Một số vấn đề về phương trình truyền nhiệt ngược thời gian một chiều

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ TRẦN ĐỨC DUYMỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN MỘT CHIỀUNgành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN V

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH

THÁI NGUYÊN - 2024

Danh sách hình vẽ

2.1 Kết quả xây dựng điều kiện ban đầu v trong các trường hợp:(a) hàm trơn; (b) liên tục không trơn; (c) gián đoạn 332.2 Đường cong L ứng với các tham số hiệu chỉnh 5.10−4, 10−3,5.10−3, 10−2, 5.10−2, 10−1 352.3 Hình biểu diễn 51 giá trị kì dị đầu tiên của toán tử quan sát 36

Danh sách ký hiệu

L2(0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B hầu khắp t ∈ (0, T ) và ∥u∥L2 (0,T ;B) < ∞};

W (0, T ; H1(Ω)) = {u : u ∈ L2(0, T ; H1(Ω)), u t ∈ L 2 (0, T ; (H1(Ω))′)}

Mục lục

Trang

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 8

1.1 Một số định nghĩa 8

1.2 Bài toán đặt không chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa 9

1.3 Bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liên hợp cho phương trình truyền nhiệt một chiều 13

1.4 Phương pháp số giải bài toán thuận 16

1.4.1 Rời rạc biến không gian 16

1.4.2 Rời rạc biến thời gian 17

Chương 2 Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian một chiều 20 2.1 Phương pháp biến phân giải bài toán ngược 20

2.1.1 Phiếm hàm Tikhonov dạng liên tục 21

2.1.2 Phiếm hàm Tikhonov dạng rời rạc 26

2.1.3 Phương pháp Gradient liên hợp 29

2.2 Phương pháp đường cong L (L-curve) chọn tham số chỉnh hóa 32 2.3 Thuật toán Lanczos ước lượng các giá trị kì dị 34

Lời nói đầu

Quá trình tìm lại "nguyên nhân" khi ta có thông tin nào đó về "kếtquả" là quá trình nghiên cứu Bài toán ngược hay nói cách khác, bàitoán ngược là bài toán từ một số thông tin (quan sát) nào đó về quátrình ta xác định lại các tham số trong mô hình mà ta không không thể

đo đạc một cách trực tiếp được, ví dụ như xác định lại điều kiện banđầu hoặc xác định vế phải, hoặc xác định hệ số nào đó trong phươngtrình, Bài toán ngược có nhiều ý nghĩa thực tế vì thường xuyên xuấthiện trong nghiên cứu của nhiều lĩnh vực như y tế, nhận dạng quanghọc, địa vật lý, hải dương học, dự báo thời tiết, ô nhiễm môi trường, xử

Bài toán được gọi là Bài toán đặt chỉnh nếu thỏa mãn tất cả các điềukiện: i) Tồn tại nghiệm; ii) Nghiệm là duy nhất; iii) Nghiệm phụ thuộcliên tục vào dữ kiện bài toán Nếu ít nhất một trong các điều kiện trênkhông thỏa mãn thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh Nghiên cứubài toán đặt không chỉnh thường gặp vấn đề nghiêm trọng vì tính không

ổn định của nghiệm, tức là một sai số nhỏ trong dữ kiện đầu vào có thểdẫn tới sai số rất lớn của nghiệm Ta có thể xét ví dụ sau đây: Xétphương trình truyền nhiệt một chiều với điều kiện biên Dirichlet thuần

nhất sau đây

ut(x, t) = uxx(x, t), x ∈ (0, π), 0 ≤ t ≤ 1, (0.1)u(0, t) = u(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (0.2)

v(x) =

r2π

∞

X

n=1

en2ξnsin(nx) (0.5)Với v ∈ L2(0, π), ta phải có

ξn giảm nhanh khi n tiến tới ∞ (nhanh hơn e−n2) Bên cạnh đó, nếu

ta nhiễu hệ số Fourier thứ n của ξ bởi sai số nhỏ thì nghiệm v sẽ được

nhân lên với e2n2 Ví dụ nếu có sai số 10−8 trong hệ số Fourier thứ ξ5của dữ kiện ξ thì sai số trong điều kiện ban đầu v là 103.

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán ngượcthời gian cho phương trình truyền nhiệt một chiều Cụ thể, xét miềnkhông gian (miền vật lý) Ω = (0, L) ⊂ R, thời gian 0 ≤ t ≤ T , Q =(0, L) × (0, T ) Giả sử v ∈ L2(Ω), f ∈ L2(Q) và hằng số a > 0, xét bàitoán giá trị ban đầu cho phương trình truyền nhiệt một chiều tuyến tínhnhư sau

(0.7)

Giả sử thông tin về nghiệm có được thông qua toán tử quan sát C, bàitoán ngược thời gian đặt ra ở đây chính là từ thông tin Cu = u(x, T ) =z(x), ta cần xác định lại điều kiện ban đầu v(x)

Nội dung luận văn được chia làm hai chương, cụ thể:

Chương 1 trình bày lại một số một số kiến thức cơ bản liên quantới các không gian hàm cơ bản trong phương trình đạo hàm riêng, kháiniệm bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh và một số kết quả về

lý thuyết chỉnh hóa Cũng trong chương này, luận văn cũng trình bàylại một số khái niệm liên quan tới bài toán thuận, bài toán ngược, bàitoán liên hợp, định nghĩa nghiệm yếu, quan sát tại thời điểm cuối, Định

lý Green để đưa ra mối liên hệ giữa bài toán thuận và bài toán liên hợp.Những nội dung cơ bản của phương pháp sai phân được sử dụng để rờirạc bài toán thuận cũng được trình bày trong chương này

Chương 2 trình bày phương pháp biến phân giải bài toán ngược thôngquan cực tiểu hóa phiếm hàm Tikhonov Công thức gradient cho phiếmhàm mục tiêu liên tục và rời rạc lần lượt được chỉ ra trong các Định lý2.1 và Định lý 2.3 Nghiệm cực tiểu hóa của phiếm hàm Tikhonov đượctìm bằng cách sử dụng thuật toán gradient liên hợp Hai mục cuối củaChương 2 lần lượt giới thiệu phương pháp đường cong L (L-curve) đểtìm tham số hiệu chỉnh và thuật toán Lanczos để ước lượng tính đặtkhông chỉnh của bài toán Mỗi thuật toán được giới thiệu trong chươngnày đều có ví dụ số minh họa

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán – Tin, Trường Đại học

Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến

sỹ Nguyễn Thị Ngọc Oanh (Trường đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên) Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắcđến Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh, cô luôn theo sát, chỉ bảo, hướngdẫn tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn này từkhi tôi chọn đề tài đến khi tôi thực hiện và hoàn thành luận văn Tôicũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo Khoa Toán –Tin Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy vàluôn tạo điều kiện thuận lợi nhất để học tập và nghiên cứu cho các họcviên của lớp K15A13; tôi xin cảm ơn các bạn học viên đã luôn động viêngiúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường Cuốicùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban giám đốc Trung tâmGiáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên huyện Kiến Xương, nơitôi đang công tác, đã tạo điều kiện, động viên giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tớingười thân, bạn bè, đồng nghiệp luôn khuyến khích động viên tôi trongsuốt quá trình học cao học và làm luận văn này

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liênquan tới nội dung nghiên cứu như: định nghĩa một số không gian hàm,bài toán đặt không chỉnh, bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liênhợp phương pháp sai phân Nội dung chương này được tham khảo chủyếu trong các tài liệu [1, 4, 5]

Cho Ω = (0, L) ⊂ R và Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, L} × (0, T ), khi

đó ta sử dụng một số định nghĩa không gian hàm dưới đây:

Định nghĩa 1.1 Không gian C(Ω) là tập hợp của các hàm liên tục trêntập Ω, tức là

Định nghĩa 1.4 Không gian H1(Ω) là tập hợp của tất cả các hàmu(x) ∈ L2(Ω) có đạo hàm suy rộng ux ∈ L2(Ω), với tích vô hướng

Ba-lim

h→0

∥F (x + h) − F (x) − Ah∥Y

Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là đạo hàm Fréchet của F

Ngoài ra ta sử dụng một số khái niệm sau đây:

Cho B là một không gian Banach, ta định nghĩa

L2(0, T ; B) = {u : u(t) ∈ B hầu khắp t ∈ (0, T ) và ∥u∥L2 (0,T ;B) < ∞},trong đó

