Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI - DNG THU LINH NG DNG GII TCH NGU NHIấN NGHIấN CU MT S PHNG TRèNH O HM RIấNG LUN VN THC S TON HC H Ni - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI - DNG THU LINH NG DNG GII TCH NGU NHIấN NGHIấN CU MT S PHNG TRèNH O HM RIấNG Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS NGễ HONG LONG H Ni - 2016 Li cm n Lun c hon thnh vi lũng tri õn sõu sc m tụi kớnh gi n cỏc thy cụ, bn ng khúa v gia ỡnh thõn thng ca tụi Trc tiờn, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Ngụ Hong Long, ngi thy ó nh hng chn ti, trc tip tn tỡnh hng dn v giỳp tụi hon thnh lun ny Tụi xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng o to Sau i hc, Khoa Toỏn cựng cỏc thy cụ trng i hc S Phm H Ni ó nhit tỡnh giỳp , ging dy, to iu kin tt nht cho tụi thi gian hc ti trng Tụi xin kớnh gi li cm n sõu sc n b m - nhng ngi ó sinh thnh, nuụi dng v to nhng iu kin hc tt nht cho tụi Cui cựng, tụi xin chõn thnh cm n cỏc bn ng khúa cao hc K18 - t (2014-2016) núi chung v chuyờn ngnh Toỏn ng dng núi riờng ó giỳp , ng viờn tụi hon thnh lun ny Nghiờn cu ny c ti tr bi Qu Phỏt trin khoa hc v cụng ngh Quc gia (NAFOSTED) ti mó s 101.03-2014.14 H Ni, thỏng 06 nm 2016 Hc viờn Dng Thựy Linh Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Ngụ Hong Long Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng 06 nm 2016 Hc viờn Dng Thựy Linh Mc lc Li cm n Li cam oan M u Kin thc chun b 1.1 i cng v quỏ trỡnh ngu nhiờn 1.1.1 Mt s khỏi nim c bn 1.1.2 Martingale 10 1.2 Chuyn ng Brown 13 1.3 Tớch phõn ngu nhiờn Itụ 15 1.3.1 Quỏ trỡnh kh bỏo 15 1.3.2 Tớch phõn ngu nhiờn theo martingale a phng 16 1.4 Cụng thc vi phõn Itụ 20 Phng trỡnh Parabolic 26 2.1 Phng trỡnh truyn nhit 26 2.2 Phng trỡnh khụng thun nht 31 2.3 Cụng thc Feynman-Kac 39 2.4 Gii s phng trỡnh Parabolic bng phng phỏp Monte Carlo 45 Phng trỡnh Elliptic 50 3.1 Bi toỏn Dirichlet 51 3.2 Phng trỡnh Poisson 61 3.3 Phng trỡnh Schrăodinger 66 Kt lun 70 Ti liu tham kho 71 I M U Lý chn ti K t lý thuyt xỏc sut thng kờ hin i i vo nhng nm 1930 ngi ta ó nhn thy cú mt mi liờn h mt thit gia lý thuyt xỏc sut v gii tớch thụng thng c bit, nghim ca nhiu phng trỡnh o hm riờng dng Elliptic v Parabolic cú th biu din di dng kỡ vng ca mt phim hm ngu nhiờn Mi liờn h ny cho ta mt cỏch tip cn mi nghiờn cu tớnh cht ca nghim phng trỡnh o hm riờng Hn na, ta cú th s dng cỏc biu din ny gii s nghim phng trỡnh o hm riờng Vi mong mun tỡm hiu k mi liờn h gia cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn Itụ v cỏc phng trỡnh o hm riờng, tụi chn ti nghiờn cu "ng dng gii tớch ngu nhiờn nghiờn cu mt s phng trỡnh o hm riờng" cho lun thc s ca mỡnh Ti liu tham kho chớnh ca lun l hai chuyờn kho ca Durrett [1] v ca Karatzas v Shreve [2] Mc ớch nghiờn cu Xõy dng cụng thc biu din nghim phng trỡnh o hm riờng thụng qua kỡ vng ca mt quỏ trỡnh ngu nhiờn Nghiờn cu tớnh cht ca nghim phng trỡnh o hm riờng Xp x nghim ca phng trỡnh o hm riờng thụng qua biu din k vng Nhim v nghiờn cu Tng kt mt s kin thc c bn ca Lý thuyt Xỏc sut v Gii tớch ngu nhiờn liờn quan n ti Tỡm hiu phng phỏp xõy dng cụng thc biu din nghim cho cỏc phng trỡnh dng Parabolic bao gm: phng trỡnh truyn nhit, phng trỡnh khụng thun nht Phỏt biu v chng minh cụng thc Feynman - Kac Tỡm hiu phng phỏp xõy dng cụng thc biu din nghim cho cỏc phng trỡnh dng Elliptic bao gm: Bi toỏn Dirichlet, phng trỡnh Poisson, phng trỡnh Schrăodinger ng dng phng phỏp Monte Carlo c lng giỏ tr ca nghim ti mt vi thi im c nh i tng v phm vi nghiờn cu Gii tớch ngu nhiờn Phng trỡnh Parabolic Phng trỡnh Elliptic Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu lý thuyt Nghiờn cu thc nghim mụ phng trờn mỏy tớnh D kin úng gúp mi Lun lm rừ phng phỏp biu din nghim ca phng trỡnh o hm riờng thụng qua k vng ca i lng ngu nhiờn v s dng biu din ny xp x nghim ca phng trỡnh o hm riờng Chng Kin thc chun b 1.1 1.1.1 i cng v quỏ trỡnh ngu nhiờn Mt s khỏi nim c bn Cho (, F, P) l khụng gian xỏc sut nh ngha 1.1.1 H {Xt }tI nhn giỏ tr trờn Rd c gi l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn vi ch s I v khụng gian trng thỏi Rd Tp ch s I cú th l na ng thng thc R+ = [0, ) hoc on [a, b] hoc hp cỏc s nguyờn khụng õm Khi I l (tp ca) cỏc s nguyờn dng thỡ {Xt }tI c gi l quỏ trỡnh ngu nhiờn vi thi gian ri rc, cũn I l (con ca) R+ thỡ {Xt }tI c gi l quỏ trỡnh ngu nhiờn vi thi gian liờn tc Vi mi thi im c nh t I, ỏnh x Xt : Rd , Xt () l mt bin ngu nhiờn v vi mi ta cú hm X() : I Rd , t Xt () = X(t, ) c gi l mt qu o ca quỏ trỡnh X ng vi 57 Mnh 3.1.3 Gi s G = {x : g(x) < 0}, ú g l lp hm thuc C vi g(y) = vi mi y G Khi ú mi im thuc G u chớnh quy Lm vic vi iu kin biờn ti õy l kt thỳc Gi ta i xỏc nh no thỡ v trn nh lý 3.1.5 Cho G l m bt k Nu f b chn, thỡ v C , v ú tha (3.1) Chng minh Cho x G, chn > cho D(x, ) G Ta t = inf{t : Bt D(x, )}, thỡ t tớnh cht Markov mnh suy ra: v(x) = Ex (f (Br )1( Thỡ h C v h = G Chng minh Gi s l mt hm kh vi vụ hn khụng õm, trit tiờu trờn [ , ) nhng khụng ng nht bng Ta cú (|y x|2 )h(y)dy C g(x) = D(x,) 58 Bng phộp i bin, xột ta cc, v s dng tớnh cht trung bỡnh, ta cú: (|z|2 )h(x + z)dz g(x) = D(0,) (r2 )rd1 dr =C h(x + z)(dz) D(0,r) rd1 (r2 )dr h(x) =C Vỡ vy, h bng mt hng nhõn vi g, ú thuc C kt thỳc, ta ch h = S dng cụng thc khai trin Taylor cho hm nhiu bin ta cú nu |y x| r thỡ: (yi xi )Di h(x) + h(y) = h(x) + i ú, | (y, x)| (yi xi )(yj xj )Dij h(x) + (y, x), ij C3 r3 Tớch phõn trờn D(x, r) i vi o dy |D(0, r)| , v s dng tớnh cht trung bỡnh, ta cú: h(x) = h(x) + + C2 h(x)r2 + O(r3 ) Gin c h(x) hai v ri chia cho r2 , v cho r 0, ta c h(x) = p dng B 3.1.3 cho h = v ta suy v C Trng hp G khụng b chn: Nh ba phn trc, ta ó tho lun v xy trng hp khụng b chn Kt hp cỏc nh lý 3.1.2, 3.1.4, v 3.1.5, ta cú: nh lý 3.1.6 Gi s, f b chn v liờn tc, v mi im ca G u chớnh quy Nu vi mi x G, Px ( < ) = 1, thỡ v l nghim b chn nht ca (3.1) Cú th cú cỏc nghim khụng b chn khỏc Xột G = (0, ), f (0) = 0, chỳ ý rng u(x) = cx l nghim Ngc li, ta cú: nh lý 3.1.7 Gi s f b chn v liờn tc, v mi im ca G u chớnh qui Nu vi mi x G, Px ( < ) < 1, thỡ nghim ca (3.1) l khụng nht 59 Chng minh Do h(x) = Px ( = ) cú tớnh cht trung bỡnh cho bi B 3.1.3, nú thuc C , h = G Do mi im ca y G u chớnh qui, t B 3.1.1 ta cú: lim sup Px ( = ) xy lim sup Px ( > 1) xy Py ( > 1) = Do vy, h l nghim ca (3.1) vi f 0, ta cú iu phi chng minh Vic thờm Px ( = ) vo v(x) l cỏch nht sinh mt nghim b chn mi nh lý 3.1.8 Gi s, f b chn v liờn tc, v mi im ca G u chớnh quy Nu u b chn v tha (3.1) G, thỡ tn ti mt hng s cho: u(x) = Ex (f (B ); < ) + Px ( = ) Ta xột ng bng vic nh lý ny trng hp c bit G = Rd nh lý 3.1.9 Nu u b chn v iu hũa Rd thỡ u l hng Chng minh Do martingale a phng u(Bt ) l b chn nờn u(Bt ) l mt martingale p dng nh lý hi t martingale ta cú: Khi t , u(Bt ) U Do U l o c i vi i s uụi, nờn Px (a < U < b) luụn bng hoc vi mi a < b Do ú tn ti mt hng s c khụng ph thuc vo x Px (U = c) Ly k vng ta c: u(x) = Ex U c Chng minh nh lý 3.1.8 T chng minh ca nh lý 3.1.9, ta thy rng u(Bt ) l martingale b chn a phng trờn [0, ) nờn U = limt u(Bt ) Trờn { < }, ta cú: U = f (Br ), vỡ vy, ta cn ch rng tn ti mt hng s khụng ph thuc vo im bt u B0 , U = trờn { = } Ta s m rng u ton b khụng gian qua hai bc sau: (a) t h(x) = u(x) Ex (f (Br ); < ) T cỏc nh lý 3.1.5 v 3.1.4 ta suy rng: h b chn v tha (3.1) vi hm biờn f 60 (b) t M = h v (x) = h(x) + M Px ( = ) nu x G nu x Gc Bõy gi, hon thnh chng minh ta s chng t rng (x) = Px ( = ) Khi ú, ta s cú kt qu mong mun lp tc (i) Khi hn ch trờn G, tha 3.1 vi hm biờn f Tht vy, t chng minh ca nh lý 3.1.9 ta suy M Px ( < ) tha 3.1 vi hm biờn f Kt hp vi (a), ta cú kt qu mong mun (ii) Tht vy, s dng nh lý dng chn