định bởi (1.2.9), (1.2.10) hội tụ mạnh về nghiệm yếu v của bài toán (1.2.2) trong... "1 "1 [h])hx 1: Với m = 1; ta có bài toán 8 @ > v 00 > 1 @x "1 [h]v1x = E~ (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T; " > < v (0; t) = v1 (1; t) = 0; > 1x > > : v (x; 0) = v 0 (x; 0) = 0: 1 1 (1.5.33) + E~ (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T; " (1.5.34) 44 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 0 Nhân hai vế của (1.5.34)1 với v1 , sau đó lấy tích phân, và từ (1.5.22) ta được... (1.5.37) Áp dụng bổ đề Gronwall vào (1.5.37), ta nhận được 0 kv1 kL1 (0;T ;L2 ) + kv1 kL1 (0;T ;V ) 1 1+ p p 0 T K k~ kN +1 exp T " 1 + 2 2 0 : (1.5.38) 0 Ta sẽ chứng minh sự tồn tại một hằng số CT , độc lập với m và ~ sao cho " 0 kvm kL1 (0;T ;L2 ) + kvm kL1 (0;T ;V ) CT k~ kN +1 ; với k~ k " " 1, với mọi m (1.5.39) 45 Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 0 Nhân... Chương 1 Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến trong đó "1 [u] = (x; t; u) + "1 1 (x; t; u) ; (1.5.2) F"2 (x; t; u; ux ; ut ) = f (x; t; u; ux ; ut ) + "2 f1 (x; t; u; ux ; ut ) : Ta cũng giả sử rằng: ~ (H1 ) u0 2 H 2 ; u1 2 H 1 ; thỏa điều kiện tương thích ~ ~ 0 ~ ~ g0 (0) = ux (0; 0) = u00 (0) ; u0 (1) = g1 (0); u01 (1) = g1 (0): ~ Do Định lý 1.4.1, bài toán (P"1 . NHIÊN          LÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện. trình của tác giả 121 Tài liệu tham khảo 122 Chương 1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương tr ình sóng phi tuyến 1.1. chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần