Một số vấn đề về cực trị của hàm số và ứng dụng trong bài toán thực tế ở bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu thân Các kết nghiên cứu luận văn trung thực xác Các thông tin tham khảo luận văn trích dẫn cách đầy đủ cẩn thận Bình Định, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả Nguyễn Hữu Nguyên Lời cảm ơn Lời xin gửi đến TS Nguyễn Hữu Trọn lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học, đặc biệt q trình làm luận văn Tơi xin cảm ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại Học Quy Nhơn nhiệt tình giảng dạy tơi suốt khóa học Xin bày tỏ cảm ơn đến vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học Tơi xin cảm ơn giáo viên trường THPT Võ Lai, bạn học viên Cao học khóa 21 hỗ trợ, động viên tơi suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh Quy Nhơn, ngày 30 tháng 07 năm 2020 Tác giả Nguyễn Hữu Nguyên Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm hàm số 1.2 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.3 Các cơng thức thể tích, diện tích khối đa diện 3 Cực trị hàm số 2.1 Điều kiện cần cực trị 2.2 Điều kiện đủ cực trị 2.2.1 Điều kiện đủ cực 2.2.2 Điều kiện đủ cực 2.2.3 Một số ví dụ 2.3 Cực trị hàm lồi trị trị cấp cấp cao Mơ hình hóa toán học toán tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.1 Mơ hình hóa toán học 3.2 Một số toán tối ưu thực tế chương trình tốn phổ thơng 3.2.1 Các toán liên quan đến việc cắt - ghép hình, khối hình 3.2.2 Các toán lãi suất ngân hàng, giá cả, lợi nhuận 3.2.3 Các tốn tối ưu chi phí sản xuất 3.2.4 Các toán di chuyển - quãng đường 7 10 11 12 13 16 18 19 26 26 46 50 59 3.2.5 Các toán tăng trưởng 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 74 Một số kí hiệu viết tắt N, Z, Q, R, C Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức (tương ứng) BĐT Bất đẳng thức V Thể tích S Diện tích BBT Bảng biến thiên Lời nói đầu Trong thực tế ln đặt cho giải vấn đề nhằm đáp ứng nhu cầu sống người Mỗi vấn đề ln liên quan gắn chặt với nhiều toán ngành khoa học, đặc biệt toán tối ưu Các tốn tối ưu có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử toán học bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người, ngày toán tối ưu phát triển, nghiên cứu nhiều lĩnh vực tốn học có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Trong chương trình tốn bậc phổ thơng nay, toán tối ưu (thực tế) xuất với tần suất ngày cao đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa hệ thống đầy đủ Sách giáo khoa Vì vậy, để giải dạng tốn này, cần tìm hiểu chất khai thác phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại toán Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy học sinh, giáo viên bậc phổ thông, chọn đề tài để tìm hiểu nghiên cứu luận văn thạc sĩ nhằm phân loại, tổng họp phân tích đưa lời giải hợp lý, phù hợp với trình độ học sinh góp phần vào việc giảng dạy giáo viên học sinh bậc phổ thông Như quan sát kinh nghiệm giảng dạy trường phổ thơng, tốn tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng chủ yếu xoay quanh số vấn đề việc cắt ghép khối hình, tốn liên quan đến chuyển động, tăng trưởng loài, vấn đề kinh tế lãi suất, toán tối ưu chi phí sản xuất, chi phí vận chuyển, Nội dung luận văn bao gồm 03 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày kiến thức cần thiết phục vụ cho phần sau Chương 2: Cực trị hàm số: Chương trình bày nguyên lý cực trị: điều kiện cần đủ cấp cấp cao cho hàm số biến số làm sở lý thuyết cho chương sau Chương 3: Mơ hình hóa tốn học tốn tối ưu thực tế chương trình tốn bậc phổ thơng: Trình bày khái niệm q trình mơ hình hóa tốn học từ tốn thực tế, làm cầu nối để giải tốn thực tế từ cơng cụ tốn học Đồng thời, tổng hợp phân loại toán thực tế thường gặp chương trình tốn bậc phổ thơng với mục đích giúp ích cho học sinh giáo viên bậc phổ thơng q trình học tập giảng dạy Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm hàm số, bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Bunhiacopski, công thức liên quan đến thể tích, diện tích khối đa diện hay công thức lãi đơn, lãi kép sử dụng chương sau Nội dung chủ yếu biên soạn từ sách giáo khoa Giải tích 12, [6], [8] [7] 1.1 Một số khái niệm hàm số Định nghĩa 1.1 (a) Hàm số f : D → R gọi đồng biến (tăng) D, với x, y ∈ D cho x < y ta có f (x) < f (y) (b) Tương tự, hàm số gọi nghịch biến (giảm) D, với x < y f (x) < f (y) (c) Hàm số f gọi đơn điệu D tăng giảm D Định nghĩa 1.2 (a) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực M cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ D (b) Hàm số f : D → R gọi bị chặn tồn số thực m cho f (x) ≥ m, ∀x ∈ D 62 Thời gian người chiến sĩ chạy √ 300 11 − x MB = (s) tc = vc v Tổng thời gian người chiến sĩ công mục tiêu: √ ä 300 11 1Ä √ T = t1 + t2 = 100 + x2 − x + v v √ √ Đặt f (t) = 1002 + x2 − x với x ∈ (0; 300 11) Để T nhỏ f (x) phải nhỏ Ta có: f (x) = √1002x2 +x2 − Khi đó, √ f (x) = ⇔ 100 1002 + x2 = 2x ⇔ x = √ Từ ta suy Å min√ f (x) x∈(0;300 11) =f ã 100 √ Vậy người chiến sĩ phải bơi đoạn AM = √ 200 1002 + x2 = √ (m) để đến mục tiêu nhanh Bài toán 34 (Sách tập Giải tích 12 - Nâng cao) Lưu lượng xe ôtô vào đường hầm cho công thức f (v) = 0,36v2209,4v +13,2v+264 (xe/giây) v (km/h) vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn tính giá trị lớn Lời giải Theo giả thiết ta có: f (v) = 290, −0, 36v + 264 ; v > (0, 36v + 13, 2v + 264)2 63 √ f (v) = ⇔ v = 264 0, √ 264 f đạt giá trị lớn v = ≈ 27, 08 (km/h) f 0, Ç√ 264 0, å ≈ 8, Bài toán 35 Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ C đến B 1km Khoảng cách từ B đến A Mỗi km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn Hình 3.19: Lời giải Đặt BS = x, (0 < x < 4) Khi đó, CS = SA = √ + x2 4−x Chi phí bỏ √ f (x) = 5000 + x2 + 3000(4 − x) 64 Hình 3.20: Ta cần tìm x ∈ (0; 4) cho f (x) nhỏ 5000x − 3000, Xét hàm số y = f (x) (0; 4) Ta có f (x) = √ + x2 f (x) = √ 1000(5x − + x2 ) √ ⇔ =0 + x √ ⇔ + x2 = 5x ⇔ 9(1 + x2 ) = 25x2 , x ≥ 65 Suy x = 43 Ta có bảng biến thiên Hình 3.21: Từ bảng biến thiên ta có f (x) đạt giá trị nhỏ 16000 13 Vậy điểm S bờ cần tìm cách A khoảng − = (km) Bài toán 36 Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sơng để lấy nước mang B Tính đoạn đường ngắn mà người Hình 3.22: 66 Lời giải Gọi S điểm bờ sơng DC Ta có khoảng cách DC = 492(m) Đặt SD = x (m) Khi đó, SC = 492 − x (m) với < x < 492 Hình 3.23: Đoạn đường người cần để hồn thành công việc » √ 2 f (x) = 118 + x + 4872 + (492 − x)2 Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.7, ta đạt ước lượng f (x) ≥ » (118 + 487)2 + (x + 492 − x)2 ≈ 779, Dấu “=” xảy 118 x = ⇔ x ≈ 95, 96 478 492 − x Vậy đoạn đường ngắn mà người 779, m Bài toán 37 (Toán học tuổi trẻ lần 8) Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25km, BC = 20km M, n trung điểm AD, BC Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đến C cách thẳng từ A đến điểm X thuộc đoạn M N lại thẳng từ X đến C Vận tốc ngựa phần ABM N 15km/h, vận tốc ngựa phần M N CD 30km/h Thời gian để ngựa di chuyển từ A đến C giờ? 67 Lời giải Hình 3.24: Gọi M X = x(km) với ≤ x ≤ 25 √ Quãng đường AX = x2 + 10 √ x2 + 102 (h) Khi đó, thời gian tương ứng 15 Quãng đường CX = (25 − x)2 + 102 Thời gian tương ứng √ x2 − 50x + 725 (h) 30 Tổng thời gian √ f (x) = x2 + 100 + 15 √ x2 − 50x + 725 30 với x ∈ [0; 25] Bài tốn ta quy việc tìm giá trị nhỏ hàm số f đoạn [0; 25] Ta có f (x) = x x − 25 √ + √ 15 x2 + 100 30 x2 − 50x + 725 68 Khi f (x) = ⇔ x = Tính giá trị: 4+ √ 29 ≈ 1, 56, √ + 29 f (25) = ≈ 2, 13, √ f (5) = ≈ 1, 49 √ Vậy hàm số f đạt GTNN x = Bài tốn 38 (Sách tập Giải tích 12 - Cơ bản) Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = 6t2 − t3 Tính thời điểm t (giây) vận tốc v(m/s) chuyển động đạt giá trị lớn f (0) = Lời giải Theo giả thiết, ta có s(t) = 6t2 − t3 , t ∈ (0; +∞) Vận tốc chuyển động v(t) = s (t) = 12t − 3t2 Ta có: v (t) = 12 − 6t = ⇔ t = Bảng biến thiên: t +∞ + v (t) − 12 v(t) Dựa vào BBT, ta có max v(t) = v(2) = 12(m/s) Vậy vận tốc đạt (0;+∞) giá trị lớn t = 2(s) 69 Bài toán 39 (Đề minh họa lần năm 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = − t3 + 9t2 với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? Lời giải Vận tốc thời điểm t v(t) = s (t) = − t2 + 18t Do vận tốc lớn vật đạt v (t) = −3t + 18 = ⇔ t = Theo phương pháp biến thiên hàm số, vận tốc lớn vật vmax = v(6) = 36(m/s) Bài tốn 40 Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn sông để đẻ trứng sỏi đá chết Khi nghiên cứu cá hồi sinh sản người ta phát quy −t2 luật chuyển động nước yên lặng s(t) = + 4t với t (giờ) 10 khoảng thời gian từ lúc cá bắt đầu chuyển động s (km) quãng đường cá bơi khoảng thời gian Nếu thả cá hồi vào dịng sơng có vận tốc dịng nước chảy km/h Tính khoảng cách xa mà cá hồi bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng Lời giải Vận tốc cá bơi lúc nước yên lặng t v(t) = s (t) = − + (km/h) Gọi vận tốc quãng đường cá bơi ngược dòng V (t) S (t) Ta có t V (t) = v(t) − vnước = − + 2, S(t) = t2 V (t)dt = − + 2t + C 10 70 t + 2t Với t = S(0) = nên C = Suy S(t) = − 10 S (t) = V (t) = Bằng phương pháp biến thiên hàm số ta có maxt>0 S(t) = S(10) Vậy khoảng cách xa cá bơi 102 S(10) = − + 2.10 = 10 (km) 10 Bài toán 41 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao) Một cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 400km tới nơi sinh sản Vận tốc dòng nước 6km/h Giả sử vận tốc bơi cá nước đứng yên v km/h lượng tiêu hao cá t cho công thức E(v) = cv t, c số cho trước; E tính Jun Vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng cá tiêu hao bao nhiêu? Lời giải Vận tốc cá bơi ngược dòng v − 6, (v > 6) (km/h) 300 300 Suy thời gian để bơi t = (h), suy E = cv (J), v−6 v−6 Å ã 300 suy E đạt giá trị nhỏ v đạt giá trị nhỏ v−6 2v − 18v 300 Ta có f (v) = v , v > ⇒ f (v) = 300 v−6 (v − 6)2 v đạt giá trị lớn 2v − 18v f (v) = ⇔ = ⇔ v = (km/h) (v − 6)2 3.2.5 Các toán tăng trưởng Bài toán 42 (Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao) Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t) = 45t2 − t3 , t = 71 0, 1, 2, , 25 Nếu coi f hàm số xác định [0; 25] f (t) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm t (a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ (b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn tính tốc độ (c) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn 600 Lời giải Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t f (t) = 45t2 − t3 , t ∈ [0; 25] Để xét tốc độ truyền bệnh, ta xem hàm số f xác định đoạn [0; 25] (a) f (t) = 90t − 3t2 = 3t(30 − t) Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm f (5) = 375 (người/ngày) (b) f (t) = 90 − 6t = ⇔ t = 15 Bảng biến thiên: x f (t) +∞ 15 + − 675 f (t) Từ BBT, tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Tốc độ f (15) = 675 (người/ngày) (c) f (t) > 600 ⇔ 90t − 3t2 > 600 ⇔ t2 − 30t + 200 < ⇔ 10 < t < 20 Từ ngày 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh lớn 600 người ngày Bài toán 43 (Sách giáo khoa 12 - Nâng cao) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G(x) = 0, 025x2 (30 − x), x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm 72 Lời giải Ta có: G(x) = 0, 75x2 − 0, 025x3 , với x > Đạo hàm G: G (x) = 1, 5x − 0, 075x2 = ⇔ x = ∨ x = 20 Bảng biến thiên: x G (x) +∞ 20 + − 100 G(x) Từ BBT, suy maxx∈(0;+∞) G(x) = G(20) = 100 Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều 20 mg Khi đó, độ giảm huyết áp 100 Bài tốn 44 Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ơng vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu: “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau: Bàn cờ vua có 64 với thứ xin nhận hạt, thứ gấp đơi đầu, thứ lại gấp đơi thứ 2, sau nhận số hạt thóc gấp