Luận văn phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

LỜI CAM ĐOANTác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” là côn

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP

NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

HÀ NỘI, 2015

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẢP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP

NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HÊ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngànhỉ Toán Gỉảỉ Tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ và hướng

dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác

giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà

Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo

dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Phạm Anh Nghĩa

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với

đề tài: “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich

giải hệ phương trình phi tuyến” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả

dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế

thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Phạm Anh Nghĩa

MỤC LỤC

Mở đầu 5

Chương 1 Một sổ kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 7

1.1.1 Không gian metric 7

1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co 18

1.2 Không gian Banach 20

1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach 23

Chương 2 Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich gỉảỉ hệ phương trình phỉ tuyến 29

2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 29

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến 29

2.1.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 37

2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 45

2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình toán tử phi tu y ế n 45

2.2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến trong M” 51

2.3 Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton -Kantorovich giải hệ phương trình phi tu y ế n 56

Chương 3 ứ n g dụng 61

3.1 Giải hệ phương trình phi tu y ế n 61

3.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tu y ế n 61

3.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tu y ế n 64

4

-3.2 Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến 75

Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình

tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề,

nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn

đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình Hệ phương trình thường có

dạng tổng quát A x = f (1), trong đó A là các toán tử đi từ không gian định

chuẩn Mn vào không gian định chuẩn Mn

Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương

trình Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) là một vấn đề được quan

tâm nghiên cứu Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề

xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng,

phương pháp biến phân Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể

chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình Phương pháp

lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng

để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ

thông qua phép lặp đơn Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa phương trình (1) về dạng X = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn

không gian I ” , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của

ánh xạ B Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó Nguyên lí điểm

bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động Phương pháp Newton và

các mở rộng của nó như Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta

cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải

những phương trình tuyến tính Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu

điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ

chứa nghiệm

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp

giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp

đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phỉ

tuyến” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là

phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết hợp của

hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực M và hệ phương

trình phi tuyến trong không gian Mn ứ n g dụng giải một số phương trình và

hệ phương trình cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich

giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

4 Đổi tượng và phạm vỉ nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến

trong không gian Mn ; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình

cụ thể

§ Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và

áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ t h ị

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống lại phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Áp dụng giải

một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

l.l.l.K hông gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Xét một tập hợp X * (|) cùng với một ánh xạ d : X xX —> R

thoả mãn các tiên đề sau đây:

1)d(x,y)>0,(Vx,y€X) , d(x,y) = 0 •» X = y ( tiên đề đồng nhất);

Khi đó tập hợp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric Ánh xạ d

gọi là một metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x,y.

Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề

metric

Không gian metric được kí hiệu là X = (x,d)

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric x = (x ,d ) Một tập con bất kỳ

X0 * <|) của tập hợp X cùng với metric d trên X lập thành một không gian

metric Không gian metric X0 = ( x 0,d) gọi là không gian metric con của

không gian metric đã cho

Ví dụ 1.1.1 Vói hai phần tử bất kỳ x,y e R ta đặt:

Từ tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập hợp số thực E, suy ra hệ thức

(l.l.l) x á c định một metric trên M, không gian tương ứng được ký hiệu là M1

.Ta gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên M

Ví dụ 1.1.2 Với hai phần tử bất kỳ x = (x1,x 2, ,xk),y = (y1,y 2, ,yk) thuộc

không gian véc tơ thực k chiều M* ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt:

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric Để kiểm

tra hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski:

9

-Vì vậy hệ thức (1.1.2) xác định một metric trên không gian Mk

Không gian metric tươg ứng vẫn ký hiệu là M* và thường gọi là không gian

Euclide, còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide

Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu ỉ 2 là tập tất cả các số thực hoặc phức X = {xn}"= sao

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1.4) hội tụ

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric

Với ba dãy số bất kỳ x = {xn}"= ,y = {yn}°°= >z = {z„ n thuộc i 2 và với số p

nguyên dương tuỳ ý ta có:

Ẻ ! x„ - y „ r Ẻ d xn - zn| + |zn - y n |) 2

11=1 J L n = l

Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric.

Vì vậy hệ thức (1.1.4) xác định một metric trê n /2 Không gian metric

tương ứng vẫn ký hiệu là £2 Không gian metric Ể2 đôi khi còn gọi là không

gian Euclide vô hạn chiều

Vì các hàm x(t),y(t) liên tục trên đoạn[a,b], nên hàm số |x (t)-y (t)| cũng liên

tục trên đoạn [a,b] .Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b] Suy

ra hệ thức (1.1.5) xác định một ánh xạ từ C[ b] X C[ b] K.

Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric

Không gian metric tương ứng vẫn kí hiệu là Cj hy

<=>|x(t)-y(t)| = 0 h.k.ntrên [a,b]

<»x(t) = y(t) h.k.n trên [a,b].

Vì tích phân Lebesgue của một hàm số không thay đổi khi ta thay đổi giá tri

của hàm số đó trên tập có độ đo Lebesgue bằng 0, nên trong không gianL[a,b]

ta đồng nhất hai hàm số khi chúng chỉ khác nhau trên một tập có độ đo

Lebesgue bằng 0 Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric

Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6)

thoả mãn các tiên đề 2), 3) về metric Vì vậy ánh xạ (1.1.6) xác định một

metric trên tập b] Không gian tương ứng vẫn ký hiệu là b]

Định nghĩa 1.1.3.Cho không gian metricx = (x,d),dãy điểm Ị x J c X , điểm

x0e X Dãy điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian X khi

Kí hiệu: lim xn = x0 hay xn —>x0(n —>oo)

x -»00

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy {xn} trong không gian X

Ví dụ 1.1.6 Sự hội tụ của một dãy điểm {xn} trong không gian M1 là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides Mk

tương đương với sự hội tụ theo toạ độ

-

12-Thật vậy, giả sử dãy điểm x(n) =Ịx1(n),x^n), ,x[n)j,n = l,2, hội tụ tới điểm

x = (xj,x2, ,xk) trong M* Theo định nghĩa , Vs>0,3n0 eN*,Vn>n0 , ta có:

Các bất đẳng thức (1.1.7) chứng tỏ , với mỗi j = 1 , 2 , ,k dãy số thực ịx ^ Ị hội

tụ tới số thực Xj khi n —>co S ự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo toạ độ

Ngược lại, giả sử dãy điểm x(n) =^x1(n),x(2n), ,x[n)j,n = l,2, hội tụ theo toạ độ

tới điểm x = ( x 15x 2, ,xk) Theo định nghĩa , V e > 0 , với mỗi j = i,2, ,k ,

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Euclide của không gian M*

Ví dụ 1.1.8 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Cj b] tương đương

vói sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b]

Thật vậy, giả sử dãy hàm (xn (t))e hội tụ tới hàm x(t) trong không gian

Cj b] Theo định nghĩa

V e > 0 ,3 n 0 e N * , V n > n 0, d ( x n, x ) = max x n ( t ) - x ( t ) < £

a < t < b I '

-

13-Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (xn (t)) hội tụ đều

tới hàm số x (t) trên đoạn [a>b]

Ngược lại, giả sử hàm số (xn(t))c C [a,b] hội tụ đều tới hàm số x (t) trên đoạn

[a>b], nghĩa là x ( t)e c [ab] Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm

CM]-Ví dụ 1.1.9 Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian metric rời rạc

X = (X,d) tương đương với sự hội tụ của dãy dừng.

Thật vậy, giả sử dãy điểm {xn}c X hội tụ đến điểm * trong không gian X

Theo định nghĩa, V e > 0,£<l,3n0 €N*,Vn>n0,d(xn,x)<£.

Suy ra d(xn,x) = 0,Vn>n0 =>xn =x,V n>n0

Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng

Ngược lại, dãy điểm {x„}c X là dãy dừng, nghĩa là 3n0 e N ,V n>n0, xn =xno

, thì hiển nhiên dãy đó hội tụ theo metric của không gian X

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric X = (x ,d ), a e X , r > 0,

Tập hợp S(a,r) = jx e X :d ( x ,a ) < r Ị được gọi là hình cầu mở tâm a, bán

-

14-Định nghĩa 1.1.5.Cho hai không gian metric X=(X,d1) , Y = (Y,d2)

Ánh xạ f : X -» Y được gọi là liên tục tại điểm x0 e X nếu như Ve > 0,35 > 0,

saochoV x€X thoảm ãn d1(x,x0)< 8 th ì d2(f(x),f(x0))<8

Hay nói cách khác Ánh xạ f :X -» Y gọi là liên tục tại điểm x0 eX , nếu

với lân cận cho trước tuỳ ý u f(x, = s(y0,s ) c Y của điểm y0 = f (x0) trong Y

tìm được lân cận Vx = s(x 0,ỗ)của điểm x0 trong X sao chof(Vx ) c U y

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f :X -» Y gọi là liên tục tại điểm x0 eX n ếu với

mọi dãy điểm Ị x J c X hội tụ tới điểm x0 trong x k é o th e o dãy điểm (f ( x j)

hội tụ tới điểm f (x0) trong Y

Như vây nếu: lim xn = x0 và f(x) là hàm liên tuctai điểm x(l eX thì

limf(xn) = f(x 0)

n^oo

Đ ịnh nghĩa 1.1.7A n h xạ f gọi là liên tục trên tập A c X nếu ánh xạ f liên

tục tại mọi điểm X G A.

Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục

Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ f gọi là liên tục đều trên tập A c X nếu Ve>0,

3 6 > 0 sa o ch o V x,x'eA thoảmãn d^XjX1) < ô thì d2(f(x ),f(x '))<£.

Đ ịnh nghĩa 1.1.9.Một dãy điểm {xn}trong không gian metric x = (x,d)gọi

là một dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu: lim d (x n, x m ) = 0 Nghĩa là Ve > 0,

3n0 e N* sao cho d(xn, xm) < £, Vn, m > n0

( Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy)

Đ ịnh nghĩa 1.1.10.Không gian metric x = (X,d) là một không gian đầy (hay

đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

-

15-Ví dụ l.l.lO K hông gian metric R 1 là không gian đầy, điều đó suy ra từ

tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán

học

Ví dụ 1.1.11 Không gian R k là không gian đầy

không gian EuclideMk Theo định nghĩa dãy cơ bản,

Các bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi j = 1 , 2 , ,k , dãy Ịx:”)) là dãy số

thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:

Đặt x = (x15x2, ,xk) , ta nhận được dãy |x (n)jc M k đã cho hội tụ theo toạ độ

tới X Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide Mk tương đương với sự

hội tụ theo toạ độ, nên dãy cơ bản |x (n)j đã cho hội tụ tới X trong không

gian Mk V ậy không gian Euclide Mk là không gian đầy

Ví dụ 1.1.12 Không gian Cj b] là không gian đầy

Thật vậy, giả sử (xn (t)) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian Cj b] , theo

định nghĩa dãy cơ bản:

V e > 0 ,3 n 0 € N*, Vm,n > n 0,d ^ x ^ ,x ^ m^ = max |x ( t ) - x (t)|< E

Các bất đẳng thức (1.1.10) chứng tỏ , với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn

[a,b] , dãy (xn (t)) là dãy số thực cơ bản , nên phải tồn tại giới hạn

V e > 0,3n0 € N*,Vm,n > n0,d ^ x ^ ,x ^ ) < £ hay <£

=> x ị ^ - x ^ <E,Vm,n>n0,Vj = l,2, ,k (1.1.9)

|xn (t) - xm (t)| < £, Vm,n > n0, v t e [a, b] (1.1.10)

-

16-limxn (t) = x(t),te[a,b]

Ta nhận được hàm số *(í) xác định trên đoạn [a,b] Vì các đẳng thức

(1.1.10) không phụ thuộc t, nên qua giới hạn trong các đẳng thức này khi

n —>co ta được:

| x n ( t ) - X ( t )| < £, V n > n 0 , V t e [ a , b ] ( 1 1 1 1 )

Các bất đẳng thức (1.1.11) chứng tỏ dãy hàm số (xn (t)) c hội tụ đều tới

hàm số x(t) trên đoạn [a,b] nên x(t)e Cj Nhưng sự hội tụ trong không

gian Cj b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn

[a,b] , nên dãy cơ bản (xn (t)) đã cho hội tụ tới x(t) trong không gian Cj hy

Vậy Cj b] là không gian đầy

Ví dụ 1.1.13 Không gian i 2 là không gian đầy.

, theo định nghĩa dãy cơ bản :

Ve > 0 ,3 n 0 e N *,V m ,n > n 0, d ( x ^ , x ^ ) = - x k ^ ) <

e-Suy ra

Các bất đẳng thức (1.1.13) chứng tỏ, với mỗi k cố định tuỳ ý dãy là

dãy số cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn: lim ( ) = xk, k = 1,2,

n-»00 \ /

Do đó dãy x = (xk)€ ^ 2.Các bất đẳng thức (1.1.15) chứng tỏ, dãy cơ bản

Ịx(n'] đã cho hội tụ tới x e l 2 trong không gian i 2

Vì vậy không gian i 2 là không gian đầy.

