Phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  

PHẠM ANH NGHĨA  

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  

PHẠM ANH NGHĨA  

 

 

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP

NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02  

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới 

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. 

  Tác  giả  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn, kính trọng  sâu sắc nhất  đối  với thầy. Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.  

LỜI CAM ĐOAN   Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với 

đề  tài:  “  Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – Kantorovich

giải hệ phương trình phi tuyến”  là công trình nghiên cứu của riêng tác giả 

MỤC LỤC

Mở đầu……… ……… 5

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị……… ……… 7

1.1  Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co……….……… …       7 

1.1.1 Không gian metric………       7 

1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co……… ………   18 

1.2 Không gian Banach……… ………     20 

1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach…… ………    23 

Chương 2 Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến……… … ……… 29

2.1.Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến…… …    29 

    2.1.1. Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến…… …   29 

    2.1.2. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến… …   37 

     2.2.    Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi  tuyến……… ………     45 

         2.2.1. Phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình toán tử phi  tuyến ……… ………     45 

         2.2.2. Phương pháp Newton  - Kantorovich   giải hệ phương trình phi  tuyến trong n……… ………    51 

     2.3.    Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton –  Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến ……… …………   56 

Chương 3 Ứng dụng……… ……… 61

3.1.    Giải hệ phương trình phi tuyến ………   61 

         3.1.1. Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến ……   61 

         3.1.2.  Phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi  tuyến ………   64 

3.2.    Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến.……  75 Kết luận 88 Tài liệu tham khảo 89  

  Trong thực tế  người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình .  Vì vậy việc  giải  xấp xỉ hệ phương trình (1) là  một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được đề xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, phương pháp biến phân ….Người ta xét đến những đặc thù của toán tử Ađể chọn phương pháp  xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình. Phương pháp lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ co Banach là phương pháp thường được sử dụng 

để  chứng  minh  sự  tồn  tại  nghiệm  của  phương  trình  và  tìm  nghiệm  xấp  xỉ thông  qua  phép  lặp  đơn.  Để  sử  dụng  phương  pháp  này  người  ta  phải  đưa 

phương trình (1) về dạng x = Bx trên một hình cầu đóng nào đó hoặc trên toàn 

không gian n , sao cho nghiệm của phương trình (1) là điểm bất động của 

ánh xạ B. Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó. Nguyên lí điểm 

bất động cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp Newton và các  mở  rộng  của  nó  như  Newton  –  Raphson,  Newton  –  Kantorovich  cho  ta cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải những phương trình tuyến tính. Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm. 

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu  hơn về các phương pháp giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton – Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực hiện luận văn của mình. 

2 Mục đích nghiên cứu

    Luận  văn  trình  bày  một  số  phương  pháp  giải  hệ  phương  trình  đó  là  phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  –  Kantorovich,  sự  kết  hợp  của hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực và hệ phương trình phi tuyến trong không gian n. Ứng dụng giải một số phương trình và 

hệ phương trình cụ thể. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton – Kantorovich  giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

   -  Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến. 

   -  Phạm  vi  nghiên  cứu:  Phương  pháp  lặp  đơn,  phương  pháp  Newton  – Kantorovich, sự kết hợp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến trong không gian n; ứng dụng vào giải các phương trình và hệ phương trình 

cụ thể. 

5 Phương pháp nghiên cứu

    - Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và 

áp dụng phần mềm Maple trong tính toán và vẽ đồ thị . 

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ  thống  lại  phương  pháp  lặp  đơn  và  phương  pháp  Newton  – Kantorovich  giải  phương  trình  và  hệ  phương  trình  phi  tuyến.  Áp  dụng  giải một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể. 

