Một số vấn đề về số học trong miền nguyên

Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN GVHD : TS ĐẬU THẾ CẤP SVTH : NGUYỄN THỊ THANH KHÓA : 2000 – 2004 Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05/ 2004 SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp MỤC LỤC Lời nói đầu CHƯƠNG I LÝ THUYẾT VÀNH I Vành Định nghóa tính chất 2 Vành II Ideal Vành thương Định nghóa tính chất Ideal Ideal sinh tập Vành thương III Miền nguyên Định nghóa miền nguyên Ideal nguyên tố Ideal tối đại IV Trường 10 Định nghóa tính chất 10 Trường 11 CHƯƠNG II SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN I Khái niệm số học miền nguyên 12 Khái niệm chia hết 12 Phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy 14 II Vành 14 Định nghóa vành 14 Vành nhân tử hóa 15 SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp III Vành Euclide 16 Định nghóa vành Euclide 16 Thuật toán tìm ước chung lớn 17 IV Tính chất chia hết vành Euclide 18 Tài liệu tham khảo 21 SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Lời Nói Đầu Luận văn “Một số vấn đề số học miền nguyên” muốn xem xét số khái niệm tính chất số học miền nguyên tương tự vành số nguyên Z Kiến thức chuẩn bị lý thuyết vành, đặc biệt tính chất Ideal Trong luận văn, phần lý thuyết vành cung cấp đầy đủ tính chất cần thiết sau Kết luận văn định lý − 12 tính chất số học vành Euclide tương tự vành số nguyên Z Vì vành đa thức R[x] trường số thực vành Euclide, định lý − 12 hiển nhiên R[x] Do gấp gáp thời gian độ khó luận văn nên khảo sát tính chất chia hết có liên hệ hệ đến phần tử nguyên tố Còn nhiều tính chất số học khác Z mở rộng cách tương tự vành Euclide SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp CHƯƠNG I LÝ THUYẾT VÀNH I VÀNH Định nghóa tính chất Vành tập X hai phép toán X, thường kí hiệu cộng(+) nhân (.) thỏa mãn tính chất 1) (X, +) nhóm Abel 2) (X, ) nửa nhóm 3) Phép nhân phân phối phép cộng, tức x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Một cách tương đương, ta định nghóa (X, +, ) vành thỏa mãn điều kiện sau (R1) Mọi x, y, z ∈ X, (x + y) + z = x + (y + z) (R2) Moïi x, y ∈ X, x + y = y + x (R3) Tồn 0X ∈ X, moïi x ∈ X, x + 0X = x (R4) Mọi x ∈ X, tồn –x ∈ X, x + (-x) = 0X (R5) Moïi x, y, x ∈ X, (xy)z = x(yz) (R6) Moïi x, y, z ∈ X, x (y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Neáu phép toán nhân vành giao hoán vành gọi vành giao hoán Nếu phép toán nhân có đơn vị vành gọi vành có đơn vị Ví dụ a) (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) vành giao hoán, có đơn vị b) (Zk, +, ) với k ∈ N* vành giao hoán có đơn vị SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp c) Cho (X, +) nhóm Abel, kí hiệu End(X) tập đồng cấu nhóm từ X X ( gọi tự đồng cấu ) Trên End(X) xác định phép + sau f + g xác định (f + g) (x) = f(x) + g(x) với x ∈ X f g xác định f g(x) = f(g(x)) với x ∈ X Dễ dàng kiểm tra (End(X), +, ) vành có đơn vị ánh xạ đồng IX không giao hoán X có nhiều môt phần tử Ta gọi vành vành tự đồng cấu nhóm Abel X d) Cho (X, +) nhóm Abel Trên X xác định phép toán nhân x.y = 0X với x, y ∈ X Dễ dàng kiểm tra (X, +, ) vành giao hoán, đơn vị X có nhiều phần tử Ta gọi vành không nhóm Abel X Trong vành X ta định nghóa phép trừ x – y = x + (-y) với x, y ∈ X  Định lí Với x, y, z vành X ta có 1) x.0X = 0X.x = 0X 2) (-x)y = x(-y) = -xy 3) (-x)(-y) = xy 4) x(y – x) = xy – xz; (y – z)x = yx – zx Chứng minh 1) Ta coù x.0X = x(0X + 0X) = x.0X + x.0X Do x.0X = 0X Tương tự có 0X.x = 0X 2) Vì xy + (-x)y = (x +(-x)) y = 0X y = 0X neân (-x)y = -xy Tương tự ta có x(-y) = -xy SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp 3) Theo 2) ta coù (-x)(-y) = -x(-y) = - (-xy) = xy 4) Theo 2) ta coù x(y – z) = x(y + (-z)) = xy + x(-z) = xy – xz Tương tự ta có : (y – z)x = (y + (-z))x = yx + (-z)x = yx – zx Hệ Với m ∈ Z phần tử x, y vành X ta có m(xy) = (mx)y = x(my) Vành Cho X vành tập A X ổn định hai phép toán vành X, với phép toán cảm sinh, (A, +, ) vành vành A gọi vành X Ví dụ a) Cho X vành Khi {0X} X vành X Các vành gọi vành tầm thường X b) Vành Z số nguyên vành vành Q số hữu tỉ d) Tập 2Z vành vành Z số nguyên  Định lý Tập A vành X vành vành X thỏa mãn điều kiện sau 1) A≠Ø 2) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A vaø xy ∈ A 3) x ∈ A ⇒ -x ∈ A Chứng minh (A, +) nhóm Abel ⇔ A ≠ Ø ; x, y ∈ A x + y ∈ A, -x ∈ A (A, ) nửa nhóm ⇔ x, y ∈ A xy ∈ A Nếu A ổn định với phép toán A phép nhân phân phối với phép cộng Như A vành ⇔ A có tính chất 1), 2), 3)  Định lý Tập A vành X vành vành X thỏa mãn điều kiện sau 1) A≠Ø SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp 2) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A, xy ∈ A Định lý chứng minh tương tự định lý Cho S tập vành X Ta gọi vành X sinh tập S vành nhỏ chứa S, kí hiệu [S] Như vậy, vành [S] sinh tập S có hai tính chất đặc trưng 1) [S] vành 2) Nếu A vành A ⊃ S A ⊃ [S]  Định lý Với tập S vành X tồn vành [S] sinh tập S Chứng minh Gọi B họ tất vành vành X chứa S Vì X ∈ B nên B ≠ Ø Ta chứng minh [S] =Error! Bookmark not defined Error! Bookmark not defined.Error! Bookmark not defined I B B∈B tức chứng minh A = I B vành X Thật vậy, 0X ∈ B với B B∈B nên 0X ∈ A Nếu xy ∈ A x, y ∈ B với B Vì B vành nên x – y ∈ B xy ∈ B với B Điều có nghóa x – y ∈ A xy ∈ A Theo định lý 3, A vành Ví dụ Với k ∈ N, kN vành Z sinh tập phần tử {k} Thật vậy, kZ ⊂ Z kZ ≠ Ø, x, y ∈ kZ tồn n1, n2 ∈ Z, x = kn1, y = kn2 Từ x − y = k(n1 − n2) ∈ kZ, xy = k(n1.n2.k) ∈ kZ Vậy kZ vành Z Hơn nữa, A vành Z, chứa k A chứa ±k A chứa kn với n ∈ Z tức A chứa kZ SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp II GVHD: TS Đậu Thế Cấp IDEAL VÀNH THƯƠNG Định nghóa tính chất Ideal Cho X vành Vành A X gọi ideal trái (phải) x ∈ X, a ∈ A có xa ∈ A (ax ∈ A) Vành A gọi ideal vừa ideal phải, vừa ideal trái Nếu vành giao hoán ideal trái hay phải X ideal Ví dụ a) Với vành X {0X} X hai ideal X, gọi ideal tầm thường b) Với k ∈ N, kZ ideal Z c) Z vành Q Z không ideal Q Từ định lý ta có hai định lý sau  Định lý Tập A vành X ideal trái (phải) X thỏa mãn điều kiện sau 1) A ≠ Ø 2) a, b ∈ A ⇒ a + b ∈ A 