đơi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô (từ ô thứ đến ô thứ n) lớn triệu bao nhiêu? Lời giải Tổng số hạt thóc từ đến ô thứ n Sn = u1 + u2 + · · · + un = + + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − Theo giả thiết ta có Sn > 106 Suy 2n − > 106 n > 19, 93 Vì n bé thỏa mãn yêu cầu toán n = 20 Bài toán 45 Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền M vào ngân hàng dùng số tiền thu (cả lãi tiền gốc) để trao 10 suất học bổng tháng cho học sinh nghèo TP Cần Thơ, suất 73 triệu đồng Biết lãi suất ngân hàng 1%/tháng, Trung tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau tháng gửi tiền Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền bao nhiêu? Lời giải Gọi M (triệu) số tiền gửi vào ngân hàng, a lãi suất Số tiền sau tháng thứ phát học bổng M (1 + a) − 10 Số tiền sau tháng thứ hai phát học bổng (M (1 + a) − 10)(1 + a) − 10 = M (1 + a)2 − 10(1 + a) − 10 Số tiền sau tháng thứ 10 phát học bổng M (1 + a)10 − 10 (1 + a)9 + (1 + a)8 + · · · + (1 + a) + (1 + a)10 − = M (1 + a) − 10 a 10 Theo đề ta có (1 + a)10 − M (1 + a) − 10 = a 10 Suy M= 10 (1 + a)10 − a(1 + a)10 Thay a = 1%, ta tìm M = 94713045 74 Kết luận Tốn học có nguồn gốc thực tiễn chìa khóa hầu hết hoạt động người Trong thực tiễn đời sống có nhiều tốn tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao Việc vận dạng toán học vào thực tiễn sẽ làm cho người học cảm thấy hứng thú kích thích tìm tịi kiến thức người học Thực tế chương trình mơn tốn trường THPT tốn ứng dụng thực tế cịn ít, làm cho học sinh gặp khơng khó khăn q trình học tập, kì thi kiểm tra Với lý tơi mạnh dạn đưa số tốn tối ưu thực tế với hy vọng giúp toán học có ý nghĩa sống giúp học sinh tìm hiểu, khám phá, mở mang thêm đặc biệt làm quen với dạng toán đỡ phải bỡ ngỡ gặp chúng Trong trình nghiên cứu đề tài, tác giả tham khảo nhiều tài liệu nhiều tác giả Nhân đây, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy tác giả nói Mặc dù cẩn thận, nghiêm túc tính tốn cách trình bày chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy bạn đọc để tài liệu hồn thiện hơn! 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Các đề thi Toán THPT QG năm gần [2] (2018), Tạp chí Pi, số [3] Đặng Việt Đơng (2016), Bài tập trắc nghiệm Các dạng tốn ứng dụng thực tế [4] Nguyễn Minh Đức (2017), 40 toán tối ưu thực tế [5] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2007), Giải tích 12 (cơ bản), Nhà xuất giáo dục, Việt nam [6] Trần Phương, Trần Tuấn Anh, Nguyễn Anh Cường, Bùi Việt Anh (2012), Những viên kim cương Bất đẳng thức Toán học, 4th edition, NXB Tri thức [7] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2007), Giải tích 12 (nâng cao), Nhà xuất giáo dục, Việt Nam [8] Lê Đình Thúy (2015), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Phần 1, 2, Nhà xuất Đại học Kinh Tế quốc dân Tiếng Anh: [9] J Brinkhuis and V Tikhomirov (2005), Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press 76 [10] C Dym (2006), Principles of Mathematical Modeling, Academic Press [11] C P Simon, L Blume, Mathematics for Economists, 8th, W.W Norton and Company, Inc [12] J Stewartz (2016), Calculus, 8th, Cengage [13] D L Timmons, C W Johnson, S M McCook (2010), Fundamentals of Algebraic Modeling: An Introduction to Mathematical Modeling with Algebra and Statistics, Fifth Edition, Cengage Learning ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU NGUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Ở BẬC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH:... đạt cực đại x0 (ii) Nếu f (x0 ) > f đạt cực tiểu x0 2.2.3 Một số ví dụ Sử dụng tiêu chí cực trị trên, ta tìm cực trị địa phương tồn cục hàm số đơn giản sau Ví dụ 2.2.1 Tìm cực trị hàm số y... Chương 2: Cực trị hàm số: Chương trình bày nguyên lý cực trị: điều kiện cần đủ cấp cấp cao cho hàm số biến số làm sở lý thuyết cho chương sau Chương 3: Mơ hình hóa tốn học toán tối ưu thực tế chương