Một số vấn đề về quy hoạch tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Lê Tính Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hữu Trọn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, người giúp đỡ bảo tơi cách tận tình suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn thầy khoa Tốn Thống kê - Đại học Quy Nhơn ân cần dạy suốt q trình học tập Đặc biệt tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành biết ơn vô tận đối gia đình tơi, người ln sát cánh tạo động lực để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Lê Tính Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi, hàm lồi 1.2 Ma trận 1.2.1 Giá trị riêng, véc tơ riêng ma trận 1.2.2 Ma trận khả nghịch 1.2.3 Ma trận đường chéo 1.2.4 Ma trận đối xứng 1.2.5 Ma trận xác định dương Quy hoạch phi tuyến 2.1 Giới thiệu 2.2 Điều kiện tối ưu 10 2.2.1 Điều kiện tối ưu cấp 10 2.2.2 Điều kiện cấp 21 2.3 Điểm yên ngựa tính chất 27 2.4 Đối ngẫu Quy hoạch phi tuyến 32 Lý thuyết đối ngẫu quy hoạch lồi 3.1 Đối ngẫu mạnh Quy hoạch lồi 35 36 3.2 Một số ví dụ toán đối ngẫu 41 3.2.1 Quy hoạch tuyến tính 41 3.2.2 Quy hoạch toàn phương 42 3.2.3 Một toán minimax 44 Một số ứng dụng 46 4.1 Phân tích phổ ma trận đối xứng 46 4.2 Bất đẳng thức Kantorovich 48 4.3 Bất đẳng thức Hadamard 50 4.4 Bất đẳng thức Hilbert 52 4.5 Các toán biến phân phương pháp tựa Newton 56 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Một số kí hiệu • R: Tập số thực • R: Tập số thực mở rộng pR Ť Ť t´8, `8u hay R 8q • rx1 , x2 s: Đoạn nối hai điểm x1 x2 • intA: Phần tập A • domf : Miền xác định hữu hiệu f • epif : Epigraph f • A˚ : Tốn tử liên hợp A • Bf : Dưới vi phân f • σA : Hàm giá tập A • x : Chuẩn x khơng gian định chuẩn • X ˚ : Khơng gian liên hợp X • xx˚ , xy: Giá trị phiếm hàm tuyến tính x˚ x • N px|Aq: Nón pháp tuyến tập A x • BX px, rq: Hình cầu X có tâm x bán kính r • ConvpRn q: Tập hợp hàm lồi đóng Rn • af f pAq: Bao affine A • clA: Bao đóng A • Γ0 pXq “ tf : X ÝÑ R, f đóng, lồi thườngu • S n “ tX P Rnˆn : X “ X T u • S`n “ tS n : X ľ 0u n • S`` “ tS n : X ą 0u • AT : ma trận chuyển vị ma trận A • A´1 : ma trận nghịch đảo ma trận A • rank pAq : hạng ma trận A • tr pAq : vết ma trận A Lời nói đầu Bài tốn tối ưu vấn đề thường gặp, từ thực tế sống đến nhiều lĩnh vực khoa học quan trọng Các vấn đề tối ưu thu hút nhiều nhà khoa học từ năm trước kỷ 19 Cho đến đề tài đa dạng nhận quan tâm nhiều người Trong thực tế tốn tối ưu đóng vai trò quan