3) a ∈ A ⇒ -a ∈ A 4) x ∈ X, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A)  Định lý Tập A vành X ideal trái (phải) X thỏa mãn điều kiện sau 1) A ≠ Ø 2) a, b ∈ A ⇒ a – b ∈ A 3) x ∈ A, a ∈ A ⇒ xa ∈ A (ax ∈ A) Ideal sinh tập Cho S tập vành X Tương tự chứng minh định lý dễ dàng thấy giao tất ideal trái (phải, hai phía) X chứa S SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp ideal trái (phải, hai phía) Ideal ideal trái (phải, hai phía) nhỏ chứa tập S, nên gọi ideal trái (phải, hai phía) sinh tập S Ideal (hai phía) sinh tập S kí hiệu Chú ý nói chung ≠ [S], ⊃ [S] Ideal sinh tập phần tử {a} gọi ideal sinh phần tử a, kí hiệu Nếu tồn phần tử a cho ideal A = ideal A gọi ideal Dễ dàng thấy vành X có đơn vị a phần tử khả nghịch X = X  Định lý Nếu X vành có đơn vị ideal trái sinh phần tử a ∈ X Xa = {xa | x ∈ X} ideal phải sinh a aX = {ax | x ∈ X} Chứng minh Ta chứng minh Xa ideal trái sinh a Việc chứng minh aX ideal phải hoàn toàn tương tự Trước hết, ta chứng tỏ Xa ideal trái chứa a Thật a = 1Xa ∈ Xa Với b, c ∈ Xa, tồn b’, c’ ∈ X cho b = b’a, c = c’a, từ b – c = (b’ – c’) a ∈ Xa Với x ∈ X b = b’a ∈ Xa ta coù xb = x(b’.a) = (xb’)a ∈ Xa Vậy Xa ideal trái X, chứa a Bây ta ideal trái At chứa a chứa Xa Thật vậy, a ∈ At At ideal trái nên x ∈ X ta có xa ∈ At Vậy Xa ⊂ At SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 10 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Vành thương Cho X vành A ideal Vì phép cộng giao hoán nên A nhóm chuẩn tắc nhóm (X, +) Từ ta có nhóm thương X/A với phép toán coäng (x + A) + (y + A) = (x + y) + A Rõ ràng (X/A, +) nhóm Abel Trên X/A ta đặt (x + A).(y + A) = xy + A Neáu x + A = x’ + A, y + A = y’ + A x’ – x = a ∈ A y' – y = b ∈ A Vì A ideal nên x'y – xy = (a + x)(b + y) – xy = xb + ay + ab ∈ A Từ x'y' + A = xy + A Vậy cách đặt cho ta phép toán nhân X/A Dễ dàng kiểm tra (X/A, +, ) vành Vành gọi vành thương X theo ideal A Nếu vành X có đơn vị vành X/A có đơn vị 1X + A Nếu vành X giao hoán vành X/A giao hoán Ví dụ Với k ∈ N, kZ ideal Z Vành thương Z/kZ vành Zk III MIỀN NGUYÊN Định nghóa miền nguyên Phần tử x ≠ vành X gọi ước không tồn y ∈ X, y ≠ cho xy = SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 11 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử, ước không gọi miền nguyên  Định lý Trong miền nguyên phần tử khác không thỏa mãn luật giản ước Chứng minh Giả sử a ≠ ab = ac Khi ab – ac = ⇒ a(b – c) = Vì a ≠ neân b – c = ⇒ b = c Ideal nguyên tố ideal tối đại Cho X vành A ideal X Khi ideal A gọi nguyên tố x, y ∈ A, xy ∈ A x ∈ A y ∈ A; ideal A gọi tối đại A ≠ X ideal M X chứa A M = A M = X  Định lý Cho X vành giao hoán có đơn vị ≠ Khi 1) {0} ideal nguyên tố ⇔ X miền nguyên 2) {0} ideal tối đại ⇔ X trường 3) Ideal P X nguyên tố ⇔ X/P miền nguyên Chứng minh 1) {0} nguyên tố ⇔ xy = x = y = ⇔X miền nguyên 2) {0} tối đại ⇔ ideal A X, A ≠ {0} A = X ⇔X có hai ideal {0} X ⇔X trường 3) P nguyên tố ⇔ xy ∈ P x ∈ P y ∈ P ⇔ (x + P).