Một lơp bất đẳng yhức biến phân trong bài toán quy hoạch ngẫu nhiên và ứng dụng

1 MỤC LỤC Lời mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Tập lồi nón lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Nón lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Ánh xạ đa trị 1.4 Bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch 11 1.5 1.6 1.4.1 Bất đẳng thức biến phân 11 1.4.2 Bài toán quy hoạch bất đẳng thức biến phân 12 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất 15 1.5.1 σ-đại số σ-đại số Borel 15 1.5.2 Không gian xác suất 15 1.5.3 Biến ngẫu nhiên 15 1.5.4 Hàm phân phối 16 1.5.5 Các đặc trưng biến ngẫu nhiên 16 1.5.6 Định lý giới hạn trung tâm Moivre - Laplace 18 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 19 Chương Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên ứng dụng 20 2.1 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 20 2.2 2.1.1 Một số kí hiệu 20 2.1.2 Bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên 20 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân (SMPEC) 21 2.3 2.4 2.2.1 Bài toán SMPEC 21 2.2.2 Mơ hình tốn học tốn SMPEC 24 2.2.3 Tính chất toán SMPEC 26 Hàm kỳ vọng tính chất 28 2.3.1 Hàm kỳ vọng 28 2.3.2 Tính chất hàm kỳ vọng 28 Giải toán SMPEC phương pháp Monte-Carlo 32 2.4.1 Tổng quan phương pháp Monte-Carlo 32 2.4.2 Thuật toán Monte-Carlo tổng quát giải toán SMPEC 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI MỞ ĐẦU Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) đời vào năm 1960, gắn liền với cơng trình G Stampacchia, J.L Lions G Fichera Hiện nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ bất đẳng thức biến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút nhiều quan tâm nhà toán học mơ hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực khác tốn học tối ưu hóa, lý thuyết trị chơi, cần Nash, cần mạng lưới giao thông, cân hệ thống điện, Các tác giả có đóng góp cho phát triển toán Lê Dũng Mưu, G.T Chen Nguyễn Đông Yên, A Shapiro, M Florian, F Giannessi, M Patriksson L Wynter, A Evgrafov, P Daniele, Phan Quốc Khánh Nguyễn Xuân Hải, QuingZhi Yang, Shu-Cherng Fang, Fukushima, Trong năm gần đây, toán mở rộng toán bất đẳng thức biến phân toán cân thu hút nhiều quan tâm nhiều nhà toán học chẳng hạn A Shapiro [13], M Patriksson L Wynter [12], A Evgrafov [11], Việc nghiên cứu toán nhằm phát tính chất thuật tốn để giải vấn đề thời có ý nghĩa khoa học thực tiễn rộng lớn Chính vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu:"Một lớp bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch ngẫu nhiên ứng dụng" Luận văn trình bày hai chương: • Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức sở Trong chương nội dung trình bày bao gồm: số vấn đề tập lồi nón lồi, ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch, số vấn đề sở lý thuyết Xác suất định lý, kết liên quan đến luận văn • Chương 2, nội dung luận văn Trong chương chúng tơi vào trình bày tổng quan toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân (SMPEC), số tính chất tốn (SMPEC), hàm kỳ vọng tính chất nó, sử dụng phương pháp Monte-Carlo để giải toán (SMPEC) Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Người dành cho nhiều thời gian quý báu, quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cho tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin trân trọng gởi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học, bạn học viên Cao học khóa 16, 17 nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho tác giả q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Qua tác giả xin gởi lời cảm ơn chân thành tới Sở Giáo dục Đào tạo, Sở Tài tỉnh Đồng Tháp, Trường THPT Châu Thành 2, gia đình đồng nghiệp động viên, quan tâm tạo điều kiện tốt cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Vinh, ngày 19 tháng 12 năm 2010 Tác giả Ngô Quang Anh Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Tập lồi nón lồi Tập lồi Tổ hợp lồi Cho k điểm x(1) , x(2) , , x(k) ∈ Rn , điểm k k (i) λi x , ∀λi ≥ 0, x= i=1 λi = i=1 gọi tổ hợp lồi hệ điểm cho Đoạn thẳng Cho x(1) , x(2) ∈ Rn , tập hợp x(1) x(2) = x ∈ Rn : x = λ1 x(1) + λ2 x(2) , λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = gọi đoạn thẳng nối hai điểm cho Chú ý: Nếu ký hiệu λ1 = λ, λ2 = − λ ≤ λ ≤ đoạn thẳng nối x(1) , x(2) x(1) x(2) = x ∈ Rn : x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , ≤ λ ≤ Đoạn thẳng x(1) x(2) gọi