∥u∥2W (0,T ;H1 (Ω)) = ∥u∥2L2 (0,T ;H 1 (Ω))+ ∥ut∥2L2 (0,T ;(H 1 (Ω)) ′ )

Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamardđược định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ

A : X → Y Khi đó bài toán Ax = y được gọi là đặt chỉnh (well-posed)

(theo nghĩa Hadamard) nếu nó thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

1 Tồn tại nghiệm

2 Nghiệm là duy nhất

3 Tính ổn định của nghiệm: tức là sai số nhỏ trong dữ kiện bài toándẫn tới nhiễu nhỏ trong lời giải

Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán được gọi

là đặt không chỉnh (ill-posed, non-well-posed, improperly posed)

Định nghĩa 1.8 Một phương pháp chỉnh hóa là một họ các toán tửtuyến tính, bị chặn Rα : Y → X, α > 0 sao cho

tử tuyến tính compact, bị chặn và α > 0 Khi đó phiếm hàm Tikhonov

Jα(x) có một cực tiểu là xα ∈ X Cực tiểu xα ∈ X này là nghiệm duynhất của phương trình

xα + A∗Axα = A∗y

Tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa Tikhonov trong trường hợp

dữ liệu bị nhiễu được chỉ ra trong các định lí sau

Định lý 1.2 Nếu x∗ = A∗z ∈ A∗Y với ∥z∥ ≤ E thì khi chọn α(δ) =



E13δ23

Định nghĩa 1.10 (Nghiệm bình phương tối thiểu) Cho X, Y là cáckhông gian định chuẩn và ánh xạ A : X → Y Khi đó nghiệm bìnhphương tối thiểu của bài toán Ax = y là tập hợp tất cả các ˜x ∈ X saocho

∥A˜x − y∥2 ≤ ∥Ax − y∥2, ∀x ∈ X

Ta kí hiệu x+ là nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất

Ta có công thức biểu diễn nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏnhất như sau

Định lý 1.4 Giả sử (σj, ej, fj) là hệ kỳ dị của toán tử A và được xácđịnh từ các hệ thức

σj−1(y, fj)ej, ∀y ∈ D(A+) (1.1)

Bổ đề 1.1 (Kellogg [2]) Giả sử A là toán tử nửa xác định dương, E làtoán tử đơn vị và σ là tham số không âm, khi đó ta nhận được đánh giásau đây

∥(E − σA)(E + σA)−1∥ ≤ 1 (1.2)Chứng minh Đặt K = (E − σA)(E + σA)−1, ta có

∥K∥2 = sup

φ

(E − σA)(E + σA)−1φ, (E − σA)(E + σA)−1φ

(E + σA)ϕ, (E + σA)ϕ

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.2 Cho toán tử A là nửa xác định dương, E là toán tử đơn vị

và σ là một tham số không âm, khi đó

∥(E + σA)−1(E − σA)∥ ≤ 1 (1.3)

Chứng minh Trước khi chứng minh Bổ đề 1.2, ta chứng minh đánh giásau

∥(E + σA)−1(E − σA)(E + σA)−1ψ∥2

≤ ∥(E + σA)−1∥2∥(E − σA)(E + σA)−1∥2∥ψ∥2

1.3 Bài toán thuận, bài toán ngược, bài toán liên hợp

cho phương trình truyền nhiệt một chiều

Trong luận văn này, chúng tôi xét miền không gian (miền vật lý)

Ω = (0, L) ⊂ R, thời gian 0 ≤ t ≤ T , Q = (0, L) × (0, T ) Giả sử

v ∈ L2(Ω), f ∈ L2(Q) và hằng số a > 0, xét bài toán giá trị ban đầucho phương trình truyền nhiệt một chiều tuyến tính như sau

(1.5)

Định nghĩa 1.11 (Bài toán thuận) [4] Khi hệ số a, điều kiện banđầu v(x), hàm vế phải f (x, t) đã biết, bài toán tìm nghiệm u(x, t) của

hệ (1.5) được gọi là bài toán thuận (hay bài toán trực tiếp)

Định nghĩa 1.12 (Bài toán ngược) Bài toán ngược cho hệ (1.5) làbài toán yêu cầu xác định lại hoặc điều kiện ban đầu v(x), hoặc hệ số

a, hoặc hàm vế phải f (x, t) (có thể là một phần của vế phải) khi ta cóthông tin hay quan sát nào đó về nghiệm

Phương trình truyền nhiệt ngược thời gian chính là dạng bài toán ngượcxác định lại điều kiện ban đầu từ thông tin về nghiệm tại thời điểmcuối Cụ thể, gọi C là toán tử quan sát nghiệm tại thời điểm cuối Cu =u(x, T ) = z(x), x ∈ Ω, ta tìm lại điều kiện ban đầu v(x) Phương phápphổ biến được sử dụng để giải bài toán này là phương pháp biến phân[4] và chúng tôi sẽ giới thiệu trong chương tiếp theo của luận văn.Bên cạnh định nghĩa nghiệm theo nghĩa cổ điển cho bài toán thuận(1.5), ta cũng dùng định nghĩa nghiệm theo nghĩa nghiệm yếu như sauĐịnh nghĩa 1.13 Hàm u(x, t) ∈ W (0, T ; H01(Ω)) được gọi là nghiệmyếu của bài toán giá trị ban đầu (1.5) nếu đồng nhất thức dưới đâyđược thỏa mãn

(1.6)

Tính tồn tại duy nhất nghiệm yếu u(x, t) cho bài toán thuận (1.5) đãđược chỉ ra trong Định lý 1.1.1 trang 12 của tài liệu tham khảo [4] Hơnnữa, tồn tại hằng số dương C sao cho nghiệm yếu u(x, t) thỏa mãn đánhgiá

Tiếp theo ta giới thiệu khái niệm bài toán liên hợp cho bài toán thuận(1.5), bài toán liên hợp sẽ được sử dụng để đưa ra công thức đạo hàmFre´chet cho phiếm hàm mục tiêu ở những phần tiếp theo Một bài toánliên hợp cho bài toán thuận được xác định thông qua định lý dưới đây(Định lý Green cho bài toán liên hợp)

Xét bài toán liên hợp dạng

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho vế trái đẳng thức trên, tanhận được

1.4 Phương pháp số giải bài toán thuận

Trong phần này, chúng tôi trình bày lại lược đồ Crank-Nicolson [2, 4]

để xấp xỉ nghiệm yếu cho bài toán thuận trên cơ sở sử dụng phươngpháp sai phân

Trước tiên ta chia khoảng không gian (0, L) thành N khoảng con đềunhau bởi lưới

0 = x0 < x1 < · · · < xN = L với xi+1− xi = h = L/N

Ký hiệu ui(t) (đôi khi ta sử dụng ký hiệu ui nếu không có gì nhầm lẫn)

là giá trị hàm u(x, t) tại x = xi, i = 0, N hay ui(t) = u(xi, t) Với cáchàm khác, ký hiệu được sử dụng một cách tương tự

1.4.1 Rời rạc biến không gian

Các tích phân trong phương trình đầu của hệ (1.6) được xấp xỉ nhưsau

vi = 1h

Như vậy ma trận hệ số Λ là nửa xác định dương

1.4.2 Rời rạc biến thời gian

Chúng tôi tiếp tục sử dụng lược đồ Crank-Nicolson để rời rạc (1.20)theo biến thời gian Chia nhỏ khoảng thời gian (0, T ) thành M khoảng

con bởi điểm cách đều 0 = t0 < t1 < · · · < tM = T với tm+1 − tm =

∆t = T /N Với m = 0, 1 , M , ký hiệu

um = ¯u(tm) = (u0(tm), u1(tm), , uN(tm))′,

Fm = ¯F (tm) = (f0(tm), f1(tm), , fN(tm))′.Khi đó hệ (1.20) trở thành

Bổ đề 1.4 Lược đồ sai phân (1.23) là ổn định

Chứng minh Từ phương trình đầu tiên của (1.23) ta nhận được

∥(E + ∆t

2 Λ)

2 Λ)∥ ≤ 1.

(φ, φ)

= sup

ϕ

(ϕ, ϕ)((E + ∆t2 Λ)ϕ, (E + ∆t2 Λ)ϕ)

= sup

ϕ

(ϕ, ϕ)((ϕ, ϕ) + ∆t(Λϕ, ϕ) + ∆t42(Λϕ, Λϕ)≤ 1

Do vậy, từ phương trình (1.24) ta nhận được

∥um+1∥ ≤ ∥u0∥ + (m + 1)∆t∥f ∥ = ∥v∥ + (m + 1)∥f ∥

Như vậy, lược đồ sai phân (1.23) là ổn định theo điều kiện ban đầu và

vế phải

để giải bài toán Đồng thời chương này cũng trình bày phương phápgradient liên hợp tìm nghiệm của bài toán biến phân, phương phápđường cong L để chọn tham số hiệu chỉnh tối ưu và thuật toán Lanczos

để ước lượng tính đặt không chỉnh của bài toán Nội dung chương nàyđược tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [3, 4]

Như đã trình bày trong Mục 1.3, phương trình truyền nhiệt ngượcthời gian chính là một trong những bài toán ngược yêu cầu xác định lạiđiều kiện ban đầu khi có thông tin về nghiệm tại thời điểm cuối Tức là

có thông tin Cu = u(x, T ) = z(x), ta đi tìm lại điều kiện ban đầu v(x)

Từ hệ (1.5), ta thấy rằng với mỗi điều kiện ban đầu v ta có nghiệm

u xác định và phụ thuộc vào v Ta sử dụng ký hiệu u(x, t; v) để nhấnmạnh sự phụ thuộc này (đôi khi nếu không có gì nhầm lẫn, ta có thể

ký hiệu u(x, t; v) là u(v)) Như vậy ta cần tìm điều kiện ban đầu v từphương trình toán tử

Để giải phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, luận văn sử dụngphương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov Trước tiên ta

giới thiệu phiếm hàm Tikhonov

Khi đó, bài toán biến phân là bài toán tìm cực tiểu của phiếm hàmTikhonov vừa nêu, tức là

và công thức gradient của phiếm hàm Tikhonov (2.3) dưới dạng liên tục

và dạng rời rạc Bên cạnh đó luận văn cũng trình bày một phương pháptrực quan chọn tham số hiệu chỉnh α

2.1.1 Phiếm hàm Tikhonov dạng liên tục

Sau đây luận văn sẽ chỉ ra công thức gradient ∇J0 của phiếm hàm

J0(v), từ đó gradient của phiếm hàm Tikhonov Jα(v) được suy ra từcông thức

∇Jα(v) = p(x, 0) + αv (2.5)Chứng minh Để tiện trình bày và nếu không có gì gây nhầm lẫn,

ký hiệu u(v) được sử dụng thay cho nghiệm u(x, t; v) Ký hiệu ⟨·, ·⟩ và

∥ · ∥ lần lượt là tích vô hướng và chuẩn trong không gian L2(Ω) Ta có

dx

(2.6)trong đó δu(v) = u(v + δv) − u(v) là nghiệm của bài toán

(δu)(x, T )dx =

(δu)(x, T ; v)dx =

Tiếp theo luận văn trình bày lại kết quả về ước lượng sai số chonghiệm của bài toán biến phân (2.3) khi toán tử quan sát được cho gầnđúng, tức là thông tin ta quan sát được là thông tin gần đúng so với sốliệu thực Điều này mang nhiều ý nghĩa thực tế hơn trong các đo đạclấy số liệu.

Jα(v) = 1

2∥Rv − ˜z∥2H + α

2∥v∥2L2 (Ω) (2.9)Nghiệm của bài toán tối ưu (2.3) là hàm vα thỏa mãn phương trình

Jα′(v) = R∗(Rvα − ˜z) + αvα = 0, (2.10)trong đó R∗ là toán tử liên hợp của toán tử R

Giả sử Rh là xấp xỉ của toán tử R sao cho

∥(R − Rh)v∥L2 (Ω) ≤ Φ1(h)∥v∥L2 (Ω) ∀v ∈ L2(Ω) (2.11)với Φ1(h) → 0 khi h → 0 Mặt khác ta cũng giả thiết ˆRh∗ là xấp xỉ của

R∗h sao cho

∥R∗ω − ˆR∗hω∥L2 (Ω) ≤ Φ2(h)∥ω∥L2 (Ω) ∀ω ∈ L2(Ω) (2.12)với Φ2(h) → 0 khi h → 0

Ta xấp xỉ bài toán (2.9) bởi

R∗h(Rhvhα− ˜z) + αvhα = 0 (2.13)