cho martingale h(Bt ) ti thi im t, v chỳ ý rng h(B ) = 0, ta cú h(x) = Ex (h(Bt ); > t) Cho t , ta c h(x) M Px ( > t) M Px ( = ) (iii) (Bt ) l mt martingale di Tht vy, s dng tớnh cht Markov ta ch cn chng t rng, vi mi x v t, thỡ (x) Ex (Bt ) Vỡ nu x G chng minh iu ny cho x G, t (i) suy Wt = (Bt ) l martingale a phng b chn trờn [0, ) v W = trờn { < }, s dng nh lý dng chn, ta c: (x) = Ex (W t ) = Ex ((Bt ); > t) Ex ((Bt )) (iv) Tn ti hng s cho (x) = Px ( = ) Do l martingale di b chn nờn cho t , (Bt ) hi t ti mt gii hn W p dng lp lun nh lý 3.1.9 suy ra, tn ti mt hng s Px (W = ) = vi mi x Cho t , ta c (x) = Ex ((Bt ); > t) 61 Sau ú, s dng hi t b chn ta thu c (iv) nh lý c chng minh xong 3.2 Phng trỡnh Poisson Trong mc ny, chỳng ta xem iu gỡ xy thờm mt hm ca x vo phng trỡnh mc trc trc C th, chỳng ta s nghiờn cu: u C v u = g G, (3.5) Ti mi im ca G, u l liờn tc v u = (3.6) Bc u tiờn gii (3.5)-(3.6) l tỡm mt martingale a phng nh lý 3.2.1 Cho = inf{t > : Bt / G} Nu u tho (3.5) thỡ t Mt = u(Bt ) + g(Bs )ds l martingale a phng trờn [0, ) Chng minh p dng cụng thc vi phõn Ito ta c t u(Bt ) u(B0 ) = u(Bs )dBs + t u(Bs )ds vi t < T õy suy (3.2.1) vỡ u = g v s hng u tiờn v phi l mt martingale a phng trờn [0, ) Tip theo ta chng minh nh lý v tớnh nht nh lý 3.2.2 Gi s rng G v g l b chn Nu cú mt nghim ca (3.5)(3.6) b chn, thỡ nú phi l: v(x) Ex g(Bt )dt 62 Chng minh Nu u tha (3.5) thỡ Mt nh ngha (3.2.1) l mt martingale a phng trờn [0, ) Nu G l b chn thỡ Ex < vi mi x G Nu u v g l b chn thỡ vi t < : |Mt | u + g Vỡ v phi l kh tớch, M lim Mt = t g(Bt )dt u(x) = Ex M0 = Ex (M ) = v(x) nh lý 3.2.3 Gi s rng G l b chn v g l liờn tc Nu v C thỡ nú tha (3.5) Chng minh Theo tớnh cht Markov ta cú trờn > s: s g(Bt )dt|F Ex = g(Bt )dt + v(Bs ) V trỏi l mt martingale a phng trờn [0, ) nờn v phi cng vy Nu v C ú lp li cỏc phộp tớnh nh chng minh ca nh lý 3.2.1 ta thy rng vi s [0, ): s v(Bs ) v(B0 ) + s g(Br )dr = ( v + g)(Br )dr + martingale a phng V trỏi l mt martingale a phng trờn [0, ) vỡ vy tớch phõn v phi cng vy Tuy nhiờn, tớch phõn ny l liờn tc v cú bin phõn a phng b chn vỡ vy nú phi ng nht bng Vỡ v + g l liờn tc G nờn nú cng phi ng nht bng G nh lý 3.2.4 Gi s G v g l b chn Cho y l mt im chớnh ca G Nu xn G v xn thỡ v(xn ) 63 Chng minh Chỳng ta bt u bng cỏch quan sỏt: (i) Nu > thỡ Pxn ( > ) (ii) Nu G l b chn thỡ C = supx Ex < v ú v C g < Gi s > 0, s dng tớnh cht Markov ta cú: |v(xn )| Exn |g(Bs )|ds + Exn | g(Bs )ds|; > < g + Exn (|v(B )|; > ) g + v Pxn ( > ) Cho n v 0, v s dng (i) v (ii) ta suy iu phi chng minh Cui cựng, chỳng ta n vi nhng cõu hi v trn Ta gi nh rng g c xỏc nh trờn Rd v cú giỏ compact Gi s G l b chn v giỏ tr ca g trờn Gc l khụng liờn quan vi (3.5)(3.6) Do vy khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s rng g(x)dx = Ta bt u vi trng hp d Ta cú |g(Bt )|dt < (x) = Ex v l mt hm b chn ca x iu ny cú ngha l ta cú th nh ngha: (x) = Ex g(Bt )dt S dng tớnh cht Markov mnh ta cú kt lun: (x) = Ex g(Bt )dt + Ex (B ) Do ú v(x) = (x) Ex (B ) (3.7) 64 nh lý 3.1.5 cho ta bit rng s hng th hai l C G Do ú chng minh v C chỳng ta ch cn chng minh l C Chng minh ny l n gin vỡ |x y|2d g(y)dy (x) = Cd o hm u tiờn l n gin nh lý 3.2.5 Nu g l b chn v cú giỏ compact, thỡ l C v tn ti mt hng s C ch ph thuc vo d cho: |Di (x)| C g {g=0} dy < |x y|d1 Chng minh D thy rng biu thc chỳng ta cho bi vi phõn di du tớch phõn l hi t 2d Di |x y| = 2d d/2 (xj yj ) 2(xi yi ) j Ly vi phõn di du tớch phõn ta c Di (x) = Cd (2 d) (xi yi g(y)dy |x y|d Tớch phõn trờn v phi l hi t vỡ | xi y i g(y)|dy g |x y|d {g=0} dy < |x y|d1 Nu i = j thỡ ta cú: Dij |x y|2d = (2 d)(d)|x y|d2 (xi yi )(xj yj ) S dng c lng trờn dn n: |Dij |x y|2d | C|x y|d 65 khụng l kh tớch a phng Tng t nh nhng mc trc, nu g l liờn tc Hăolder cp thỡ ta cú th b sung thờm mt lng |x y| thay i kt qu Chng minh chi tit l di dũng nờn ta s tha nhn kt qu nh lý 3.2.6 Nu g l liờn tc Hăolder thỡ l C Tng hp (3.7) v nh lý (3.2.6) ta cú: nh lý 3.2.7 Gi s rng G l b chn Nu g l liờn tc Hăolder thỡ v C v tha (3.5) Ku qu cui cựng gii quyt cõu hi v nhn d m rng kt qu vi d 2, ta cn tỡm mt thay th cho () Ta cho: (x) = G(x, y)g(y)dy ú G xỏc nh bi log(|x y|) G(x, y) = |x y| d=2 d=1 G c nh ngha l: {pt (x, y) at } dt, ú at c chn cho tớch phõn hi t Vy nu gdx = ta thy rng: T G(x, y)g(y)dy = lim Ex T g(Bt )dt S dng bin ny ta suy (*) ỳng Vỡ vy bng tớnh toỏn gii tớch thụng thng ta s chng minh c l C 66 3.3 Phng trỡnh Schră odinger Trong bi ny, chỳng ta xem xột iu gỡ xy ta thờm cu vo v trỏi ca bi toỏn Dirichlet C th, ta s nghiờn cu u C v (3.8) u + cu = 0, Ti mi im ca G, u l liờn tc v u = f (3.9) Bc u tiờn gii (3.8)-(3.9) l tỡm mt martingale a phng nh lý 3.3.1 Cho = inf{t > : Bt / G}, Nu u tho (3.8) thỡ t Mt = u(Bt )exp( c(Bs )ds) l mt martingale a phng trờn [0, ) Chng minh Cho ct = t c(Bs )ds p dng cụng thc vi phõn Ito ta c t u(bt ) u(B0 ) = t exp(cs )(Bs ).dBs + u(Bs )exp(cs )dcs + t u(Bs )exp(cs )ds vi t < iu ny chng minh nh lớ vỡ dcs = c(Bs )ds , u + cu = v s hng u tiờn v phi l mt martigale a phng trờn [0, ) Ta nhn thy rng hm v(x) Ex (f (B ) exp(c )), khụng phi l nghim b chn