(y + P) = + P x + P = + P y + P = + P ⇔ X/P laø miền nguyên SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 12 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp IV TRƯỜNG Định nghóa tính chất Ta gọi trường vành giao hoán, có đơn vị có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Cho X trường, kí hiệu phần tử không, phần tử đơn vị Trước hết ta nhận xét ≠ Thật vậy, X tồn x ≠ 0, -1 -1 tồn x Từ x.x ≠ 0.x -1 ⇒ ≠ Ta nhận xét : Mọi trường X ước không -1 -1 Thật vậy, x ∈ X, x ≠ 0, neáu y ∈ X cho xy = x xy = x ⇒ y = Do đó, x không ước không Đặt X* = X\{0} Theo nhận xét trên, X* ổn định với phép toán nhân -1 ∈ X* Nếu x ∈ X* tồn x ∈ X* Do (X*, ) nhóm Abel Như vậy, cách tương đương, định nghóa: (X, +, ) trường 1) X phép toán cộng nhóm Abel 2) X* = X\{0} với phép nhân nhóm Abel 3) Phép nhân phân phối phép cộng Ví dụ a) Với phép cộng nhân thông thường (Q, +, ), (R, +, ) trường b) (Zp, +, ) với p nguyên tố trường Chứng minh Zp = {0,1, , p −1}, dễ kiểm tra Zp với phép toán + vành giao hoán có đơn vị Ta chứng minh m ∈ Zp, m ≠ có nghịch đảo Thật (m, p) = nên tồn u, v ∈ Z cho mu + pv = ⇒ m u =1  Định lý 10 Vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử X trường X có hai ideal tầm thường {0} X Chứng minh SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 13 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử X trường A ideal cuả X, A ≠ -1 {0} Khi tồn a ∈ A, a ≠ Suy = a a ∈ A Với x ∈ X ta có x = x.1 ∈ A nên A = X Vậy X có hai ideal Ngược lại, giả sử X vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử có hai ideal Với x ∈ X, x ≠ theo định lý 7, xX ideal X sinh x Vì xX ≠ {0} nên xX = X Từ tồn y ∈ X để xy = Vì vành X giao hoán nên x có phần tử nghịch đảo y Trường Cho X trường Tập A X gọi trường X A ổn định hai phép toán X A với hai phép toán cảm sinh tạo thành trường Ví dụ Q trường trường cuả trường số thực R Ta có hai địng lý sau  Định lý 11 Tập A trường X có nhiều phần tử trường trường X thỏa mãn điều kiện 1) x, y ∈ A ⇒ x + y ∈ A, xy ∈ A 2) x ∈ A ⇒ -x ∈ A -1 3) x ∈ A, x ≠ ⇒ x ∈ A  Định lý 12 Tập A trường X có nhiều phần tử trường trường X thỏa mãn điều kiện 1) x, y ∈ A ⇒ x – y ∈ A -1 2) x, y ∈ A, y ≠ ⇒ xy ∈ A SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 14 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp CHƯƠNG II SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN I KHÁI NIỆM SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN Khái niệm chia hết Cho X miền nguyên a, b ∈ X b ≠ Nếu tồn c ∈ X cho a = bc ta viết b | a a Μ b gọi a chia hết cho b Thay cho cách gọi “a chia hết cho b” ta gọi cách sau : “a bội b”, “b chia hết a” “b ước a” Hai phần tử a b miền nguyên gọi liên kết đồng thời có a | b b | a  Định lý Hai phần tử a, b miền nguyên X liên kết a ≠ 0, b ≠ tồn u ∈ X, u khả nghịch cho a = bu Chứng minh Nếu a | b b | a a ≠ 0, b ≠ tồn u, v ∈ X cho a = bu b = av Từ a = auv ⇒ uv = ⇒ u, v khả nghịch Ngược lại, a = bu b | a Mặt khác, u khả nghịch nên b = -1 a.u , tức có a | b Vậy a b liên kết Từ định lý suy quan hệ liên kết quan hệ tương đương tập X* = X\{0} Cũng định lý ta gọi hai phần tử liên kết