trọng sống lĩnh vực khoa học khác toán tìm đường ngắn nhất, tốn chi phí tối thiểu, lợi nhuận lớn nhất, Nhiều toán tối ưu hay vấn đề thực tế sống hay lĩnh vực khoa học khác nói chung toán phi tuyến tức hàm mục tiêu hay miền ràng buộc đối tượng phi tuyến Để tìm hiểu vấn đề cách hệ thống, luận văn chúng tơi tìm hiểu toán tối ưu phi tuyến, điều kiện tồn nghiệm số ứng dụng thực tế chúng Luận văn tập trung nghiên cứu toán tối ưu phi tuyến (Quy hoạch phi tuyến) tức toán tối ưu với hàm mục tiêu hay ràng buộc phi tuyến điều kiện tồn nghiệm, lý thuyết đối ngẫu, số ứng dụng thực tế chúng Ngoài mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn trình bày chương Chuơng Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bị cho chương sau luận văn Chương Nội dung chương giới thiệu tốn quy hoạch phi tuyến trình bày điều kiện tồn nghiệm (cấp 1, cấp 2) Chương Lý thuyết đối ngẫu quy hoạch lồi : Trình bày cách hệ thống lý thuyết đối ngẫu toán quy hoạch lồi Chương Trình bày ứng dụng tốn tối ưu quy hoạch lồi giải bất đẳng thức Dưới hướng dẫn thầy Nguyễn Hữu Trọn, chọn đề tài luận văn: "Một số vấn đề quy hoạch tuyến tính ứng dụng" Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình TS Nguyễn Hữu Trọn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy nhận lời hướng dẫn làm luận văn Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Lê Tính Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành cho việc trình bày kiến thức sở cần thiết phục vụ cho chương sau liên quan đến toán quy hoạch phi tuyến tập lồi, hàm lồi, lý thuyết ma trận nội dung tham khảo giáo trình [2] 1.1 Tập lồi, hàm lồi Cho X khơng gian tơpơ hàm f : X Đ R Y t`8u Kí hiệu domf “ tx P X |f pxq ă `8u , epif “ tpx, aq P X ˆ R |f pxq ď au Với a P R, kí hiệu tập mức f La f “ tx P X |f pxq ď a u Định nghĩa 1.1 Hàm f : X ÝĐ R Y t`8u gọi thường Dx P X, f pxq ă `8 @x P X, f pxq ą ´8 Định nghĩa 1.2 Một tập C Ă Rn gọi lồi với α P r0, 1s x, x1 P C ta có αx ` p1 ´ αqx1 P C Định nghĩa 1.3 Cho hàm lồi X Ă Rn hàm f : X ÝÑ R Y t`8u 46 Chương Một số ứng dụng Sử dụng kết phần trước quy hoạch phi tuyến ta giải nhiều vấn đề toán học quan trọng việc chứng minh bất đẳng thức Có thể nói phương pháp hữu ích lý thuyết bất đẳng thức, phân tích phổ ma trận đối xứng, toán biến phân phương pháp giả Newton, Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ chúng tơi trình bày số ứng dụng bật lý thuyết quy hoạch phi tuyến phân tích phổ ma trận đối xứng, chứng minh bất đẳng