sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN          LÊ KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh          Người hướng dẫn khoa học 1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG 2. TS. TRẦN MINH THUYẾT Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc giờ tháng năm 2013 Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:  Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh  Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Mở đầu Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên hệ trực tiếp với các bài toán xuất phát từ thực tiễn. Vào giữa thế kỷ XVIII, các công trình của những nhà toán học như L. Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813) và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng cho việc xây dựn g phương trình đạo hàm riêng như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứng dụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học ở nhiều lĩnh vực. Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua lại với sự phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác của toán học. Chính nhu cầu nghiên cứu một cách chặt chẽ các phương trình đạo hàm riêng đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải tất cả các bài toán đó. Còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát. Do các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở nên phức tạp và đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số kỹ thuật tính toán để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm. Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là "Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến". Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác hỗ trợ cho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thể được tìm thấy trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010; J. L. Lions, Quelques 1 méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gau- thier – Villars, Paris, 1969; Lakshmikantham V, Leela S, Differential and In- tegral Inequalities, Vol.1. Academic Press, NewYork, 1969; K. Deimling, Non- linear Functional Analysis, Springer, NewYork, 1985. Tiếp nối các công trình đã có cho ph ươn g trình sóng, luận án tập trung khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộc dạng u tt  @ @x [ (x; t; u; u x ) u x ] = f(x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); trong đó ; f; ~u 0 ; ~u 1 là các hàm số cho trước. Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến tính với một sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về tính compact. Trong đó, công cụ chính là phương pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo - Galerkin. Ph ép giải xấp xỉ này thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toán giá trị biên - ban đầu cho các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn m ột cơ sở phù hợp fe i g trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệm dạng u(x; t) = P 1 i=1 c i (t)e i (x) của bài toán biên ban đầu. Từ đó, dẫn đến bài toán giá trị biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân thường với ẩn hàm là c i (t); bài toán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấp xỉ" u n (x; t) = P n i=1 c ni (t)e i (x) thoả mãn hệ phương trình "cắt ngắn" tương ứng. Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉ fu n g hội tụ về nghiệm u: Quá trình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rất cần đến các kỹ thuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận d ụng các định lý điểm bất động như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ; sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu được các ước lượng sai số hay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwall cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại và d uy nhất nghiệm. Cuối cùng là việc sử dụng các định lý nhúng compact để trích ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán. Nội dung chính của luận án gồm ba chương. Sau đây là phần giới thiệu về các bài toán được nghiên cứu trong các chương. 2 Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích p hi tuyến cho bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến 8 > < > : u tt  @ @x ((x; t; u)u x ) = f(x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; u x (0; t) = g 0 (t); u(1; t) = g 1 (t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); (1) trong đó ~u 0 ; ~u 1 ; ; f; g 0 ; g 1 là các hàm số cho trước. Đây là bài toán được đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần đây. Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như: (x; t; u)  1; hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạng đơn giản, bài toán (1), với các điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như, Ortiz, Định [SIAM J. Math. Anal. 18(1987) 452 - 464], Long, Định [Nonlinear Anal. TMA. 19(7)(1992) 613 – 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279]; Long, Diễm [Nonlinear Anal. TMA. 29(1997) 1217 –1230]; Long, Định, Diễm [J. Math. Anal. Appl. 267(1)(2002) 116 – 134; Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683 - 695; Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358]; Long, Trường [Nonlinear Anal. TMA. 67(3)(2007) 842 – 864; Electron. J. Diff. Eqns., Vol.2007(2007), No. 48, pp. 1 – 19]; Ngọc, Hằng và Long [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong bài báo [Comm. Pure Appl. Math. 10(1957) 331-356] Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổn định của nghiệm cho phương trình u xx  u tt  2u t  u = "u 3 + ; " > 0: (2) Trong [Comm. Pure. Appl. Math. 20(1967) 145 - 205] Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho u xx  u tt  2u t = "f(x; t; u; u x ; u t ); (3) trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong một bài báo của Caughey và Ellison [J. Math. Anal. Appl. 51(1975) 1- 32] đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường hợp trước đó để khảo sát sự tồn tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục. Trong [Demonstratio Math. 36(3)(2003) 683 - 695] Long, Định, Diễm đã nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai triển tiệm cận cho phương 3 trình sóng phi tuyến u tt  u xx = f(x; t; u; u x ; u t ) + "g(x; t; u; u x ; u t ); (4) với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ( u x (0; t)  h 0 u(0; t) = g 0 (t); u x (1; t) + h 1 u(1; t) = g 1 (t): (5) Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u " đến cấp N + 1 theo " cũng được nghiên cứu ứng với g 0 ; g 1 2 C 3 (R + ); f 2 C N+1 ([0; 1]  R +  R 3 ); g 2 C N ([0; 1]  R +  R 3 ) và một số điều kiện khác. Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có dạng tổng quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình nghiên cứu, vì thực tế các tính toán không dễ dàng. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến thường được sử dụng. Kỹ thuật này như sau. Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t) thuộc một không gian hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để có được một nghiệm duy nhất u 2 X của bài toán đối với  = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và f = f(x; t; v; v x ; v t ) = ~ f(x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể giả sử rằng u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán điểm bất động của toán tử A : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lập được một dãy lặp fu m g sao cho fu m g hội tụ về nghiệm của bài toán và ta thu được kết quả tồn tại n ghiệm ; thông thường là xây dựng theo thuật giải lặp u m = A(u m1 ); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u 0 được chọn trước. Trong chương n ày, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán (1) được chứng minh. Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạng tổng quát, nên như đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyến tính và sử dụng kết hợp với phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đánh giá tiên nghiệm. Tiếp theo, khi các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f là  + " 1  1 và f + " 2 f 1 ; ta có bài toán nhiễu sau 8 > > > > < > > > > : u tt  @ @x [((x; t; u) + " 1  1 (x; t; u)) u x ] = f(x; t; u; u x ; u t ) + " 2 f 1 (x; t; u; u x ; u t ); 0 < x < 1; 0 < t < T; u x (0; t) = g 0 (t); u(1; t) = g 1 (t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x): (6) Với tính trơn thích hợp của các hàm ;  1 ; f; f 1 , chương 1 chỉ ra một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (6) theo hai tham số bé " 1 ; " 2 : Toàn bộ kết quả thu đư ợc cho bài toán (6) đã tổng quát hóa kết quả trong [L1], chứa 4 trường hợp  = (u);  1 =  1 (u); g 1 (t) = 0 như là một trường hợp riêng. Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1) 1;3 liên kết với điều kiện biên u(0; t) = u(1; t) = 0; và đã được công bố trong [L3], trong đó khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời thiết lập một khai trển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé " 1 ; :::" p , ứng với các hàm ; f có nhiễu dưới dạng  + P p i=1 " i  i và f + P p i=1 " i f i : Chương 2 tiếp tục sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích phi tuyến để xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có dạng 8 > > > > > > < > > > > > > : u tt  @ @x ((x; t)u x ) + Kjuj p2 u + ju t j q2 u t = F(x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T; (0; t)u x (0; t) = P (t); (1; t)u x (1; t) =  1 ju t (1; t)j 2 u t (1; t); u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); (7) với K; ;  1 ; ; p; q là các hằng số cho trước và ~u 0 ; ~u 1 ; ; F là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà sẽ được chỉ ra sau, ẩn hàm u(x; t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường ( P 00 (t) +  1 P 0 (t) +  2 P (t) = (t)u tt (0; t); 0 < t < T; P (0) = ~ P 0 ; P 0 (0) = ~ P 1 ; (8) trong đó (t) là hàm số cho trước và  1 ;  2 ; ~ P 0 ; ~ P 1 là các h ằng số cho trước, với  2 1  4 2 < 0: Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là: An, Triều [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1 –7]; Bergounioux, Long, Định [Nonlin- ear Anal. TMA. 43(2001) 547–561]; Cavalcanti, cùng các cộng sự [Appl. Math. Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Định, Long [Demonstratio Math. 30(3)(1997) 557 - 572]; Long cùng các cộng sự [Nonlinear Anal. TMA. 19(7)(1992) 613 – 623; 24(8)(1995) 1261 – 1279; Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358; Demonstratio Math. 36(4)(2003) 915 – 938; Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007(2007), No. 48, pp. 1 – 19]; Ngọc cùng các cộng sự [Comm. on Pure and Applied Anal. 12(5)(2013) 2001-2029; Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965; Nonlinear Anal. TMA. 72(3–4)(2010) 1865 – 1885; Acta Math. Viet. 36(2)(2011) 345 – 374] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong công trình của An, Trieu [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991) 1 –7] đã xét bài toán (7) 1;2;4 , và (8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần 5 nhất tại x = 1 : u(1; t) = 0; (9) với (x; t)  1; F = ~u 0 = ~u 1 = ~ P 0 =  1 = 0; (t) = ; và f(u; u t ) = Ku+u t ; với ; K  0;   0 là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này bài toán (7) 1;2;4 , (8) và (9) là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Cũng với (x; t)  1; một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (7) 1;2;4 , (8) liên kết với một điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long, Định [Nonlinear Anal. TMA. 43(2001) 547–561]. Từ (8), biểu diễn P (t) theo  1 ;  2 ; ~ P 0 ; ~ P 1 ; (t); u tt (0; t) và sau đó lấy tích phân từng phần, ta thu được P (t) = g(t) + (t)u(0; t) + R t 0 k (t; s) u (0; s) ds; (10) g(t) =  ~ P 0  (0)~u 0 (0)  e t cos !t + h  ~ P 0  1  ~ P 1 + (  0 (0)+(0) ! )~u 0 (0)  (0) ! ~u 1 (0) i e t sin !t; (11) k (t; s) = 2(   0 (s) + (s)  e (ts) cos(!(t  s)) +   00 (s) + 2 0 (s) + ( 2  ! 2 )(s)  e (ts) sin(!( ts)) ! ; (12) với  = 1 2  1 ; ! = 1 2 p 4 2   2 1 : Khử P (t); ta thay điều kiện b iên (7) 2 bởi (0; t)u x (0; t) = g(t) + (t)u(0; t) + R t 0 k (t; s) u (0; s) ds: (13) Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7) 1;3;4 và (13), dạng bài toán này cũng đã được nhiều tác giả quan tâm n ghiên cứu. Chẳng hạn như, Cav- alcanti cùng các cộng sự [Appl. Math. Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Long, Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng và Long [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin [Chi- nese Ann. Math. Ser. B 14(3)(1993) 335–346; Arab. J. Sci. Eng. 19(2A)(1994) 195–202]; Rivera J. E. M unoz [Math. Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41 – 61; Appl. Math. Lett. 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2002(7)(2002) 17pp] và các tài liệu tham khảo trong đó. Các công trình này đã có được nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn, tính ổn định, khai triển tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm. Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây: Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (7) dưới một số điều kiện cho trước. Trong phần 2, gọi u  1 là nghiệm 6 yếu của bài toán (7) ứng với mỗi  1 > 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm u  1 khi  1 ! 