Một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG Mục lục Mở đầu 1 Đại cương chuỗi số chuỗi hàm 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm dãy số dãy hàm 1.1.1 Một số khái niệm dãy số 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm Một số khái niệm tính chất chuỗi số 1.2.1 Một số khái niệm chuỗi số 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số Một số khái niệm tính chất chuỗi hàm 1.3.1 Một số khái niệm chuỗi hàm 1.3.2 Tính chất chuỗi hàm 10 Các định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm 11 2.1 Các định lý hội tụ chuỗi số 11 2.2 Các định lý hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.2 Chuỗi lũy thừa 29 2.2.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 32 Một số phương pháp tìm tổng chuỗi vơ hạn 36 2.3.1 Sử dụng phương pháp tổng riêng 36 2.3.2 Sử dụng chuỗi lũy thừa hàm số sơ cấp 38 2.3.3 Phương pháp lấy đạo hàm tích phân chuỗi 40 2.3.4 Phương pháp Abel 42 2.3 i ii Một số ứng dụng chuỗi Taylor 46 3.1 Tính giới hạn hàm số 46 3.2 Xấp xỉ tích phân 47 3.3 Ứng dụng phương trình vi phân 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Chuỗi số chuỗi hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm người ta ln quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Trong trường hợp chuỗi hội tụ ta quan tâm đến việc tìm tổng chuỗi hội tụ Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm ứng dụng quan trọng chúng Một số phương pháp đặc biệt để khảo sát hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng trường hợp chúng hội tụ chúng tơi quan tâm nghiên cứu Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương nhắc lại số kiến thức dãy số, dãy hàm chuỗi hàm Chương trình bày định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm, bao gồm điều kiện cần, điều kiện đủ để chuỗi số, chuỗi hàm hội tụ Một số phương pháp tìm tổng chuỗi hội tụ chúng tơi trình bày chi tiết chương Chương cuối dành cho việc giới thiệu số ứng dụng chuỗi Taylor việc tính giới hạn hàm số, tính gần tích phân tìm nghiệm gần phương trình vi phân Luân văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề chuỗi số chuỗi hàm Luận văn hoàn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tơi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Cao Yến nhi Chương Đại cương chuỗi số chuỗi hàm Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] 1.1 1.1.1 Một số khái niệm dãy số dãy hàm Một số khái niệm dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Ñ R cho n ÞĐ apnq :“ an Dãy số thường ký hiệu tan u, pan q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu pan q Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số pan q có giới hạn L P R với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N ta có |an ´ L| ă ε Ta ký hiệu lim an “ L, an Ñ L n Ñ nÑ8 Nếu dãy số pan q có giới hạn L P R ta nói dãy pan q