thức tiếng Hadamard, Kantorovich, Hilbert hay toán biến phân phương pháp tựa Newton Những nội dung tham uler [2] khảo chủ yếu từ tài liệu tác giả G: 4.1 Phân tích phổ ma trận đối xứng Cho A ma trận đối xứng cấp n Trong mục ta chứng minh phân tích phổ ma trận A cách sử dụng kỹ thuật quy hoạch phi tuyến Để làm điều đó, ta xét tốn cực tiểu hàm tồn phương xAx, xy mặt cầu đơn vị, xAx, xy với điều kiện }x}2 “ 47 Vì gradient hàm ràng buộc khác không miền hữu hiệu nên điều kiện KKT Do đó, ta có hàm Lagrange Lpx, λq “ xAx, xy ` λ1 p1 ´ }x}2 q Vì miền ràng buộc compact nên tồn nghiệm cực tiểu toàn cục u1 mặt cầu đơn vị nghiệm hệ KKT : ∇x L “ 2Au1 ´ 2λ1 u1 “ 0, }u1 } “ Do đó, Au1 “ λ1 u1 }u1 } “ Điều có nghĩa λ1 giá trị riêng A ứng với véc tơ riêng u1 Ta có xAu1 , u1 y “ xλ1 u1 , u1 y “ λ1 Và x véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λ ta có λ “ xλx, xy “ xAx, xy ě xAu1 , u1 y “ λ1 Do λ1 giá trị riêng nhỏ A ứng với véc tơ riêng u1 Tiếp theo, ta xét dãy toán sau: pPk q xAx, xy với điều kiện }x}2 “ 1, xui , xy “ 0, i “ 1, 2, , k ´ với k “ 2, , n ui nằm tập ràng buộc cuối nghiệm tối ưu toán pPi q với i ă k k´1 Chú ý véc tơ tui ui“1 lập nên hệ trực chuẩn Vì tập ràng buộc compact nên tồn nghiệm tối ưu x˚ mặt cầu đơn vị Các véc tơ gradient t´2x, u1 , , uk´1 u trực chuẩn, độc lập tuyến tính, điều kiện KKT ta có hàm Lagrange k´1 ÿ λ Lpx, λ, δ1 , δ2 , , δk´1 q “ xAx, xy ` p1 ´ }x}2 ` δik xui , xy 2 i“1 Các điều kiện KKT Ax˚ ´ λx˚ ` k´1 ÿ i“1 δik ui “ 0, }x} “ 1, (4.1) 48 xui , x˚ y “ 0, i “ 1, 2, , k ´ k Ta chứng minh kiện: véc tơ nhân tử δ k “ pδ1k , , δk´1 q véc tơ không Ta chứng minh quy nạp Trường hợp k “ hiển nhiên Giả sử giả thiết quy nạp cho số nguyên nhỏ k Lấy tích hai vế phương trình (4.1) với uj , pj ă kq ta xAx˚ , uj y ´ δjk “ xx˚ , Auj y ´ δjk “ xx˚ , λj uj y ´ δjk “ 0, đẳng thức thứ tính đối xứng ma trận A, đẳng thức thứ hai có từ giả thiết quy nạp Điều chứng minh kiện vừa nêu Do uk :“ x˚ véc tơ riêng A ứng với giá trị riêng λk :“ λ giá trị riêng Ź thứ k nhỏ A Định nghĩa U :“ ru1 , u2 , , un s “ diagpλ1 , λ2 , , λn q Ta có Aui “ λui , i “ 1, , n, AU “ Aru1 , u2 , , un s “ rAu1 , Au2 , , Aun s “ rλ1 u1 , λ2 u2 , , λn un s “ ru1 , u2 , , un sdiagpλ1 , λ2 , , λn q ľ “U Vì hệ tui uni“1 hệ trực chuẩn nên ma trận U ma trận trực giao Tóm lại tốn phân tích phổ ma trận đối xứng giải 4.2 Bất đẳng thức Kantorovich Định lý 4.1 (Bất đẳng thức Kantorovich) Cho ma trận A cấp n ˆ n xác định dương với giá trị riêng λ1 ą λ2 ą ą λn ą Khi đó, ta có bất đẳng thức @ D ( p1 ` n q2 max xAx, xy ă A1 x, x : }x} “ ď 4λ1 λn 49 Chng minh Ta xột bi toỏn max xAx, xy ă xA´1 x, xy s.t }x}2 “ Bất đẳng thức Kantorovich chứng minh ta giá trị tối ưu hàm mục tiêu pλ1 ` λn q2 { p4λ1 λn q Xét A “ U ^ U T với U ma trận trực Ź giao, “ diag tλ1 , , λn u ý }x} “ }U x} “ ˙ ˙ ˆ ˆ n n n ř ř ř ´1 2 x2j “ λj xj với ràng buộc Khi đó, tốn qui tìm max λj xj j“1 j“1 j“1 Với i P t1, , nu, ta đặt yi “ x2i Khi tốn ban đầu trở thành ¸ ˜ ¸ ˜ n n ÿ max j yj ă j yj j1 s.t n ÿ j“1 yj “ 1, y ě j“1 Hàm Largange có dạng ˜ ¸ ˜ ¸ ˜ ¸ n n n ÿ ÿ ÿ L py, δ, µq “ ´ λj yj λ´1 `δ yj ´ ´ xµ, yy j yj j“1 j“1 j“1 Theo điều kiện KKT, ta có ¸ ¸ ˜ ˜ n n ÿ ÿ ´1 ´1 λj yj ` δ ´ µi “ 0, i “ 1, , n, λj yj ´ λi ´λi j“1 j“1 n ÿ (4.2) yj “ 1, y ě 0, µ ě 0, xµ, yy “ j“1 Nhân hai vế phương trình thứ cho yi , ta ˜ ¸ ˜ ¸ n n ÿ ÿ ´λi yi λ´1 ´ λ´1 λj yj ` yi δ ´ xµi , yi y “ j yj i yi j“1 j“1 Khi ˜ δ “ λi n ÿ ¸ λ´1 j yj ˜ ` λi´1 j“1 n ÿ ¸ λj yj ˜ “2 j“1 n j yj j1 n ă ¸ λj y j (4.3) j“1 Nếu i P I :“ ti : yi ą 0u µi “ Chia vế phương trình thứ p4.1q ˆ ˙ ˆ ˙ n n ř ř cho j yj ă j yj v s dng p4.2q, suy j“1 j“1 λi n ř j“1 λ´1 j yj ` ř n λ´1 i j“1 λ´1 j yj “ 2, i P I (4.4) 50 Nếu i, j P I λi n ř λk yk ` ř n k“1 λ´1 i “ ř n λ´1 k yk k“1 nên λk yk ` ř n k“1 n ř λ´1 j , λ´1 k yk k“1 λk yk k“1 n ř λi λj “ λj , (4.5) i, j P I, λi ‰ λj λ´1 k yk k“1 Từ p4.4q , p4.5q ta có 2“ ř n λ´1 λi ` λj i ` ř “ ř n n λk yk λk yk λ y k k λi λj λi k“1 k“1 k“1 Nghĩa n ÿ λk yk “ k“1 n ř n ÿ λ´1 k yk “ k“1 λi ` λj , λk yk k“1 “ λi λj λi ` λj 2λi λj Do giá trị hàm mục tiêu ¸ ¸ ˜ ˜ n n ÿ ÿ pλi ` λj q2 y k y k ă k k 4λi λj k“1 k“1 Đặt t “ λi , λj ˜ n ÿ k“1 ˆ ¸ ˜ k yk n ă k1 k yk “ ` ˆ t ` t´1 ˙ ˙ ˆ ˙ n ř pt ` t´1 q i Suy max k y k ă λk y k “ ` ,t“ λj k“1 k“1 Chọn i “ 1, j “ n ta có bất đẳng thức chứng minh 4.3 n ř Bất đẳng thức Hadamard Cho X “ rx1 , x2 , , xn s ma trận n ˆ n với cột txi un1 , ta xét toán max det X 51 với điều kiện }xi }2 “ 1, i “ 1, 2, , n Vì thể tích khối hộp n chiều với cạnh véc tơ x1 , x2 , , xn biết det X, nên toán tương đương với tốn: tìm khối hộp n chiều tích lớn với cạnh véc tơ đơn vị Trực quan hình học cho ta biết nghiệm tốn phải khối vng n chiều, nghĩa cạnh khối hộp vng góc với ‚ Các véc tơ gradient ràng buộc độc lập tuyến tính véc tơ chứa cột khác ma trận X Do đó, theo Hệ 2.3, điều kiện KKT thỏa mãn điểm tối ưu địa phương ‚ Lập hàm Lagrange: n ÿ λj L “ ´ det X ` j“1 ˜ n ÿ ¸ x2à ´ i“1 Để đạt điều kiện KKT, đầu tiên, tính đạo hàm hàm định thức Nhớ lại : Công thức khai triển Laplace cho định thức det X “ n ÿ p´1qi`j xij Xij , j“1 Xij định thức bù ij có xóa dịng i cột j X Suy B det X “ bij :“ p´1qi`j xij Xij , Bxij bij gọi pijq phần phụ đại số X Khi đó, điều kiện KKT toán : paq ´ bij “ λj xij , i, j “ 1, 2, , n, n ÿ pbq x2ij “ 1, j “ 1, 2, , n i“1 Nhớ lại B “ pbji q “ rb1 , b2 , , bn sT “ AdjpXq gọi ma trận liên hợp X đặc trng bi phng trỡnh X ă AdjpXq pdet XqI Do đó, (a) viết lại dạng pa1 q AdjX “ X^, 52 ^ “ diagpλ1 , λ2 , , λn q Từ suy ´pdet XqI “ ´X T AdjpXq “ X T X ^ Điều có nghĩa ma trận X T X ma trân trực giao (nghĩa ma trận X có cột trực giao với nhau) Thật ra, cột X có chiều dài nên X T X “ I, X ma trận trực giao Suy det X “ Như vậy, max det X “ }xi }2 “ 1, i “ 1, 2, , n ‚ Thật tốn toán max det X “ }xi } “ 1, i “ 1, 2, , n Từ đó, suy det X ď 1, với X “ rx1 , , xn s P Rnˆn , }xi }2 “ 1, i “ 1, , n ‚ Trong trường hợp, X ma trận vuông cách chuẩn hóa cột X ta ma trận Y mà cột có chuẩn det Y det X }x1 } ă ă ă }xn } Vì theo tốn det Y ď Suy det X ď }x1 } ¨ ¨ ¨ }xn } ‚ Do đó, ta đạt Bất đẳng thức Hadamard det X ď }x1 } ¨ ¨ ¨ }xn }, @X “ rx1 , , xn s P Rnˆn Dấu xảy cột txi un1 trực giao với 4.4 Bất đẳng thức Hilbert Xét không gian Hilbert, # l2 “ x “ txi u8 : ÿ i“0 + x2i ă 53 Với tích vô hướng chuẩn xx, yy “ ÿ xi yi , }x}2 “ ˜ ÿ ¸ 21 x2i Xét dãy txi u8 tyj u0 không âm l Ta có bất đẳng thức Hilbert sau: ÿ xi yj ă i`j`1 i,j0 12 x2i ă 12 yj2 ă }x}2 ă }y}2 , j0 i0 du ng thc xảy txi u8 tyj u0 dãy Đây bất đẳng thức quan trọng có nhiều ứng dụng giải tích Bất đẳng thức Hilbert mở rộng sau Cho p ą 1, q ą cho 1 ` “ p q Xét không gian lp # lp “ x “ txi u8 : ÿ + xpi ă , i“0 với chuẩn ˜ ÿ }x}2 “ ¸ p1 xpi Theo bất đẳng thức Holder xx, yy ď }x}p }y}q @x P lp , y P lq Định lý 4.2 ( Bất đẳng thức Hilbert) Nếu txi u8 tyi u0 dãy không âm không gian lp lq Khi ÿ xi y j π ă }x}p }y}q , i`j`1 sinp πp q i,j“0 dấu đẳng thức xảy txi u8 tyi u0 dãy Chứng minh Xét toán maxxAx, yy k k ř ř s.t xpi “ 1, yjq “ 1, i“0 x ě 0, y ě 0, j“0 54 x, y P Rk`1 xAx, yy :“ ÿ xi y j i`j`1 i,j“0 tương ứng với vị trí ij Ta 1`i`j Chú ý A ma trận đối xứng với hệ số có hàm Lagrange L “ ´λ0 xAx, yy ` δ p ˜ k ÿ ¸ xpi ´ ` i“0 γ q ˜ k ÿ ¸ yjp ´ ´ xλ, xy ´ xµ, yy j“0 Các điều kiện Fitz John ´λAy ` δxp´1 ´ λ “ 0, ´λAx ` γy q´1 ´ γ “ 0, x ě 0, y ě 0, xλ, xy “ “ xµ, yy, pλ0 , δ, γ, λ, µq ‰ 0, pλ0 , λ, µq ě 0, p´1 q´1 “ py1q´1 , , ykq´1 