CHƯƠNG I  MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

1.1.1.Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Xét một tập hợp X   cùng với một ánh xạ d : X X    thoả mãn các tiên đề sau đây: 

1)d x, y  0,( x, y X)    , d x, y    0 x y

       ( tiên đề đồng nhất); 2)d x, y  d y, x ,( x, y X)   

       ( tiên đề đối xứng); 3)d x, y  d x, z  d z, y ,   x, y, z  X

      ( tiên đề tam giác). Khi đó tập hợp Xcùng với ánh xạ dgọi là một không gian metric. Ánh xạ d

gọi là một metric trên X, số d x, y  gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x, y. Các  phần  tử  của Xgọi  là  các  điểm;  các  tiên  đề  1),  2),  3)    gọi  là  hệ  tiên  đề metric. 

Ví dụ 1.1.2.    Với  hai  phần  tử  bất  kỳ x x , x , , x 1 2 k, y y , y , , y 1 2 k    thuộc    không gian véc tơ thực k chiều k ( k là số nguyên dương nào đó) ta đặt: 

Vì vậy hệ thức (1.1.2) xác định một metric trên không gian  k

.

Không gian metric tươg ứng vẫn ký hiệu là k  và thường gọi là không gian Euclide, còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide. 

Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu 2  là tập tất cả các số thực hoặc phức x  x n n 1 sao cho chuỗi số dương 

ta  đồng  nhất  hai  hàm  số  khi  chúng  chỉ  khác  nhau  trên  một  tập  có  độ  đo Lebesgue bằng 0. Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric. 

Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6) thoả  mãn  các  tiên  đề  2),  3)  về  metric.  Vì  vậy  ánh  xạ  (1.1.6)  xác  định  một metric trên tập La ,b . Không gian tương ứng vẫn ký hiệu là La ,b . 

Định nghĩa 1.1.3.Cho  không  gian  metricX X, d,dãy  điểm  x n  X,  điểm  

Ví dụ 1.1.7.      Sự  hội  tụ  của  một  dãy  điểm  trong  không  gian  Eukleides k

tương đương với sự hội tụ theo toạ độ. 

Thật  vậy,  giả  sử  dãy  điểm    n    n   n   n 

Thật vậy, giả sử dãy hàm x n t  Ca,b hội tụ tới hàm x t  trong không gian 

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục x n t  hội tụ đều tới hàm số x t  trên đoạn a, b   

Ngược lại, giả sử hàm số x n t  C  a,b  hội tụ đều tới hàm số x t  trên đoạn 

a, b , nghĩa là x t  Ca,b . Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm 

Định nghĩa 1.1.5.Cho hai không gian metric X (X,d ) 1  ,Y(Y, d ).2  

Ánh xạ f : XYđược gọi là liên tục tại điểm x0X nếu như   0,   0, sao cho  x X thoả mãn d (x, x )  1 0 thì d (f (x),f (x ))  2 0   

Hay  nói cách khác Ánh xạ f : XY   gọi  là liên tục tại điểm xoX  ,  nếu với lân cận cho trước tuỳ ý U f (x )0  S y , 0   Y của điểm y 0  f x 0  trong Y tìm được lân cận V x0  S x , 0 của điểm x0 trong X sao chof (V )x0 U y0  

Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ f : XY  gọi là liên tục tại điểm x0Xnếu với mọi dãy điểm  x n  X hội tụ tới điểm x0 trong Xkéo theo dãy điểm f (x ) n  hội tụ tới điểm f x 0  trong Y  

Ví dụ 1.1.10.Không  gian  metric  1  là  không  gian  đầy,  điều  đó  suy  ra  từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học. 

x x    n  n , j 1, 2, ,   k

(1.1.9) Các bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi j  1, 2, , k , dãy   n

j

x  là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn: 

x  đã cho hội tụ tới x trong không gian k . Vậy không gian Euclide k là không gian đầy. 

a, b , dãy x n t  là dãy số thực cơ bản , nên phải tồn tại giới hạn 

a, b , nên dãy cơ bản x n t  đã cho hội tụ tới x t  trong không gian Ca ,b. Vậy Ca ,b là không gian đầy. 

Ví dụ 1.1.13. Không gian 2 là không gian đầy. 

