Một số vấn đề về phương trình truyền nhiệt ngược thời gian một chiều

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ TRẦN ĐỨC DUYMỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN MỘT CHIỀUNgành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN V

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN ĐỨC DUY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN MỘT CHIỀU Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH THÁI NGUYÊN - 2024 1 Danh sách hình vẽ 2.1 Kết quả xây dựng điều kiện ban đầu v trong các trường hợp: (a) hàm trơn; (b) liên tục không trơn; (c) gián đoạn 33 2.2 Đường cong L ứng với các tham số hiệu chỉnh 5.10−4, 10−3, 5.10−3, 10−2, 5.10−2, 10−1 35 2.3 Hình biểu diễn 51 giá trị kì dị đầu tiên của toán tử quan sát 36 2 Danh sách ký hiệu Ω = (0, L) ⊂ R = Ω × (0, T ) Q không gian các hàm liên tục trên tập Ω không gian các hàm liên tục đến cấp k trên tập Ω C (Ω) không gian các hàm đo được Lebegues và bình phương khả tích trên Ω C k (Ω) không gian các hàm u(x) ∈ L2(Ω) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Ω), L2(Ω) không gian các hàm thuộc H1(Ω) triệt tiêu trên biên H 1 (Ω) không gian đối ngẫu của không gian H01(Ω) H01(Ω) = {u : u(t) ∈ B hầu khắp t ∈ (0, T ) và ∥u∥L2(0,T ;B) < ∞}; (H01(Ω))′ = {u : u ∈ L2(0, T ; H01(Ω)), ut ∈ L2(0, T ; (H01(Ω))′)} L2(0, T ; B) gradient của J W (0, T ; H01(Ω)) ∇J 3 Mục lục Trang Danh sách hình vẽ 1 Danh sách ký hiệu 2 Lời nói đầu 4 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 8 1.1 Một số định nghĩa 8 1.2 Bài toán đặt không chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa 9 1.3 Bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liên hợp cho phương trình truyền nhiệt một chiều 13 1.4 Phương pháp số giải bài toán thuận 16 1.4.1 Rời rạc biến không gian 16 1.4.2 Rời rạc biến thời gian 17 Chương 2 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian một chiều 20 2.1 Phương pháp biến phân giải bài toán ngược 20 2.1.1 Phiếm hàm Tikhonov dạng liên tục 21 2.1.2 Phiếm hàm Tikhonov dạng rời rạc 26 2.1.3 Phương pháp Gradient liên hợp 29 2.2 Phương pháp đường cong L (L-curve) chọn tham số chỉnh hóa 32 2.3 Thuật toán Lanczos ước lượng các giá trị kì dị 34 Tài liệu tham khảo 38 4 Lời nói đầu Quá trình tìm lại "nguyên nhân" khi ta có thông tin nào đó về "kết quả" là quá trình nghiên cứu Bài toán ngược hay nói cách khác, bài toán ngược là bài toán từ một số thông tin (quan sát) nào đó về quá trình ta xác định lại các tham số trong mô hình mà ta không không thể đo đạc một cách trực tiếp được, ví dụ như xác định lại điều kiện ban đầu hoặc xác định vế phải, hoặc xác định hệ số nào đó trong phương trình, Bài toán ngược có nhiều ý nghĩa thực tế vì thường xuyên xuất hiện trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực như y tế, nhận dạng quang học, địa vật lý, hải dương học, dự báo thời tiết, ô nhiễm môi trường, xử lý ảnh [4, 5] Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian (The heat equation back- ward in time) là một loại bài toán ngược khá phổ biến trong nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng Đây là bài toán mà nhiệt độ ban đầu (điều kiện ban đầu) chưa biết và cần xác định lại từ thông tin về quá trình tại thời điểm cuối Bài toán này là một Bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hardamard Bài toán được gọi là Bài toán đặt chỉnh nếu thỏa mãn tất cả các điều kiện: i) Tồn tại nghiệm; ii) Nghiệm là duy nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện bài toán Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh Nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh thường gặp vấn đề nghiêm trọng vì tính không ổn định của nghiệm, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào có thể dẫn tới sai số rất lớn của nghiệm Ta có thể xét ví dụ sau đây: Xét phương trình truyền nhiệt một chiều với điều kiện biên Dirichlet thuần 5 nhất sau đây ut(x, t) = uxx(x, t), x ∈ (0, π), 0 ≤ t ≤ 1, (0.1) u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (0.2) u(x, 0) = v(x), x ∈ (0, π) (0.3) Mục tiêu: Tìm điều kiện ban đầu v(x) từ thông tin u(x, 1) = ξ(x) Sử dụng khai triển Fourier cho hàm v(x), ta có biểu diễn sau đây ∞ (0.4) v(x) = vnφn(x), x ∈ [0, π] n=1 2 2 π π π trong đó φn(x) = sin(nx) và vn = v(τ ) sin(nτ )dτ Do đó 0 ∞ u(x, t) = vne−n2tφn(x) n=1 Do đó nếu ξ ∈ L2(0, π), thì ∞ ∞ ξ(x) = u(x, 1) = vne−n2φn(x) = ξnφn(x) n=1 n=1 2 π π với ξn = ξ(τ ) sin(nτ )dτ Do vậy, 0 vn = ξnen2, n = 1, 2, và 2 ∞ v(x) = n2 (0.5) Với v ∈ L2(0, π), ta phải có π e ξn sin(nx) n=1 ∞ (0.6) ∥v∥L2(0,π) 2 = e2n2|ξn|2 < ∞ n=1 Từ công thức (0.5) và (0.6), ta thấy rằng bài toán xây dựng lại điều kiện ban đầu v từ thông tin nghiệm ξ là bài toán đặt không chỉnh Thật vậy, ta thấy rằng nghiệm v chỉ tồn tại với những hàm ξ mà hệ số Fourier ξn giảm nhanh khi n tiến tới ∞ (nhanh hơn e−n2) Bên cạnh đó, nếu ta nhiễu hệ số Fourier thứ n của ξ bởi sai số nhỏ thì nghiệm v sẽ được 6 nhân lên với e2n2 Ví dụ nếu có sai số 10−8 trong hệ số Fourier thứ ξ5 của dữ kiện ξ thì sai số trong điều kiện ban đầu v là 103 Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán ngược thời gian cho phương trình truyền nhiệt một chiều Cụ thể, xét miền không gian (miền vật lý) Ω = (0, L) ⊂ R, thời gian 0 ≤ t ≤ T , Q = (0, L) × (0, T ) Giả sử v ∈ L2(Ω), f ∈ L2(Q) và hằng số a > 0, xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình truyền nhiệt một chiều tuyến tính như sau  ut − auxx = f (x, t), (x, t) ∈ Q,  (0.7) u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T,  u|t=0 = v(x), x ∈ Ω, Giả sử thông tin về nghiệm có được thông qua toán tử quan sát C, bài toán ngược thời gian đặt ra ở đây chính là từ thông tin Cu = u(x, T ) = z(x), ta cần xác định lại điều kiện ban đầu v(x) Nội dung luận văn được chia làm hai chương, cụ thể: Chương 1 trình bày lại một số một số kiến thức cơ bản liên quan tới các không gian hàm cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng, khái niệm bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh và một số kết quả về lý thuyết chỉnh hóa Cũng trong chương này, luận văn cũng trình bày lại một số khái niệm liên quan tới bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liên hợp, định nghĩa nghiệm yếu, quan sát tại thời điểm cuối, Định lý Green để đưa ra mối liên hệ giữa bài toán thuận và bài toán liên hợp Những nội dung cơ bản của phương pháp sai phân được sử dụng để rời rạc bài toán thuận cũng được trình bày trong chương này Chương 2 trình bày phương pháp biến phân giải bài toán ngược thông quan cực tiểu hóa phiếm hàm Tikhonov Công thức gradient cho phiếm hàm mục tiêu liên tục và rời rạc lần lượt được chỉ ra trong các Định lý 2.1 và Định lý 2.3 Nghiệm cực tiểu hóa của phiếm hàm Tikhonov được tìm bằng cách sử dụng thuật toán gradient liên hợp Hai mục cuối của Chương 2 