Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến (2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN          NGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC Phản biện độc lập 1: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN Phản biện độc lập 2: TS. ĐẶNG VŨ GIANG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC 2. PGS. TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013 Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond d’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) và Pierre- Simon de Laplace (1749 -1827) như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực, làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán cho phương trình đạo hàm riêng như phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Một trong những bài toán thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho phương trình sóng liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán thực tế, chẳng hạn trong bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đưa ra phương trình dao động của một dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm của nó. Mô hình toán học cho bài toán này, do D’Alembert đề nghị, có dạng ∂ 2 u ∂t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂x 2 , (1) trong đó u ( x, t ) là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng tại điểm x ở thời điểm t, trong đó c 2 là một hằng số dương. Cũng với việc mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn hồi, một phương trình khác dưới đây tổng quát hơn (1) đã được thiết lập bởi Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) vào năm 1876 (xem [22]) ρhu tt = P 0 + Eh 2L Z L 0     ∂u ∂y (y, t)     2 dy ! u xx , (2) 2 Giới thiệu 3 trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h diện tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ là khối lượng riêng và P 0 là lực căng ban đầu. Phương trình này là nới rộng của phương trình sóng cổ điển D’Alembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trong quá trình dao động. Một dạng khác với phương trình (2) để mô tả dao động dao động bé của một sợi dây đàn hồi, Carrier [13], vào năm 1945, cũng thiết lập phương trình dạng u tt =  P 0 + P 1 Z L 0 u 2 (y, t)dy  u xx , (3) trong đó P 0 , P 1 là các hằng số dương có ý nghĩa Cơ học nào đó. Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được sự quan tâm rộng rãi của nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng liên quan đến các phương trình sóng phi tuyến kết hợp với các điều kiện biên khác nhau đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu [1], [2], [4] - [21], [24] - [26], [28] - [82] bởi nhiều tác giả trong những năm gần đây và các tài liệu tham khảo trong đó. Các ví dụ thực tiễn điển hình có nhiều ứng dụng đã được nêu trong nhiều tài liệu chuyên ngành. Chẳng hạn, ba ví dụ về phương trình truyền sóng với biên độ bé được đề cập ở tài liệu [19, p.170, 273, 276]. Một trong các nghiên cứu cổ điển đầu tiên dành riêng cho phương trình Kirchhoff đã được đưa ra bởi Pohozaev [71]. Sau khi công trình của Lions [28] xuất hiện, phương trình (2) đã nhận được nhiều sự chú ý và sự tổng quát hoá nó thành các phương trình trừu tượng đã được đề xuất, ta có thể tìm thấy dạng phương trình này trong nhiều bài báo, chẳng hạn như, Cavalcanti và các cộng sự [14] - [17], Ebihara, Medeiros và Miranda [20], Miranda và các cộng sự [53], Lasiecka và Ong [25], Hosoya, Yamada [21], Larkin [24], Medeiros [49], Menzala [52], Park và các cộng sự [69], [70], Rabello và các cộng sự [73], Santos và các cộng sự [75] - [77], Long và các cộng sự [33] - [44], Ngọc và các cộng sự [60] - [67], Trường và các cộng sự [79] - [82], cùng các tài liệu tham khảo trong đó. Tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học của mô hình Kirchhoff có thể được tìm thấy trong Medeiros, Limaco và Menezes [50], [51]. Ngoài những công trình đó, nhiều bài toán biên với các dạng điều kiện biên cụ thể khác đã và đang được nghiên cứu và hiển nhiên rằng khi xét đến các bài toán cụ thể thì còn nhiều dạng bài toán vẫn là bài toán mở - cần tiếp tục khảo sát. Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói riêng và phương trì nh đạo hàm riêng nói chung và không tồn tại một phương pháp chung nào để giải được tất cả các bài toán đó. Chính vì vậy, đề tài luận án chúng tôi nghiên cứu "Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến" là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Giới thiệu 4 Tiếp nối các kết quả đã có cho phương trình sóng, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu ba bài toán biên cụ thể cho ba dạng phương trình sóng phi tuyến. Các kết quả thu được là mới và sẽ trình bày trong ba chương 1, 2 và 3. Trước hết, xuất phát từ các bài toán cho phương trình Kirchhoff nêu trên, hai dạng phương trình sóng kiểu Kirchhoff sẽ được xét trong Chương 1 và Chương 2. Bằng công cụ chính là phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với phương pháp Galerkin, các kết quả về tồn tại và duy nhất nghiệm, về khai triển tiệm cận của nghiệm được chứng minh. Cụ thể như sau Chương 1 chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài toán 8 > > > > > > < > > > > > > : u tt  ∂ ∂x  µ  x, t, u, k u x + ψ k 2  u x  = f (x, t, u, u x , u t , k u x + ψ k 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T, u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t), u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (4) trong đó ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, ψ, f , g 0 , g 1 là các hàm số cho trước. Ở đây, (4) 2 là điều kiện biên Dirichlet. Khi các hàm µ, f lần lượt được thay bởi các hàm có nhiễu 8 > > > > > > > < > > > > > > > : ¯ µ ε = µ  x, t, u, k u x (t) + ψ(t) k 2  + p ∑ i=1 ε i µ i  x, t, u, k u x (t) + ψ(t) k 2  , ¯ f ε = f (x, t, u, u x , u t , k u x (t) + ψ(t) k 2 ) + p ∑ i=1 ε i f i (x, t, u, u x , u t , k u x (t) + ψ(t) k 2 ), (5) ở đây các hàm ψ, µ, µ i , f , f i cho trước, ta có bài toán nhiễu theo p tham số bé ε = (ε 1 , , ε p ) u tt  ∂ ∂x h ¯ µ ε  x, t, u, k u x (t) + ψ(t) k 2  u x i = ¯ f ε (x, t, u, u x , u t , k u x (t) + ψ(t) k 2 ), (6) 0 < x < 1, 0 < t < T, liên kết với điều kiện biên và điều kiện đầu (4) 2,3 . Với tính trơn thích hợp của các hàm ψ, µ, f , µ i , f i (i = 1, , p), một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (4) 2,3 , (6) theo p tham số bé ε 1 , , ε p được thiết lập. Kết quả thu được ở đây đã công bố trong [T2], ứng với trường hợp riêng ψ = 0 và f = f (x, t, u, u x , u t ), f i = f i (x, t, u, u x , u t ). Đặc biệt, kết quả này cũng chính là sự phát triển các kết quả đã công bố trong [T5] về tồn tại duy nhất nghiệm và khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé, với việc vận dụng các kỹ thuật tính toán trong [T5] cho bài toán (4) ứng với ψ = Giới thiệu 5 0, µ = µ  u, k u x k 2  và điều kiện biên Dirichlet (4) 2 thay bởi điều kiện biên Neumann - Dirichlet u x (0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t). Chương 2 khảo sát bài toán sau đây cho phương trình sóng phi tuyến Kirchhoff - Carrier với điều kiện biên Robin 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : u tt  ∂ ∂x  µ  x, t, u, k u(t) + Φ ( t ) k 2 , k u x (t) + ψ ( t ) k 2  u x  = f  x, t, u, u x , u t , k u(t) + Φ ( t ) k 2 , k u x (t) + ψ ( t ) k 2  , 0 < x < 1, 0 < t < T, u x (0, t)  h 0 u(0, t) = g 0 (t), u x (1, t) + h 1 u(1, t) = g 1 (t), u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (7) trong đó ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, f , g 0 , g 1 , Φ, ψ là các hàm số cho trước, h 0  0, h 1  0 là các hằng số cho trước, với h 0 + h 1 > 0. Với các phương pháp tương tự Chương 1 cùng nhiều kỹ thuật tính toán, kết quả thu được ở Chương 2 cho bài toán (7) tương tự Chương 1 cho bài toán (4). Trường hợp riêng của bài toán (7) ứng với f = f (x, t, u, u x , u t ) đã được công bố trong [T3]. Mặt khác, kết quả này cũng là sự phát triển các kết quả đã công bố trong [T4], kết hợp sự điều chỉnh và cải tiến các kỹ thuật đã sử dụng trong [T4] cho bài toán (7) ứng với Φ = ψ = 0 và điều kiện biên Robin (7) 2 được thay bởi điều kiện biên hỗn hợp Dirichlet - Robin u x (0, t)  h 0 u(0, t) = g 0 (t), u(1, t) = g 1 (t). Cuối cùng, Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm của bài toán biên sau đây cho phương trình sóng phi tuyến 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : u tt  ∂ ∂x ( µ(x, t)u x ) + f (u, u t ) = F(x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T, (1 ) i µ(i, t)u x (i, t) = K i j u(i, t) j p i 2 u(i, t) + λ i j u t (i, t) j q i 2 u t (i, t) + g i (t) + Z t 0 k i (t s) j u(i, s) j r i 2 u(i, s)ds, i = 0, 1, u ( x, 0 ) = ˜ u 0 ( x ) , u t ( x, 0 ) = ˜ u 1 ( x ) , (8) trong đó f (u, u t ) = Kju j p2 u + λju t j q2 u t , với K i  0, λ i > 0, p i , q i , r i > 1 là các hằng số cho trước và ˜ u 0 , ˜ u 1 , µ, F, g 0 , g 1 , k 0 , k 1 là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện thích hợp. Bài toán thuộc dạng này có nhiều ý nghĩa trong Cơ học, Vật lý học và đã được đề Giới thiệu 6 cập trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay. Chẳng hạn như, Cavalcanti cùng các cộng sự [14] - [17]; Long, Định và Diễm [36]; Ngọc, Hằng và Long [60]; Rivera [74]; Santos [75] - [77] và các tài liệu tham khảo trong đó. Trong các công trình này, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính trơn, tính ổn định và khai triển tiệm cận, kể cả tính tắt dần của nghiệm đã được chứng minh. Với µ(x, t)  1 hay µ(x, t)  µ(t), bài toán (8) cũng được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Trong [1], Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều đã khảo sát một trường hợp đặc biệt của bài toán (8) 1,3 liên kết với điều kiện biên 8 > < > : u x (0, t) = g 0 (t) + h 0 u(0, t) + Z t 0 k 0 ( t s ) u ( 0, s ) ds, u(1, t) = 0, (9) với µ(x, t)  1, F = ˜ u 0 = ˜ u 1 = 0, p = q = p i = q i = r i = 2 và f (u, u t ) = K u + λu t , với h 0 , K  0, λ  0 là các hằng số cho trước. Đây là mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Một trường hợp đặc biệt khác của bài toán (8) 1,3 liên kết với điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định (xem [4]) 8 > < > : u x (0, t) = g 0 (t) + h 0 u(0, t) + Z t 0 k 0 ( t s ) u ( 0, s ) ds, u x (1, t) + λ 1 u t (1, t) + K 1 u(1, t) = 0, (10) với µ(x, t)  1, g 1 (t) = k 1 (t) = 0, p = q = p i = q i = r i = 2 và f (u, u t ) = Ku + λu t , với h 0 , K  0, λ  0, λ 1 > 0, K 1  0 là các hằng số cho trước. Và đây chính là mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt tuyến tính. Bài toán (8) cũng được xét trong [T1] với f (u, u t ) tuyến tính, tức là f (u, u t ) = Ku + λu t , với K  0, λ > 0 là các hằng số cho trước. Ở đây, sự tồn tại toàn cục, tính duy nhất, tính trơn của nghiệm yếu và khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số λ, K được chứng minh. Bằng phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng sự hội tụ yếu thông qua các định lý nhúng compact và phương pháp đơn điệu, Chương 3 đã nới rộng kết quả thu được trong [T1] cho f (u, u t ) là phi tuyến, với f (u, u t ) = Kjuj p2 u + λj u t j q2 u t . Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả đã công bố trong [T1]-[T5]. Ngoài ra, phương pháp và kỹ thuật về khai triển tiệm cận cho các bài toán biên phi tuyến được sử dụng trong toàn bộ luận án cũng được công bố trong [T6]. Giới thiệu 7 Nội dung của luận án đã được báo cáo một phần trong các hội nghị:  Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10, Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh, 26/10/2007.  Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, Quy Nhơn, 04-08/08/2008.  Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 11, Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh, 21-23/10/2009.  Hội nghị Khoa học lần thứ 7, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, 26/11/2010.  Hội nghị Toàn quốc lần thứ 3 về Ứng dụng toán học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 23-25/12/2010.  Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 12, Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh, 26-28/10/2011.  Hội nghị Khoa học lần thứ 8, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, 09/11/2012.  Hội nghị Khoa học "Một số hướng nghiên cứu mới trong toán học giải tích và ứng dụng", Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, 24-27/5/2012.  Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/08/2013. Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi tuyến đã được áp dụng. Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêu các khái niệm cùng các ký hiệu và các định lý quan trọng được sử dụng trong toàn bộ luận án. Các không gian hàm t hông dụng Định nghĩa các không gian hàm t hông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giải tích. Luận án sử dụng các không gian hàm sau W m,p ( 0, T ) , L p ( 0, T ) = W 0,p ( 0, T ) , H m ( 0, T ) ; W m,p ( Q T ) , L p ( Q T ) , H m ( Q T ) , , Q T = Ω  ( 0, 1 ) , và có viết lại ký hiệu cho gọn hơn trong trường hợp Ω = (0, 1) : W m,p = W m,p (0, 1), L p = L p (0, 1), H m = W m,2 ( 0, 1 ) , 1  p  ∞, m = 0, 1, Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu Brézis [3], Lions [27]. Giới thiệu 8 Xét riêng không gian L 2 , chuẩn được ký hiệu bởi k  k . Ký hiệu h, i để chỉ tích vô hướng trong L 2 hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Không gian L p ( 0, T; X ) , 1  p  ∞ (Lions, [27], p.7) Cho không gian Banach X với chuẩn k  k X . Ta ký hiệu L p ( 0, T; X ) , 1  p  ∞, để chỉ không gian Banach của các hàm u : ( 0, T ) ! X đo được, sao cho k u k L p ( 0,T;X ) < +∞, trong đó k u k L p ( 0,T;X ) = 8 > > > > < > > > > :  Z T 0 k u ( t ) k p X dt  1/p , nếu 1  p < ∞, esssup 0<t<T k u ( t ) k X , nếu p = ∞. Bổ đề về tính compact của Lions Giả sử X 0 , X, X 1 là ba không gian Banach sao cho X 0 ,! X ,! X 1 với các phép nhúng liên tục. Với 1  p 0 , p 1  ∞ và 0 < T < ∞, ta ký hiệu W =  v 2 L p 0 ( 0, T; X 0 ) : v 0 2 L p 1 ( 0, T; X 1 )  . Khi đó, W là một không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như sau k v k W = k v k L p 0 ( 0,T;X 0 ) +   v 0   L p 1 ( 0,T;X 1 ) . Hiển nhiên W ,! L p 0 ( 0, T; X ) . Hơn thế nữa, nếu X 0 , X 1 phản xạ và phép nhúng X 0 ,! X là compact, ta có tính chất rất hữu ích sau Định lý 1 (Lions [27], p.57 – 59) Giả sử 1 < p 0 , p 1 < ∞, khi đó phép nhúng W ,! L p 0 ( 0, T; X ) là compact. Bổ đề về hội tụ yếu Định lý 2 (Lions [27], p.12) Cho Q là một tập mở, bị chặn của R N và g, g m 2 L q ( Q ) , ( 1 < q < ∞ ) , sao cho (i) k g m k L q ( Q )  C, với mọi m, (ii) g m ! g hầu hết trong Q. Khi đó, g m ! g trong L q ( Q ) yếu. Giới thiệu 9 Định lý liên quan đến lý thuyết phổ Giả sử V và H là hai không gian Hilbert thực sao cho V trù mật trong H và phép nhúng V ,! H là compact. Cho a : V V ! R là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V V và Velliptic. Nghĩa là, a có các tính chất như sau (tương ứng với cách gọi tên tính chất): (i) u 7! a(u, v) tuyến tính từ V vào R, 8v 2 V, và v 7! a(u, v) tuyến tính từ V vào R, 8u 2 V; (ii) a(u, v) = a( v, u), 8u, v 2 V; (iii) 9M > 0 : j a(u, v) j  M k u k V k v k V , 8u, v 2 V; (iv) 9α > 0 : a(v, v)  α k v k 2 V , 8v 2 V. Khi đó, ta có kết quả sau Định lý 3 (Showater, [78], p.87, Theorem 7.7) Tồn tại một cơ sở Hilbert  ˜ w j  của H gồm các hàm riêng ˜ w j tương ứng với giá trị riêng λ j , thỏa mãn (i) 0 < λ 1  λ 2   λ j  , lim j!∞ λ j = ∞, (ii) a  ˜ w j , v  = λ j  ˜ w j , v  , 8v 2 V, 8j = 1, 2, Hơn nữa, dãy ( 1 p λ j ˜ w j ) cũng là một cơ sở Hilbert của V đối với tích vô hướng a ( ,  ) . Bổ đề về lũy t hừa một đa thức Liên quan đến đa chỉ số và đơn thức nhiều biến, ta sử dụng các ký hiệu sau 8 > > > > > < > > > > > : α = (α 1 , , α p ) 2 Z p + , j α j = α 1 + + α p , α! = α 1 ! α p !, α, β 2 Z p + , α  β () α i  β i 8i = 1, , p; ε = (ε 1 , , ε p ) 2 R p , k ε k = q ε 2 1 + + ε 2 p , ε α = ε α 1 1 ε α p p . (11) Khi lấy lũy thừa bậc m của một đa thức theo p biến ε 1 , , ε p , kết quả sau đây rất hữu dụng Bổ đề 4 Cho m, N 2 N và u α 2 R, α 2 Z p + , 1  j α j  N. Khi đó 0 @ ∑ 1 j α j N u α ε α 1 A m = ∑ m j α j mN T ( m ) N [ ~ u ] α ε α , (12) Giới thiệu 10 trong đó các hệ số T ( m ) N [ ~ u ] α phụ thuộc vào họ ~ u = f u α : 1  j α j  N g được xác định bởi T ( m ) N [ ~ u ] α = 8 > > > < > > > : u α , 1  j α j  N, m = 1, ∑ β2A (m) α (N) u αβ T (m1) N [ ~ u ] β , m  α  mN, m  2, (13) trong đó A (m) α (N) =  β 2 Z p + : β  α, 1  j α  β j  N, m 1  j β j  ( m 1 ) N  . (14) Chứng minh của Bổ đề 4 có thể tìm thấy trong [41]. Bổ đề về đánh giá số hạng tổng quát của một dãy số thực Bổ đề 5 Cho dãy số thực f ψ m g thỏa mãn ψ 0 = 0, 0  ψ m  σψ m1 + δ, m = 1, 2, (15) trong đó 0  σ < 1, δ  0 là các hằng số cho trước. Khi đó, ψ m  δ 1 σ , (16) với mọi m  1. Các bất đẳng t hức thông dụng Các bất đẳng thức dưới đây được sử dụng trong suốt luận án 2xy  βx 2 + 1 β y 2 , 8x, y 2 R, 8β > 0; (17) xy  1 p ε p x p + 1 p 0 ε p 0 y p 0 , 8x, y  0, 8ε > 0, 8p > 1, p 0 = p p 1 ; (18)    j x j p2 x  j y j p2 y     ( p 1 ) M p2 j x  y j , 8x, y 2 [ M, M ] , 8M > 0, 8p  2; (19) 8p  2, 9C p > 0 :  j x j p2 x  j y j p2 y  ( x  y )  C p j x  y j p , 8x, y 2 R; (20) ( x + y ) p  2 p1 ( x p + y p ) , 8x, y  0, 8p  1; (21)    j x j p2 x  j y j p2 y     2 2p j x  y j p1 , 8x, y 2 R, 1 < p  2. (22) [...]... tại nghiệm và khai triển tiệm cận của nghiệm theo các tham số bé xuất hiện trong phương trình được thiết lập Vì cả hai vế của phương trình sóng là các số hạng phi tuyến dạng tổng quát đủ trơn nên chúng tôi lựa chọn cách giải bài toán bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính Ý tưởng của phương pháp này như sau: Trước hết, với mỗi hàm v = v( x, t) thuộc vào một không gian hàm thích hợp X, ta có thể cho một số. .. 