Thật vậy, giả sử   n   n  n  n 

x  x , x , , x , n  1, 2,  là dãy cơ bản tuỳ ý trong 2 , theo định nghĩa dãy cơ bản : 

n

  k  1, 2,  

Đặt  x x , x , , x , 1 2 k    x k       Vì  các  bất  đẳng  thức  (1.1.12)  không  phụ thuộc  vàop,  nên có thể cho qua giới  hạn trong  các  bất đẳng thức này  khi 

      

  n 2k

Định lý 1.1.1.( Nguyên lý Banach về ánh xạ co)    

Mọi  ánh  xạ  co Atừ  không  gian  metric  đầy X  (X, d)vào  chính  nó  đều  có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x*X  sao 

Giả  sử  tồn  tại  điểm  *

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường P (Plà trường số thực   hoặc trường số phức  ). Khi đó ánh xạ A : XY được gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện 

  1)A(x1x )2 Ax1Ax2, x , x1 2X 

  2)A x  A ( x ), P ,    x X . 

Ta  thường  gọi  ánh  xạ  tuyến  tính  là  toán  tử  tuyến  tính.  Khi  toán  tử A  chỉ thoả mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì Agọi là toán tử thuần nhất. 

Khi Y  P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. 

Định nghĩa 1.2.2.( Không gian định chuẩn) 

Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường P(P  hoặc P   ), Ánh  xạ  : X    xác  định  trênX(đọc  là  chuẩn),  lấy  giá  trị  trên : x  , x   X

k 2 i

        x 1  x 2   x 1 ,  x X. 

Ví dụ 1.2.2.      Trên  không  gian  véc  tơ  k  ,  ngoài  chuẩn 

k 2 i

k

x  x  k x , x     1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1.( Không gian các toán tử) 

Cho X , Y là các không gian định chuẩn, ta kí hiệu L X, Y  là tập hợp các toán 

tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. 

Vậy dãy An có giới hạn A L X, Y     Định lý được chứng minh. 

Định nghĩa 1.3.2. ( Đạo hàm Fréchet) 

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ f : XY được gọi là khả vi tại điểm x  Y nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : XY ( tức   A L X, Y ) sao cho:  

Toán tử tuyến tính A gọi là đạo hàm cấp một( theo nghĩa Fréchet) của f tại x ( hay gọi là đạo hàm Fréchet của ánh xạ ftại x) và được ký hiệu là f ' x  Như vậy    df x, h  f ' x    h  

Định lý 1.3.2.   (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) 

Đạo hàm của một ánh xạ nếu có là duy nhất 

Chứng minh

Cho hai không gian định chuẩnX,Y bất kỳ. 

Giả sử có hai toán tử tuyến tính liên tục  A,B cùng là đạo hàm của f tại x.  Khi đó   h Xta có 

   

A k B k , k X 

 hay AB.Định lí được chứng minh. 

Định nghĩa 1.3.3.    Cho X, Y, Z là các không gian Banach thực. 

x  x , x , , x  X  X   X  Với mọi x x , x , , x 1 2 n X 1  X 2   X n. Xét các ánh xạ f : Xi i Y,i 1, 2, , n ;

Ví dụ 1.3.1.Ánh  xạ f :, x0   đạo  hàm  Fréchet f ' x 0   là  đạo  hàm theo nghĩa thông thường của ftại x0 

f (x) x t dt Tìm đạo hàm và vi phân Fréchet của f 

h 2 x t h t dt

b 2 0



F' x h K t,s, x s h s ds 

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON – KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến

 Giả  sử  X   là  một  không  gian  Banach.  Xét  phưong  trình  toán  tử  phi tuyến:  

Nếu giả thiết thêm rằng q  1 thì ta nói  toán tử A là toán tử co trong X 

Định lý 2.1.1. ( Nguyên lý Banach về ánh xạ co). 