hai phần tử khác phần tử khả nghịch SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 15 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Nếu b | a, b không khả nghịch, b không liên kết với a b gọi ước thực a, kí hiệu b || a Liên hệ tính chất chia hết ideal sinh bời phần tử ta có  Định lý Cho X miền nguyên, a, b ∈ X b ≠ Khi ñoù 1) b | a ⇔ ⊃ 2) b || a ⇔ ⊃ ≠ Chứng minh 1) b | a⇔ ∃x ∈ X, a = bx ⇔ a ∈ ⇔ ⊂ 2) b || a ⇔ ∃x ∈ X, x không khả nghịch, không liên kết với a, a = bx ⇔ a ∈ , b ∉ ⇔ ⊂ ≠ Cho miền nguyên X a, b ∈ X Phần tử d ∈ X gọi ước chung lớn a b, kí hiệu ƯCLN (a, b), d | a, d | b với c ∈ X, c | a, c | b c | d Hai phần tử a b miền nguyên X gọi nguyên tố ƯCLN(a, b) = u phần tử khả nghịch Khi a b nguyên tố ta có ƯCLN(a, b) = 1, : a b nguyên tố ⇔ ƯCLN(a, b) =  Định lý Nếu d ƯCLN (a, b) tập ước chung lớn a b trùng với tập phần tử liên kết với d Chứng minh Giả sử d' ước chung lớn a b Theo định nghóa ta có d’| d d | d’ Vậy d’ liên kết với d Bây giả sử d’ liên kết với d, theo định lý tồn u khả nghịch để -1 d = d’u ⇔ d’ = du Do đó, d | a, d | b, c | d có d’| a, d’| b, c | d’ Vậy d’ ước chung lớn a b SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 16 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy Phần tử p miền nguyên X gọi nguyên tố p ≠ 0, p không khả nghịch với a, b ∈ X, p | ab p | a họăc p | b Phần tử p gọi bất khả quy p ≠ 0, p không khả nghịch với a, b ∈ X, p = ab a khả nghịch b khả nghịch, nói cách khác p ước thực  Định lý Trong miền nguyên X phần tử nguyên tố phần tử bất khả quy Chứng minh Giả sử p nguyên tố a, b ∈ X cho p = ab Vì p | ab nên p | a họăc p | b Xét trường hợp p | a Khi tồn u ∈ X, a = pu Từ đó, p = p(ub), suy ub = Vậy b khả nghịch II VÀNH CHÍNH Định nghóa vành Một miền nguyên X gọi vành ideal X ideal Ví dụ Mọi ideal vành số nguyên Z có dạng mZ = , ideal Vậy Z vành  Định lý Trong vành X không tồn dãy vô hạn phần tử a1, a2, …, an, …, ai+1 ước thực với i = 1, 2, …, n, … Chứng minh Nếu có dãy theo định lý ta có dãy ideal loàng < a1> ⊂ < a2> ⊂ < a3> ⊂ … ≠ ≠≠ SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 17 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Dễ dàng kiểm tra A = ∪ < ai> ideal X, dó tồn a ∈ X i cho = A Vì a ∈ A nên a ∈ < ai0> với i0 Với n > i0 theo định lí ta có < ai0> ⊂ < an> ⊂ < an+1> ⊂ A ⊂ < ai0> Vaäy < an > = < an+1> mà điều mâu thuẫn với an+1 ước thực an Vành nhân tử hóa Cho X miền nguyên Phần tử a ∈ X gọi phân tích cách thành tích phần tử bất khả quy tồn phần tử bất khả quy p1, p2, , pn cho a = p1.p2 …pn phân tích nhất, không kể đến thứ tự nhân tử khả nghịch Nói cách khác, có a = q1.q2…qm với qi bất khả quy m = n với cách đánh số thích hợp ta có pi liên kết với qi với i = 1, 2, , n Miền nguyên gọi vành nhân tử hóa hay vành Gauss phần tử khác không, không khả nghịch phân tích cách thành tích phần tử bất khả quy  Định lý Mọi vành vành nhân tử hóa Chứng minh Giả sử a phần tử khác không, không khả nghịch vành X Trước hết ta chứng minh a có ước bất khả quy Thật vậy, trái lại a ước bất khả quy