91 2.1 2.2 Chương 3 Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên phi tuyến 93 3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 94 3.2 Tính trơn của nghiệm 109 3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số K, λ 119 3.4 Một trường hợp tổng quát cho các số hạng phi tuyến của bài toán 134 Kết luận chương 3 ... giả thiết phù hợp để thu được một nghiệm ¯ duy nhất u 2 X của bài toán tương ứng với µ = µ( x, t, v( x, t), kv x (t)k2 ) = µ( x, t) và 2 f = f ( x, t, v, v x , vt , kv x k ) = f¯( x, t) Dĩ nhiên u phụ thuộc vào v, nên có thể giả sử rằng u = A(v) Từ đó, bài toán đang xét có thể được đưa về bài toán điểm bất động của toán tử A : X ! X Dựa vào ý tưởng này, với số hạng đầu u0 được chọn, ta xây dựng dãy... dãy lặp fum g về nghiệm yếu của bài toán (1.1.5) ˜ ˜ Định lý 1.1.5 Cho các hàm u0 , u1 , ψ, µ và f thỏa các giả thiết ( H1 ) ( H4 ) Khi đó, (i) Bài toán (1.1.5) có duy nhất một nghiệm yếu u 2 W1 ( M, T ) , với các hằng số M > 0 và T > 0 được xác định ở Định lý 1.1.3 Hơn nữa, (ii) Dãy qui nạp tuyến tính fum g xác định bởi (1.1.16)-(1.1.17) hội tụ mạnh về u trong không gian W1 ( T ) và ta có đánh giá... công trình của tác giả 139 Tài liệu tham khảo 140 Chương 1 Phương trình sóng kiểu Kirchhoff liên kết với điều kiện biên Dirichlet Chương này khảo sát bài toán biên với điều kiện biên Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff Trước hết, bài toán được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất và sau đó với các điều kiện... - Carrier liên kết với điều kiện biên Robin 51 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 51 2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết 54 2.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 55 2.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính 64 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé 72 Kết luận chương... Kirchhoff liên kết với điều kiện biên Dirichlet 11 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu 11 1.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu và các giả thiết 13 1.1.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 14 1.1.3 Sự hội tụ của lược đồ xấp xỉ tuyến tính 26 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé 33 Kết luận... ˜ ˜1 v0 2 H0 R + R3 R + , 0 ¯ µ 2 C2 ([0, 1] R+ R R+ ) , (1.1.4) ˜ ˜ ˜ ˜ và g0 , g1 , u0 thỏa điều kiện tương thích u0 (0) g0 (0) = u0 (1) g1 (0) = 0, u1 (0) 0 (0) = u (1) 0 (0) = 0 Khi đó, nếu bài toán (1.1.3) giải được và v là nghiệm của ˜1 g0 g1 nó thì bài toán (1.1.1) sẽ nhận nghiệm u = v + ϕ Như vậy, ta chỉ cần giải bài toán (1.1.1) tương ứng với g0 (t) = g1 (t) 0 như sau 8 > u > tt > > > < ∂... u0 được chọn, ta xây dựng dãy lặp fum g, thường là theo công thức um = A(um 1 ), m = 1, 2, , sao cho fum g hội tụ về nghiệm của bài toán, khi đó ta thu được kết quả về tồn tại nghiệm 1.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm yếu Xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa tích phân thuộc dạng dưới đây 8 > u > tt > > > < ∂ µ x, t, u, ku x (t) + ψ(t)k2 u x ∂x = f x, t, u, u x... cận của nghiệm yếu của một bài toán nhiễu ( Pε ) theo p tham số bé ε = (ε1 , , ε p ), có nghĩa là tìm cách xấp xỉ nghiệm uε bởi một đa thức theo p tham số bé ε1 , , ε p : uε ∑ uγ εγ , mà để làm việc này cần phải chỉ ra các hàm uγ , γ 2 ∑ u0 ε p Z+ , jγj u0 εγ γ jγj N N sao cho + uε L∞ (0,T:L2 ) ∑ jγj N uγ εγ jγj N 1 L∞ (0,T:H0 ) CT k ε k N + 1 , (1.2.1) q với kεk = ε2 + + ε2 đủ bé, và CT là hằng số . NHIÊN          NGUYỄN ANH TRIẾT TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01 Phản biện 1:. cứu " ;Tính giải được và các tính chất của nghiệm của một số bài toán biên phi tuyến& quot; là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Giới thiệu 4 Tiếp nối các kết quả đã có cho. u(1, t) = g 1 (t). Cuối cùng, Chương 3 nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm của bài toán biên sau đây cho phương trình sóng phi tuyến 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > : u tt  ∂ ∂x ( µ(x,