Ứng dụng phương pháp newton và phương pháp dây cung giải gần đúng phương trình phi tuyến (

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập, nghiên cứu tại khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2015

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập, nghiên cứu tại khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, được sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc toàn thể các thầy các cô trong khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 – những người đã luôn chăm

lo, dìu dắt chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt em xin cảm ơn thầy giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH,

người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy

giáo PGS.TS KHUẤT VĂN NINH cùng với sự cố gắng của bản thân em

Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

LỜI NÓI ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

1.1.1 Số gần đúng 3

1.1.2 Sai số tuyệt đối 3

1.1.3 Sai số tương đối 3

1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số 4

1.2.1 Làm tròn số 4

1.2.2 Sai số của phép làm tròn số 5

1.3 Cách viết số xấp xỉ 5

1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc 5

1.3.2 Chữ số đáng tin 5

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 6

1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phương trình 6

1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình 6

1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm) 7

1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử 8

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON 9

2.1 Mô tả phương pháp 9

2.2 Mô tả phương pháp bằng hình học 11

2.3 Bậc hội tụ 12

2.4 Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton 12

2.6 Một số ví dụ 14

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG 32

3.1 Mô tả phương pháp 32

3.2 Mô tả phương pháp bằng hình học 34

3.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung 34

3.4 Sai số của phương pháp dây cung 36

3.5 Một số ví dụ 37

KẾT LUẬN……….57 TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, Toán học ngày càng phát triển chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng Nói đến Toán học ứng dụng

không thể không nói đến Giải tích số, đó là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ, bài toán tối ưu

Việc giải các phương trình phi tuyến f(x) = 0, trong nhiều trường hợp

không có công thức giải chính xác nên hầu hết các phương trình cần giải gần đúng Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương trình đó

Phương pháp Newton và Phương pháp dây cung là công cụ hữu hiệu để

giải gần đúng phương trình f(x) = 0 Vì nhờ hai phương pháp này phương trình phi tuyến f(x) = 0 được thay thế bởi phương trình tuyến tính xấp xỉ và

nghiệm gần đúng của phương trình tuyến tính thay thế sẽ hội tụ đến nghiệm của phương trình phi tuyến nói trên

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình về vấn đề:

“Ứng dụng phương pháp Newton và phương pháp dây cung giải gần đúng phương trình phi tuyến”

2 Mục đích nghiên cứu

Hiểu và lắm vững hai phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến, tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho phép

Áp dụng phần mềm Toán học như: Maple và Pascal vào để giải quyết một số bài toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu Phương pháp Newton và phương pháp dây cung giải

phương trình f(x) = 0, trong f là hàm số một biến số thực; ứng dụng các

phương pháp đó giải một số phương trình phi tuyến cụ thể

4 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình phi tuyến tính

Các cách giải và bài tập áp dụng

Giải toán trên Maple và trên Pascal

5 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu và tham khảo tài liệu

Viết thuật toán chạy chương trình

Đưa ra và giải các ví dụ minh họa cho từng phương pháp

phương trình, đạo hàm và vi phân của toán tử

1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

1.1.1 Số gần đúng

Ta nói rằng q là số gần đúng của q* nếu q không sai khác q* nhiều,

hiệu số  = q* - q gọi là sai số thực sự của q

Nếu  > 0 thì q là giá trị gần đúng thiếu của q*

Nếu  < 0 thì q là giá trị gần đúng thừa của q*

1.1.2 Sai số tuyệt đối

Trong tính toán, thường ta không biết số đúng q* mà chỉ biết số gần đúng của nó là q Khi đó ta nói “q xấp xỉ q* ” và viết là “q xấp xỉ q* ” Độ lệch h = q* - q được gọi là sai số thực của q*

Do không biết q* nên ta cũng không biết h Tuy nhiên, ta có thể tìm

được số dương q ≥ 𝑕 sao cho:

q - q q*  q +q

Số q bé nhất mà ta xác định được gọi là sai số tuyệt đối của q

Nếu số xấp xỉ của q* có sai số tuyệt đối là q ta viết:

