Về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU VĂN ĐÔNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHU VĂN ĐÔNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2015 i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả chân thành cám ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Toán Trường THPT Kim Anh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Và qua tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 Tác giả Chu Văn Đông ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 Tác giả Chu Văn Đông iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec tơ 1.2 Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co 1.2.1 Không gian metric 1.2.2 Nguyên lí ánh xạ co 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân không gian định chuẩn 1.3.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.3.2 Phép tính vi phân không gian định chuẩn 12 Phương pháp Newton 16 1.4.1 Điểm Fourier 16 1.4.2 Phương pháp Newton 16 1.5 Phương pháp dây cung 18 1.6 Phương pháp Newton Rn 20 1.4 iv 1.7 Bậc hội tụ hàm lặp 22 1.7.1 Hàm lặp 22 1.7.2 Bậc hội tụ 23 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao hiệu tính toán 25 2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ ba 25 2.1.1 Đặt vấn đề 25 2.1.2 Bổ đề 26 2.2 Phương pháp lặp có bậc hội tụ năm 31 2.3 Phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu 33 2.4 Hiệu tính toán 34 2.4.1 So sánh số hiệu 36 2.4.2 So sánh (G1,3 ) với (G2,3 ) 36 2.4.3 So sánh (G1,5 ) với (G2,5 ) 37 2.4.4 So sánh (G1,6 ) với (G2,6 ) 39 Ứng dụng phần mềm Maple vào giải hệ phương trình phi tuyến R2 R3 3.1 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ ba 3.2 41 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ năm 3.3 41 46 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu 52 v 3.4 So sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu việc giải hệ phương trình phi tuyến 57 KẾT LUẬN 65 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải hệ phương trình phi tuyến F (x) = vấn đề phổ biến quan trọng nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Vấn đề mô tả sau: Đối với hàm phi tuyến cho trước F (x) : D ⊆ Rn → Rn với F (x) = (f1 (x), f2 (x), , fn (x))t x = (x1 , x2 , , xn )t , ta cần tìm vectơ α = (α1 , α2 , , αn )t cho F (α) = Vectơ nghiệm α tìm điểm cố định hàm G(x) : Rn → Rn phương pháp lặp điểm xác định dãy x(k+1) = G x(k) , k = 0, 1, Một phương pháp để giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp Newton cổ điển có bậc hội tụ hai Phương pháp Newton cổ điển xác định bởi: x(k+1) = G x(k) = x(k) − F x(k) −1 F x(k) , k = 0, 1, 2, , yêu cầu hàm F khả vi, liên tục xấp xỉ ban đầu x(0) điểm Fourier (F (x)−1 nghịch đảo đạo hàm Fréchet F (x) hàm F (x) ) Để cải thiện bậc hội tụ phương pháp Newton nhiều đề xuất đưa ví dụ như: M.Frontini E.Sormani phát triển vài phương pháp lặp có bậc hội tụ ba M.T.Darvishi A.Barati trình bày phương pháp lặp có bậc hội tụ bốn A.Cordero, E.Martínez J.R.Torregrosa đưa phương pháp lặp có bậc hội tụ năm A.Cordero, J.L.Hueso, E.Martínez J.R.Torregrosa trình bày phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu Với mong muốn tạo phương pháp lặp có bậc hội tụ cao có cấu trúc đơn giản với tính toán tối thiểu, nhằm bổ sung nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học, chọn đề tài “Về số phương pháp lặp hiệu giải hệ phương trình phi tuyến” làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp lặp vào giải xấp xỉ lớp toán hệ phương trình phi tuyến Rn Nghiên cứu bậc hội tụ, số hiệu tính toán số phép lặp Nêu số ví dụ giải số hệ phương trình phi tuyến R2 R3 có sử dụng phần mềm Maple Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm sáu Nghiên