a không bất khả quy có ước thực a1 không bất khả quy, a1 lại có ước thực không bất khả quy a2, … Ta dãy a1, a2, … vô hạn phần tử mà phần tử đứng sau ước thực phần tử đứng liền trước, theo định lý điều mâu thuẫn SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 18 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử p1 ước bất khả quy a Khi a = p 1a1 Nếu a1 không bất khả quy tồn ước bất khả quy p 2, a1 = p2a2, a = p1p2.a2, … Theo định lý 5, sau n bước ta có a n bất khả quy, đặt pn = an ta a = p1p2 …pn tích phần tử bất khả quy Bây giả sử a có hai cách phân tích thành tích phần tử bất khả quy a = p1p2 … pn = q1q2 … qm Ta giả thiết n ≤ m Vì vành phần tử bất khả quy nguyên tố p i | q1q2 … qm nên tồn qj cho pi | qj Nếu cần đánh số lại, ta giả thiết p i | qi Vì pi qi bất khả quy nên tồn phần tử ui khả nghịch cho qi = pi.ui Từ q1.q2 … qn = p1.p2 … pn u = a.u Với u = u1.u2 … un phần tử khả nghịch Nếu m > n a = q1.q2 … qn qn+1… qm = auqn+1… qm Suy qn+1… qm = u -1 phần tử khả nghịch, ta gặp mâu thuẫn Vậy m = n qi = pi.ui với i = 1, 2, …, n III VÀNH EUCLIDE Định nghóa vành Euclide Cho X miền nguyên Kí hiệu X* = X/{0} Miền nguyên X gọi vành Euclide có ánh xạ δ :X*→N thỏa mãn điều kiện 1) Nếu b | a a ≠ δ(b) ≤ δ(a) 2) Với a, b ∈ X, b ≠ 0, tồn q, r ∈ X cho a = bq + r r = δ(r) < δ(b) SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 19 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Ví dụ Theo định lý phép chia có dư Z, với ánh xạ δ :Z*→N, n α |n| vành số nguyên Z vành Euclide  Định lý Mọi vành Euclide vành Chứng minh Giả sử X ánh xạ δ : X* → N vành Euclide, A ideal tùy ý X Nếu A = {0} A ideal sinh Xét trường hợp A ≠ {0} Tập {δ(a) | a ∈ A, a ≠ 0} ⊂ N có số nhỏ nhất, có a ∈ A cho δ(a) số nhỏ nói Ta chứng minh A = Thật vậy, với x ∈ A X vành Euclide nên x = aq + r, r = δ(r) < δ(a) Nếu r ≠ r = x – aq ∈ A, δ(r) < δ(a) mâu thuẫn với cách chọn phần tử a Vậy r = x = aq ∈ Từ A = ideal Nhận xét Theo định lý ta có : vành Euclide vành nhân tử hóa Thuật toán tìm ước chung lớn Tương tự số nguyên, sử dụng thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn hai phần tử vành Euclide Nhận xét Dễ dàng thấy 1) Nếu a | b ƯCLN (a, b) = a 2) Nếu a = bq + r, b ≠ ƯCLN(a, b) ƯCLN(b, r) Giả sử a, b ∈ X, b ≠ Khi tồn q0, r0 ∈ X cho a = bq0 + r0, r0 = họăc δ(r0) < δ(b) Nếu r0 ≠ ta có b = r0q1 + r1, r1 = δ(r1) < δ(r0) SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 20 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Nếu r1 ≠ ta có r0 = r1q2 + r2, r2 = hoaëc δ(r2) < δ(r1) …………… Vì δ(b) > δ(r0) > δ(r1) > … nên sau số hữu hạn bước ta phải có rn+1 = tức r n-1 = rn qn+1 1) ƯCLN (rn , rn-1) = rn-1 Từ theo nhận xét 2, 2) 2) Ta có ƯLCN (a, b) = rn-1 IV TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG VÀNH EUCLIDE  Định lý Cho a b phần tử vành Euclide X ƯCLN (a, b) = d Khi tồn u, v ∈ X cho au + bv = d Chứng minh Nếu hai phần tử chia hết cho nhau, chẳng hạn a Μ b d = εb, ε phần tử khả nghịch Khi : d = au + bv với u = 0, v = ε Nếu phần tử hai phần tử chia hết cho phần tử thuật toán Euclide (xem 2, III) tồn r i ≠ Ta chứng minh với i = 0, 1, …, n-1 : ri = au + bv (*) Thaät vaäy, r0 = a – bq = a.1 + b.