hội tụ, ngược lại ta nói dãy pan q phân kỳ Định lý 1.3 (Định lý hội tụ đơn điệu, [1]) Cho dãy số pan q Nếu pan q tăng bị chặn pan q hội tụ, ta có lim an “ suptan : n P Nu nĐ8 Nếu pan q giảm bị chặn pan q hội tụ, ta có lim an “ inftan : n P Nu nĐ8 Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số pan q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N ta có |am ´ an | ă ε Định lý 1.5 ([1]) Dãy pan q hội tụ pan q dãy Cauchy 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với n ě N ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε Ký hiệu: fn pxq Ñ f pxq, x P A Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε Ký hiệu: fn pxq Ñ f pxq, x P A Nhận xét 1.8 Từ hai định nghĩa trên, ta dễ dàng suy nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A tfn pxqu hội tụ điểm đến hàm số f pxq A Định lý 1.9 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A ˇ ˇ sup ˇfn pxq ´ f pxqˇ Ñ 0, n Ñ xPA Định lý 1.10 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε Định lý 1.11 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với m ě n ě N ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε Định lý 1.12 ([1]) Cho dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R giả sử với n P N, hàm số fn pxq liên tục điểm x0 P A Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A hàm số f pxq liên tục điểm x0 Nhận xét 1.13 Từ định lý ta suy tfn pxqu liên tục A tfn pxqu hội tụ đến f pxq A f pxq liên tục A 1.2 1.2.1 Một số khái niệm tính chất chuỗi số Một số khái niệm chuỗi số Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thực tan u Một tng cú dng a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ă ă c gi l mt chuỗi số Chuỗi số ký hiệu a1 ` a2 ` ă ă ă ` an ` ă ă ¨ “ ÿ an (1.1) n“1 tan u “ a1 , a2 , , an , gọi chuỗi số an số hạng thứ n chuỗi Một chuỗi coi xác định xem số hạng chuỗi biết hàm số n, an “ f pnq Ví dụ 1.1 Xét dãy số tan u với an “ Khi ta nhận chuỗi số npn ` 1q ÿ n“1 an “ 1 ` ` ăăă ` ` ăăă 1.2 2.3 npn ` 1q Định nghĩa 1.15 Xét chuỗi số (1.1) Ta đặt S1 a1 , S2 a1 ` a2 , ăăă Sn a1 ` a2 ` ă ă ă ` an Khi ta nhận dãy số tSn u dãy gọi dãy tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) Định nghĩa 1.16 ([2]) Xét chuỗi số (1.1) gọi tSn u dãy tổng riêng thứ n chuỗi số • Nếu dãy số tSn u hội tụ số thực S ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S, ta viết ÿ an “ S n“1 • Nếu dãy số tSn u phân kỳ ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ (hay khơng hội tụ) ÿ 1 Ta tính Sn “ ´ , npn ` 1q n`1 n“1 lim Sn “ Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng Ví dụ 1.2 ([2]) Xét chuỗi số nĐ8 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số ÿ Tính chất 1.1 Nếu chuỗi số un hội tụ có tổng S, chuỗi số S chuỗi hội tụ có tổng n“1 n“1 ÿ ÿ pun ` q hội tụ có tổng S ` S n“1 Chứng minh Gọi Sn Sn1 tổng riêng thứ n chuỗi số ÿ un n“1 ÿ Khi lim Sn “ S lim Sn1 “ S Suy lim pSn ` Sn1 q “ S ` S nÑ8 n“1 nĐ8 nĐ8 Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.2 Nếu chuỗi số ÿ un hội tụ có tổng S chuỗi số n“1 ÿ kun hội n“1 tụ có tổng kS Chứng minh Gọi Sn tổng riêng thứ n chuỗi số ÿ un n“1 Ta có lim kSn “ k lim Sn “ kS nĐ8 nĐ8 Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.3 Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng 40 Vậy ÿ 8 ÿ ÿ 1 ´1 “2 ´2 2 n pn ` 1q n npn ` 1q n“1 n“1 n“1 “ “ Ví dụ 2.28 ([2]) Tính tổng π2 ´2´1 π2 ´ 3 ÿ p´1qn n2 ` n ´ n“2 Lời giải Ta có n2 1 1 1 ă ă `n´2 pn ´ 1qpn ` 2q n´1 n`2 Ta lại có 8 ÿ ÿ p´1qn p´1qn`1 “ n´1 n n“2 n“1 (Chuỗi Leibniz) 8 ÿ ÿ ÿ p´1qn p´1qn`1 p´1qn`1 1 ´ “ “ ´1` ´ n`2 n`2 n n“2 n“2 n“1 Áp dụng công thức (2.12) ta 8 ÿ p´1qn`1 ÿ p´1qn`1 p´1qn “ ` n2 ` n ´ n“1 n n“2 n ` n“2 8 ÿ p´1qn`1 ´ ÿ p´1qn`1 1¯ “ ` ´1` ´ n“1 n n“1 n ÿ ÿ p´1qn`1 ´ “ n“1 n 18 “ ln ´ 18 2.3.3 Phương pháp lấy đạo hàm tích phân chuỗi Bằng cách lấy đạo hàm tích phân cách thích hợp chuỗi Maclaurin hàm số sơ cấp biết, ta tính tổng số chuỗi luỹ thừa Trong phần ta sử dụng số quy tắc tính đạo hàm sau 41 • pex q1 “ ex ; d u du pe q “ eu , dx dx • pxn q1 “ nxn´1 ; du d n pu q “ nun´1 , dx dx d ; pln uq “ du , x dx u dx • pu.vq1 “ u1 v ` u.v , ´ u ¯1 u1 v ´ uv • “ v v2 • rlnpxqs1 “ Ví dụ 2.29 ([2]) Chứng minh ÿ xn “ ln , n ´ x n“1 |x| ă (2.16) Lời giải Áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) cho hàm số f ptq “ lấy tích phân hai vế từ đến x, ta żx żx dt “ p1 ` t ` t2 ` ă ă ă ` tn ` ă ă ă q dt t 0 x x t2 tn`1 ` ăăă ủ lnp1 tq t ` ` ă ă ¨ ` n`1 0 n`1 ÿ xn x x ủ ln x` ` ăăă ` ` ăăă 1x n`1 n n1 Vớ dụ 2.30 ([2]) Tính tổng n ` 2x ` 3x ` 4x ` ă ă ă ` pn ` 1qx “ n ÿ pk ` 1qxk k“0 Lời giải Đặt Sn “ ` 2x ` 3x2 ` 4x3 ` ă ă ă ` pn ` 1qxn Nhân hai vế Sn với x, ta xSn “ x ` 2x2 ` 3x3 ` ¨ ¨ ¨ ` nxn ` pn ` 1qxn`1 • Nếu x ‰ ta có p1 ´ xqSn “ Sn “ 1.p1 ´ xn`1 q ´ pn ` 1qxn`1 , 1´x p1 ´ xn`1 q pn ` 1qxn`1 ´ p1 ´ xq2 1´x , sau 1´t 42 • Nếu x “ Sn “ ` ` ` ` ¨ ¨ ¨ ` pn ` 1q “ pn ` 1qpn ` 2q Ví dụ 2.31 ([2]) Tìm tổng S “1´ 1 1 ` ´ ` ăăă Li gii Trc tiờn ta áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) thay x ´z , ta “ z ` z ă ă ¨ ` p´1qn z 2n ` ¨ ¨ ¨ ` z2 Lấy tích phân hai vế từ đến x, ta żx żx żx żx żx dz n “ dz ´ z dz ` z dz ă ă ă ` p1q z 2n dz ` ¨ ¨ ¨ ` z 0 0 ðñ arctan x “ x ´ Cho x “ 1, ta 2.3.4 x3 x x2n`1 ` ă ă ă ` p1qn ` ăăă , 2n ` |x| ă π 1 1 ` ` ăăă Phương pháp Abel Từ Định lý 2.28, Định lý 2.37 (Định lý Abel) ta rút nhận xét quan trọng ÿ sau chuỗi luỹ thừa: Nếu chuỗi luỹ thừa ak hội tụ khoảng p´1; 1q k“0 tổng Spxq liên tục khoảng Hơn chuỗi luỹ thừa hội tụ điểm x “ hàm Spxq liên tục bên trái điểm x “ ÿ Ta rút phương pháp Abel sau: Nếu chuỗi số an hội tụ tổng S n“1 xác định S “ lim´ xÑ1 ÿ an x n n“1 Để sử dụng phương pháp Abel, ta cần chắn chuỗi số cho hội tụ, sau xét