ca phng trỡnh Schrăodinger nh cỏc phn trc Tht vy, ta xột vớ d n gin sau Vớ d 3.3.1 Cho d = 1, G = (a, a), c v f 1, ta xột phng trỡnh : u + u = u(a) = u(a) = 67 Nghim tng quỏt l A cos bx+B sin bx vi b = Vy nu ta mun iu kin biờn c tha ta phi cú: =A cos ba + B sin ba =A cos(ba) + B sin(ba) = A cos ba B sin ba Suy = 2A cos ba v = 2B sin ba T ú ta luụn cú B = v chỳng ta cú th hoc khụng th tỡm c A Nu cos ba = thỡ khụng tn ti A Nu cos ba = thỡ u(x) = cos bx/ cos ba l mt nghim Chỳng ta cú th chng t rng nu ab < thỡ: v(x) = cos bx/ cos ba Tuy nhiờn iu ny cha chc ó ỳng ab > /2 vỡ v(x) v phi cú th õm vi mt vi giỏ tr ca x Trc tiờn ta chng t rng nu c(Bs )ds (x) = Ex exp thỡ ta cú th tớnh toỏn nh nhng phn trc Bc u tiờn ta xột b sau: B 3.3.1 Cho > vi mi > cho nu H l mt m vi o Lebesgue |H| v H = inf {t > : Bt / H} thỡ: sup Ex (exp(H )) x Cho c = supx |c(x)| Bi (3.8) ta cú th chn r0 nh tựy ý nu Tr = inf {t : |Bt B0 | > r} v r r0 thỡ Ex exp(c Tr ) vi mi x B 3.3.2 Cho r0 , nu D(x, 2) G v y D(x, ) thỡ: (y) 2d+2 (x) 68 Ta thy nu (x) < thỡ kộo theo (y) < vi y D(x, ) nh lý 3.3.2 Cho G l mt m liờn thụng Nu thỡ: (x) < , x G nh lý 3.3.3 Cho G l mt m liờn thụng vi o Lebesgue hu hn, |G| < Nu thỡ: sup (x) < x Vi nh lớ (3.3.3), ta ó sn sng chng minh tớnh nht ca nghim trỡnh by n gin húa kt qu ta s lp cỏc gi thit sau cho phn cũn li ca mc ny (A1) G l mt m liờn thụng b chn (A2) f v c l b chn v liờn tc (A3) nh lý 3.3.4 Nu cú nghim ca (6.1) l b chn thỡ nú phi l: v(x) Ex (f (Br ) exp(c )) Ta xem xột n tớnh nht Bc tip theo bi l n gin nh cỏc gi thit (3.3)(3.3)(3.3) nh lý 3.3.5 Nu v C thỡ nú tha (3.8) G nh lý 3.3.6 v tha (3.9) ti mi im chớnh ca G Cui cựng ta xỏc nh no v l nhn cú mt nghim S dng cỏc th thut tng t c s dng nh bi 4.3 rỳt gn cỏc trng hp Ta bt 69 u bng thit lp ng nht thc ú nú dng vi mi t v chuyn ng Brown bc ú nú dng t = (): exp c(Bs )ds =1+ c(Bs ) exp 0 c(B )dr ds s Nhõn thờm f (B ) v ly giỏ tr kỡ vng c: Ex c(Bs ) exp v(x) = Ex f (B ) + c(B )dr f (B )1(s< ) ds s S dng iu kin trờn Fs v tớnh cht Markov, ta cú th vit biu thc trờn nh sau: Ex (c(Bs )v(Bs ); > s)ds v(x) =Ex f (B ) + v1 (x) + v2 (x) S hng th nht v1 (x) l C bi (4.6) S hng th hai l: v2 (x) = Ex c(Bs )v(Bs )ds Do ú nu ta cho g(x) = c(x)v(x) thỡ ta cú th ng dng kt qu t phn cui cựng Nu c v f l b chn v thỡ v l b chn bi nh lớ (3.3.3) Nờn ta cú v2 l C v nú cú o hm b chn Khi v1 C v G l b chn thỡ v l C v cú o hm b chn Nu c l liờn tc Holder thỡ g(x) = c(x)v(x) l liờn tc Holder Hn na, chỳng ta cú th s dng nh lớ (3.2.6) t phn cui cựng kt lun v2 C v ú: nh lý 