Bài toán bù tuyến tính và ứng dụng

Chẳng hạn, thuật toán xoay bù comple-mentarity pivot algorithmlúc đầu được đề xuất cho bài toán bù tuyến tính đã được mở rộng trựctiếp để tạo ra các thuật toán hiệu quả tính điểm bất độn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VƯƠNG THỊ HUỆ CHI

BÀI TOÁN BÙ TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2014

Mục lục

1.1 Bài toán bù tuyến tính (LCP) 4

1.1.1 Mô tả bài toán 4

1.1.2 Nguồn gốc bài toán bù tuyến tính 7

1.2 Quan hệ với các bài toán VI và MPEC 12

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 12

1.2.2 Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng 15 1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP 18

Chương 2 Phương pháp giải bài toán bù tuyến tính 21 2.1 Phương pháp Lemke 21

2.1.1 Phương pháp Lemke 21

2.1.2 Ví dụ minh họa 24

2.1.3 Sự hội tụ hữu hạn 27

2.2 Phương pháp điểm trong 31

Chương 3 Một số ứng dụng của bài toán bù tuyến tính 35 3.1 Trò chơi Steckelberg 35

3.2 Trò chơi song ma trận 36

3.2.1 Trò chơi song ma trận 36

3.2.2 Nghiệm trò chơi song ma trận 39

Lời nói đầu

Bài toán bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắt làLCP), do R W Cottle và G B Dantzig đề xuất năm 1968, là bài toántổng quát mô tả thống nhất các bài toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạchtoàn phương và trò chơi song ma trận Các nghiên cứu về bài toán bùtuyến tính đã đem lại nhiều lợi ích, vượt ra ngoài khuôn khổ bài toán

bù Chẳng hạn, thuật toán xoay bù (comple-mentarity pivot algorithm)lúc đầu được đề xuất cho bài toán bù tuyến tính đã được mở rộng trựctiếp để tạo ra các thuật toán hiệu quả tính điểm bất động Brouwer vàKakutani, tính các trạng thái cân bằng kinh tế, giải các hệ phương trìnhphi tuyến và tìm nghiệm tối ưu cho các bài toán qui hoạch phi tuyến

cho trước Ký hiệu bài toán này là LCP (q, M) hay đơn giản là LCP nếu

Bài toán bù tuyến tính LCP (q, M) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết

và thực tiễn, như trong qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận,cân bằng thị trường và trong nhiều bài toán kinh tế, công nghiệp và vật

lý khác

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày khái quát về bàitoán bù tuyến tính, mối quan hệ giữa bài toán bù tuyến tính với bài toánbất đẳng thức biến phân và bài toán qui hoạch toán học với ràng buộccân bằng Tìm hiểu các phương pháp giải chính và một số ứng dụng củabài toán bù tuyến tính vào mô hình trò chơi

Luận văn được viết thành ba chương

Chương 1 “Bài toán bù tuyến tính" trình bày các khái niệm cơ bản

về bài toán bù tuyến tính, nguồn gốc bài toán và sự tồn tại duy nhấtnghiệm của bài toán Bài toán bù có nhiều ứng dụng và liên quan chặtchẽ với một số bài toán dạng tổng quát hơn, hiện đang rất được quantâm nghiên cứu, đó là bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán qui

hoạch toán học với ràng buộc cân bằng Vì thế trong chương cũng sẽ đềcập tới hai bài toán này.