chuỗi lũy thừa tương ứng tìm giới hạn x Ñ 1´ Điều kiện mấu chốt để sử dụng phương pháp Abel hội tụ chuỗi số, tức ÿ S“ an , khơng phương pháp khơng thể áp dụng n“1 43 Ví dụ 2.32 ([2]) Xét khai triển Maclaurin hàm số f pxq “ lnp1 ` xq, ta có ÿ p´1qn`1 xn f pxq “ lnp1 ` xq “ n n“1 ÿ p´1qn`1 hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng chuỗi n n“1 tính sau Vì chuỗi số ÿ p´1qn`1 “ lim´ f pxq “ lim´ lnp1 ` xq “ ln xĐ1 xĐ1 n n“1 Ví dụ 2.33 ([2]) Xét khai triển Maclaurin hàm số gpxq “ arctan x, ta có ÿ p´1qn x2n`1 gpxq “ arctan x “ 2n ` n“0 ÿ p´1qn hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng chuỗi 2n ` n“1 tính sau Vì chuỗi số ÿ p´1qn π “ lim´ gpxq “ lim´ arctan x “ xÑ1 2n ` xĐ1 n“1 Ví dụ 2.34 ([2]) Tính tổng 1´ 1.3 1.3.5 p´1qn p2n ´ 1q!! ` ´ ` ăăă ` ` ăăă 2.4 2.4.6 p2nq!! Li giải Nếu |x| ă chuỗi hội tụ Xét chuỗi lũy thừa p1 ` x2 q´ “ ` ÿ p´1qn p2n ´ 1q!! 2n x p2nq!! n“1 Theo phương pháp Abel, ta tính 1 1.3 1.3.5 ` ` ă ¨ ¨ “ lim´ p1 ` x2 q´ “ ? xÑ1 2.4 2.4.6 ÿ p´1qn Ví dụ 2.35 ([2]) Tính tổng 3n ` n“0 44 ÿ p´1qn x3n`1 Lời giải Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Xét chuỗi lũy thừa 3n ` n“0 với khoảng hội tụ |x| ă Theo phương pháp Abel, ta có 8 ÿ ÿ p´1qn p´1qn x3n`1 “ lim´ 3n ` xÑ1 n“0 3n ` n“0 ´ż x ¯ ÿ p´1qn t3n dt “ żn“0 x “ 0 dt ` t3 Ta có ` t3 “ p1 ` tqp1 ´ t ` t2 q Do ta phân tích A Bt ` C “ ` 1`t ` t ´ t ` t2 A, B, C xác định từ hệ phương trình $ ’ ’ ’ &A ` C “ A`B`C “0 ’ ’ ’ %A ` B “ ðñ $ ’ ’ ’ &A “ B “ ´1 ’ ’ ’ %C “ Tiếp theo, tháy giá trị A, B C vào tích phân, ta có żx ż ż ż dt tdt dt x dt x x “ ´ ` 3 1`t 1´t`t ´ t ` t2 1`t żx żx ż ż dt p2t ´ 1qdt x dt x dt “ ´ ` ` 2 1`t 1´t`t 1´t`t ´ t ` t2 żx żx żx dt p2t ´ 1qdt dt 1 “ ´ ` 1`t 1´t`t ´ t ` t2 Ta tính żx dt 1 2x ´ π “ lnpx ` 1q ´ lnpx2 ´ x ` 1q ` ? arctan ? ` ? 1`t 3 żx px ` 1q 2x ´ π dt “ ln ` ? arctan ? ` ? lim´ x ´x`1 3 xÑ1 ` t3 π 1 “ ln 22 ` ? ` ? arctan ? 6 3 π “ ln ` ? 3 1´ π ¯ “ ln ` ? 3 45 Vậy ÿ p´1qn π “ ln ` ? 3n ` 3 n“0 Chương Một số ứng dụng chuỗi Taylor 3.1 Tính giới hạn hàm số Bằng cách khai triển hàm số sơ cấp dạng chuỗi Taylor ta tính số giới hạn hàm số Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.1 Tính giới hạn sin x ´ x xÑ0 x3 L “ lim Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ sin x, ta có sin x “ x ´ Do ` L “ lim x´ x3 3! ` xẹ0 x3 x5 ` ` ăăă 3! 5! x5 ` 5! x ăăă x Ví dụ 3.2 Tính giới hạn x2 ex xÑ0 cos x ´ L “ lim Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ ex y “ cos x, ta có ex “ ` x x2 ` ` ăăă 1! 2! cos x x2 x4 ` ` ăăă 2! 4! 46 47 Do ` ˘ x2 ` 1!x ` x2! ` ă ă ă x ˘ “ ´2 L “ lim ` xÑ0 x2! ` x4! ` ă ă ă Ví dụ 3.3 Tính giới hạn ˆ L “ lim xÑ0 1 ´ 2 sin x x ˙ Lời giải ˙ 1 x2 ´ sin2 x L “ lim ´ “ lim xÑ0 xÑ0 x2 sin2 x sin2 x x2 x2 ´ sin2 x x ´ sin x x ` sin x “ lim “ lim ¨ lim xÑ0 xÑ0 xÑ0 x x x ˆ Xét khai triển Maclaurin với y “ sin x, ta có Do L “ lim “ 3.2 x ´ px ´ x3 x3 ` opx3 qq x ` px ` opxqq xẹ0 x lim 1 ă2 Xấp xỉ tích phân Nhiều tích phân bất định không biểu diễn dạng hàm số sơ cấp ta khơng thể tính xác tích phân xác định tương ứng Trong số trường hợp, ta biểu diễn hàm số dấu tích phân dạng chuỗi luỹ thừa ta tính gần giá trị cuả tích phân ż1 Ví dụ 3.4 ([2]) Tính gần e´x dx với độ xác 10´4 Lời giải Vì ngun hàm hàm số e´x khơng phải hàm số sơ cấp nên dùng cơng thức Newton Leibniz để tính tích phân Nhưng hàm số khai triển thành chuỗi lũy thừa R Từ công thức khai triển Maclaurin hàm ex ta suy x2 x x2n ex ` ă ă ă ` p1qn ` ăăă 1! 2! n! 48 Do ú ż 1{4 e ´x2 dx “ ż 1{4 ÿ p´1qn n“0 x2n dx n! ż ÿ p´1qn 1{4 2n “ x dx n! n“0 ˇ1{4 p1qn x2n`1 ă n! 2n ` ˇ0 n“0 ÿ “ p´1qn 2n`1 n!p2n ` 1q4 n“0 Kết ta nhận chuỗi đan dấu chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Để ý số hạng thứ ba chuỗi thoả mãn 1 “ ă 10´4 2!5.4 10240 Do để tính gần tích phân với độ xác 10´4 ta cần lấy hai số hạng chuỗi, cụ thể ż 1{4 e´x dx « 1 1 ´ “ ´ « 0, 2448 1!3.4 192 ż `8 Ví dụ 3.5 ([2]) Tính gần dx với độ xác 0, 001 ` x3 Lời giải Vì x ě nên x3 ě 8, áp dụng công thức ( ) để khai triển “ p1 ` x3 q´1 thành chuỗi lũy thừa, công thức x3 ă Ta có 1`x3 1 1´ ¯´1 “ “ ` ` x3 x3 ` x13 x3 x3 Vì x3 ď , ´ ta khai triển ` x3 ¯´1 thành chuỗi lũy thừa ı 1” 1 n “ ´ ` ă ă ă ` p1q 3n ` ă ¨ ¨ ` x3 x x x x 1 1 “ ´ ` ´ ¨ ¨ ¨ ` p´1qn 3n`3 ` ¨ ¨ ¨ x x x x n ÿ p´1q “ 3n ` n“0 x3 Ta 49 Do ż `8 8 ˇ2 ÿ ÿ dx p´1qn p´1qn ˇ “ “ ˇ ` x3 n“0 p3n ` 2qx3n`2 `8 n“0 p3n ` 2q23n`2 Vì chuỗi vế phải chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện định lý leibniz nên ta tính gần tổng k số hạng đầu sai số phạm phải nhỏ p3k`5q.2 3k`5 Sai số nhỏ hươn 0, 001 k ą Do ż `8 dx “ 0, 118 « ´ 1`x 160 ż 0,1 Ví dụ 3.6 ([2]) Tính gần sin x dx với độ xác 0, 00001 x Lời giải Sử dụng công thức khai triển Maclaurin cho hàm y “ sin x, ta 2k`1 ÿ x3 x2k`1 n x sin x x ` ă ¨ ¨ ` p´1q ` ¨¨¨ “ p´1qk 3! p2k ` 1q! p2k ` 1q! k“0 Từ đó, ta có ÿ sin x x2 x2k x2k “1´ ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn ` ¨¨¨ “ p´1qk , x 3! p2k ` 1q! p2k ` 1q! k“0 Do ż 0,1 ż 0,1 ż 0,1 ż 0,1 x2 x2k n 1dx dx ` ă ă ă ` p1q dx ` ă ă ă 3! p2k ` 1q! 0 0, 001 0, 00001 p0, 1q2k`1 0, ` ă ă ă ` p1qk ` ăăă 3.3! 5.5! p2k ` 1qp2k ` 1q! sin x dx “ x Vì 0, ą 0, 00001; 0,001 3.3! “ 0, 000055 ą 0, 00001 ż 0,1 Ví dụ 3.7 Tính xấp xỉ Lời giải Vì x P R 0,00001 5.5! “ 0,00001 600 ă 0, 00001 Do sin x dx « 0, ´ 0, 000055 “ 0, 09994 x ? e với độ xác 0, 0001 ? e “ e , ta khai triển hàm ex lân cận điểm x “ Ta có ex “ ` x x2 xn ` ` ¨¨¨ ` ` Rn pxq, ´8 ă x ă `8 1! 2! n! 50 Trong Rn pxq “ f pn`1q pξq n`1 eξ x “ xn`1 , ξ nằm x Lấy x “ , ta pn ` 1q! pn ` 1q! có 1 ? e ă e ă “ ă ξ Do 1 |Rn p q| ă “ n`1 n pn ` 1q!4 2.4 pn ` 1q! Vậy cần tìm n cho 2.4n pn ` 1q! ă 0, 0001 Thử trực tiếp ta thấy với n “ 4, ta có 1 |Rn p q| ă “ ă 0, 00002 ă 0, 0001 2.44 61440 3.3 ? 