-

18-1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co

Đ ịnh nghĩa 1.1.11 Cho không gian metric x = (x,d) Ánh xạ A :X -» X

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số a, 0 < a < l sao cho:

d(Axt,A x 2) < ad(x1, x2), Vxp x2 e X

Định lý 1.1.1.( Nguyên lỷ Banach về ánh xạ cò)

Mọi ánh xạ co A từ không gian metric đầy X = (X,d)vào chính nó đều có

một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x’ eX sao

cho Ax* = X*; điểm X* là giới hạn của dãy {xn} được xây dựng bởi công

Giả sử tồn tại điểm y’ e X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì

d(x*, y ) = d(Ax*, Ay ) < ad(x’, y ) ^ (l - a ) d (x \ y*) < 0

2 0

-1.2 Không gian Banach

Đ ịnh nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường p

(p là trường số thực M hoặc trường số phức c ) Khi đó ánh xạ A :X —> Y

được gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện

1)A(xx+ x 2) = Axx+A x2, Vx15x2eX

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉ

thoả mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất.

Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2,( Không gian định chuẩn)

Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường p (p = R hoặc p = c ),

Ánh xạ ||.||:X-»]R xác định trên x(đ ọc là chuẩn), lấy giá trị trên M: ||x|| € M, Vx € X , thoả mãn các điều kiện( tiên đề) sau đây

1) ||x|| >0 , Vx € X ; ||x|| = 0 « X = 0 ( k í hiệu phần tử không là 0 )

2)||a.x|| = |a|.||x||Vx€X , V a eP ,

3 ) ||x + y|| < ||x|| + ||y|| Vx, y e X.

được gọi là một chuẩn trên X , số ||x II gọi là chuẩn của véc tơ X, các tiên đề

1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Không gian tuyến tính X cùng vói chuẩn ||.|| được gọi là một không gian

định chuẩn( hay không gian tuyến tính định chuẩn).

Định lý 1.2.1 Cho X là không gian định chuẩn, đối với hai véc tơ bất kỳ

X, y e X , ta đặt d(x, y) = ||x — y|| Khi đó d là một metric trên X.

Định nghĩa í 2.3.(Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)

21

-Dãy điểm {xn I của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm X e X ,

Định nghĩal.2.4.D ãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là

dãy cơ bản, nếu lim ||x - X 1 = 0

Định nghĩa 1.2.5.( Không gian Banach)

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

( Trong định lý 1.2.1 nếu với metric d(x,y) = ||x-y|| , X là không gian đủ thì

X được gọi là không gian Banach)

Ví dụ 1.2.1.

Xét không gian véc tơ k chiều M* , với mỗi x e K k , x = (x15x2, ,xk)

Suy ra với mỗi 1 < j < k cố định , Ve > 0, 3M =M€N*, Vm,n>Mj

Vậy với mỗi j cố định thì dãy |x (n'Ị là dãy cơ bản trong M nên nó hội tụ

Đặt ||x||= X l xif- Khi đó Mk là không gian Banach

1=1

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được M* là không gian định chuẩn

Kí hiêu X = l i mx(n) , j = l,k , nghĩa làVe> 0, V j = l,k , 3M e N* , Vn > M :

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tuyến tính X và I I , 11 là hai chuẩn cùng

xác định trên X Hai chuẩn II và ||.|| gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương a và p sao cho

1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1, ( Không gian các toán tử)

Cho X, Y là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu l ( x , y ) là tập hợp các toán

tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

2 3

-Với A e L (X ,Y ), đậtII a || = sup || ax ||

H 1

Thì L(X,Y) là không gian định chuẩn

Định lý 1.3.1 Nếu không gian Y là không gian Banach thì không gian

L(X,y) cũng là không gian Banach

Chứng minh.

Giả sử dãy {An} là dãy cơ bản trong không gian L (x , y)

Ta có

||AnX- AmX||= ||(An - Am)x ||^ ||An - Am ! ||x||, Vx e X (1.3.1)

C h o n ê n v ớ ix e X cho trước, ||Anx - A mx|| 0 (n>m -> °0)

Vậy dãy {Anx} là dãy cơ bản trong Y s mà theo giả thiết Y là không gian

Banach, nên dãy đó phải dần đến một giới hạn

Ta đặt Ax = lim Anx và chứng minh A € L(X,Y).