0 + : Phần còn lại chỉ ra được một cách khai triển tiệm cận của nghiệm u  1 theo tham số bé  1 ; đến cấp N; theo nghĩa là có các hàm u 0 ; u 1 ; :::; u N độc lập với  1 sao cho ta có một đánh giá dạng    u  1  P N i=0  i 1 u i    L 1 (0;T ;H 1 ) +    u 0  1  P N i=0  i 1 u 0 i    L 1 (0;T ;L 2 )  C T  (N+1)1 2(1) 1 ; với C T là hằng số độc lập với  1 : Kết quả chương này đã được công bố trong [L2]. Cuối cùng, Chương 3 tập trung sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến để xem xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến 8 > > > > < > > > > : u tt  @ @x ( (x; t) u x ) + f(u; u t ) = F (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;  (0; t) u x (0; t) = g 0 (t) + R t 0 k 0 (t  s) u (0; s) ds;  (1; t) u x (1; t) = g 1 (t) + R t 0 k 1 (t  s) u (1; s) ds; u(x; 0) = ~u 0 (x); u t (x; 0) = ~u 1 (x); (14) trong đó f (u; u t ) = (u) + ju t j q2 u t ; với  > 0; q > 2 là các hằng số cho trước và F; ; ; g 0 ; g 1 ; k 0 ; k 1 ; ~u 0 ; ~u 1 là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện phù hợp. Bài toán thuộc dạng (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu và đã nhận được nhiều sự quan tâm rộng rãi, bài toán được nghiên cứu ở đây có thể xem như là sự tiếp nối của một trong các công trình Cavalcanti, cùng các cộng sự [Appl. Math. Comput. 150(2)(2004) 439–465]; Long, Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358]; Ngọc, Hằng và Long [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965]; Tiehu Qin [Chinese Ann. Math. Ser. B 14 (3)(1993) 335–346; Arab. J. Sci. Eng. 19(2A)(1994) 195– 202]; Rivera J. E. Munoz [Math. Meth. Appl. Sci. 23(2000) 41 – 61; Appl. Math. Lett. 13(2)(2000) 115–121]; Santos [Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2002(7)(2002) 17pp]. Trong [J. Mech. NCSR. Vietnam, 13(2)(1991), 1 –7] An, Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (14) 1;4 liên kết hợp với điều kiện biên u x (0; t) = g 0 (t) + h 0 u (0; t) + R t 0 k 0 (t  s) u (0; s) ds; (15) u (1; t) = 0; (16) với   1; ~u 0 = ~u 1  0; và f (u; u t ) = Ku + u t với K > 0;  > 0 là các hằng số cho trước, g 0 và k 0 là các hàm cho trước. Trong trường h ợp này, bài toán (14) 1;4 ; (15), (16) là một mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. 7 Trong [Nonlinear Anal. TMA. 43(2001) 547–561], Bergounioux, Long và Định đã nghiên cứu bài toán (14) 1;4 ; (15) với điều kiện biên (14) 3 được thay bởi u x (1; t) + K 1 u (1; t) +  1 u t (1; t) = 0; (17) trong đó f (u; u t ) = Ku + u t ; với K > 0;  > 0; K 1 > 0;  1 > 0 là các hằng số cho trước và g 0 ; k 0 là các hàm cho trước. Sau đó, Long, Định và Diễm [Bound. Value Probl. 2005(3)(2005) 337 – 358] đã tổng quát hóa kết quả của Bergounioux bằng việc khảo sát bài toán (14) 1;4 ; (15) và (17) trong trường hợp của f (u; u t ) = Kjuj p2 u + ju t j q2 u t ; trong đó K;  > 0; p; q > 2 và (~u 0 ; ~u 1 ) 2 H 2  H 1 : Gần đây trong [Nonlinear Anal. TMA. 70(11)(2009) 3943 – 3965] Ngọc, Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định và khai triển tiệm cận của bài toán (14) ứng với trường hợp f (u; u t ) =  (u)+u t ; ở đây  là một hằng số cho trước và hàm  2 C 1 (R) thỏa điều kiện R z 0  (s) ds  C 1 z 2 C 0 1 8z 2 R; C 1 ; C 0 1 > 0 là các hằng số cho trước. Nội dung của chương 3 gồm 3 phần: Trong phần 1 chứng minh sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (14). Phần 2 chứng minh tính ổn định của nghiệm đối với (; g 0 ; g 1 ; k 0 ; k 1 ; ; F ): Phần 3 thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo 2 tham số bé K; ; tương ứng với f(u; u t ) = Kjuj p2 u + ju t j q2 u t : Một phần kết quả của Chương 3 đã được gửi đăng trong [L4]. Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công bố trong các bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết quả trên đã được báo cáo trong các hội nghị: - Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008. - Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2 (23-25/12/2005); lần thứ 3 (23- 25/12/2010), tại Hà Nội. - Hội nghị Khoa học lần 5 (30/11/2006), lần 7 (26/11/2010), lần 8 (9/11/2012), ĐH. Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán-Tin học. - Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10 (26/10/2007), lần thứ 11 (21– 23/10/2009), Trường ĐH. Bách khoa Tp. HCM, 26/10/2007, Phân ban Toán Cơ Kỹ thuật. - Hội nghị Khoa học về một số hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện đại và ứng dụng, trường ĐH. Hồng Đức -Thanh Hóa, 25-28/5/2011; 24- 8 [...]