cứu số hiệu tính toán số phương pháp lặp Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến cụ thể R2 R3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp Phạm vi nghiên cứu: + Nghiên cứu số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm sáu + Nghiên cứu số hiệu tính toán số phương pháp lặp + Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến cụ thể R2 R3 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ Giải tích, Giải tích hàm Giải tích số để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt báo sách vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học số phương pháp lặp hiệu giải hệ phương trình phi tuyến 53 Hình 3.3: Đồ thị f (x) g(x) B := matrix(2, 2, [3, 0, 0, 3]) : C := matrix(2, 2, [3.5, 0, 0, 3.5]) : E := matrix(2, 2, [4, 0, 0, 4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0.6, 3.6]; G := inverse(A) : H := multiply(G, F ) : ε = 10−30 ; for i from to n := i → i : K := eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2]]); b[i] := evalm(a[i] − K); L := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(A, [x = b[i][1], y = b[i][2]])); M := evalm(B − L); N := evalm((1/2) ∗ M ); c[i] := evalm(a[i] − multiply(N, eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2]]))); P := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(F, [x = c[i][1], y = 54 c[i][2]])); Q := evalm(C − L); R := evalm((3/2) ∗ L); S := evalm(E − R); a[i + 1] := evalm(c[i] − multiply(Q, R, P )); T [i] := norm(a[i+1]−a[i], 2)+norm(eval(F, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), 2); if T[i] < ε then print(a[i+1]); fi: 0d: array([seq([n(i+1), evalm(a[i+1]), T[i]], i = 4)]) ln (x) − x2 + y − ln (4 x + y) − ln (2 y) + xy − [0.6, 3.6] 1000000000000000000000000000000 1.000000000 4.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 0.8600482249 4.114179373 2.616574400 0.9975675144 4.000875992 0.7692310309 0.9999999915 3.999999981 0.01328909324 1.0000000000 4.000000000 7.671635774.10−8 1.0000000000 4.000000000 55 Ví dụ 3.3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau    ex − e2y + z − =   ln x − ln (y + z) + yz − =     sinx − sin(y + z) + z − = Với nghiệm ban đầu (x0 , y0 , z0 ) = (1.82, 0.78, 0.76) sai số ε = 10−6 Giải with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): f := exp(x) − exp(2 ∗ y) + z − 1; g := ln(x) − ln(y + z) + y ∗ z − 1; t := sin(x) − sin(y + z) + z − 1; F := [f, g, t] : A := jacobian(F, [x, y, z]) : B := matrix(3, 3, [3, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 3]) : C := matrix(3, 3, [3.5, 0, 0, 0, 3.5, 0, 0, 0, 3.5]) : E := matrix(3, 3, [4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [1.84, 0.78, 0.76]; G := inverse(A) : H := multiply(G, F ) : ε = 10−6 ; for i from to n := i → i : K := eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3]]); 56 b[i] := evalm(a[i] − K); L := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3]]), eval(A, [x = b[i][1], y = b[i][2], z = b[i][3]])); M := evalm(B − L); N := evalm((1/2) ∗ M ); c[i] := evalm(a[i] − multiply(N, eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3]]))); P := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3]]), eval(F, [x = c[i][1], y = c[i][2], z = c[i][3]])); Q := evalm(C − L); R := evalm((3/2) ∗ L); S := evalm(E − R); a[i + 1] := evalm(c[i] − multiply(Q, R, P )); T [i] := norm(a[i+1]−a[i], 3)+norm(eval(F, [x = a[i][1], y = a[i][2], z = a[i][3]]), 3); if T[i] < ε then print(a[i+1]); fi: od: array([seq([n(i+1), evalm(a[i+1]), T[i]], i = 4)]); ex − e2 y + z − ln (x) − ln (y + z) + yz − sin (x) − sin (y + z) + z − [1.84, 0.78, 0.76] 57 1000000 2.000000000 1.000000000 1.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 2.290952279 1.465405120 1.4368126380 2.238510389 2.031543324 1.001369515 0.9836545864 9.090638872 1.999966680 0.9999837383 1.000006779 0.2357351421 2.000000000 1.000000002 0.9999999998 0.00006812291562 2.000000000 1.000000000 1.0000000000 3.120105738.10−8 3.4 So sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu việc giải hệ phương trình phi tuyến Để so sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu, ta đưa ví dụ giải hệ phương trình phi tuyến ba phương pháp lặp với nghiệm ban đầu sai số Sau ta so sánh số bước lặp, số hiệu thời gian máy tính chạy phương pháp nói Ví dụ 3.4.1 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu 58   x7 − 5x2 y + y + =  6√ x + + x − y + = Với nghiệm ban đầu (x0 , y0 ) = (0.62, 1.64) sai số ε = 10−20 Giải Phương pháp lặp có bậc hội tụ ba (G1,3 ) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): f := x7 − ∗ x2 ∗ y + y + 1; g := ∗ sqrt(x + 3) + x3 − y + 3; F := [f, g] : A := jacobian(F, [x, y]) : B := matrix(2, 2, [3, 0, 0, 3]) : a := array(0 8) : b := array(0 8) : a[0] := [0.62, 1.64] : C := inverse(A) : E := multiply(C, F ) : ε = 10−20 ; for i from to n := i → i : G := eval(E, [x = a[i][1], y = a[i][2]]); b[i] := evalm(a[i] − G); H := multiply(eval(C, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(A, [x = b[i][1], y = b[i][2]])); L := evalm(B − H); M := evalm((1/2) ∗ L); a[i + 1] := evalm(a[i] − multiply(M, eval(E, [x = a[i][1], y = a[i][2]]))); 59 S[i] := norm(a[i+1]−a[i], 2)+norm(eval(F, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), 2); if S[i] < ε then print(a[i + 1]); f i : od : array([seq([n(i + 1), evalm(a[i + 1]), S[i]], i = 7)]); x7 − x2 y + y + √ x + + x3 − y + [0.62, 1.64] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 1.097594277 1.865334160 8.294778311 1.027804700 2.005361502 4.884572238 1.000006612 2.000003373 0.3474712054 1.000000001 2.000000000 0.0001074130714 0.999999999 2.000000000 1.41.10−8 0.9999999998 2.00000000 1.1.10−9 1.000000000 2.000000000 4.2.10−9 1.000000000 2.000000000 60 Phương pháp lặp có bậc hội tụ năm (G1,5 ) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): f := x7 − ∗ x2 ∗ y + y + 1; g := ∗ sqrt(x + 3) + x3 − y + 3; F := [f, g] : A := jacobian(F, [x, y]) : B := matrix(2, 2, [3, 0, 0, 3]) : C := matrix(2, 2, [2, 0, 0, 2]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0.62, 1.64] : E := inverse(A) : G := multiply(E, F ) : ε = 10−20 ; for i from to n := i → i : H := eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]); b[i] := evalm(a[i] − H); K := multiply(eval(E, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(A, [x = b[i][1], y = b[i][2]])); L := evalm(B − K); M := evalm((1/2) ∗ L); c[i] := evalm(a[i] − multiply(M, eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]))); N := multiply(eval(E, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(F, [x = c[i][1], y = c[i][2]])); 61 P := evalm(C − K); a[i + 1] := evalm(c[i] − multiply(P, N )); S[i] := norm(a[i+1]−a[i], 2)+norm(eval(F, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), 2); if S[i] < ε then print(a[i+1]); fi: od: array([seq([n(i+1), evalm(a[i+1]), S[i]], i = 4)]); x7 − x2 y + y + √ x + + x3 − y + [0.62, 1.64] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 0.8600614350 1.770027546 8.039709215 0.9977777685 1.989173671 5.878297928 1.0000000000 1.999999999 0.3479140741 1.0000000000 2.000000000 3.18058436.10−8 1.0000000000 2.000000000 62 Phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu (G1,6 ) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): f := x7 − ∗ x2 ∗ y + y + 1; g := ∗ sqrt(x + 3) + x3 − y + 3; F := [f, g] : A := jacobian(F, [x, y]) : B := matrix(2, 2, [3, 0, 0, 3]) : C := matrix(2, 