Ta suy ra q = q 𝛿q (1.1.3)

Do đó (1.1.1) có thể viết thành:

q* = q(1 ± 𝛿 q )

Công thức (1.1.2) và (1.1.3) cho ta hệ thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối

và sai số tương đối

Nếu p – s thì q là số thập phân vô hạn

Làm tròn số q là bỏ đi một số các chữ số bên phải của q để được 𝑞 gọn hơn và gần đúng với số q

Quy tắc làm tròn số như sau: Xét số q ở dạng (1.2.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ đi là  thì :

lại

+ Xét số q ở dạng (1.2.1)

q = ± (q p 10 p +…+ q i 10 i +…+ q p-s 10 p-s ) , chữ số q i ở (1.2.1) của chữ số q là chữ số chắc nếu: q .10 i ( là tham số cho trước)

Tham số  sẽ được chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc

1.3.2 Chữ số đáng tin

Mọi số thập phân q đều có thể viết dưới dạng:

q = ± 𝑞𝑠 10𝑠 (1.3.1)

Trong đó: q s là những số nguyên 0 9

Ví dụ: 34.214 = 3.10 1 + 4.10 0 + 2.10 -1 + 1.10 -2 + 4.10 -3

Tức là q có dạng (1.3.1) với 1 = 3, 0 = 4, -1 = 2, -2 = 1, -3 = 4 là các chữ số q s ở (1.3.1)

Giả sử q là xấp xỉ của q * với sai số tuyệt đối giới hạn là q Ta chú ý là

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ

Cho các số q là xấp xỉ của q* với giá trị tuyệt đối q Có hai cách viết

số xấp xỉ q

Cách 1: Viết kèm sai số theo công thức (1.1.1)

Cách 2: Viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin

Một số viết theo cách viết thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng

1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phương trình

1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình

1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm)

Định nghĩa:

Khảng 𝑎, 𝑏 nào đó được gọi là khoảng phân li nghiệm của phương

trình (1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Để tìm khoảng phân li nghiệm (khoảng tách nghiệm) ta có các định lí sau:

Định lí (1.4.2)

Hàm f(x) liên tục, đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 và f(a).f(b) < 0 thì 𝑎, 𝑏 là

khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)

Định lí (1.4.3)

Hàm f(x) xác định trên 𝑎, 𝑏 có f x không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏 và '( )

f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Mặt khác f(1) < 0, f(2) > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm

thực và phân li trong 1,2

1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử

Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn F: X  Y, xác định trên tập con mở B nào đó của không gian X, ta nói ánh xạ đó khả vi tại x  B nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn L(x)  L (X, Y) sao cho

F(x + h) – F(x) = L(x)h + (x, h) , hY (1.5.1) Trong đó

 (𝑥,𝑕) 𝑕  0 khi 𝑕  0

Một số tính chất:

 Nếu F(x) = y 0 = const thì F x'( )= 0 ( F x'( )là toán tử không)

 Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục L chính là ánh xạ đó

'

( )

L x = L Thật vậy, theo định nghĩa ta có L (x+h) – L(x) = L(h)

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Trong chương này, em trình bày phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng

phương pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đưa ra các bài tập

Điểm x 0 được gọi là điểm Fourier của f(x) nếu f(x 0) f x > 0 ''( )

Ý chủ đạo của phương pháp Newton là tìm cách thay phương trình

(2.1.1), phi tuyến đối với x, bằng một phương trình gần đúng, tuyến tính đối với x

Ta có công thức Taylor

Cho hàm P(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n + 1 tại x 0 và lân cận x 0

Khi đó công thức sau đây gọi là khai triển Taylor bậc n của P(x) tại x 0:

c = x 0 + (x – x 0 ), 0 <  < 1 ( c là số trung gian giữa x và x 0 )

