Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 91 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
91
Dung lượng
685,95 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI, 2015 - 1 - LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phạm Anh Nghĩa - 2 - LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh. Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phạm Anh Nghĩa - 3 - MỤC LỤC Mở đầu………………………………………… ………………………… Chương Một số kiến thức chuẩn bị………………… …………… 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co……….……… … . 7 1.1.1 Không gian metric……………………………………… 7 1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co…………………………… ……… 18 1.2 Không gian Banach…………………… …………………… 20 1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach…… …………… 23 Chương Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến……………… .… ………………… 29 2.1.Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến…… … 29 2.1.1. Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến…… … 29 2.1.2. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến… … 37 2.2. Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến………………………………………… ………………………… 45 2.2.1. Phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình toán tử phi tuyến ……………………………………… ……………………… 45 2.2.2. Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến trong n ……………………………… ………………………… 51 2.3. Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến ………………… ………… 56 Chương Ứng dụng………………………………………… ……… 61 3.1. Giải hệ phương trình phi tuyến ……………………………… 61 3.1.1. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến …… . 61 3.1.2. Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến …………………………………………………………………… 64 - 4 - 3.2. Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến.…… 75 Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89 - 5 - MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình. Hệ phương trình thường có dạng tổng quát A.x f (1), trong đó A là các toán tử đi từ không gian định chuẩn n vào không gian định chuẩn n Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình . Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, phương pháp biến phân ….Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép lặp đơn. Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa phương trình (1) về dạng x = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn không gian n , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và các mở rộng của nó như Newton – Raphson, Newton – Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm. - 6 - Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực hiện luận văn của mình. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực và hệ phương trình phi tuyến trong không gian n Ứng dụng giải một số phương trình và hệ phương trình cụ thể. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến. - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến trong không gian n ; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình cụ thể. Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ thị . Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống lại phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. Áp dụng giải một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể. - 7 - CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 1.1.1.Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập hợp X cùng với một ánh xạ d : X X thoả mãn các tiên đề sau đây: 1) d x, y 0,(x, y X) , d x, y x y ( tiên đề đồng nhất); 2) d x, y d y, x ,(x, y X) ( tiên đề đối xứng); 3) d x, y d x, z d z, y , x, y, z X ( tiên đề tam giác). Khi đó tập hợp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric. Ánh xạ d gọi là một metric trên X , số d x, y gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x, y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là X X,d . Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric X X,d Một tập con bất kỳ X0 của tập hợp X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric X X , d gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳ x,y ∈ℝ ta đặt: d x, y x y (1.1.1) Từ tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập hợp số thực ℝ, suy ra hệ thức (1.1.1)xác định một metric trên , không gian tương ứng được ký hiệu là 1 Ta gọi metric (1.1.1) là metric tự nhiên trên - 8 - Ví dụ 1.1.2. Với hai phần tử bất kỳ x x1 , x , , x k , y y1 , y2 , , yk thuộc không gian véc tơ thực k chiều k ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt: k d x, y x j y j (1.1.2) j1 Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric. Để kiểm tra hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski: Với 2k số thực a j ,bj , j 1, 2, , k ta có k k Thật vậy k a 2j a jb j j1 j1 b j1 j (1.1.3) k k k k k k k k 2 a i b j a jbi a i2 b2j 2 a i bi a jb j a 2j bi2 i 1 j1 i 1 j1 i 1 j1 i1 j1 k k k a 2j b 2j a j b j j1 j1 j1 Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.3). Với 3 véc tơ bất kỳ x x1 , x , , x k , y y1 , y2 , , yk , z z1 , z2 , , zk thuộc k ta có : k k d x, y x j y j x j z j z j y j j1 k j1 k k j1 j1 x j z j 2 x j z j z j y j z j y j j1 = d2 x, z 2d x, z d z, y d2 z, y d x, z d z, y d x, y d x, z d z, y Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric. - 75 - 3.2 Lập trình Maple giải số hệ phương trình Bài tập 1. Giải hệ phương trình sau trên miền D 5;5 5;5 y xy2 6x 2 1 x y 5x Lời giải: Trước tiên ta dùng Maple vẽ đồ thị hai hàm số F(x, y) y xy2 6x2 và G(x, y) x2 y2 5x trong miền D 5;5 5;5 trên cùng một hệ trục toạ độ như hình 3.1. >with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > with(plottools); [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point, polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] >implicitplot({y+x*y^2-6*x^2=0,1+x^2*y^2-5*x^2=0},x=-5 5,y=-5 5); - 76 - Hình 3.1 T T Từ đồ thị của hàm số hình 3.1, chọn xấp xỉ ban đầu u x, y 1, 2;1,5 Ta có : f1 x x f ' x f x x f1 x y y 12x 2xy f x 2xy 10x 2x y y 11,16 5,32 4, 224 5,184 Với u như trên, ta có f ' u - 77 - det f ' u 11,16 5,184 5,32.(4, 224) 35,38176 1 f u 5,184 5,32 35,38176 4, 224 11,16 2, 952 1,5344 Ta lại có f u Áp dụng thuật toán Newton – Kantorovich với công thức 1 u n 1 u n f u n f u n Tìm nghiệm u1 Ta có: 1 u1 u f ' u f u 1, 5,184 5,32 2,952 1, 7,14016 1 u1 1,8 35,38176 4, 224 11,16 1,5344 1,8 35,38176 4, 65465 1, 6, 20177 0, 9982 u1 1,8 0,13155 1,93155 Tìm nghiệm u . Ta có: 8, 2475 4,8561 ' f ' u1 det f u1 19, 443 2, 5336 3,8492 1 f ' u1 3,8492 4,8561 19, 443 2,5336 8, 2475 1 0,3227 , do u u1 f ' u1 f u1 0, 2645 Lại có : f u1 0,9982 3,8492 4,8561 0,3227 1, 00037 u2 1,93155 19, 443 2,5336 8, 2475 0, 2645 2, 00169 Tìm nghiệm u . Ta có: 7,9977 5, 0048 f u2 det f ' u 22, 0956 1,9872 4, 0063 1 f u 4, 0063 5, 0048 22, 0956 1,9872 7, 9977 - 78 - 1 0, 0055 , do u u f u f u 0, 006 Lại có : f u 1, 00037 4, 0063 5, 0048 0, 0055 1, 00001 u3 2, 00169 22, 0956 1,9872 7, 9977 0, 006 1, 99999 1, 00001 1, 99999 Lặp lại quá trình trên ta có : u x 1, 00001 y 1, 99999 Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình đã cho là: Bài tập 2. Giải hệ phương trình sau trên miền D 0;2 0;1 : cos x 0, 4y x y2 1, y2 1,5x 1 0,36 Lời giải: F x, y cos x 0, 4y x y 1, Dùng Maple vẽ đồ thị 2 hàm số y2 G x, y 1,5x 1 0,36 trong miền D 0;2 0;1 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình 3.2 > with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > with(plottools); - 79 - [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point, polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] >implicitplot({cos(x^2+0.4*y)+x^2+y^2-1.6=0,1.5*x^2-y^2/0.361=0},x=0 2,y=0 1,numpoints=1000); Hình 3.2 Nhìn vào đồ thị hình 3.2 ta chọn xấp xỉ ban đầu - 80 - T T u x, y 1, 04;0, 47 f1 x x Ta có f ' u f x x f1 x y f x y 2x sin x 0, 4y = 3x 0, 4sin x 0, 4y 2y y 0,18 0, 9364 0,55801 3,12 2, 61111 T Với u 1,04;0, 47 f ' u det f ' u 1,98549; 0, 00084 0,55801 1, 04 0, 0136 1, 03864 x 1, 04 1,98549 0, 00879 2, 61111 u1 0, 09364 0,00084 y 0, 47 0, 47 0, 00173 0, 47173 0, 00879 1,98549 3,12 0, 09483 0,56172 f u1 3,11592 2, 62072 det f u1 1,99889 0, 00000 x 1, 03864 1,98549 0, 00002 u2 0, 09483 y 0, 47173 1,98549 3,11592 0,56172 1, 03864 0, 00000 1, 03864 2, 62072 0, 00000 0, 47173 0, 00000 0, 47173 0, 00002 F x, y 0, 000003 G x, y 0,00002 Qua 2 bước lặp ta có : x 1, 03864 y 0, 47173 Vậy nghiệm đúng của hệ phương trình đã cho trong miền D là: - 81 - F1 (x, y, z) x y2 z Bài tập 3. Giải hệ phương trình F2 (x, y, z) x 2y 3z F (x, y, z) x 2y z Lời giải: Trước tiên ta dùng phần mềm Maple để vẽ đồ thị của 3 hàm số F1(x, y,z) x2 y2 z2 , F2 (x, y,z) x2 2y2 3z , F3 (x, y,z) x2 2y z trên cùng một trục toạ độ như hình 3.3 > with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] > with(plottools); [arc, arrow, circle, cone, cuboid, curve, cutin, cutout, cylinder, disk, dodecahedron, ellipse, ellipticArc, hemisphere, hexahedron, hyperbola, icosahedron, line, octahedron, pieslice, point, polygon, rectangle, rotate, scale, semitorus, sphere, stellate, tetrahedron, torus, transform, translate] > impliicitplot3d ({x^2+y^2+z^2=1,x^2+2*y^2-3*z=0,x^2-2*y+z=0},x=3 3,y=-3 3,z=-3 3); - 82 - Hình 3.3 x y z 1 x 2x 2y 2z Đặt u y ,f x x 2y 3z f u 2x 4y 3 z 2x 2 x 2y z Ta có thể chọn điểm xấp xỉ ban đầu là : u0 x, y, z 0,5;0,5;0,5 . Khi đó ta có: 0,52 0,52 0,52 1 0, 25 f u 0,52 2.0,52 3.0,5 0, 75 0,52 2.0,5 0,5 0, 25 - 83 - 1 1 f ' u 3 2 Ta có thể tính định thức và ma trận nghịch đảo nhờ phần mềm Maple như sau: > J : matrix 3,3, 1,1,1,1, 2, 3,1, 2,1 ; 1 1 J : 1 3 1 2 det J 0 ; -12 NI : inverse J 0 ; 1 3 NI : 3 1 12 1 3 12 1 3 1 f ' x Vậy 1 1 3 12 3 12 Ta tính nghiệm x1 như sau: F : matrix 3,1, 0, 25; 0, 75; 0, 25 ; 0, 25 F : 0, 75 0, 25 T1: multiply N1, F ; - 84 - 0,3750000000 T 1: 0,1250000000 X : matrix 3,1, 0.5, 0.5, 0.5 ; 0.5 X : 0.5 0.5 X T 1; X T1 X1: evalm % ; 0,8750000000 X 1: 0,5 0,3750000000 1 0,5 u1 0,5 0,5 1 3 12 0, 25 0,875 0, 75 0,5 0, 25 0,375 12 0,8752 0,52 0,3752 1 0,15625 f u1 0,8752 2.0,52 3.0,375 0,140625 0,8752 2.0,5 0,375 0,140625 1, 75 0, 75 f u1 1, 75 3 1, 75 2 J 1: matrix 3,3, 1.75,1,0.75,1, 75, 2, 3,1.75, 2,1 ; 1.75 0.75 J 1: 1.75 3 1.75 2 det ( J 1); - 85 - -19.2500 N : inverse J1 ; 0.2337662338 0.2077922078 0.1298701299 N : 0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909 0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091 0.2337662338 0.2077922078 0.1298701299 Vậy f ' u1 0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909 0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091 1 F1: matrix 3,1, 0.15625, 0.140625, 0.140625 ; 0.15625 F1: 0.140625 0.140625 T1: multiply N 2, F1 ; 0.08360389612 T 1: 0.00568181817 0.00568181818 X T 1; X T1 X : evalm % ; 0.7913961039 X : 0.4943181818 0.3693181818 1 Ta có nghiệm: u u1 f u1 f u1 ; 0.2337662338 0,15625 0,875 0.2077922078 0.1298701299 u 0,5 0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909 0,140625 0,375 0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091 