(–q) r1 = b – r0q1 = b – (a – bq)q1 = a.(q1) + b.(q.q1 + 1) SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 21 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp nên (*) với i = 0, i = Bây giả sử (*) với i – i (i ≥ 1), tức laø : r i-1 = aui -1 + bvi -1 ri = aui + bvi Khi đó, ta có : r i+1 = ri -1 – ri.qi -1 = aui -1 + bvi -1 – (aui + bvi)qi+1 = a(ui-1 – ui qi+1) + b(vi-1 – vi qi+1) tức (*) với i + Theo phương pháp quy nạp, (*) chứng minh Từ ∃ u*, v* ∈ X để au* + bv* = rn-1 Vì d = εrn-1, ε phần tử khả nghịch nên d = εrn-1 = au + bv  Định lý Cho a b phần tử vành Euclide Khi a b nguyên tố ⇔ ∃u, v ∈ X cho au + bv = Chứng minh Nếu a b nguyên tố tức (a, b) = theo định lý có u, v để au + bv = Ngược lại, giả sử có u, v để đẳng thức xảy Khi d ước chung tùy ý a b d ước au + bv nên d ước 1, tức d phần tử khả nghịch Vậy (a, b) =  Định lý 10 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Nếu phần tử c ước tích a.b ƯCLN (a, c) = c ước b Chứng minh SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 22 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Giả sử c | ab, (c, a) = ta cần chứng minh c | b Vì (c, a) = nên theo định lý tồn u, v ∈ X cho cu + av = ⇒ bcu + abv = b Hiển nhiên c | bc, theo giả thiết c | ab, nên c | bcu + abv ⇒ c | b  Định lý 11 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Khi (ab, c) = ⇔ (a, c) = vaø (b, c) = Chứng minh Giả sử (a, bc) = Khi tồn u, v : au + (bc)v = ⇒au + b(cv) = vaø au + c(bv) = ⇒ (a, b) = vaø (a, c) = Ngược lại, (a, b) = (a, c) = tồn u1, v1, u2, v2 cho au1 + bv1 = , au2 + cv2 = ⇒ (au1 + bv1) (au2 + cv2) = ⇒ a(au1u2 + bu2v1 + cu1u2) + (bc)(v1.v2) = ⇒ (a, bc) =  Định lý 12 Cho a, b, c phần tử vành Euclide X Khi a b ước c, a b nguyên tố ab ước c Chứng minh Do a | c nên tồn q∈ X, aq = c Từ đó, b | c suy b | aq Vì (a, b) = nên theo định lý 10, b | q tức tồn q’∈ X để q = bq’ Suy abq’ = c hay ab | c SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 23 Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp Tài liệu tham khảo Đậu Thế Cấp, Cấu trúc đại số, NXB Giáo dục, 2003 Đậu Thế Cấp, Số học, NXN Giáo dục, 2003 Mỵ Vinh Quang, Đại số Đại cương, NXB Giáo dục, 2001 SVTH : Nguyễn Thị Thanh Trang 24 ... Luận văn ? ?Một số vấn đề số học miền nguyên? ?? muốn xem xét số khái niệm tính chất số học miền nguyên tương tự vành số nguyên Z Kiến thức chuẩn bị lý thuyết vành, đặc biệt tính chất Ideal Trong luận... thương III Miền nguyên Định nghóa miền nguyên Ideal nguyên tố Ideal tối đại IV Trường 10 Định nghóa tính chất 10 Trường 11 CHƯƠNG II SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN I Khái niệm số học miền nguyên 12... Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Đậu Thế Cấp CHƯƠNG II SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN I KHÁI NIỆM SỐ HỌC TRONG MIỀN NGUYÊN Khái niệm chia hết Cho X miền nguyên a, b ∈ X b ≠ Nếu tồn c ∈ X cho a = bc ta viết