lần lượt giới thiệu phương pháp đường cong L (L-curve) để tìm tham số hiệu chỉnh và thuật toán Lanczos để ước lượng tính đặt không chỉnh của bài toán Mỗi thuật toán được giới thiệu trong chương này đều có ví dụ số minh họa Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán – Tin, Trường Đại học 7 Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Thị Ngọc Oanh (Trường đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên) Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh, cô luôn theo sát, chỉ bảo, hướng dẫn tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn này từ khi tôi chọn đề tài đến khi tôi thực hiện và hoàn thành luận văn Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo Khoa Toán – Tin Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và luôn tạo điều kiện thuận lợi nhất để học tập và nghiên cứu cho các học viên của lớp K15A13; tôi xin cảm ơn các bạn học viên đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban giám đốc Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên huyện Kiến Xương, nơi tôi đang công tác, đã tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới người thân, bạn bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và làm luận văn này 8 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan tới nội dung nghiên cứu như: định nghĩa một số không gian hàm, bài toán đặt không chỉnh, bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liên hợp phương pháp sai phân Nội dung chương này được tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1, 4, 5] 1.1 Một số định nghĩa Cho Ω = (0, L) ⊂ R và Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, L} × (0, T ), khi đó ta sử dụng một số định nghĩa không gian hàm dưới đây: Định nghĩa 1.1 Không gian C(Ω) là tập hợp của các hàm liên tục trên tập Ω, tức là C(Ω) = {u : Ω → R | u là hàm liên tục} Định nghĩa 1.2 Không gian Ck(Ω) là tập hợp của các hàm liên tục đến cấp k trên tập Ω, tức là C(Ω) = {u : Ω → R | u là hàm khả vi liên tục cấp k} Định nghĩa 1.3 Không gian L2(Ω) là tập hợp của các hàm đo được Lebegues và bình phương khả tích trên Ω, tức là L2(Ω) = {u : Ω → R | u là đo được Lebegues và ∥u∥ < ∞}, với 1/2 ∥u∥L2(Ω) = u2dx < ∞ Ω 9 Định nghĩa 1.4 Không gian H1(Ω) là tập hợp của tất cả các hàm u(x) ∈ L2(Ω) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Ω), với tích vô hướng (u, v)H1(Ω) := (uv + uxvx) dx Ω Định nghĩa 1.5 Không gian H01(Ω) là tập hợp các hàm thuộc H1(Ω) triệt tiêu trên biên, tức là H01(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : u(0) = u(L) = 0} Định nghĩa 1.6 (Khả vi Fréchet) Cho X, Y là các không gian Ba- nach, U là lân cận của điểm x Ánh xạ F : U → Y được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y thỏa mãn lim ∥F (x + h) − F (x) − Ah∥Y = 0 h→0 ∥h∥X Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F Ngoài ra ta sử dụng một số khái niệm sau đây: Cho B là một không gian Banach, ta định nghĩa L2(0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B hầu khắp t ∈ (0, T ) và ∥u∥L2(0,T ;B) < ∞}, trong đó ∥u∥L2(0,T ;B) 2 = T Ta cũng định nghĩa ∥u(t)∥2B dt 0 W (0, T ; H01(Ω)) = {u : u ∈ L2(0, T ; H01(Ω)), ut ∈ L2(0, T ; (H01(Ω))′)}, với chuẩn ∥u∥W (0,T ;H01(Ω)) 2 = ∥u∥L2(0,T ;H01(Ω)) 2 + ∥ut∥L2(0,T ;(H01(Ω))′) 2 1.2 Bài toán đặt không chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ A : X → Y Khi đó bài toán Ax = y được gọi là đặt chỉnh (well-posed)