Phương pháp chỉnh hóa tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————– NGUYỄN ĐỨC TỚI PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV CHO BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————– NGUYỄN ĐỨC TỚI PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HĨA TIKHONOV CHO BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Đức Tới LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn; q Thầy, Cơ giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn Khóa 31 tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Quý Mười - Trưởng phòng KH&HTQT, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, người Thầy trực tiếp giảng dạy, người hướng dẫn khoa học Với kiến thức, kinh nghiệm quý báu, Thầy ân cần bảo, giúp đỡ tác giả tự tin, vượt qua khó khăn, trở ngại q trình nghiên cứu để hồn thành luận văn Xin bày tỏ lịng biết ơn tác giả đến Lãnh đạo Trường THPT Ngô Mây tỉnh Kon Tum đồng nghiệp, người thân động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Dù tác giả cố gắng, song Luận văn tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận góp ý, dẫn q Thầy, Cơ giáo, bạn đồng nghiệp người quan tâm đến đề tài nghiên cứu Xin chân thành cám ơn! Tác giả Nguyễn Đức Tới MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ 1.1 KHÔNG GIAN HÀM 1.2 TOÁN TỬ BỊ CHẶN VÀ TOÁN TỬ COMPACT 1.3 BÀI TỐN NGƯỢC VÀ BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH 11 1.3.1 Bài tốn ngược ví dụ 12 1.3.2 Bài tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh 13 1.4 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA 17 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH 20 2.1 TỐN TỬ CHỈNH HĨA 20 2.2 TÍNH ĐẶT CHỈNH CỦA TỐN TỬ CHỈNH HÓA 2.3 TỐC ĐỘ HỘI TỤ 24 26 CHƯƠNG NGHIỆM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 32 3.1 BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN 32 3.1.1 Phát biểu toán 32 3.1.2 Rời rạc toán 33 3.1.3 Tính đặt khơng chỉnh tốn 34 3.1.4 Áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 34 3.2 BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG VIỆC THĂM DÒ ĐỊA CHẤT 37 3.2.1 Phát biểu toán 37 3.2.2 Rời rạc toán 38 3.2.3 Tính đặt khơng chỉnh tốn 38 3.2.4 Áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU L(X, Y ) C[a, b] D (K) dimX I inf L2 [a, b] R (K) Rα (Rα , α) sup K∗ α K (µj , xj , yj ) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Không gian hàm số thực liên tục [a, b] Miền xác định toán tử K Số chiều khơng gian X Tốn tử đơn vị Cận Khơng gian hàm số bình phương khả tích [a, b] Miền giá trị tốn tử K Tốn tử chỉnh hóa Phương pháp chỉnh hóa Cận Toán tử liên hợp toán tử K Tham số chỉnh hóa Chuẩn tốn tử K Hệ kỳ dị tốn tử tuyến tính compact khảo sát MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán ngược đặt từ lâu, nhu cầu cần giải toán cần thiết có ý nghĩa nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định [1,7] Người ta nói tốn tốn đặt khơng chỉnh Do tính khơng chỉnh tốn mà đặc biệt tính khơng ổn định nghiệm nên người ta phải tập trung tìm phương pháp để chỉnh hố nó, nghĩa tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục theo kiện, hay nói cách khác sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu để ứng dụng tính số tốn cụ thể Một phương pháp quan trọng để chỉnh hố phương pháp Tikhonov Với nhu cầu muốn tìm hiểu sở lý thuyết, giải thuật ứng dụng toán ngược sở gợi ý giảng viên hướng dẫn, chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho tốn ngược tuyến tính ứng dụng” làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tốn ngược tuyến tính phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải tốn ngược tuyến tính ứng dụng phương pháp vào giải số toán khác Đối tượng nghiên cứu - Bài tốn ngược tuyến tính đặt khơng chỉnh - Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu báo, tài liệu liên quan đến tốn ngược, tốn đặt khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo tài liệu khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp chỉnh hố Tikhonov cho tốn ngược tuyến tính ứng dụng - Ứng dụng phần mềm toán học Mathlab, để giải tốn đặt khơng chỉnh phương pháp chỉnh hóa Tikhonov nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng, sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến phương pháp giải toán ngược Cấu trúc luận văn Bố cục luận văn bao gồm: mục lục, danh mục ký hiệu, mở đầu, nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn chia làm chương: Chương 1, chúng tơi trình bày lý thuyết toán ngược phương pháp chỉnh hố Trong chương này, chúng tơi nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, nêu tốn ngược, tốn đặt khơng chỉnh lý thuyết phương pháp chỉnh hoá Chương 2, phương pháp chỉnh hố Tikhonov Trong chương này, chúng tơi trình bày tốn tử chỉnh hố Tikhonov, tính đặt chỉnh toán tử chỉnh hoá tốc độ hội tụ Chương 3, nghiệm số ứng dụng Chương dành cho việc trình bày ứng dụng phương pháp chỉnh hoá Tikhonov để giải số toán cụ thể CHƯƠNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm định nghĩa khơng gian định chuẩn, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, khái niện chuẩn, quan hệ trực giao, hệ trực chuẩn, tốn tử tuyến tính liên tục tốn tử compact Đầu tiên, chúng tơi nhắc lại vài tính chất khơng gian hàm tốn tử tuyến tính Sau đó, chúng tơi trình bày khái niện tốn ngược, tốn đặt khơng chỉnh Cuối cùng, chúng tơi trình bày khái niệm lý thuyết chỉnh hóa tốn ngược tuyến tính Các khái niệm, tính chất định lý trình bày trích từ tài liệu [1, 2, 3, 5, 7] Để hiểu chi tiết hơn, người đọc tham khảo tài liệu 1.1 KHÔNG GIAN HÀM Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực R ánh xạ :X→R thỏa mãn tiên đề sau: x→ x 1) x ≥ với x ∈ X ; x = x = 2) αx = |α| x với x ∈ X với α ∈ R 3) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Khi đó, gọi chuẩn X , cặp (X, ) gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn trường số thực R 40 Hình 3.4: Nghiệm xác nghiệm Hệ phương trình (3.6) ứng với n = 10 (trên cùng), n = 20 (ở giữa) n = 100 (cuối cùng) 41 Hình 3.5: Nghiệm xác nghiệm Hệ phương trình (3.8) 42 Hình 3.6: Nghiệm xác nghiệm Hệ phương trình (3.8) với n = 100 (hình trên) n = 1000 (hình dưới) 43 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: • Hệ thống số kết giải tích hàm nhằm phát biểu điều kiện để áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov • Mơ tả tốn thuận tốn ngược, tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh • Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải tốn ngược tuyến tính • Áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải số tốn cụ thể Luận văn trình bày cách rời rạc tốn viết chương trình giải tốn phương pháp chỉnh hóa Tikhonov mơi trường Matlab Các nghiệm số xấp xỉ nghiệm xác để minh họa tính hiệu phương pháp 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kì Anh Nguyễn Bường (2007), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hồng Tuỵ (1978), Giải tích đại, T 1,2,3, NXB Giáo Dục [3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2003), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [4] D Colton (1988), Patial differential equations, Random House, New York [5] A.N Tikhonov (1963), Regularization of inorrectly posed problems and the regularizationn method, Dokl Acad Nauk SSSR Math., 4, 16241627 (in Russian) [6] C W Groetsch (1993), Inverse problems in mathematical sciences, Vieweg [7] A Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, (Second Edition) - Applied Mathematical Sciences Springer-Verlag, NY, Inc [8] J Baumeister (1987), Stable solution of inverse problems, Vieweg [9] A N Tikhonov, V Y Arsenin (1977), Solution of ill - posed problems, Winston and Sons, Washington [10] N Buong (2005), ”On monotone ill-posed problems”, Acta Mathematica Sinica, 21 (5), pp 1001-1004 ... ? ?Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho tốn ngược tuyến tính ứng dụng? ?? làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tốn ngược tuyến tính phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải tốn ngược tuyến. .. áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov • Mơ tả tốn thuận tốn ngược, tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh • Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải tốn ngược tuyến tính • Áp dụng phương pháp chỉnh. .. vậy, phương pháp chỉnh hóa bao gồm việc xây dựng họ tốn tử chỉnh hóa Rα phương pháp chọn tham số chỉnh hóa α = α (δ) chấp nhận 20 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN NGƯỢC TUYẾN TÍNH