Chương 2 “Phương pháp giải bài toán bù tuyến tính” giới thiệu haiphương pháp tiêu biểu giải bài toán bù tuyến tính: phương pháp Lemke(1968) và phương pháp điểm trong (Kojima, 1988) Phương pháp Lemke

có nhiều điểm giống với phương pháp đơn hình trong qui hoạch tuyếntính, nhưng khác ở cách chọn biến để đưa vào cơ sở, phương pháp nàycho phép giải bài toán bù tuyến tính không suy biến sau một số hữuhạn bước Tuy vậy, trong trường hợp xấu nhất thời gian chạy của nó làmột hàm mũ Phương pháp điểm trong dựa trên ý tưởng các thuật toánđiểm trong giải qui hoạch tuyến tính, cho phép giải bài toán bù tuyếntính với ma trận M nửa xác định dương trong thời gian đa thức

Chương 3 "Một số ứng dụng của bài toán bù tuyến tính" trình bày hai

mô hình trò chơi thường gặp trong các ứng dụng của bài toán bù tuyếntính: trò chơi Stackelberg và trò chơi song ma trận Trò chơi Stackelbergliên quan chặt chẽ với bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cânbằng (MPEC) và là sự mở rộng ý tưởng của trò chơi Nash Có thể tìmnghiệm cân bằng Nash của trò chơi song ma trận nhờ lập và giải mộtbài toán bù tuyến tính thích hợp

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn nàycòn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạnđóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này

Nhân dịp này tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS

TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm Luậnvăn Tác giả trân trọng cảm ơn các giảng viên Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giảhọc tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014

Tác giả

Vương Thị Huệ Chi

Chương 1

Bài toán bù tuyến tính

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về bài toán bù tuyếntính, nguồn gốc bài toán và sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán.Bài toán bù có nhiều ứng dụng và liên quan chặt chẽ với một số bài toándạng tổng quát hơn, hiện đang rất được quan tâm nghiên cứu, đó là bàitoán bất đẳng thức biến phân và bài toán qui hoạch toán học với ràngbuộc cân bằng, vì thế trong chương sẽ giới thiệu về hai bài toán này Nộidung của chương được tham khảo từ các tài liệu [3], [4], [6] và [7]

Bài toán bù tuyến tính (Linear Complementarity Problem, viết tắtLCP) là bài toán tìm một véctơ trong không gian véctơ thực hữu hạnchiều thỏa mãn một hệ bất đẳng thức nào đó Cụ thể, bài toán bù tuyếntính được phát biểu như sau

gọi là chấp nhận được chặt Bài toán LCP (q, M ) gọi là chấp nhận được(hay chấp nhận được chặt ) nếu có tồn tại véctơ chấp nhận được (haychấp nhận được chặt) Tập tất cả các véctơ chấp nhận được của bài toánLCP (q, M ) gọi là miền chấp nhận được và ký hiệu là FEA (q, M ) Đặt

Véctơ chấp nhận được z của LCP (q, M ) thỏa mãn (1.3) khi và chỉkhi

gọi là một cặp bù và chúng được gọi là bù nhau Véctơ z thỏa mãn (1.5)được gọi là các véctơ bù Vì thế, LCP là bài toán tìm véctơ chấp nhậnđược và bù Một véctơ như thế gọi là một nghiệm (solution) của LCP.Bài toán LCP (q, M ) gọi là giải được (solvable) nếu nó có nghiệm Kýhiệu tập nghiệm của LCP (q, M ) là SOL (q, M ) Chú ý là nếu q ≥ 0 thìLCP (q, M ) luôn giải được với véctơ 0 là nghiệm tầm thường

Cách xác định w như trên thường được dùng để diễn đạt theo cáchkhác của bài toán LCP (q, M ), thuận tiện hơn cho xây dựng các thuật

thỏa mãn (1.4) và (1.5) Để tiện cho trích dẫn về sau, ta viết lại các điềukiện (1.1) - (1.4) của bài toán LCP dưới dạng

w ≥ 0, z ≥ 0,

w = q + M z,

Constraint) và có thể viết dưới dạng z⊥w, trong đó ⊥ là ký hiệu "vuônggóc"

Trường hợp riêng của bài toán LCP (q, M ) khi q = 0 rất đáng đượcchú ý Bài toán này được gọi là bài toán bù tuyến tính thuần nhất tươngứng với ma trận M Một tính chất đặc thù của bài toán LCP (0, M ) lànếu z ∈ SOL(0, M ) thì λz ∈ SOL(0, M ) với mọi số thực λ ≥ 0 Bàitoán bù tuyến tính thuần nhất có véctơ 0 là nghiệm tầm thường Câu

hỏi "liệu bài toán đặc biệt này có nghiệm khác thường hay không" có ýnghĩa rất quan trọng về lý thuyết và thuật toán.

Ví dụ 1.1(Bài toán một chiều) Cho trước hai số thực q, m ∈ R, tìmhai biến số z, w ∈ R sao cho

z ≥ 0, w ≥ 0, w = q + mz và z(q + mz) = 0

Đó là bài toán bù tuyến tính trong R Hình 1.1 minh họa hình ảnhhình học của bài toán này trong trường hợp q > 0, m < 0 Bài toán ởHình 1.1 có 2 nghiệm:

kiện:

trong đó ⊥ là ký hiệu "vuông góc" và K∗ là nón đối ngẫu (dual cone)của K được xác định bởi

Bài toán bù tuyến tính LCP là trường hợp riêng của bài toán bù

LCP

Về lịch sử, bài toán LCP được xem như sự diễn đạt thống nhất củacác bài toán qui hoạch tuyến tính, qui hoạch toàn phương và bài toántrò chơi song ma trận Thực ra, bài toán qui hoạch toàn phương luôn đã

và sẽ tiếp tục là nguồn ứng dụng cực kỳ quan trọng của bài toán LCP.Một số thuật toán có hiệu quả cao để giải qui hoạch toàn phương là dựatrên cách diễn đạt của bài toán LCP Còn về bài toán trò chơi song matrận, bài toán LCP đã là phương tiện để khám phá ra một công cụ hiệuquả, có tính chất kiến thiết, để tính toán nghiệm cân bằng Bài toán bùtuyến tính có nhiều ứng dụng phong phú và đa dạng Trong mục này ta

sẽ mô tả một số ứng dụng cổ điển này và trong mỗi ứng dụng sẽ chỉ ramột số tính chất đặc biệt của ma trận M trong bài toán LCP tương ứng

• Qui hoạch toàn phương

Xét bài toán qui hoạch toàn phương (Quadratic Program, viết tắt làQP)

hợp Q = 0 ta nhận được bài toán qui hoạch tuyến tính (Linear Program,viết tắt là LP) Nếu x là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán

Karush-Kuhn-Tucker, gọi tắt là điều kiện KKT :

Thêm vào đó, nếu Q là ma trận nửa xác định dương, nghĩa là hàmmục tiêu f (x) là lồi thì (1.6) - (1.7) là điều kiện đủ để cho véctơ x làmột nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán qui hoạch toàn phương lồi.Các điều kiện (1.6) - (1.7) xác định bài toán bù tuyến tính LCP (q, M )với

q =

c

Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán toàn phương QP làkhi nó chỉ có các ràng buộc về dấu đối với các biến x Khi đó, bài toán

ma trận thường có nghĩa là một trò chơi hữu hạn (finite), hai người(two-person), tổng khác không (nonzero-sum) Trò chơi đối kháng haingười với tổng bằng không thường được xét trong qui hoạch tuyến tính.

Ta hình dung người chơi I có m chiến lược đơn, người chơi II có nchiến lược đơn Các chữ cái A và B trong ký hiệu trò chơi G(A, B) làcác ma trận cấp m × n với các phần tử biểu thị chi phí hai người chơiphải trả Như vậy, khi người chơi I chọn chiến lược đơn i (i = 1, , m)

và người chơi II chọn chiến lược đơn j (j = 1, , n) thì mỗi người chơi

Chiến thuật hỗn hợp (mixed strategy) hay chiến thuật ngẫu nhiên

i=1xi = 1.Chiến lược hỗn hợp của người chơi II được định nghĩa tương tự Do đó,nếu x và y là cặp chiến lược hỗn hợp tương ứng của người chơi I và II

thì chi phí kỳ vọng (trung bình) của họ lần lượt được tính bởi xTAy

nghiệm cân bằng Nash (Nash equilibrium) nếu

không người chơi nào được lợi hơn (theo nghĩa chi phí trung bình thấphơn) khi đơn phương thay đổi chiến lược của mình Kết quả cơ bản trong

lý thuyết trò chơi khẳng định rằng một nghiệm cân bằng Nash như thếluôn tồn tại

Để đưa mô hình trò chơi G(A, B) về bài toán bù tuyến tính ta giảthiết A và B là hai ma trận dương (theo mọi phần tử) Giả thiết này

một số dương đủ lớn sẽ làm chúng trở thành số dương và biến đổi nàykhông hề ảnh hưởng gì đến nghiệm cân bằng Sau đó, ta xét bài toán bùLCP

là một nghiệm của (1.8) - (1.9) với

xác định theo (1.10) là không âm Giả thiết này cũng rất cần thiết cho

quá trình giải bài toán LCP với các điều kiện (1.8) - (1.9) Véctơ q và

ma trận M xác định bài toán LCP với các điều kiện (1.8) - (1.9) đượccho bởi

Cân bằng thị trường (Market Equilibrium) là trạng thái của nền kinh

tế trong đó nhu cầu của người tiêu dùng và khả năng cung cấp của ngườisản xuất cân bằng nhau theo mức giá hiện hành Ta hãy xét một bàitoán cân bằng thị trường cụ thể mà ở đó véctơ cung được mô tả bởimột mô hình qui hoạch tuyến tính để thu hút các đặc điểm kỹ thuật haycông nghệ trong hoạt động sản xuất Hàm nhu cầu thị trường được sinh

ra bởi mô hình kinh tế lượng với giá cả hàng hóa xem như các biến độclập chính Về mặt toán học, mô hình cân bằng thị trường là tìm véctơ

(ii) về phía cầu:

giá và véctơ cầu Giả thiết Q(•) là hàm afin

(iii) điều kiện cân bằng:

với π∗ là véctơ đối ngẫu (hay véctơ giá bóng - shadow prices, tức là giácung trên thị trường) tương ứng với ràng buộc (1.12).

Để đưa mô hình trên về bài toán bù tuyến tính, ta chú ý rằng véctơ

(1.15)

(1.14), ta kết luận rằng các điều kiện (1.15) tạo nên bài toán bù tuyếntính LCP (q, M ) với

Nhận xét là ma trận M trong (1.16) là song đối xứng nếu ma trận

D là đối xứng Trong trường hợp này, bài toán LCP trên đây trở thànhđiều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán toàn phương

Bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality, viết tắt là VI) baogồm lớp bài toán rộng hơn bài toán bù tuyến tính LCP Cách phát biểu

toán học của bài toán bất đẳng thức biến phân như sau.

Các véctơ trong tập này được gọi là véctơ pháp tuyến (ngoài) của tập

nghiệm của VI (K, F ) khi và chỉ khi −F (z) là véctơ pháp tuyến của K

hỏi z và F (z) không âm, tức là z, F (z) ∈ Rn+ Các ràng buộc nhận được

0 ≤ z⊥F (z) ≥ 0

Đó là ràng buộc bù của bài toán LCP Định lý sau cho thấy rằng bài

bài toán bù tuyến tính LCP (q, M ) có tập nghiệm trùng nhau hoặc cùng

vô nghiệm

nhận được

tới mâu thuẫn), nghĩa là z là một nghiệm của bài toán LCP (q, M).Ngược lại, giả sử z là một nghiệm của bài toán LCP (q, M ), tức là

Có thể mở rộng định lý trên cho bài toán bù CP ở dạng tổng quát(xem Định nghĩa 1.2) Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân

VI (K, F) và bài toán bù CP (K, F) với K là một nón được nêu trongkết quả cơ bản sau

nghiệm của bài toán VI (K, F ) khi và chỉ khi z là một nghiệm của bàitoán CP (K, F )