Thật vậy,A là toán tử tuyến tính;

Mặt khác với £> 0 cho trước, ta có thể chọn N đủ lớn để

Nhưng A = An-(A n -A )e L (x ,Y ) và |An - a|| —» 0

Vậy dãy An có giới hạn A € l(x,y) Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.3.2 ( Đạo hàm Fréchet)

Cho X,Y là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ f :X —>Y được gọi là khả vi tại điểm X € Y nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : X -» Y

(tứ c 3 A € L (x ,y )) sao cho:

Toán tử tuyến tính A gọi là đạo hàm cấp một( theo nghĩa Fréchet) của f tại X

( hay gọi là đạo hàm Fréchet của ánh xạ f tại X ) và được ký hiệu là f'(x)

Như vậy df (x ,h ) = [ f '( x ) ] ( h )

Định lý 1.3.2 (Tỉnh duy nhất của đạo hàm Fréchet)

Đạo hàm của một ánh xạ nếu có là duy nhất

Chứng minh.

Cho hai không gian định chuẩnX, Y bất kỳ

Giả sử có hai toán tử tuyến tính liên tục A,B cùng là đạo hàm của f tại X.

2 5

-A (k ) = B ( k ) , V k e X

hay A = B.Định lí được chứng minh

Định nghĩa 1.3.3 Cho X , Y , z là các không gian Banach thực

Cho một ánh xạ f :X —>Y và một ánh xạ g : Y ^ z Tích của hai ánh xạ fv à

g ( hay hợp của hai ánh xạ f , g ) là ánh xạ g o f : X -> z được xác định bởi:

Định lý 1.3.3 Nếu f :X —>Y khả vi Fréchet tại X€X và g :Y -> z khả vi

Fréchettại y = f(x )€ Y thì gof khả vi Fréchet tại X và (g°f)'(x ) = g'(y).f '(x)

Định nghĩa 1.3.4.Cho X1,X2, ,Xn,n > 2 , Y là các không gian định chuẩn và

ánh xạ f -.Xl x X 2x xXtl ->Y Ta cố định x0 = ịx0 1,xị, ,xl}eX1x X 2 x xXn

Với mọi X = (x1,x2, ,xn)€ X 1 xX2 x xXn Xét các ánh xạ f; :Xj ->Y,i = l,2,—

Nếu f; có đạo hàm Fréchet tại điểm xj* thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng

Khi Xl = = = = Y = R thì đạo hàm riêng Fréchet trùng với đạo hàm riêng

thông thường

Ví dụ 1.3.1.Ánh xạ f Vx0 eM đạo hàm Fréchet f ' ( x 0) là đạo hàm

theo nghĩa thông thường của f tại JC0

theo nghĩa thông thường và ta có:

r í \ h \ ^ f ( x , ) ( h ) = I > , h f , 1 w ^ _ í Ổf(Xo) Ổf(Xo) = ^ổ f(xo)"

Vậy A (h) là toán tử tuyến tính đối với h

• Ta chứng minh A(h) là toán tử tuyến tính bị chặn

2 9

-CHƯƠNGII

2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến

• Giả sử X là một không gian Banach Xét phưong trình toán tử phi

tuyến:

Kí hiệu s ( x 0,r) = |x <E X :||x- xn II < rj là hình cầu đóng trong X với tâm x 0 và

bán kính r

Giả sử toán tử phi tuyến A tác động trong X , nghĩa là a(x) € X với X e X

Ta nói rằng toán tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz nếu :

||A (x )-A (y )||< q ||x -y ||, x , y e X , trong đó q = const > 0.

Nếu giả thiết thêm rằng q < 1 thì ta nói toán tử A là toán tử co trong X

Định lý 2.1.1, ( Nguyên lỷ Banach về ánh xạ cò).

Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tử co Khi đó phương trình

(2.1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giói hạn của dãy lặp đơn

trong đó x0 là phần tử tuỳ ý trong X Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định

bởi một trong các công thức:

3 0

-Định lý 2.1.2 Giả sử toán tử A tác động trong hình cầu đóng s = s(x 0,r) và

là toán tử co trong hình cầu đó, khi đó phương trình (2.1.1) có một nghiệm

duy nhất trong s , nghiệm đó là giới hạn của dãy (2.1.2), tốc độ hội tụ được

xác lập bởi các công thức (2.1.3), (2.1.4)

( Định lý này suy ra từ định lý 2.1.1 bởi vì hình cầu đóng s(x0,r) trong không

gian Banach X là một không gian metric đ ủ )

Định lý 2.1.3 Giả sử A là toán tử co trong s(x0,r) và ||A(x0) - x 0||< ( l-q ) r khi

đó các kết luận của định lý 2.1.2 vẫn đúng

Từ giả thiết của định lý này suy ra A là toán tử tác động trong s .