q Lấy tích vơ hướng xp´1 “ pxp´1 , , xk q y phương trình đầu với x sử dụng điều kiện trên, ta λ0 xAx, yy “ δ Tương tự , λ0 xAx, yy “ γ δ “ γ Nếu λ0 “ ta có δ “ “ γ λ “ “ µ (do điều kiện FJ) Do đó, điều kiện KKT thỏa mãn Ta chọn λ0 “ Khi δ “ xAx, yy “ γ Nếu xi ą 0, điều kiện KKT cho ta δxp´1 “ xei , Ayy “ i k ÿ yj , i`j`1 j“0 tương tự yi ą δyjq´1 k ÿ “ xi i`j`1 i“0 1 Gọi i˚ , j ˚ số để tpi ` 12 q p xi : ď i ď ku tpj ` 12 q q yj : ď j ď ku lớn Ta có k ÿ k ÿ yj pj ` 21 q q yj “ “ i˚ ` j ` j“0 pi˚ ` j ` 1qpj ` q 1q j“0 ˆ ˙ ÿ k 1 ď yj ˚ pj ˚ ` q q ¨ 1 q ˚ j“0 pi ` j ` 1qpj ` q δxp´1 i 55 k ÿ j“0 yj pj ` 21 q q ż k`1 q dx ď pi˚ ` j ` 1qpj ` 12 q pi˚ ` 12 ` xqx q ż dy ´ 1q 2k`2 ˚ ď pi ` q , y q py ` 1q bất đẳng thức thứ hai có nhờ thay y “ k`1 thức y ď ˚ ď 2k ` Những điều cho i `2 δxp´1 i˚ 1 1 ď yj pj ` q q ă pi ` q q ă 2 x i ` 12 2k`2 sử dụng bất đẳng dy ˚ , y y py ` 1q lấy mũ q cho vế lưu ý đẳng thức p ` q “ pq, ta ˜ż ¸q 2k`2 1 dy q xpi yjq pj ` q ă pi˚ ` q´1 2 y q py ` 1q Tương tự ta có δ p xqi˚ ď xpi˚ pi˚ 1 ` q.pj ˚ ` q1 ă 2 2k`2 áp dy , y p py ` 1q nhân vế theo vế bất đẳng thức ta ˜ż ¸p ˜ż ¸q 2k`2 2k`2 dy dy δ pq “ δ p`q ă 1 0 y p py ` 1q y q py ` 1q Suy ˜ż 2k`2 δď dy y p py ` 1q 1q 2k`2 ă dy p1 y q py ` 1q Để ý rằng, ż8 dy p y py ` 1q “ π sinp πp q π π nên ta δ ď sinp q, số δ ď sinp q đạt số tối ưu p p bất đẳng thức Hilbert Định lý chứng minh Bằng cách tương tự ta chứng minh lại bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Cauchy, Bunhicopski, H: older, Minkopski, 56 4.5 Các toán biến phân phương pháp tựa Newton Ví dụ 4.1 (Phương pháp Broyden) Đây tốn xuất phương pháp Broyden cho xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến phương trình G pxq “ 0, G : R ÝĐ R ánh xạ khơng tuyến tính Đó tốn }X}2F s.t Xa “ b, X “ pxij q ma trận kích thước m ˆ n, a P R, ‰ b P Rm chuẩn }X}F cho }X}2F m ÿ n ÿ “ x2ij i“1 j“1 Đối với ma trận vng, tích vơ hướng định nghĩa T xX, Y y “ trpX Y q “ n ÿ xij yij i,j“1 với X, Y P Rnˆn Khi }X}2F “ xX, Xy Vì hàm mục tiêu cưỡng nên tồn cực tiểu toàn cục Các hàm ràng buộc tuyến tính nên theo Hệ 2.2 điều kiện KKT điểm cực tiểu địa phương Hàm Lagrange có dạng L“ m ÿ n 1ÿ i“1 j“1 x2ij ` m ÿ ˜ λi bi ´ i“1 n ÿ ¸ xij aj j“1 Các điều kiện KKT BL (a) “ xij ´ λi aj “ 0, i “ 1, , m, j “ 1, , n, Bxij n ř xij aj “ bi , i “ 1, , m (b) j“1 Từ suy bi “ n ÿ j“1 xij aj “ λi n ÿ j“1 a2j “ λi }a}2 , i “ 1, , m 57 Từ điều kiện paq ta có X “ rxij s “ rλi aj s “ λaT “ λ b a Vì bi “ λi }a}2 , ta có λi “ b Điều cho ta }a}2 baT bba X“ “ }a} }a}2 Ví dụ 4.2 (Ma trận đối xứng phương pháp tựa Newton) Ta xét toán sau }X}2F s.t Xa “ b, X T “ X, X ma trận vng đối xứng cấp n, b, c P Rn , b ‰ Từ điều kiện ràng buộc X “ X T ta có xij “ xji với ď i ă j ď n ˜ ¸ n n n ÿ ÿ ÿ ÿ x2ij ` L“ λi bi ´ xij aj ` δij pxij ´ xji q i,j“1 i“1 j“1 iăj Ta xét tích vơ hướng sau T xX, Y y “ trpX Y q “ trpXY q “ n ÿ xij yij i,j“1 Từ điều kiện ràng buộc Xa “ b, ta có xλ, b ´ Xay “ λT b ´ xλ, Xay Hơn xλ, Xay “ λT pXaq “ trpλT pXaqq “ trpXpaλT qq “ xX, λaT y Tuy nhiên xX, λaT y “ trpXpaλT qq “ trppλaT qXq “ xX, aλT y Suy xX, Xay “ xX, aλT ` λaT y Do ta xét hàm Lagrange aλT ` λaT L “ xX, Xy ´ xX, y ` xb, λy 2 58 Các điều kiện KKT ∇X L “ X ´ paλT ` λaT q “ 0, X “ aλT ` λaT Khi b “ Xa “ paλT ` λaT qa “ pλT aqa ` }a}2 λ bT a “ pλT aq}a}2 ` }a}2 pλT aq “ 2}a}2 pλT aq Suy λT a “ aT b Khi 2}a}2 λ“ aT b b ´ a }a}2 2}a}4 Như từ đẳng thức X “ aλT ` λaT , ta có X“ aT b T xa, by abT ` baT ´ aa “ pa b b ` b b aq ´ a b a }a} }a} }a} }a}4 Bất đẳng thức chứng minh 59 Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu ứng dụng toán quy hoạch phi tuyến Luận văn đạt số kết sau: • Trình bày cách hệ thống kiến thức toán quy hoạch phi tuyến điều kiện tối ưu cấp 1, cấp • Trình bày số kết quan trọng lý thuyết đối ngẫu tốn quy hoạch phi tuyến • Sử dụng phương pháp quy hoạch phi tuyến chứng minh lại bất đẳng thức tiếng Hadamard, Hilbert, Kantorovich, hay giải tốn phân tích phổ ma trận đối xứng Học viên Lê Tính 60 Tài liệu tham khảo [1] J Brinkhuis and V Tikhomirov (2005), Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press [2] O Gă uler, (2010), Foundations of Optimization, Springer [3] A Modecai (2003), Nonlinear Programming: Analysis and Methods, Dover Publishing [4] B S Mokhtar and C M Shetty (1979), Nonlinear programming Theory and algorithms, John Wiley & Sons [5] J Nocedal, and S T Wright (1999), Numerical Optimization, Springer ... tốn quy hoạch lồi Chương Trình bày ứng dụng toán tối ưu quy hoạch lồi giải bất đẳng thức Dưới hướng dẫn thầy Nguyễn Hữu Trọn, chọn đề tài luận văn: "Một số vấn đề quy hoạch tuyến tính ứng dụng" ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ TÍNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... px1 , 0q R C 3.2 Một số ví dụ tốn đối ngẫu Trong phần chúng tơi xem xét lý thuyết đối ngẫu số lớp toán phổ biến cách chi tiết 3.2.1 Quy hoạch tuyến tính Xét tốn quy hoạch tuyến tính pP q minxc,