Xét phương trình (2.1.1), giả thiết nó có nghiệm thực  duy nhất ở trong 𝑎, 𝑏 Giả sử hàm f có đạo hàm f x '( )  0 tại x  𝑎, 𝑏 và đạo hàm cấp

hai f x tại x''( )  𝑎, 𝑏 Ta chọn x 0 ∈ 𝑎, 𝑏 rồi viết khai triển Taylor bậc nhất

của f(x) tại x 0:

f(x) = 𝑓 𝑥0 +𝑓′ 𝑥0

1! (x – x 0 ) + 𝑓

′′ 𝑐 2! (x – x 0)2

f(x 0 ) + (x – x 0) f x = 0 '( )0 (2.1.2) Như vậy, ta đã thay phương trình (2.1.1) bằng phương trình (2.1.2) đơn

giản hơn nhiều và (2.1.2) tuyến tính đối với x

Gọi x 1 là nghiệm của (2.1.2) do đó ta có: f(x 0 ) + (x 1 – x 0 ) f x 0 '( )0

 x 1 = 𝑥0 − 𝑓 𝑥0

𝑓′ 𝑥0

Từ x 1 ta tính được bằng cách tương tự ra x 2 ,… và một cách tổng quát khi đã biết x n ta tính x n+1 theo công thức:

Phương trình (2.1.2) dùng để thay cho phương trình (2.1.1) là tuyến

tính đối với x và là phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm (x 0 ,f(x0)) nên phương pháp Newton cũng là phương pháp tuyến tính hóa và là phương pháp tiếp tuyến

Nhìn vào (2.1.3), (2.1.4) ta thấy phương pháp Newton thuộc loại

phương pháp lặp với hàm lặp là:

(x) = x - 𝑓 𝑥

𝑓′ 𝑥

2.2 Mô tả phương pháp bằng hình học

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên 𝑎, 𝑏 có đồ thị là cung AB

+ Nếu f x '( ) f x > 0 thì qua điểm B(b,f(b)) dựng tiếp tuyến với đồ thị ''( )

y = f(x), tiếp tuyến cắt Ox tại x 1

Từ x 1 dựng đường thẳng song song với Oy, đường thẳng này cắt đồ thị

y = f(x) tại K 1 (x 1 ,f(x 1 )) Qua K 1 dựng tiếp tuyến với đồ thị và nó cắt Ox tại x 2

Tiếp tục quá trình này ta được dãy 𝑥𝑛

+ Nếu f x '( ) f x < 0 thì qua điểm A(a,f(a)) dựng tiếp tuyến với đồ thị ''( )

y = f(x) và làm hoàn toàn tương tự như trên

Từ đó có các trường hợp được mô tả như sau:

A

2.4 Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton

Cho r là nghiệm của phương trình f(x) = 0 và x n là giá trị xấp xỉ thứ n của r, ta xác định một số n như sau: n = r - x n

Nếu với n đủ lớn thì chúng ta có mối quan hệ xấp xỉ như sau:

n n

( )'( )

n n

n n

'( ) ''( ) ;

2

1'( ) '( ) ( ) ''( ) ( ) '''( ) ,

21'( ) ''( ) '''( ) ,

1'( ) ''( )

21'( ) ''( ) '''( )

2

n n

f r

 , điều kiện f r > 0 '( )

Vậy bậc hội tụ của phương pháp Newton là p = 2

2.5 Sai số của phương pháp Newton

Ta có:

− 𝑥𝑛 ≤ 𝑓 𝑥𝑛

𝑚

0 < 𝑚 ≥ 𝑓′ 𝑥 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 Ngoài ra ta có công thức đánh giá sai số khác là:

Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.1) là x 5  -1.147757632

Giải ví dụ 2.6.1 trên Maple:

[> fsolve(x^2-exp(x)-1,{x});

{x = -1.147757632}

Đồ thị của phương trình là:

Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.1 với nghiệm:

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

readln;