Giả  sử  toán  tử A  tác  động  trong X    và  là  toán  tử  co.  Khi  đó  phương  trình (2.1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn 

       x n  Ax n 1 ,n  1, 2,        (2.1.2) trong đó x0 là phần tử tuỳ ý trong X . Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định bởi một trong các công thức: 

x  là nghiệm của phương trình (2.1.1). 

Định lý 2.1.2.  Giả sử toán tử A tác động trong hình cầu đóng S =S x , r 0  và 

là  toán  tử  co  trong  hình  cầu đó,  khi đó  phương trình  (2.1.1)  có  một  nghiệm duy nhất trong S , nghiệm đó là giới hạn của dãy (2.1.2), tốc độ hội tụ được xác lập bởi các công thức (2.1.3), (2.1.4). 

( Định lý này suy ra từ định lý 2.1.1 bởi vì hình cầu đóng S x , r 0  trong không gian Banach X là một không gian metric đủ ). 

Định lý 2.1.3. Giả sử A là toán tử co trong S x , r 0  và  A(x ) x 0  0 1 q r    khi 

Khi đó những xấp xỉ liên tiếp được viết như sau: 

      x  F x , x n n 1 , n  1, 2,        (2.1.7) Trong  khi  xây  dựng  dãy  lặp  này  ,  ta  giả  thiết  rằng  với  mỗi  y*  cố  định  thì phương trình   *

x  a, b     r, r , khi đó với x0 bất kỳ được chọn làm xấp xỉ ban đầu, ta xây dựng được dãy  x n  nhờ hệ thức 

       xn 1   x , nn  0      ( 2.1.11) 

Nếu  x liên tục  và dãy  x n   hội tụ thì  *

n x

x lim x

 

   là nghiệm của phương trình (2.10) và do đó là nghiệm của phương trình f x  0 . 

x x q x x       (2.1.12) 

.10 2



1 q r 0,375

Suy ra  x  thoả mãn các điều kiện của định lý hội tụ. Bây giờ ta tìm số bước lặp để đạt được độ chính xác đã cho. 

x  x , x , , x  là xấp xỉ đầu tiên đã chọn trước, còn các xấp xỉ tiếp theo xây dựng theo công thức. 

1 2 n

x  x , x , , x hội  tụ  đến  véc  tơ  *  * * *

1 2 n

x  x , x , , x , còn các hàm  i x  liên tục, thì véc tơ x* là nghiệm của (2.1.17). 

Để  có  được  điều  kiện  hội  tụ  của  phương  pháp  lặp,  ta  đưa  vào  trong  không gian véc tơ n – chiều một chuẩn nào đó ( chẳng hạn chuẩn cầu) 

Kí hiệu : S  S x (0) , rx   n / x  x (0)  r là hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r trong n 

Định lý 2.1.6.  Giả sử đối với phương trình (2.1.17), các điều kiện sau được thoả mãn: 

x ' x '' q x ' x'' , x ', x " S x , r

             (2.1.20)  trong đó 0  q  1 

2)     0   0  

           (2.1.21) 

(2.1.19) hội tụ đến x* và sai số của phương pháp được đánh giá bởi bất đẳng thức : 

 

0

n i

Giả sử rằng hệ (2.1.26) có các nghiệm thực, số lượng các nghiệm này và giá trị gần đúng  của nghiệm có thể tìm được nhờ việc giải hệ phương trình bằng phương  pháp đồ  thị, bằng  cách  dựng đường  cong f x , x 1 1 2 0  và f x , x 2 1 2 0, sau đó  xác định toạ độ các giao điểm. 

Để  sử  dụng  phương  pháp  lặp  đơn  giải  hệ  (2.1.26)  trước  tiên  ta  biến  đổi  hệ (2.1.26) về dạng  

1 2

x  x , x là nghiệm xấp xỉ ban đầu nào đó . 

Định lý 2.1.7.Giả  sử  trong  một  khoảng  liên  tục  nào  đó,  lân  cận

a x A,b y B      có một và chỉ một nghiệm x  1  ,  x  2  của hệ (2.1.19).  Nếu: