Một số vấn đề về quy hoạch tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng năm 2020 Họ c viên Lê Tính Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hữu Trọn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người giúp đỡ bảo tơi cách tận tình suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn thầy khoa Tốn Thống kê - Đại học Quy Nhơn ân cần dạy suốt q trình học tập Đặc biệt tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành biết ơn vơ tận đối gia đình tơi, người ln sát cánh tạo động lực để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, kiến thức thân hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Lê Tính Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số kí hiệu ** • R : Tập số thực • R: Tập số thực mở rộng (R u{—8, '8} hay R ụ 8q • rx1 , x2s: Đoạn nối hai điểm x1 x2 • intA: Phần tập A • domf : Miền xác định hữu hiệu f • epif : Epigraph f • A*: Toán tử liên hợp A • Bf : Dưới vi phân f • Ơ : Hàm giá tập A A • ||x||: Chuẩn x khơng gian định chuẩn • X*: Khơng gian liên hợp X • Xx*, xy Giá trị phiếm hàm tuyến tính x* x • N(x|Aq: Nón pháp tuyến tập A x • BX (x, rq : Hình cầu X có tâm x bán kính r • Conv(R q: Tập hợp hàm lồi đóng R n n • af f (Aq : Bao affine A • clA: Bao đóng A • r (Xq “ {f : X —> R, f đóng, lồi thường} • S “{X P R x : X “ X } n n n T • S' “{S : X > 0} n • S'' “ {S : X > 0} n • A T : ma trận chuyển vị ma trận A • A : ma trận nghịch đảo ma trận A • rank (Aq : hạng ma trận A • tr (Aq : vết ma trận A Lời nói đầu Bài tốn tối ưu vấn đề thường gặp, từ thực tế sống đến nhiều lĩnh vực khoa học quan trọng Các vấn đề tối ưu thu hút nhiều nhà khoa học từ năm trước kỷ 19 Cho đến đề tài đa dạng nhận quan tâm nhiều người Trong thực tế tốn tối ưu đóng vai trò quan trọng sống lĩnh vực khoa học khác tốn tìm đường ngắn nhất, tốn chi phí tối thiểu, lợi nhuận lớn nhất, Nhiều toán tối ưu hay vấn đề thực tế sống hay lĩnh vực khoa học khác nói chung toán phi tuyến tức hàm mục tiêu hay miền ràng buộc đối tượng phi tuyến Để tìm hiểu vấn đề cách hệ thống, luận văn chúng tơi tìm hiểu toán tối ưu phi tuyến, điều kiện tồn nghiệm số ứng dụng thực tế chúng Luận văn tập trung nghiên cứu toán tối ưu phi tuyến (Quy hoạch phi tuyến) tức toán tối ưu với hàm mục tiêu hay ràng buộc phi tuyến điều kiện tồn nghiệm, lý thuyết đối ngẫu, số ứng dụng thực tế chúng Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương Chuơng Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bị cho chương sau luận văn Chương Nội dung chương giới thiệu tốn quy hoạch phi tuyến trình bày điều kiện tồn nghiệm (cấp 1, cấp 2) Chương Lý thuyết đối ngẫu quy hoạch lồi : Trình bày cách hệ thống lý thuyết đối ngẫu toán quy hoạch lồi Chương Trình bày ứng dụng tốn tối ưu quy hoạch lồi giải bất đẳng thức Dưới hướng dẫn thầy Nguyễn Hữu Trọn, chọn đề tài luận văn: "Một số vấn đề quy hoạch tuyến tính ứng dụng" Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình TS Nguyễn Hữu Trọn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy nhận lời hướng dẫn làm luận văn Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Lê Tính Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành cho việc trình bày kiến thức sở cần thiết phục vụ cho chương sau liên quan đến toán quy hoạch phi tuyến tập lồi, hàm lồi, lý thuyết ma trận nội dung tham khảo giáo trình [2] 1.1 Tập lồi, hàm lồi Cho X không gian tôpô hàm f : X R Y {'8} Kí hiệu domf “ {x P X If pxq ă '8} , epif “ {(x,a) P X X R If Pxq < a } Với a P R, kí hiệu tập mức f Laf “ {x P X If pxq < a } Định nghĩa 1.1 Hàm f : X —» R Y {'8} gọi thường Dx P X, f pxq ă '8 @x P X, f pxq > —8 Định nghĩa 1.2 Một tập C Ă R” gọi lồi với a P ro, 1] x,x' P C ta có ax ' pi — aqx' P C Định nghĩa 1.3 Cho hàm lồi X Ă R” hàm f : X —» R Y {'8} i Ta nói f hàm lồi với x, x1 P X t P p0, 1q f (tx ' (1 - tqxq < tf (x)' (1 - t)f px) (1.1) ii Hàm f gọi lồi ngặt (1.1) bất đẳng thức ngặt với x / x P X t P p0,iq iii Hàm f gọi lồi mạnh với hệ số p > f (•) — dlHI2 hàm lồi Nhận xét 1.1 Hàm lồi f : X —» R Y {'8} mở rộng thành hàm lồi tồn khơng gian R” cách đặt f (x) = '8 x R domf Vì để đơn giản, ta thường xét f hàm lồi xác định R n Mệnh đề 1.1 Cho f : R” —» R Y {'8} hàm thường Khi đó, phát biểu sau tương đương: (a) f lồi R ; n (b) epif = {(x,ụ) P R” X R | d > f (x)} tập lồi R” X R; (c) ept f : = t(x,d) P R” X R | d > f (x)} tập lồi s Ví dụ 1.1 (a) Cho C Ă R , C / Hàm C hàm ỏc : R” —» R Y {'8} xác định n %0 xP C, P '8 xR C Khi đó, ỏc lồi C lồi (b) Cho C Ă R , C / Hàm khoảng cách d : R” —» R xác định n c d (x) = inf||x — z\\, x P R” c z PC C Nếu C tập lồi hàm dC lồi Điều ngược lại C tập đóng (c) Cho X Ă R”,X / Hàm giá X hàm : X* —» R Y {'8} xác định c ơc (x*) = supXx*,xy, xPC hàm lồi (d) Hàm affine f Pxq = Xa,xy ' b, với x P X, a P X*, b P R, $ 4.1 Phân tích phổ ma trận đối xứng Cho A ma trận đối xứng cấp n Trong mục ta chứng minh phân tích phổ ma trận A cách sử dụng kỹ thuật quy hoạch phi tuyến Để làm điều đó, ta xét tốn cực tiểu hàm tồn phương xAx, xy mặt cầu đơn vị, xAx, xy với điều kiện }x} “ Vì gradient hàm ràng buộc khác không miền hữu hiệu nên điều kiện KKT Do đó, ta có hàm Lagrange L(x, A) “ XAx, x) ' Al(1 — ||x|| ) Vì miền ràng buộc compact nên tồn nghiệm cực tiểu toàn cục u1 mặt cầu đơn vị nghiệm hệ KKT : V L “ 2Au — 2A U “ 0, }u } “ x 1 1 Do đó, Aul “ Alul | ul| “ Điều có nghĩa Al giá trị riêng A ứng với véc tơ riêng u1 Ta có xAu1, u1y “ xA1u1, u1y “ A1 Và x véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng A ta có A “ XAx,x) “ XAx,x) XAu ,u ) “ A 1 Do A1 giá trị riêng nhỏ A ứng với véc tơ riêng u1 Tiếp theo, ta xét dãy toán sau: (Pk q xAx, xy với điều kiện | x| “ 1,xui,xy “ 0,i “ 1,2, ,k — với k “ 2, , n ui nằm tập ràng buộc cuối nghiệm tối ưu toán (Pi q với i ă k Chú ý véc tơ tu } “1 lập nên hệ trực chuẩn Vì tập ràng buộc compact nên i k tồn nghiệm tối ưu x* mặt cầu đơn vị Các véc tơ gradient {—2x,u , Uk- } trực ì chuẩn, độc lập tuyến tính, điều kiện KKT ta có hàm Lagrange L(x,A, A k~1 Ỗ1,ỗ2 , ,ỗk-ì) “ XAx,x) ' A (1 — ||x||2 '2 $ Xui,x) Các điều kiện KKT k-1 Ax* — Ax* ' ỏiu “ 0, }x} “ 1, i i“1 (4.1) (ui,x*} = 0,i = 1,2, ,k — Ta chứng minh kiện: véc tơ nhân tử ỗ = p^ , ,ỏ _ q véc tơ không Ta chứng minh k k k i quy nạp Trường hợp k “ hiển nhiên Giả sử giả thiết quy nạp cho số nguyên nhỏ k Lấy tích hai vế phương trình (4.1) với uj, pj ă kq ta XAx*,ujy — ỗ = Xx*,Aujy — ỗj = Xx*,XjUjy — 8j = 0, k đẳng thức thứ tính đối xứng ma trận A, đẳng thức thứ hai có từ giả thiết quy nạp Điều chứng minh kiện vừa nêu Do u : = x* véc tơ riêng k A ứng với giá trị riêng X : = A giá trị riêng thứ k nhỏ A Định nghĩa U := k [u ,u , ,u S Ạ = diag(X , X , ,X q Ta có Au = Xu , i = 1, ,n, n n i i AU = Arui, u2, , uns = rAui, Au2, , Auns = rXiui, X2u2, , Xnuns = rui,u2, ,unsdiag(Xi,X2, ,Xnq Vì hệ tuiu “ hệ trực chuẩn nên ma trận U ma trận trực giao Tóm lại tốn n i i phân tích phổ ma trận đối xứng giải 4.2 Bất đẳng thức Kantorovich Định lý 4.1 (Bất đẳng thức Kantorovich) Cho ma trận A cấp n X n xác định dương với giá trị riêng X1 > X2 > > X > n Khi đó, ta có bất đẳng thức max {{Ax,xy ■ @A ỵx,xD : ||x|| = 1( < ( ' 4X1 Xn Chứng minh Ta xét toán max }x}2 “ s.t Bất đẳng thức Kantorovich chứng minh ta giá trị tối ưu hàm mục tiêu (A1 ' A q2 {(4A A q Xét A = U A UT với U ma trận trực giao, Ạ = diag n n {A1, , A U ý ||x|| = ||Ux|| = n nn nn nn Khi đó, tốn qui tìm ma^ y Ajxj I y A^1xj I với ràng buộc y xj =1 j“1 j“1 j“1 Với i P t1, , nu, ta đặt yi = x j Khi tốn ban đầu trở thành jj j j j i max (2 Ajjy) ■ (2 jV ) l n -.'^y = 1,y >0 j“1 Hàm Largange có dạng n n n Ajj (2 jj 'ố (2 yj— 1)— y- yy Theo điều kiện KKT, ta có —A (2 A- y) — V (2 Ajy) ' ỗ — y = 0, i = 1, (4.2) yj =1 y y x^,yy =0 j“1 Nhân hai vế phương trình thứ cho y , ta i —A y.^ Aj7j — A.71y^ Aj j ' y*ỗ — x^i,> =0 Khi nnnn jj' V 2Ajj jyj ■ (2Ajj (4.3) Nếu i P I : = {i : y > 0U y = Chia vế phương trình thứ (4.1) cho n Ajj ■ ^ Ajvà sử dụng (4.2), suy •"n- -— ' n * = 2, i P I E jyj E jyj • j“1 j“1 > (4.4) Nếu i, j P I Xn X—y Xi n Xj X y kk k“1 n k“1 nên 'n , X yk k“1 X y kk k“1 k n X y k k k“1 XX i j Ì y n E XkX k“1 i,j P I, k X X i j Từ p4.4q , p4.5q ta có XEk“1 n Xi n k“1 X n Xk yk XiXj Xkyk X i' j Xkyk k“1 Nghĩa Xi ' Xj , Xkyk “ k“1 n X y n s X yk “ k k“1 kk k“1 XX i j Do giá trị hàm mục tiêu (ẳ Xkyộ • (s X-“ X ' Xj Xi Xj i pX i ' Xj)2 4X X i j Đặt t “ X, Xj “1 (T) &X'} CJ v\-.A (n \-K.A , pt't -Xi Su ramax y E x yk) ẬE Xk yk) “ ' —I—, t “ X- Chọn i “ 1, j “ n ta có bất đẳng thức chứng minh k 4.3 Bất đẳng thức Hadamard Cho X “ [xi,x , ,x ] ma trận n X n với cột {x»}n, ta xét toán n max det X (4.5) với điều kiện }xi } “ 1, i “ 1, 2, , n Vì thể tích khối hộp n chiều với cạnh véc tơ x1 , x2 , , xn biết det X , nên toán tương đương với tốn: tìm khối hộp n chiều tích lớn với cạnh véc tơ đơn vị Trực quan hình học cho ta biết nghiệm tốn phải khối vng n chiều, nghĩa cạnh khối hộp vuông góc với , Các véc tơ gradient ràng buộc độc lập tuyến tính véc tơ chứa cột khác ma trận X Do đó, theo Hệ 2.3, điều kiện KKT thỏa mãn điểm tối ưu địa phương , Lập hàm Lagrange: nn L = - det X ' s is x -1 )• Để đạt điều kiện KKT, đầu tiên, tính đạo hàm hàm định thức Nhớ lại : Công thức khai triển Laplace cho định thức det X = s p—iq^'XjXj, j“1 Xij định thức bù ij có xóa dịng i cột j X Suy bij gọi pijq phần phụ đại số X Khi đó, điều kiện KKT tốn : B det X = bj : = p—iq^-7’ Xij Xj, Bx ij (a) - bij = XjXj, i,j = 1,2, ,n, n pbq sXij = j = 12 •••,n^ i“1 Nhớ lại B = pbjiq = rb1, b2, •••, bns = AdjpXq gọi ma trận liên hợp X đặc trưng phương trình T X ■ Adjpxq = pdet X)I Do đó, (a) viết lại dạng paq AdjX = XA A “ diag(Ai, Ă , , Ă q Từ suy n -(det Xqi “ -X Adj(Xq “ XTX A T Điều có nghĩa ma trận X X ma trân trực giao (nghĩa ma trận X có cột trực T giao với nhau) Thật ra, cột X có chiều dài nên X X “ I, X ma T trận trực giao Suy det X “ Như vậy, max det X “ }xi }2 “ 1, i “ 1, 2, , n , Thật tốn tốn max det X “ \\xị\\ “ 1, i “ 1,2, , n Từ đó, suy det X < 1, với X “ [x , ,x ] P R x , }xj}2 “ 1, i “ 1, , n n n n , Trong trường hợp, X ma trận vng cách chuẩn hóa cột X ta ma trận Y mà cột có chuẩn det Y “ -— -—- det X }x } • • • }xn} Vì theo tốn det Y < Suy T—7 -7—T det X < }x } ••• n , Do đó, ta đạt Bất đẳng thức Hadamard }x } det X < llxill • • • }xn}, @X “ [xi, ,.,xj P R x n n Dấu xảy cột txiu trực giao với n 4.4 Bất đẳng thức Hilbert Xét không gian Hilbert, “ Ịx “ txJo xă Ị 8: Với tích vơ hướng chuẩn xx,yy “ ( xiyi, }x}2 8\2 ? 