Trong một số trường hợp phương trình (2.1.1) được viết dưới dạng

Trong khi xây dựng dãy lặp này , ta giả thiết rằng với mỗi y* cố định thì

phương trình X = F ( x , y * ) có một nghiệm duy nhất và có thể tìm được

Định lý 2.1.4 Giả sử X là không gian Banach, toán tử F ( x , y ) tác động từ

Khi đó phương trình (2.1.6) có một nghiệm duy nhất và nghiệm này là giới

hạn của dãy (2.1.7) Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức:

x = f ( x, x ),

trong đó toán tử phi tuyến F xác định trong X X X

Khi đó những xấp xỉ liên tiếp được viết như sau:

31

-Giả sử X , y e X , khi đó:

||A(x)-A(y)|| = ||F(x,x)-F(y,y)||<(a + ß)||x-y||

Như vậy a ( x ) là toán tử co Cho nên theo định lý 2.1.1 phương trình (2.1.7)

có nghiệm duy nhất Ta có

Giả sử ta đã tách được nghiệm x’ e [a,b] = [a - r , a + r ] , khi đó với x0 bất kỳ

được chọn làm xấp xỉ ban đầu, ta xây dựng được dãy {xn} nhờ hệ thức

Neu (p(x)liên tục và dãy {xn} hội tụ thì X* = lim xn là nghiệm của phương

trình (2.10) và do đó là nghiệm của phương trình f (x) = 0

Việc chứng minh sự hội tụ của dãy {xn} dựa vào định lý sau

Định lý 2.1.5 Giả sử hàm ộ?(x)thoả mãn các điều kiện sau:

1 ) | ( p ( x ' ) - ( p ( x " ) | < q | x ' - x " | , V x ' , x " € [ a - r , a + r ] , 0 < q < l

( t ứ c x ' , x " e S = { x : | x - a | < r } )

Khi đó với mỗi x0 €[a-r,a+ r], dãy {xn} xây dựng bởi hệ thức (2.1.11) hội tụ

đến nghiệm JC* của phương trình (2.1.9) và tốc độ hội tụ cho bởi

3)Phương pháp lặp có tính tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước

tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy {xn| vẫn hội tụ đến X* nếu

x k € [ a - r , a + r]

V í dụ 2.1.1.Giải phương trình f (x) = X3 +3x2 -1 = 0 bằng phương pháp lặp đơn

vói độ chính xác 8 = -.10“4

2

Suy ra cp(x) thoả mãn các điều kiện của định lý hội tụ.

Bây giờ ta tìm số bước lặp để đạt được độ chính xác đã cho

2.1.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến

Cho hệ phương trình phi tuyến:

f1( x 1,x 1, ,x n) = 0 f2( x 1,x 1, ,x n) = 0

fn( x 1,x 1, ,x n) = 0

Ở đây f.(i = l,n) và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả

thiết liên tục và giới nội

Phương pháp lặp đơn áp dụng đối với hệ đã được dưa về dạng sau đây:

Xx =cp1(x 1,x 1, , x n)

x 2 = < P 2 ( X l , X l , - , X n )

x„ =9n (x 1,x 1, ,xn)Nếu kí hiệu:

x = (x1)xỉ , , x J e K 1,

3 8

-<p(x) = (<Pi (x),cp2 (x), ,cpn (x)) G w

Thì hệ (2.1.16) được đưa về dạng véctơ như sau:

Giả sử x(0) = ( x r v / v ^ ) là xấp xỉ đầu tiên đã chọn trước, còn các xấp xỉ

tiếp theo xây dựng theo công thức

Nếu các dãy véc tơ x(m) = Ịx1 (m),x(m,, ,xJ;m,)hội tụ đến véc tơ X * = ), còn các hàm <Pi(x ) liên tục, thì véc tơ x* là nghiệm của (2.1.17).

Để có được điều kiện hội tụ của phương pháp lặp, ta đưa vào trong không

gian véc tơ n - chiều một chuẩn nào đó ( chẳng hạn chuẩn cầu)

K í hiệu : s = s (x <0\ r ) = |x e R° / ||x - x (0) II < r | là h ìn h cầu đ ó n g tâm Xo s b á n k ín h r