0,140625 - 86 - 0, 7913961039 0, 4943181818 0, 3693181818 0, 79139610392 0, 49431818182 0,36931818182 1 0, 0070541775 f u 0, 79139610392 2.0, 49431818182 3.0,3693181818 0, 0070541775 0, 79139610392 2.0, 4943181818 0,3693181818 0, 0069896114 1,5827922078 0, 9886363636 0, 7386363636 f ' u 1, 5827922078 1, 9772727272 3 1,5827922078 J : matrix (3, 3, [1.5827922078, 0.9886363636, 0.7386363636, 1.5827922078,1.9772727272, 3,1.5827922078, 2,1]); 1.5827922078 0.9886363636 0.7386363636 J : 1.5827922078 1.9772727272 3 1.5827922078 2 det J 2 ; 17.27622601 N 3: inverse J 2 ; 0.2562130540 0.2328475716 0.1427342459 N : 0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275 0.3643849228 0, 2738092420 0.09057568077 Ta có: 0.2562130540 0.2328475716 0.1427342459 f u 0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275 0.3643849228 0, 2738092420 0.09057568077 1 F : matrix 3,1, 0.0070541775, 0.0070541775, 0.0069896114 ; 0.0070541775 F : 0.0070541775 0.069896114 T : multiply N 3, F 2 ; - 87 - 0.004440250490 T : 0.000022115298 0.0000058481191 X T 2; X T 2 X 3: evalm % ; 0.7869558534 X : 0.4942960665 0.3693123337 1 Theo công thức : u u f u f u , ta có 0.2562130540 0.0070541775 0.7913961039 0.2328475716 0.1427342459 u 0.4943181818 0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275 0.0070541775 0.3693181818 0.3643849228 0.2738092420 0.09057568077 0.069896114 0.7869558534 0.4942960665 0.3693123337 Vậy sau 3 bước lặp ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x 0.7869558534 y 0.4942960665 z 0.3693123337 - 88 - KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày một số nội dung sau: Trong chương 1trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm một khái niệm của Giải tích hàm như không gian metric và nguyên lí ánh xạ co, không gian định chuẩn và phép tính vi phân trong không gian định chuẩn. Một số ví dụ về các khái niệm đó. Trong chương 2 trình bày: - Cơ sở lí thuyết của phương pháp lặp và phương pháp Newton, Newton – Kantorovich; - Phương pháp lặp để giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến; - Phương pháp Newton để giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến ứng dụng vào giải một số phương trình cụ thể; - Áp dụng các phương pháp trên để giải một số phương trình và hệ phương trình cụ thể; Trong chương 3 trình bày ứng dụng của các phương pháp nêu trong chương 2 với việc áp dụng Maple trong tính toán. Trên đây là luận văn với đề tài :“ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” Em rất mong được các thầy cô nhận xét, hướng dẫn chỉ bảo để luận văn của em được chi tiết, hoàn chỉnh hơn Em xin chân thành cảm ơn! - 89 - TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội. [2]Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội. [3]Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán họctrên Maple, NXB. Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB. Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB. Đại học Quốc gia Hà Nội. B.Tài liệu Tiếng Anh Tiếng Nga [6]I.K. Argyros (2008), Convergence and Applications of Newtontype Iterations, Department of Mathematical Sciences, Lawton, Ok 73505.Springer Science + Business Media, LLC. [7]J.M. Ortega and W.C. Rheinboldt(1970),Iterative solution of nonlinear equations of several variables, Academic Press, New York andLondon. [8] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer- Verlag-Berlin Heidelberg. [8] A.M.Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Methods and Applications, Higher Education Press, Springer-Verlag-Berlin Heidelberg. [9]Н.В.Копенова, И.А Марон (1972), Вычислительнаяматематика в примерах и задачах, Москва, Наука