4) Xét dãy txiu tyju không âm l2 Ta có bất đẳng thức Hilbert sau: 0 8 í8 \ í \ ă x ẳ -j 4ẫ '(ẳ j “n'Ixh' xy 2 dấu đẳng thức xảy tx.u t yju dãy Đây bất đẳng thức quan 0 trọng có nhiều ứng dụng giải tích Bất đẳng thức Hilbert mở rộng sau Cho p > 1,q > cho 11 - ' - “ Xét không gian l p x“tx u 8:ịx ă8 l“ p p • > pq với chuẩn “ }x}2 ị8 x.p Theo bất đẳng thức Holder Xx, yy < llxllp.||y||q @x P lp,y !' P Định lý 4.2 ( Bất đẳng thức Hilbert) Nếu tx.u ty.u dãy không 0 âm không gian l l Khi p q 58 n xy ij sinp -4^n i + j + i,j“0 dấu đẳng thức xảy txiu Pq l xl p.l yl q, tyiu dãy 0 Chứng minh Xét toán maxxAx, yy s.t E x “ 1, ẳyj “ 1, i“0 x 0,y 0, j“0 x, y P R ' k1 Xiyj i,j“0 i ' j ' ■ x, y A y ■“ x Chú ý A ma trận đối xứng với hệ số -7 ; tương ứng với vị trí íj Ta L “ —XoXAx,yy ' p 0, điều kiện KKT cho ta i ồxp “Xei,Ayy“ ị j 1, j“0 J tương tự yi > xi i“qi ' j ' ồyj “ q1 Gọi í*, j* số để lớn Ta có tpi ' 1) x p i ■ < i < kU tpj ' 2) yj ồxT “2“2, ypj'2) j1 ' j“0 *•' ' -“0 (i*' j' I)(j' 1) (y" • 2)9-2 q 1 i* ' j ' 1)pj ' 2) p q ■0j kU yj pj ' 2q V _ j“0 Pi* ' j ' 1)Pj ' I) k dx q pi* ' ' x)x q q '1)- ' q dy { 10 y Py ' 1)’ bất đẳng thức thứ hai có nhờ thay y “ k1 thức y < < 2k ' Những điều cho *' q /' sử dụng bất đẳng f '2' 1 -2k'2 11 x < yj* Pj* ' 2)I pi* ' 2)- £ dy y Py ' 1)’ 10 q y lấy mũ q cho vế lưu ý đẳng thức p ' q “ pq, ta 1 xi < yj Pj * ' ).pi* ' )- H /c‘ dy \ y Py ' 1)/ •2k'2 q q Tương tự ta có í 11 )- - (I q< dy y y Py ' 1)/ ’ Pi*' ).pj*•10 '' 2k p nhân vế theo vế bất đẳng thức ta d 0'2k'2 y \p / c2k'2 -r- - dy y y py ' q y 1) / y Py ' 1) p Suy d )'(í'2 dy y y ' 1) y Py ' 1) p q Để ý rằng, p ) ■ r dy “ n J0 y Py ' 1) sinp ) i nên ta ỗ < sinP —), số ỗ < sinP —) đạt số tối ưu pp bất đẳng thức Hilbert Định lý chứng minh Bằng cách tương tự ta chứng minh lại bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Cauchy, Bunhicopski, Ho:lder, Minkopski, 4.5 Các tốn biến phân phương pháp tựa Newton Ví dụ 4.1 (Phương pháp Broyden) Đây toán xuất phương pháp Broyden cho xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến phương trình G pxq “ 0, G : R —» R ánh xạ khơng tuyến tính Đó tốn }X} F s.t X a “ b, X “ Pxjq ma trận kích thước m X n, a P R, / b P R chuẩn }X} cho m F mn }X IF “ 22 x f i“1 j“1 Đối với ma trận vng, tích vơ hướng định nghĩa XX,Y) = trpX Yq “ Xij yij T i,j“1 với X,Y P R x Khi n n }X} F“xX,Xy Vì hàm mục tiêu cưỡng nên tồn cực tiểu toàn cục Các hàm ràng buộc tuyến tính nên theo Hệ 2.2 điều kiện KKT điểm cực tiểu địa phương Hàm Lagrange