End

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001

Chon cac xap xi ban dau x0 = -1.1

Cac xap xi tiep theo la:

Vay nghiem xap xi cua (2.6.1) la : -1.147757632

Ví dụ 2.6.2: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ

Giải ví dụ 2.6.2 bằng chương trình Pascal:

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0); writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 9);

readln;

End

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.0001

Chon xap xi ban dau x0 = 1.2

Cac xap xi tiep theo la:

x[1] = 1.169222886

x[2] = 1.16731102

x[3] = 1.167303979

Vay nghiem xap xi cua (2.6.2) la : 1.167303979

Ví dụ 2.6.3: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton với sai

số tuyệt đối không vượt quá 10-5

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

readln;

End

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001

Chon xap xi ban dau x0 = 1

Cac xap xi tiep theo la:

x[1] = 0.6200159522

x[2] = 0.6071206581

x[3] = 0.6071016481

Vay nghiem xap xi cua (2.6.3) la : 0.6071016481

Ví dụ 2.6.4: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

Chon xap xi ban dau x0 = 0.5

Cac xap xi tiep theo la:

Vay nghiem xap xi cua (2.6.4) la : 0.806443932

Ví dụ 2.6.5: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton:

Nghiệm của phương trình (2.6.5) xấp xỉ bằng nghiệm của phương trình (2.6.6).

Việc giải phương trình (2.6.5) ta đi giải phương trình:

Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.6) là x 4  -1.447325834

Nghiệm x 4 -1.447325834 cũng là nghiệm xấp xỉ của phương trình

x 2 – e x - 2 =0

Giải ví dụ 2.6.5 trên Maple:

[>fsolve(-3-x+x^2/2-x^3/6,{x});

Var x0, x1, w, e : real; i: byte;

write(' nhap sai so w = '); readln(w);

write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);

writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');

Kết quả:

Nhap sai so w = 0.00001

Chon xap xi ban dau x0 = -1.1

Cac xap xi tiep theo la:

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG

Trong chương này, em nêu cách giải gần đúng phương trình phi tuyến bằng phương pháp dây cung, đưa ra một số ví dụ minh họa và lập trình trên Maple, trên Pascal Ngoài ra em cũng nêu thêm các bài tập áp dụng

3.1 Mô tả phương pháp

Xét phương trình: f(x) = 0 (3.1.1), giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:

i) Phương trình (3.1.1) có nghiệm  duy nhất trên a b, 

ii) f  C 2a b,  và f ' , f '' không đổi dấu trên a b, 

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên a b,  và f(a).f(b) < 0

Giả sử f(x) có đạo hàm đến cấp hai, liên tục và không giảm tính tổng quát có thể coi f ' (x) > 0 trên a b, , nếu không ta xét phương trình g(x) = 0, với g:= -f

Khi đó đồ thị: y = f(x) nằm phía dưới dây cung AB với A(a, f(a)),

B(b,f(b))

Trường hợp 1:

Ta giả sử f ' (x) < 0, có f(a) > f() = 0 và f '' (a) > 0

 điểm x = b là điểm Fourier

Gọi x n là xấp xỉ thứ n ≥ 0 của nghiệm  (x 0 = b là xấp xỉ ban đầu) Để

tìm hoành độ giao điểm của cung AB n với trục hoành ( với A(a, f(a)), B n (x n , f(x n ))), ta thay cung 

n n

3.2 Mô tả phương pháp bằng hình học

Ý nghĩa hình học của hai dãy  x n được xây dựng bởi (3.1.2) và (3.1.3)

nêu ở trên được mô tả tương ứng bởi H.1 và H.2 dưới đây và chính điều đó

giải thích cho tên gọi của phương pháp

3.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung

Tương tự như phần tốc độ hội tụ của phương pháp Newton, ta có

 = r - x n , trong đó r là nghiệm của phương trình f(x) = 0,

x n là xấp xỉ thứ n của r

Ta có:

1 1

1

n n