Chứng minh Giả sử z là một nghiệm của bài toán VI (K, F ), tức

y = 0 ta nhận được

Hơn nữa, do z ∈ K, K là một nón nên 2z ∈ K và với y = 2z ta được

bài toán bù CP (K, F )

Ngược lại, giả sử z là một nghiệm của bài toán bù CP (K, F ), tức

Qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (Mathematical Programswith Equilibrium Constrains, viết tắt là MPEC) là một hướng nghiêncứu hoàn toàn mới và là hướng mở rộng của tối ưu hai cấp (BilevelProgramming, viết tắt là BP) Các ràng buộc cân bằng thường đượcbiểu thị dưới dạng một hệ bù hay một bất đẳng thức biến phân, trong

đó dạng đầu là trường hợp riêng của dạng sau MPEC có phạm vi ứngdụng rộng rãi, chẳng hạn trong kinh tế và trong nghiên cứu thị trườngđiện năng Các khái niệm của MPEC bắt nguồn từ các khái niệm kinh

tế trong trò chơi Stackelberg Trò chơi Stackelberg và trò chơi song matrận sẽ được đề cập chi tiết hơn ở Chương cuối của luận văn

MPEC là bài toán tối ưu được phân thành hai cấp Bài toán nàyđôi khi còn gọi là bài toán qui hoạch toán học với các ràng buộc bù(Mathematical Programs with Complementarity Constraints, viết tắt làMPCC), do các ràng buộc cân bằng được mô tả bởi một hệ bù Các ràngbuộc bù lại có thể phân chia thành các bài toán bù hỗn hợp (viết tắt làMCP) và bài toán bù tuyến tính tổng quát (viết tắt là GLCP) Bài toánGLCP (còn được biết với tên gọi bài toán bù tuyến tính trên các nón)

là sự hợp nhất các lớp bài toán bù tuyến tính đơn điệu, qui hoạch tuyếntính, qui hoạch lồi toàn phương và bài toán bù tuyến tính đơn điệu hỗnhợp

Theo [6], MPEC là một bài toán tối ưu với hai nhóm biến: x ∈ Rn và

định bởi một bất đẳng thức biến phân hay một hệ bù phụ thuộc tham

số với y là các biến chính và x là véctơ tham số của bài toán

Chính xác hơn, có thể phát biểu mô hình toán học của bài toán MPEC

với C(x) 6= Ø gọi là miền hữu dụng (domain) của C và được ký hiệu là

Hàm f là hàm mục tiêu toàn thể cần tìm cực tiểu, F là hàm cân bằngcủa bài toán bên trong (ở mức dưới), Z là miền chấp nhận được đối vớicác cặp (x, y) của bài toán ở mức trên Tập C(x) xác định các giá trị ychấp nhận được đối với mỗi x ∈ X cho trước Ta giả thiết X ⊆ dom(C).Với các định nghĩa trên, dạng tổng quát của bài toán qui hoạch toán họcvới ràng buộc cân bằng MPEC như sau:

Như đã thấy ở Mục 1.2.1, bài toán bù tuyến tính là một trường hợpriêng của bài toán bất đẳng thức biến phân Hàm f là hàm mục tiêucủa bài toán ở mức trên, F là hàm cân bằng của bài toán ở mức dưới

Về mặt tính toán, dạng tổng quát này của bài toán MPEC là rất khó

giải Bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng nói chung làmột bài toán NP-khó Có một số cách diễn đạt khác của bài toán cânbằng Cách phát biểu có thiên hướng về điều kiện bù như sau (xem [7],

biến đổi thành bài toán qui hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming,

đạt bài toán MPEC như một bài toán qui hoạch phi tuyến

Sự mô tả bài toán bất đẳng thức biến phân cho thấy mối liên hệ giữabài toán MPEC và bài toán LCP Như đã thấy, các ràng buộc cân bằngcủa bài toán MPEC được diễn đạt dưới dạng các bất đẳng thức biếnphân Như vậy, do bài toán LCP là một trường hợp riêng của bất đẳngthức biến phân nên một lớp bài toán con của MPEC là những bài toán

có các ràng buộc cân bằng được xác định bởi một bài toán LCP Theonghĩa đó, LCP là một trường hợp riêng của bài toán MPEC

1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP

Tính đơn điệu là khái niệm trung tâm trong nghiên cứu sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của bài toán bù tuyến tính và bài toán bất đẳng thứcbiến phân Như sẽ đề cập tới ở chương sau, phương pháp điểm trong cóthể giải bài toán LCP đơn điệu trong thời gian đa thức Vì thế LCP đơnđiệu xem như một "bài toán dễ" Sau đây sẽ trình bày một số định lý

cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán LCP Trước tiên

ta nêu một số định nghĩa cần thiết

Định nghĩa 1.4 (Tử thức chính) Cho A là một ma trận cấp n × n

Ma trận con cấp k × k của A tạo nên bằng cách bỏ đi (n − k) hàng

và (n − k) cột như nhau của A gọi là ma trận con chính (principalsubmatrix) của A Định thức của ma trận con chính của A gọi là tử thứcchính (principal minor) của A

Một lớp ma trận đảm bảo cho bài toán LCP (q, M ) có nghiệm là lớpP-ma trận

Định nghĩa 1.5 (P-ma trận) Ma trận vuông thực M gọi là mộtP-ma trận nếu

tử thức con chính là số dương Khi đó, bài toán LCP (q, M ) có nghiệm

Như đã nói ở trên, một số kết quả chính về sự tồn tại và duy nhấtnghiệm liên quan chặt chẽ với tính đơn điệu của bài toán Có nhiều kiểuđơn điệu khác nhau và chúng có vai trò quan trọng đối với sự tồn tạinghiệm của bài toán LCP và bài toán VI Trong luận văn này tính đơnđiệu được định nghĩa như sau

gọi là

1 đơn điệu trên K nếu với mọi cặp (u, v) ∈ K × K

một ánh xạ liên tục Ký hiệu SOL (F, K) là tập nghiệm (có thể rỗng)của VI (F, K) Khi đó:

1 Nếu F đơn điệu trên K thì SOL (F, K) là một tập lồi đóng

2 Nếu F đơn điệu chặt trên K thì SOL (F, K) gồm nhiều nhất mộtphần tử

3 Nếu F đơn điệu mạnh trên K thì SOL (F, K) gồm đúng một phầntử

Sự tồn tại nghiệm được đảm bảo khi q không âm Sự kiện này sẽ được

sử dụng trong phương pháp Lemke trình bày ở chương sau

Định lý 1.5 ([7], tr 9) Nếu q không âm thì bài toán LCP (q, M )luôn giải được với z = 0 là nghiệm tầm thường

Chứng minh Chỉ cần đặt z = 0 và kiểm tra lại rằng các ràng buộctrong Định nghĩa 1.1 về bài toán bù tuyến tính LCP được thoả mãn với

Tóm lại, chương này đã đề cập tới ba bài toán tối ưu trong không gianhữu hạn chiều, liên quan chặt chẽ với nhau: bài toán bù tuyến tính LCP(q, M) (bù phi tuyến CP (K, F)), bài toán bất đẳng thức biến phân VI(K, F) và bài toán qui hoạch toán học với ràng buộc cân bằng MPEC.Bài toán bù tuyến tính (bù phi tuyến) là trường hợp riêng của bài toán

Các ràng buộc cân bằng trong bài toán MPEC thường được biểu thịdưới dạng một hệ bù hay một bất đẳng thức biến phân Bài toán MPEC

có thể xem như mở rộng của bài toán tối ưu hai cấp BP Bài toán bùtuyến tính LCP (q, M) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn,như trong qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận, cân bằng thịtrường và trong nhiều bài toán kinh tế, công nghiệp và vật lý khác