1 1 e « ` ` ` ` “ 1, 28402 4 2! 3! 4! Ứng dụng phương trình vi phân Chuỗi luỹ thừa sử dụng để giải phương trình vi phân, chẳng hạn trường hợp nghiệm khơng viết dạng hàm số sơ cấp Ta nhắc lại khai triển Taylor hàm số ypxq lân cận điểm x0 sau ypxq “ ypx0 q ` y px0 q y px0 q y pnq px0 q px ´ x0 q ` px ´ x0 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` px ´ x0 qn ` ¨ ¨ ¨ 1! 2! n! Ví dụ 3.8 ([2]) Tìm nghiệm y “ ypxq toán xy ´ y “ px ´ 1q2 , yp1q “ 1, y p1q “ Lời giải Giả sử nghiệm toán viết dạng chuỗi Taylor tâm x0 , ypxq “ ypx0 q ` y px0 q y px0 q y pnq px0 q px x0 q ` px x0 q2 ` ă ¨ ¨ ` px ´ x0 qn ` ¨ ¨ ¨ 1! 2! n! Hai hệ số khai triển ta tìm nhờ vào điều kiện ban đầu Khi đó, x0 “ ta có ypxq “ yp1q ` y p1q y p1q y p4q p1q px ´ 1q ` px ´ 1q2 ` ă ă ă ` px 1q4 1! 2! 4! 51 Ta tính yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ Lấy vi phân phương trình cho ta y ` xy ´ y “ 2px ` 1q (3.1) Thay x “ vào (3.1), sử dụng yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ 1, ta y p1q ` 1.y p1q ´ y p1q “ suy y p1q “ ´1 Lấy vi phân phương trình trước lần nữa, thay x “ ta 2y p1q ` 1y p4q p1q ´ y p1q “ ñ y p4q “ Khi đó, ta có yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ 1, y p1q “ ´1, y p4q p1q “ Vậy ypxq “ ` px ´ 1q2 px ´ 1q3 5px ´ 1q4 ´ ` 2! 3! 4! Ví dụ 3.9 ([2]) Tìm năm số hạng nghiệm chuỗi toán y “ x2 ` y , yp0q “ Lời giải Giả sử nghiệm chuỗi toán viết dạng chuỗi Maclaurin ypxq “ yp0q ` y p0q y p0q y p0q y pnq p0q n x` x ` x ` ăăă ` x ` ăăă 1! 2! 3! n! Ba đạo hàm tìm cách lấy vi phân phương trình vi phân y “ 2x ` 2yy y “ ` 2py q2 ` 2yy y p4q “ 6yy ` 2yy Tính giá trị đạo hàm x “ sử dụng điều kiện ban đầu yp0q “ phương trình vi phân cho y “ x2 ` y , ta ´ ¯2 1 y p0q “ ` “ 1 y p0q “ 2.0 ` “ 4 1 19 y p0q “ ` 2 ` “ 4 1 19 11 p4q y p0q “ ` ` “ 8 52 Thay giá trị vào chuỗi Maclaurin, ta nghiệm xấp xỉ sau ypxq “ 1 19 19 ` x ` x ` x3 ` x4 ` ă ă ă 48 48 Kết luận Luận văn đạt số kết sau • Trình bày cách chi tiết có hệ thống kết lý thuyết chuỗi số chuỗi hàm, đặc biệt định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm • Đưa số phương pháp để tính tổng chuỗi trường hợp hội tụ • Giới thiệu số ứng dụng quan chuỗi Taylor 53 Tài liệu tham khảo [1] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhăauser (2016) [3] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) 54 ... cương chuỗi số chuỗi hàm 1.1 1.2 1.3 Một số khái niệm dãy số dãy hàm 1.1.1 Một số khái niệm dãy số 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm Một số khái... chất chuỗi số 1.2.1 Một số khái niệm chuỗi số 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số Một số khái niệm tính chất chuỗi hàm 1.3.1 Một số khái... cương chuỗi số chuỗi hàm Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] 1.1 1.1.1 Một số khái niệm dãy số dãy hàm Một