có dạng Các điều kiện KKT L x ij ^iaj n Bx (b) xijaj “ bi, i “ 1, , m i1 (a) ~B ij .jim, j 1, , n, ij i j j“1 Từ suy nn b x a i ij j j“1 a \ j j“1 Từ điều kiện paq ta có X — [xijs — r^as — Aa — A b a T Vì bị — A'lla}2, ta có X' — x = baL cho tabba Điều y}a} w }a} 2 Ví dụ 4.2 (Ma trận đối xứng phương pháp tựa Newton) Ta xét toán sau }X} s.t Xa “ b, F X “ X, T X ma trận vng đối xứng cấp n, b,c P R”, b / Từ điều kiện ràng buộc X — X ta có Xịj — Xjị với < i ă j < n T n L “ Xì i,j“1 x ij ' Xì i“1 A n I ' n b i XJ x a ij ^ 'Xì j“1 i,j“ Ta xét tích vơ hướng x — 'j P ij b iăj sau n XY - trPXTYq - trPXYq - XjV ị i ',j“1 Từ điều kiện ràng buộc Xa “ b, ta có xA, b — Xay “ A b — xA, Xay Hơn T xA, Xay “ A pXaq “ trpA pXaqq “ trpXpaA qq “ xX, Aa y T T T T Tuy nhiên xX, Aa y “ trpXpaA qq “ trppAa qXq “ xX, aA y T T T T Suy XX,Xay = XX, A ' Ay Do ta xét hàm Lagrange L - XX,X y-XX, aA ' Aa T T y ' Qx Ay x q ji' Các điều kiện KKT V L “ X — PaX ' Xa q “ 0, T X T X “ aX ' Xa T T Khi b “ Xa “ PaX ' Xa qa “ pX à) a ' }a} X T T T b a “ PX aq}a}2 ' ||a||2(A a) “ 2}a}2PX aq T Suy X a “ T ab T T T T Khi b < ab a a T — Như từ đẳng thức X “ aX ' Xa , ta có T ab ' ba a b T T T T X T hF Bất đẳng thức chứng minh “ “T42 aa xa, by pa b b ' b b aq — 7-a b a }a} }a} Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch phi tuyến Luận văn đạt số kết sau: • Trình bày cách hệ thống kiến thức toán quy hoạch phi tuyến điều kiện tối ưu cấp 1, cấp • Trình bày số kết quan trọng lý thuyết đối ngẫu tốn quy hoạch phi tuyến • Sử dụng phương pháp quy hoạch phi tuyến chứng minh lại bất đẳng thức tiếng Hadamard, Hilbert, Kantorovich, hay giải tốn phân tích phổ ma trận đối xứng Họ c viên Lê Tính Tài liệu tham khảo [1] J Brinkhuis and V Tikhomirov (2005), Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press [2] O Guler, (2010), Foundations of Optimization, Springer [3] A Modecai (2003), Nonlinear Programming: Analysis and Methods, Dover Publishing [4] B S Mokhtar and C M Shetty (1979), Nonlinear programming Theory and algorithms, John Wiley & Sons [5] J Nocedal, and S T Wright (1999), Numerical Optimization, Springer ... toán quy hoạch lồi Chương Trình bày ứng dụng toán tối ưu quy hoạch lồi giải bất đẳng thức Dưới hướng dẫn thầy Nguyễn Hữu Trọn, chọn đề tài luận văn: "Một số vấn đề quy hoạch tuyến tính ứng dụng" ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... tập số fi cho giá trị lớn maxtf1pxq, f2pxq, , fmpxqu đạt Ta có bổ đề sau Bổ đề 3.3 ([2]) Nếu i R Ipx*q xi “ Chương Một số ứng dụng Sử dụng kết phần trước quy hoạch phi tuyến ta giải nhiều vấn đề