2, [3.5, 0, 0, 3.5]) : E := matrix(2, 2, [4, 0, 0, 4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0.62, 1.64]; G := inverse(A) : H := multiply(G, F ) : ε = 10−20 ; for i from to n := i → i : K := eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2]]); b[i] := evalm(a[i] − K); L := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(A, [x = b[i][1], y = b[i][2]])); M := evalm(B − L); N := evalm((1/2) ∗ M ); c[i] := evalm(a[i] − multiply(N, eval(H, [x = a[i][1], y = a[i][2]]))); P := multiply(eval(G, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), eval(F, [x = c[i][1], y = c[i][2]])); 63 Q := evalm(C − L); R := evalm((3/2) ∗ L); S := evalm(E − R); a[i + 1] := evalm(c[i] − multiply(Q, R, P )); T [i] := norm(a[i+1]−a[i], 2)+norm(eval(F, [x = a[i][1], y = a[i][2]]), 2); if T[i] < ε then print(a[i+1]); fi: od: array([seq([n(i+1), evalm(a[i+1]), T[i]], i = 4)]); x7 − x2 y + y + √ x + + x3 − y + [0.62, 1.64] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 1.1635173650 2.912226795 9.150159016 0.9950187481 2.026799101 56.72155784 1.0000187180 1.999948008 0.9610502308 1.0000000000 2.000000000 0.001905637352 1.0000000000 2.000000000 64 Bảng so sánh số hiệu thời gian tính phương pháp lặp G1,3 , G1,5 G1,6 1) Cấu hình máy tính: Intel(R) Core (TM) i5-480M CPU @ 2.67GHz (64bit Machine) MicrosotWindows Home Basic 2009 2) Phần mềm sử dụng: Maple 16 3) Với (n, µ0 , µ1 , l) = (2, 2, 19.5, 2.8) • C1,3 = nµ0 + 2n2 µ1 + n 2n2 + 15n + + 3l (n + 3) E1,3 = C1,3 • C1,5 = 2nµ0 + 2n2 µ1 + n 2n2 + 33n − + 3l (n + 7) n 2n2 + 12n + + 3l (n + 2) E1,5 = C1,5 • C1,6 = 2nµ0 + 2n2 µ1 + E2,6 = C2,6 Phương Pháp Số Bước Lặp Bậc Hội Tụ Ci,p Ei,p CPU time 187 1.005892223 0.56s G1,3 G1,5 5 212.2 1.007613368 0.52s G1,6 227.8 1.007896508 0.48s Trong ví dụ ta thấy phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu (G1,6 ) hiệu 65 KẾT LUẬN Luận văn trình bày thực nghiệm số số phương pháp lặp với bậc hội tụ cao giải hệ phương trình phi tuyến Tác giả trình bày: 1) Một số phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu 2) Trình bày số hiệu tính toán số phương pháp lặp 3) Ứng dụng phương pháp lặp với bậc hội tụ cao vào giải hệ phương trình phi tuyến cụ thể R2 R3 Hướng nghiên cứu tìm hiểu sâu phép lặp có bậc hội tụ cao ứng dụng Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ cảm ơn ý kiến nhận xét tới thầy cô góp ý kiến nhận xét để luận văn hoàn chỉnh 66 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán toán tử, NXB khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Jeffrey R Chasnov (2012), Introductions to Numerical Method, Lecture Notes for MATH 3311, The Hong Kong University of Sciense and Technology [5] King R.F (1971), A fifth – order family of modified Newton methods, BIT, 11, 409 – 412 [6] J.M.Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative Solutions of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, New York, NY, USA [7] A.M Ostrowski (1966), Solution of equations and systems of equations, Academic Press Inc New York and London [8] J.F.Traub (1982), Iterative methods for the solution of equations, New York 67 [9] Vy Duong Thuy (1987), Some higher – order iterative processes for solving non – linear operator equations, USSR Comput Maths Math Phys., Vol.37, N 4, pp 117 – 121 [10] Janak Raj Sharma and Puneet Gupta (2013), On Some Efficient Techniques for Solving Systems of Nonlinear Equations, Advances in Numerical Analysis Volume 2013, Article ID 252798, 11 pages, Hindawi Publishing Corporation [...]... sau cùng là khác không 25 Chương 2 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao và hiệu quả tính toán Chương này tác giả trình bày một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao và trình bày hiệu quả tính toán Trong chương này tác giả sử dụng phần lớn các kết quả trong tài liệu tham khảo [10] 2.1 2.1.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng ba Đặt vấn... xn )t , ta cần tìm một vectơ α = (α1 , α2 , , αn )t sao cho F (α) = 0 Vectơ nghiệm α có thể tìm được như một điểm cố định của hàm G(x) : Rn → Rn bằng phương pháp lặp điểm được xác định bởi dãy x(k+1) = G x(k) , k = 0, 1, (2.1) 26 trong đó x(0) cho trước Một trong những phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp Newton trong Rn có bậc hội tụ bằng hai Phương pháp Newton trong...  Phương trình (1.11) là hệ phương trình đại số tuyến tính f (x0 )x = −f (x0 ) + f (x0 )x0 Giả sử phương trình (1.11) có nghiệm x1 Khi đó −1 x1 − x0 = −[f (x0 )] f (x0 ) −1 ⇔ x1 = x0 − [f (x0 )] f (x0 ) Ta có x1 là nghiệm xấp xỉ đầu tiên của phương trình (1.9) Tiếp tục, ta viết phương trình (1.9) dưới dạng: f (x) − f (x1 ) = −f (x1 ) Lập luận tương tự như trên ta tìm được x2 là nghiệm của phương trình. .. 16 1.4 1.4.1 Phương pháp Newton Điểm Fourier Xét phương trình một biến số f (x) = 0 (1.3) 1) Giả sử phương trình (1.3) có nghiệm ξ duy nhất trên đoạn [a, b] 2) f ∈ C 2 [a, b] và f (x), f (x) không đổi dấu trên đoạn [a, b] Điểm x ∈ [a, b] được gọi là điểm Fourier, nếu f (x)f (x) > 0 Không giảm tổng quát hàm f (x) trong phương trình (1.3) có thể coi có f (x) > 0, nếu không ta xét phương trình g(x) =... E được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là không gian vectơ hữu hạn sinh Định nghĩa 1.4 Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinh độc lập tuyến tính 6 Định nghĩa 1.5 Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không... Bây giờ ta trình bày một phương pháp làm tăng bậc hội tụ của phương pháp Newton với số lượng tối thiểu bước lặp bằng cách xét hai bước lặp sau: y (k) = x(k) − F x(k) −1 F x(k) , k = 0, 1, 2, , x(k+1) = x(k) − a1 I + a2 F x(k) F x −1 F (k) −1 y (k) (2.3) F x(k) , Trong đó a1 , a2 là các tham số; I là ma trận đơn vị cấp n × n Để xét sự hội tụ của dãy (xn ) trong công thức (2.3) ta xét kết quả của khai... hội tụ Cho X là một không gian Banach, x0 , x1 , , xi , là dãy trong X hội tụ đến α Giả sử ei = xi − α Định nghĩa 1.28 Nếu tồn tại một số thực p > 0 và một hằng số C khác không sao cho khi i → ∞ thì ei+1 → C, ei p (1.13) Khi đó p được gọi là bậc của dãy (xn ) và C được gọi là hằng số sai số tiệm cận Chúng ta sẽ làm rõ định nghĩa trên Để thiết lập mối quan hệ giữa khái niệm bậc với hàm lặp sinh ra xi... gian tuyến tính Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức Định nghĩa 1.2 Hệ véc tơ (αi ), ∀i = 1, 2, , n gọi là độc lập tuyến tính nếu n xi αi = 0 kéo theo xi = 0, ∀i = 1, 2, , n i=1 Hệ véc tơ (αi ), ∀i = 1, 2, , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.3 Giả sử E là một không gian vectơ Một hệ vectơ... (1.12) được gọi là phương pháp Newton trong Rn và ta cũng chứng minh được k xk − ξ ≤ c1 q 2 ; c1 = const; 0 ≤ q < 1 1.7 1.7.1 Bậc hội tụ của hàm lặp Hàm lặp Định nghĩa 1.25 Giả sử f : R → R và (xn ) là dãy hội tụ đến α, α là nghiệm của phương trình f (x) = 0 Hàm ϕ thiết lập phép tương ứng của bộ các số xi , xi−1 , , xi−n Với xi+1 được xác định: xi+1 = ϕ (xi , xi−1 , , xi−n ) gọi là hàm lặp Định nghĩa... không là ánh xạ co 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân trong không gian định chuẩn 1.3.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Cho X là một không gian tuyến tính trên trường P (P = R hoặc C ) Định nghĩa 1.13 Một chuẩn, kí hiệu , trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau: 1) x ≥ 0, ∀x ∈ X; 2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) λx = |λ| x