... bài toán cụ thể này là toàn cục Kết luận Trong luận án này chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích hàm phi tuyến để khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có liên quan đến các mô hình trong cơ học, vật lý cũng như một số ngành khoa học khác Nội dung chính của luận án tập trung vào ba dạng bài toán Trước hết là dạng bài toán biên cho phương trình sóng với số hạng phi tuyến. .. đó CT là một hằng số chỉ phụ thuộc T , các hàm ui ; i = 0; 1; :::; N; là ~ các nghiệm yếu của các bài toán (P0 ); (Qi ) ; i = 1; :::; N; tương ứng Kết luận chương 2 Như vậy, bằng các phương pháp và kỹ thuật của giải tích phi tuyến, chương 2 đã khảo sát một bài toán biên liên kết với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cho một phương trình sóng cụ thể - một trường hợp riêng của phương trình... bởi các bài toán (P ); j j N: Kết luận chương 3 Tương tự chương 2, bằng việc sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến, chương 3 cũng khảo sát một bài toán biên cho một phương trình sóng cụ thể - một trường hợp riêng của phương trình sóng được xét trong chương 1, với q 2 = (x; t) và f = F (x; t) (u) jut j ut : Vì thế, để thu được các kết quả về tồn tại duy nhất nghiệm, phương pháp và một số kỹ... hàm, bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất Kết quả của chương này nêu ra được điều kiện đủ của sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé "1 ; "2 đến một cấp phụ thuộc vào tính trơn của các số hạng phi tuyến Các. .. vế của phương trình Tiếp theo là hai dạng bài toán biên với điều kiện biên có chứa tích phân cho phương trình sóng cụ thể, đây là các trường hợp riêng của phương trình sóng có dạng tổng quát đã nêu Những kết quả mới thu được trong luận án bao gồm: (1) Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp các phương pháp khác để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu địa phương cho phương trình sóng phi tuyến. .. và đã được công bố trong [L3] Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã được báo cáo trong các hội nghị khoa học chuyên ngành Trên cơ sở các kết quả thu được trong luận án, chúng tôi xin nêu những vấn đề có thể nghiên cứu, phát triển tiếp như sau: - Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến để mở rộng kết quả của luận án cho các bài toán nêu trong các chương 1, 2, 3 với hàm tổng... thời thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé "1 ; :::"p , ứng với các hàm ; f Pp Pp có nhiễu dưới dạng + i=1 "i i và f + i=1 "i fi : Chương 2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường 2.1 Giới thiệu Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán 8 @ > utt... không phụ thuộc u và do các p 2 q 2 tính chất khá tốt của số hạng phi tuyến cụ thể dạng K juj u + jut j ut , đặc biệt là tính trơn và tính đơn điệu, mà ở đây ta không cần thiết phải sử dụng phép xấp xỉ tuyến tính để chỉ ra tính giải được của bài toán Trong các chứng minh, phương pháp xấp xỉ Galerkin liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm kết hợp với các lý luận về tính compact... đó u0 ; u1 ; ; f; g0 ; g1 là các hàm số cho trước Trên cơ sở đó, luận án ~ ~ chỉ ra một khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé "1 ; "2 đến cấp N + 1; cho bài toán với các số hạng phi tuyến (x; t; u); f (x; t; u; ux ; ut ) thay bởi (x; t; u) + "1 1 (x; t; u); f (x; t; u; ux ; ut ) + "2 f (x; t; u; ux ; ut ): (2) Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact để chứng minh sự... nghiệm, luận án thu được kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số 1 ! 0+ , cũng thiết lập được một khai triển và đánh giá tiệm cận của nghiệm theo tham số bé 1 đến cấp 23 N + 1: (3) Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact và các phương pháp khác để để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu toàn cục 8 phương trình sóng phi tuyến cho q 2 @ > utt @x ( (x; t)ux ) + (u) + jut . đề tài nghiên cứu của luận án là " ;Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến& quot;. Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản. KHÁNH LUẬN SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH. nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng