Các thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính và ứng dụng

MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Error! Bookmark not defined LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN QUY HẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Các mô hình thực tế 1.1.1 Tổng quan 1.1.2 Một số mô hình thực tế .7 1.2 Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính .10 1.3 Dạng tắc, chuẩn tắc .12 1.4 Một số phương pháp biến đổi toán quy hoạch tuyến tính 12 CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NGHIỆM BÀI TOÁN QUY HẠCH TUYẾN TÍNH .14 2.1 Một số khái niệm giải tích lồi .14 2.1.1 Tập hợp lồi .14 2.1.2 Hàm lồi 15 2.1.3 Hàm bao lồi hàm số 17 2.1.4 Dưới vi phân 19 2.1.5 Hàm D.C tập D.C 20 2.1.5.1 Hàm D.C 20 2.1.5.2 Mở rộng hàm D.C .21 2.1.5.3 Tập D.C 21 2.2 Một số tính chất chung toán quy hoạch tuyến tính 22 CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH .27 3.1 Cơ sở lý luận phương pháp đơn hình 27 3.1.1 Tư tưởng pháp đơn hình 27 3.1.2 Biểu diễn qua sở Dấu hiệu tối ưu 28 3.1.3 Tìm phương án cực biên tốt – công thức đổi sở .29 3.2 Thủ tục đơn hình – Bảng đơn hình 33 3.2.1 Các bước thủ tục đơn hình 33 3.2.2 Tính hữu hạn thuật toán .34 3.2.3 Bảng đơn hình 34 3.2.4 Thủ tục đơn hình bảng 35 3.3 Dạng ma trận thủ tục đơn hình 36 3.4 Dạng tích ma trận nghịch đảo thủ tục đơn hình 38 3.5 Tìm sở xuất phát 40 3.5.1 Phương pháp hai pha 40 3.5.2 Phương pháp đánh thuế 43 3.6 Hiện tượng xoay vòng – Cách khắc phục 44 3.7 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 44 3.7.1 Cơ sở chấp nhận đối ngẫu 44 3.7.2 Thủ tục đơn hình đối ngẫu 46 3.7.3 Thuật toán đơn hình đối ngẫu chưa biết sở xuất phát chấp nhận đối ngẫu .48 CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN 50 4.1 Định nghĩa 50 4.2 Thuật toán nhánh cận 50 4.3.Thuật toán Gomory giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 52 4.3.1 Ý nghĩa phương pháp cắt .52 4.3.2 Phương pháp cắt .53 4.3.2.1.Thuật toán Gomory thứ .54 4.3.2.2 Thuật toán Gomory thứ hai .57 CHƯƠNG 5: CÀI ĐẶT ỨNG DỤNG .59 5.1 Cài đặt thuật toán đơn hình .59 5.1.1 Thuật toán 59 5.1.2 Giao diện 60 5.2.Thuật toán đơn hình đối ngẫu 63 5.2.1.Thuật toán .63 5.2.2 Giao diện 64 KẾT LUẬN .70 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 PHỤ LỤC 72 LỜI NÓI ĐẦU Để công ty xản suất thu nhiều lãi sở hạn chế nguyên liệu, để người lái xe vận chuyển nhiều hàng với chi phí vận chuyển nhỏ vị khách du lịch mang nhiều đồ với túi cố định… Tất điều tưởng chừng chẳng có liên hệ có chung dạng toán học Bài toán nói đến toán tối ưu hóa Tối ưu hóa toán học vấn đề quan trọng Tối ưu hóa định suất hiệu công việc, giảm nhiều chi phí thời gian tiền Bài toán tối ưu lớp toán xuất phát từ thực tiễn mang tính thực tế cao Trong năm gần đây, phương pháp Tối ưu hóa ngày áp dụng sâu rộng hiệu vào ngành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin ngành khoa học khác Bài toán quy hoạch tuyến tính lớp toán tối ưu nghiên cứu trọn vẹn phương diện lý thuyết lẫn thực hành Bài toán quy hoạch tuyến tính có vị trí quan trọng trong tối ưu hóa hai lý do: thứ mô hình tuyến tính đơn giản dễ áp dụng, thứ hai nhiều toán quy hoạch nguyên quy hoạch phi tuyến xấp xỉ với độ xác cao dãy toán quy hoạch tuyến tính Điều có nghĩa toán quy hoạch tuyến tính giải hệ thống toán quy hoạch khác giải cách áp dụng liên tiếp toán quy hoạch tuyến tính Hiểu tầm quan trọng toán tối ưu trọn vẹn đầy đủ, tính xác toán quy hoạch tuyến tính, định hướng thầy giáo TS.Vũ Vinh Quang, em chọn nghiên cứu đề tài “Các thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính ứng dụng” với mong muốn sau hoàn thành đề tài em hiểu biết khám phá nhiều cài đặt ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính thực tế Mặc dù thân nỗ lực, cố gắng hoàn thành đồ án phạm vi khả cho phép chắn không tránh khỏi thiếu sót Em xin kính mong nhận cảm thông ghi nhận tận tình bảo góp ý quý Thầy Cô bạn để Đồ Án hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TOÁN QUY HẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Các mô hình thực tế 1.1.1 Tổng quan Loài người biết chọn “phương án” hành động công việc từ thời cổ đại Đầu tiên người ta biết chọn phương án “chấp nhận được”, theo tiêu chuẩn từ mức độ cảm tính đến có sở khoa học định lượng Khi có nhiều phương án chấp nhận được, điều mong muốn tự nhiên chọn tốt (tức “tối ưu”), lại theo tiêu chuẩn Dần dần người ta biết “mô hình hóa toán học” công việc mình, tức diễn đạt công việc dạng phương trình toán học, diễn giải tiêu chuẩn chấp nhận được, tiêu chuẩn tối ưu… Cùng với hình thành hoàn chỉnh phép tính vi tích phân vào kỷ 17, “bài toán cực trị” lý thuyết mô tả toán học xác toán tối ưu Đồng thời, vài kỷ vừa qua, toán kinh tế quản lý dẫn người ta đến lý thuyết tối ưu từ góc độ khác Nhưng lý thuyết toán học tối ưu hình thành phát triển mạnh lĩnh vực khoa học quan trọng từ khoảng kỷ 20 Tùy theo dạng toán nghiên cứu, đặc điểm mô hình toán học công cụ xét chúng phạm vi áp dụng… Nhiều lĩnh vực gần đan xen với lý thuyết hình thành với tên gọi khác nhau: Tối ưu hóa (optimization), quy hoạch toán học (mathematical programming), điều khiển tối ưu (optimal control)… Trong quy hoạch toán học lại có toán quy hoạch tuyến tính, toán quy hoạch phi tuyến tính nhiều lĩnh vực khác quy hoạch nguyên, toán quy hoạch phân thức, toán quy hoạch động, toán quy hoạch ngẫu nhiên… Vậy toán quy hoạch tuyến tính (linear programming) gì? Có thể tạm định nghĩa toán quy hoạch tuyến tính lĩnh vực toán học nghiên cứu toán tối ưu hữu hạn biến mà hàm mục tiêu ràng buộc hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Chúng ta xác định cụ thể toán quy hoạch tuyến tính chương Bài toán quy hoạch tuyến tính coi đời vào năm 1947, Dantzig công bố phương pháp đơn hình để giải toán xuất phát từ việc lập kế hoạch cho không quân Mỹ Cũng lĩnh vực khoa học khác, toán quy hoạch tuyến tính sinh bất ngờ sau vài ngày, vài tháng Lý thuyết toán học chỗ dựa để Dantzig phát minh phương pháp đơn hình lý thuyết bất đẳng thức tuyến tính, nghiên cứu kỹ Fourier từ năm 1826 Dantzig coi cha đẻ toán quy hoạch tuyến tính sách sớm nhiều “Các phương pháp toán học tổ chức kế hoạch hóa sản xuất” L.V.Kantorovich nhà xuất đại học quốc gia Leningrad in năm 1939, biết đến chí Nga dịch sang tiếng Anh Mỹ năm 1960 Trong sách giá trị Kantorovich nêu bật vai trò lớp toán quy hoạch tuyến tính để xuất thuật toán sơ để giải chúng Tuy biết đến muộn màng ông coi nhà toán học hàng đầu lịch sử giới toán kinh tế Năm 1975 ông Koopmans nhận giải Nobel khoa học kinh tế Từ đời, phương pháp đơn hình gần thống trị toán quy hoạch tuyến tính Dựa nhận xét miền chấp nhận toán quy hoạch tuyến tính tập lồi đa diện toán có nghiệm tối ưu có nghiệm tối ưu đỉnh tập lồi đa diện này, nội dung phương pháp đơn hình cố gắng tìm đỉnh chấp nhận bước chuyển từ đỉnh chấp nhận sang đỉnh kề (tức có cạch nối nhau) tốt Tức có hàm mục tiêu tưng ứng tốt chẳng hạn toán maximum, lớn Vì số đỉnh hữu hạn, thuật toán kết thúc đỉnh tối ưu sau hữu hạn bước Phương pháp tận dụng triệt để cấu trúc tuyên tính, khác hẳn phương pháp tối ưu phi tuyến Đối với toán cỡ lớn (có thể đến chục nghìn biến trăm ràng buộc) phải dùng đến máy tính, phương pháp đơn hình kiểm nghiệm qua chục năm áp dụng hiệu quả, với thời gian tính toán ngắn có lĩnh vực quan trọng nghiên cứu độ phức tạp tính toán Ở hiệu phương pháp đo thời gian tính toán phụ thuộc theo cỡ toán Cỡ toán thời gian cần thiết để máy tính ghi liệu toán (do nói nôm na cỡ toán đặc trưng số ràng buộc) Một thuật toán gọi có độ phức tạp đa thức, gọi thuật toán đa thức (polynomial algorithm) thời gian tính toán phụ thuộc theo quy luật đa thức vào cỡ toán, kể trường hợp xấu Năm 1972 V.L.Klee G.J.Minty đưa ví dụ toán quy hoạch tuyến tính mà thời gian tính toán theo thuật toán đơn hình hàm mũ cỡ toán 1.1.2 Một số mô hình thực tế Khi tiến hành kế hoạch hóa sản xuất, điều khiển hệ thống thiết kế kỹ thuật mà biết dựa nguyên tắc cực trị ta tiết kiệm vật tư, tiền vốn, tài nguyên sức lao động, thời gian tăng hiệu giải vấn đề đặt Những toán mô tả lớp toán thực tế cần giải quyết, mục tiêu toán quy hoạch toán học hay tối ưu hóa toán học Bài toán Bài toán kinh tế Một công ty mốn sản xuất hai loại sản phẩm A B loại nguyên liệu I, II III Suất chi phí nguyên liệu để sản xuất sản phẩm cho bảng sau, có nghĩa là: - Để sản xuất đơn vị sản phẩm A cần dùng đơn vị nguyên liệu I đơn vị nguyên liệu II - Để sản xuất đơn vị sản phẩm B cần dùng đơn vị nguyên liệu I đơn vị nguyên liệu II đơn vị nguyên liệu III Ban giám đốc công ty có dự trữ loại nguyên liệu I, II III tương ứng 8, Tiền lãi đơn vị sản phẩm A triệu đồng Tiền lãi đơn vị sản phẩm B triệu đồng Cần lập kế hoạch sản xuất cho Sản phẩm công ty thu tiền lãi lớn sở hạn chế nguyên liệu A B I II III Nguyên Liệu Ký hiệu x1 – lượng sản phẩm loại A x2 – lượng sản phẩm loại B Mô hình toán học có dạng: f(x) = 4x1 + 5x2 → max Với ràng buộc:        2x1+x2 ≤ ( ràng buộc nguyên liệu I ) x1+2x2 ≤ ( ràng buộc nguyên liệu II ) x2 ≤ ( ràng buộc nguyên liệu III ) x1 ≥ 0, x2≥ ( ràng buộc dấu biến số ) Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu tổng quát phát biểu sau: Giả sử xí nghiệp sản xuất n sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác Ta đưa vào ký hiệu sau: xj – lương sản phẩm loại j (j = 1, n ) mà xí nghiệp sản xuất cj – tiền lãi(hay giá bán) đơn vị sản phẩm j(j= 1, n ) aij – suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j (j =1, n ) b i – lượng dự trữ tài nguyên loại i(i = 1, m ) Trong điều kiện cho xác định giá trị xj (j = 1, m ) cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài nguyên có Mô hình toán học có dạng: n  c x → max j j j1 Với điều kiện: n  aij x j  bi , i  1, m  j 1  x  0, j  1, n  j Đây toán quy hoạch tuyến tính Bài toán Bài toán vận tải Có m kho hàng chứa loại hàng hóa (đánh số i = 1, m ) lượng hàng có kho i ai, (i = 1, m ) gọi kho i điểm phát i Có n địa điểm tiêu thụ loại hàng trên(đánh số j = 1, n ) với nhu cầu tiêu thụ điểm j bj (j = 1, n ) Gọi điểm tiêu thụ j điểm thu j Biết cij cước phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ điểm phát đến điểm thu j (i= 1, m , j = 1, n ) Hàng chuyển từ điểm phát i đến điểm thu j Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ điểm phát đến điểm thu cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ với điều kiện: điểm phát phát hết hàng hóa, điểm thu thỏa mãn nhu cầu Ký hiệu xij lượng hàng vận chuyển từ điểm phát i đến điểm thu j Khi ta có mô hình toán học: m n  c x ij ij → i 1 j 1 Với điều kiên sau: n  xij  , i  1, m  j 1 m  xij  b j , j  1, n  i 1  x  0, i  1, m, j  1, n  ij  Ngoài điều kiện cân thu phát: n  j1 m bj =  i1 Bài toán Bài toán túi Một người du lịch muốn đem theo túi nặng không b kilogram có n loại đồ vật mà dự định đem theo Mỗi đồ vật loại j có khối lượng aj kilogram giá trị cj, người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu xj đồ vật loại j chất vào túi Ta có toán sau: n  cj xj → max j1 n  a j x j  b  j 1   x j  0, j  1, n   x j  nguyên, j  1, n  Đây toán quy hoạch nguyên 1.2 Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính Như ta đưa dạng tổng quát toán quy hoạch: Bài toán tối ưu hóa tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa(cực tiểu hóa) hàm: f(x)→ max (min) Với điều kiện: gi(x) (≤, =, ≥) bi, i= 1, m x  X  Rn Bài toán quy hoạch toán học, hàm f(x )được gọi hàm mục tiêu, hàm gi(x), i = 1, m gọi hàm ràng buộc, đẳng thức bất đẳng thức hệ gọi ràng buộc Tập hợp: D=  x  X | gi(x) (≤, =, ≥) bi, i = 1, m  Có hai cách để đưa liệu vào: Cách thứ ta nhập liệu từ Form xây dựng trên: Ta nhập vào số ẩn toán, số ràng buộc toán nhấn ok Tiếp theo ta nhập hệ số hàm mục tiêu f(x) Cuối ta nhập ma trận ràng buộc với hệ số ma trận dẫn trình nhập Ví dụ ta cần nhập toán: Gải toán quy hoạch tuyến tính sau đây: f(x) = x1 - x2 - 2x4 + 2x5 - 3x6 → x  x  x  x   x  x  x  12  x  2x  4x  x   x  0, j = 1,6  j Như hoàn thành việc nhập liệu từ form để giải toán ta vừa nhập ta cần click vào button Giải Nếu bạn thấy cách nhập liệu phức tạp bạn sử dụng cách thứ đơn giản nhập liệu từ file Text Nhập đặt tên file file text để đâu ? Chúng ta nhập liệu file text dạng ma trận n hàng m cột Cũng lấy ví dụ cho toán nêu bên Gải toán quy hoạch tuyến tính sau đây: f(x) = 3x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 + 4x6 → 2x1  x  x  2x   3x1  x  2x  x  11  x1  2x  x  x   x  0, j = 1,6  j File text có dạng sau: Ta thấy ma trận file text gồm n + hàng m cột với n số ràng buộc, m số ẩn toán Hàng ma trận hệ số hàm mục tiêu sô cuối hàng bạng nhập toán khác bạn nhập toán max Bây ta lưu file vào C:\Program Files\CNTT DHTN\Setup tên data1 Vậy ta hoàn thành việc nhập liệu toán đơn hình chuẩn Bây click vào Button Giải nhập vào từ Form Button FileText nhập vào thừ file Text Kết Quả : Như thấy bước thuật toán xác định cột xoay dòng xoay Thuật toán dừng với kết đua Form 5.2.Thuật toán đơn hình đối ngẫu 5.2.1.Thuật toán Trường hợp có giả phương án xuất phát Trường hợp chưa có giả phương án xuất phát 5.2.2 Giao diện Trường hợp có giả phương án xuất phát Cũng có hai cách để đưa liệu vào: Nhập liệu từ Form từ FileText : Ví dụ ta cần nhập toán: Gải toán quy hoạch tuyến tính sau đây: f(x) =2 x1 + x2 + 2x3 → - 2x1  x  x  x  -  - x1  x  x  x    - 2x1  x  x  -  x  0, j = 1,6  j + Form Nhập liệu có dạng: + Dữ liệu nhập đủ Button Giải kích hoạt Nhập từ File text: File Text lưu với tên data.txt thư mục C:\Program Files\CNTT DHTN\Setup File có dạng : Kết quả: Thuật toán tìm kết toán Fmin(x) = 8.5 Với x1 = 2, x2 = 3.5, x3 = 0, x4 = 1.5, x5 = 0, x6 = Trường hợp chưa có giả phương án xuất phát Có hai cách để đưa liệu vào: Nhập liệu từ Form từ FileText : Ví dụ ta cần nhập toán: Gải toán quy hoạch tuyến tính sau đây: f(x) =-3 x1 -15 x2 -19x3 + 4x4 + x5 → 2x1  3x  x  x  - 12  - 10x1  6x  22x  x   32   x j  0, j = 1,5 File text có dạng sau: Ở chũng ta thấy ma trận có thêm hàng cuối 0 0 số số ẩn hàm mục tiêu(lưu ý số ẩn hàm mục tiêu ≤ số ẩn toán) số có ý nghĩa tao cho hàng đủ cột Kết : Thuật toán tìm kết toán Fmin(x) = -68 Với x3 = -12, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = -296 Chương trình xây dựng thêm phần Trợ giúp người dùng có thêm tính In file Với mục đích hỗ trợ người dùng nhiều Người sử dụng xem hướng dẫn cách nhập liệu, lưu liệu, tạo trang in cách tạo font tiếng việt Mã nguồn chi tiết thuật toán thủ tục đơn hình phần mã nguồn chương trình trình phần phụ lục KẾT LUẬN Sau thời gian làm đồ án tốt nghiệp em hoàn thành đề tài với kết sau: Phần Lý Thuyết  Tìm hiểu dạng tổng quát toán tối ưu, toán chuẩn tắc, toán tắc  Tìm hiểu khái niệm bản, định nghĩa, định lý tập lồi, hàm lồi, tập D.C, hàm D.C  Tìm hiểu thuật toán đơn hình đơn hình đối ngẫu, tư tưởng giải thuật  Tìm hiểu quy hoạch nguyên, định nghĩa định lý, thuật toán nhánh cận Phần Thực Nghiệm  Cài đặt thành công thuật toán đơn hình, đơn hình đối ngẫu (trường hợp có giả phương án xuất phát trường hợp chưa có giả phương án xuất phát)  Thời gian chạy thuật toán nhanh, giao diện thân thiện, có nhiều hỗ trợ việc nhập liệu  Chương trình đóng gói thành file setup, dễ dàng cài đặt sử dụng HƯỚNG PHÁT TRIỂN  Cài đặt thêm nhiều thuật toán xây dựng thành phần mềm hoàn chỉnh  Khái quát, mô hình hóa cài đặt giải toán thực tế Kinh tế, Vận tải, toán quy hoạch nguyên  Xây dựng thành phần mềm hỗ trợ giảng dạy mô môn học Quy hoach tuyến tính, phần mềm ứng dụng nghành khoa học tối ưu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Ngọc Thắng, Nguyễn Đình Hóa (2006), Quy hoạch tuyến tính, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thành Cả (2006), Tối ưu hóa tuyến tính, Nhà xuất Lao Động Xã Hội [3] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương (2000), Quy hoạch tuyến tính, Nhà xuất Giáo Dục [4] Bùi Minh Trí (2006) Quy hoạch toán học, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật [5] Dương Quang Thiện (2005), C# Căn bản, Nhà xuất Tổng Hợp TP.HCM [6] Dương Quang Thiện (2005), C# NET Framework, Nhà xuất Tổng Hợp TP.HCM [7] Dương Quang Thiện (2005), GUI user Control, Nhà xuất Tổng Hợp TP.HCM [8] Weldon W.Nash, Sr (2007), Accelerated C# 2008, Apress [9] http://congdongcviet.com/ [10] http://dot.net.vn/ [11] http://www.codeobject.com/ PHỤ LỤC Thủ tục Đơn Hình: public void HamDonHinh(float[,] matran1, float[] mang1, float[] mang2, int an, int rb, int ktmax) { okey = true; for (int j = 1; j [...]... đẳng thức D.C: g(x)-||x||2≤0 2.2 Một số tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính Định lý 2.23 Tập hợp tất cả các phương án của một bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi Chứng minh Ta giả sử rằng bài toán có ít nhất hai phương án là x1 và x2 Do đó: Ax1 = b với x1≥0 (2.1) Ax2 = b với x2≥0 (2.2) Ta sẽ chứng minh bất cứ tổ hợp lồi nào của x1 và x2 tức là các điểm có dạng: x =  x1 + (1 -  )x2,... phản chứng rằng các vector aj,j = 1, k là độc lập tuyến tính là sai Định lý đã được chứng minh Các định lý 2.25 và 2.26 có thể gộp lại thành một định lý cần cà đủ sau: Định lý 2.27 Để x = (x1, x2, …, xn) là phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng chính tắc thì cần và đủ là các vector cột Aj của ma trận A ứng với các thành phần xj >0 là độc lập tuyến tính CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN ĐƠN... NGHIỆM BÀI TOÁN QUY HẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Một số khái niệm cơ bản trong giải tích lồi Trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ một vai trò quan trọng Nó được sử dụng là cơ sở cho việc xây dựng các thuật toán Trong mục này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tập lồi, hàm lồi 2.1.1 Tập hợp lồi Khái niệm về tập hợp lồi là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi quy. .. sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại Bài toán tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng: n  cj xj → max j1 n  a ij x j (, , )bi , i  1, m D:  j 1  x  0, j  1, n  j Nếu gặp bài toán (min) tức là:1, m 1, n n f(x) =  cj x j → min j 1 x D thì giữ nguyên ràng buộc ta đưa nó về dạng bài toán (max): n f (x) = -  cj xj → max j1 x D Nếu bài toán (max)... j  bi , i  1, m  j 1  x  0, j  1, n  j 1.4 Một số phương pháp biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính Bất kỳ bài toán quy hoạch tuyến tính nào cũng có thể đưa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau: n 1 Một ràng buộc n aij xj≥bi có thể đưa về ràng buộc -  aijxj≤-bi bằng cách j1 j1 n nhân 2 vế với (-1), ta viết lại  aij’xj = bi’ j1 n 2 Một ràng buộc... án (hay một lời giải chấp nhận được) Một phương án x*  D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là: f(x*) ≥ f(x),  x  D (đối với bài toán max) f(x*) ≤ f(x),  x  D (đối với bài toán min) được gọi là phương án tối ưu(lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát: Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tìm cực đại,... sở theo quy tắc:  x r0 x0 = min{ r , z js  0 } xrs x rs  Bước 4: Tính các x 1j , f(x1), 1k , z 1jk trong cơ sở mới J1=(J\r)  s các công thức (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) Quay trở lại bước 1 3.2.2 Tính hữu hạn của thuật toán Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và không suy biến thì sau hữu hạn bước lặp theo thủ tục đơn hình ta sẽ tim thấy phương án tối ưu hoặc phát hiện ra bài toán có... bằng cách đặt: xj = xj+- xj- với xj+≥0 và xj-≥0 n 4 Một ràng buộc bất đằng thức  aijxj≤bi có thể đưa về ràng buộc đẳng j1 thức bằng cách đưa vào biến phụ yi≥0 n  aij+yi = bi j1 Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi 1,2 và 3 ta có thể đưa một bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi 4 ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc CHƯƠNG 2: CÁC KHÁI... tối ưu là x* thì bài toán (min) cũng có phương án tối ưu là x* và fmin= - f max Thật vậy, vì x * là phương án tối ưu của bài toán (max) n f max =-  j1 n cj xj* ≥-  cj xj,  x  D  j1 n n cj xj ≤ cj xj * j1  xD j1 Chứng tỏ x* là phương án tối ưu của bài toán (min) và n fmin =  cj xj* = - f max j1 1.3 Dạng chính tắc, chuẩn tắc Người ta thường xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới 2 dạng... của một hàm số không lồi gặp khó khăn, chúng ta phải xấp xỉ bằng cách tìm cực trị của hàm bao lồi của hàm số đó, nghĩa là ta đưa việc giải bài toán quy hoạch không lồi về việc giải bài toán quy hoạch lồi tương ứng Vì vậy, khái niệm hàm bao lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết quy hoạch Định nghĩa 2.7 Cho D lồi, khác rỗng thuộc Rn và một hàm bất kỳ f: D → R Khi đó một hàm số F(x) được gọi là hàm