3.3.7 Nu ngoi (A1)-(A3), c l liờn tc Holder thỡ v C v hin nhiờn tha (3.8) 70 Kt lun Lun trỡnh by cỏc kt qu sau: S lc v phộp tớnh vi tớch phõn ngu nhiờn i vi semi-martingale Biu din xỏc sut ca nghim cỏc phng trỡnh parabolic v elliptic Nghiờn cu tớnh cht ca nghim phng trỡnh parabolic v elliptic thụng qua cỏc biu din xỏc sut Mụ phng nghim phng trỡnh parabolic thụng qua cỏc biu din xỏc sut v phng phỏp Monte-Carlo Hng nghiờn cu tip theo ca lun l mụ phng nghim phng trỡnh elliptic thụng qua cỏc biu din xỏc sut v phng phỏp Monte-Carlo 71 Ti liu tham kho [1] R Durrett (1996) Stochastic Calculus: A practical introduction, CRC Press [2] I Karatzas, S E Shreve (1991) Brownian motion and stochastic calculus, Second edition, Graduate Texts in Mathematics, 113 Springer - Verlag, New York [...]... dụng phép đối xứng quay, ta thu được ∞ ∞ 1D (Bs )ds = E0 Ex 0 ∞ 1D (Bs )ds < E0 Γ 1D (Bs )ds 0 Chương 2 Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu phương trình Parabolic 2.1 Phương trình truyền nhiệt Trong phần này ta sẽ quan tâm đến phương trình: 1 u ∈ C 1,2 và ut = ∆u trong (0, ∞) × Rd 2 (2.1) u là hàm liên tục tại mọi điểm trên miền {0} × Rd và u(0, x) = f (x) (2.2) Phương trình trên được gọi là phương. .. khi f liên tục Ở đây, g = ut − 21 ∆u, vì thế phương trình trong (2.3) không thể xảy ra với u ∈ C 1,2 trừ khi g(t, x) là liên tục Hơn nữa, nếu u1 là một nghiệm của phương trình với f = f0 và g = 0 và u2 là một nghiệm của phương trình với f = 0 và g = g0 thì u1 + u2 cũng là một nghiệm của phương trình với f = f0 và g = g0 Đầu tiên ta tìm một martingale địa phương Định lý 2.2.1 Nếu u thỏa mãn (2.3) thì... Do đó ta có vế phải của phương trình trên là một martingale địa phương Vì vậy Ms = u(t − s, Bs ) là một martingale địa phương Bước tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý về tính duy nhất Định lý 2.1.2 Nếu phương trình (2.1)-(2.2) có nghiệm bị chặn thì nghiệm đó phải có dạng v(t, x) = Ex f (Bt ) Ở đây ta sẽ kí hiệu u là nghiệm tổng quát của phương trình và v là nghiệm đặc biệt Chứng minh Nếu ta giả thiết... )t≥0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn supt≥0 E[Xt+ ] < ∞ Khi đó X∞ (w) = limt→∞ Xt (w) tồn tại với hầu chắc chắn mọi w ∈ Ω và E[|X∞ |] < ∞ Định nghĩa 1.1.6 Quá trình ngẫu nhiên (Mt )t≥0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (τn )n≥0 tăng tới ∞ hầu chắc chắn sao cho với mọi n ≥ 0, quá trình ngẫu nhiên Mtn = Mt∧τn là một martingale Martingale địa phương. .. triển duy nhất thành một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ L2 (νM ) lên L2 (Ω, F, P) Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi I(f ) = fs dMs Bây giờ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên là một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi t It (f ) ≡ fs dMs ≡ fs I[0,t] (s)dMs 0 Định lý 1.3.2 Qtnn (It (f ))t≥0 là martingale thuộc M2,c với quá trình Meyer t fs2 d M s I(f ) t = 0 Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh định lí cho... = σ(G) 1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương Kí hiệu L0 tập tất cả các qtnn đơn giản ft có dạng n−1 ft (w) = fj (w)I(tj ,tj+1 ] (t), j=1 trong đó 0 ≤ t0 < < tn và fj là bnn Ftj -đo được 17 Giả sử ta cố định một qtnn M ∈ M2,c Với f ∈ L0 , ta xác định tích phân Itô như sau n−1 I(f ) = fj (Mtj+1 − Mtj ) fs dMs = (1.2) j=1 Sau đây là một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Mệnh đề... bình phương khả tích địa phương nếu E(|Mtn |2 ) < ∞ với mọi n ≥ 1, mọi t ≥ 0 Kí hiệu tập tất cả các martingale địa phương liên tục bởi Mcloc và tập tất cả các martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bởi M2,c loc Định lý 1.1.4 Cho X là martingale địa phương liên tục Nếu S < T là thời điểm dừng và XT ∧t là martingale khả tích đều thì E(XT FS ) = XS Định lý 1.1.5 Nếu X là martingale địa phương. .. u(t − s, Bs ) + 0 là một martingale địa phương trên [0, t) Chứng minh Áp dụng công thức tích phân Itô, ta có: s u(t − s, Bs ) − u(t, B0 ) = 0 1 (−ut + ∆u)(t − r, Br ) + 2 s u(t − r, Br )dBr 0 Thay vào ta có −ut + 12 ∆u = −g và hai biểu thức ở vế phải là martingale địa phương Bước tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất Định lý 2.2.2 Giả sử g bị chặn, nếu tồn tại một nghiệm của phương trình (2.3)(2.4) thỏa... phương Vế trái là một martingale địa phương vì vậy tích phân vế phải cũng là martingale địa phương Do tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn địa phương Áp dụng kiến thức chuẩn bị, ta có tích phân phải đồng nhất bằng 0 Bước tiếp theo ta sẽ tìm điều kiện để v thỏa mãn (2.4) Ta sẽ bắt đầu bằng việc giả sử tất cả các hàm đều bị chặn 34 Định lý 2.2.4 Nếu g bị chặn thì v thỏa mãn (2.4) Chứng minh Nếu... )|Fs ) = EBs (f (Bt − s)) = v(t − s, Bs ) Vế trái là một martingale vì thế vế phải cũng là một martingale Nếu v ∈ C 1,2 , lặp lại tính toán như chứng minh định lý (2.1.1), ta có s v(t − s, Bs ) − v(t, B0 ) = 0 1 (−vt + ∆v)(t − r, Br ) dr + martingale địa phương 2 Vế trái là một martingale nên tích phân ở vế phải cũng là một martingale Tuy nhiên, tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn nên nó