thuộc (hay nằm trọn trong) tập hợp M điểm x ∈ x(1) x(2) x ∈ M Trong trường hợp x(1) x(2) = x ∈ Rn : x = (1 − λ)x(1) + λx(2) , λ ≥ , ta có tia xuất phát từ x(1) Nếu x(1) x(2) = x ∈ Rn : x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , λ ∈ R , ta có đường thẳng nối x(1) với x(2) Tập hợp lồi Tập M ⊂ Rn gọi tập hợp lồi (hay nói gọn tập lồi) đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M nằm trọn M Nghĩa với x(1) , x(2) ∈ M, x = λx(1) + (1 − λ)x(2) , ≤ λ ≤ 1, x ∈ M 1.1.2 Nón lồi Định nghĩa 1.1 Tập K Rn gọi nón có đỉnh x(0) ∈ K với x ∈ K số thực λ > 0, ta có x(0) + λ(x − x(0) ) ∈ K , nghĩa x ∈ K K chứa nửa đường thẳng nối x(0) với x Điểm gốc thuộc khơng thuộc K Nếu K nón chứa gốc 0, đỉnh (nón nhọn có mũi tai 0) Nếu K tập lồi ta nói K nón lồi Định lý 1.1 Tập K Rn nón lồi có đỉnh gốc với x, y ∈ K số λ > ta có λx ∈ K x + y ∈ K Chứng minh a) Giả sử K nón lồi có đỉnh gốc Khi với ∀x ∈ K, ∀λ > ta có λx ∈ K Mặt khác K tập lồi nên ∀x, y ∈ K (x + y) ∈ K ta chọn λ = x + y = · (x + y) ∈ K b) Ngược lại, với ∀x ∈ K, ∀λ > ta có λx ∈ K Vậy K nón có đỉnh Với < λ < 1, x, y ∈ K ta có (1 − λ)x ∈ K, λy ∈ K (1 − λ)x + λy ∈ K Chú ý với λ = λ = ta có (1 − λ)x ∈ K, λy ∈ K Vậy K nón lồi có đỉnh gốc Định lý chứng minh xong Hệ 1.1.1 Tập K Rn nón lồi K chứa tất tổ hợp tuyến tính dương phần tử K , nghĩa x1 , , xm ∈ K , λ1 , , λm > m i=1 λi xi ∈ K Hệ 1.1.2 Giả sử A tập Rn , K tập tất tổ hợp tuyến tính dương A Khi đó, K nón lồi nhỏ chứa A Định nghĩa 1.2 Cho A tập lồi thuộc Rn , nón lồi mũi nhỏ chứa A gọi nón lồi sinh A, ký hiệu KA Chúng ta chứng minh rằng: KA = {λx : x ∈ A, λ > 0} Định nghĩa 1.3 Cho M tập lồi thuộc Rn , véctơ z = gọi phương lùi xa M với ∀x ∈ M ∀λ ≥ 0, ta có x + λz ∈ M Từ định nghĩa trên, kiểm tra thấy rằng: Tập K tất phương lùi xa tập lồi M với véctơ nón lồi Nón K xác định gọi nón lùi xa M ký hiệu recM Ví dụ 1.1 • Cho M1 = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y ≥ x recM1 = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0} • Cho M2 = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 recM2 = {(x, y) : y ≥ 0} • Cho M3 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ recM3 = {(0, 0)} • Cho M4 = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > (0, 0) recM4 = M4 Định nghĩa 1.4 Cho M tập lồi đóng thuộc Rn , véctơ z = gọi pháp tuyến M x ∈ M với y ∈ M ta có: z, y − x ≤ Tập tất véctơ pháp tuyến tập lồi M x ∈ M lập thành nón lồi đóng, ký hiệu NM (x) Nón NM (x) gọi nón pháp tuyến hay nón chuẩn Như nón chuẩn xác định NM (x) = z ∈ Rn : z T (y − x) ≤ 0, ∀y ∈ M , trường hợp x ∈ / M ta coi NM (x) = ∅ Tóm lại ta có: NM (x) = z ∈ Rn : z T (y − x) ≤ 0, ∀y ∈ M x ∈ M x ∈ / M ∅ Ví dụ 1.2 Cho M = (x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 1, x ≥ NM (X) = (x, y) : x ≥ 0, y ≥ Nếu M không lồi, mà xác định sau: M (x) = y ∈ Rn : G(x, y) ∈ Q , Q ⊂ Rs nón lồi đóng hàm G : Rn × Rm → Rs khả vi liên tục (x, y), ta có nón chuẩn Q G(x, y) NQ (G(x, y)) Từ ta xác định nón chuẩn M (x) y sau: NM (x) (y) = G(x, y) : ∇y G(x, y)T λ ≤ 0, λ ∈ NQ (G(x, y)) , (1.1) ∇y G(x, y) ký hiệu cho véctơ đạo hàm riêng hàm G biến y 1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.5 Cho M ⊂ Rn , f : M → R ∪ {±∞} Trên đồ thị (epigraph) hàm f , ký hiệu epif , định nghĩa sau: epif = {(x, r) ∈ M × R : f (x) ≤ r} Định nghĩa 1.6 Miền hữu hiệu (effective domain) hàm f , ký hiệu domf , định nghĩa sau: domf = {x ∈ M : f (x) < +∞} Định nghĩa 1.7 Hàm f gọi thường(proper), domf = ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ M Định nghĩa 1.8 Hàm f gọi hàm lồi M (convex on M ) epif tập lồi M × R Nếu f hàm lồi g = −f gọi hàm lõm (concave) Nhận xét 1.1 Hàm f lồi M domf lồi Thật vậy, domf hình chiếu Rn epif : domf = {x ∈ M : f (x) < +∞} = {x ∈ M : ∃r ∈ R, (x, r) ∈ epif } Như vậy, domf ảnh tập lồi epif qua ánh xạ tuyến tính Do đó, domf lồi Định lý 1.2 Để hàm f (x) xác định tập lồi M lồi, điều kiện cần đủ f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y), ∀x, y ∈ M, α ∈ [0, 1] Định lý 1.3 Cho f khả vi tập lồi M, để f hàm lồi điều kiện cần đủ ∇f (x), y − x ≤ f (y) − f (x), ∀x, y ∈ M, ∇f (x) = f (x) = (fx1 , fx2 , , fxn ) 1.3 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.9 Cho X, Y không gian định chuẩn Cho F : X ⇒ Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y (được ký hiệu 2Y ) Ta nói F ánh xạ đa trị (set-valued mapping) từ X vào Y Như vậy, với x ∈ X, F (X) tập Y Không loại trừ khả 10 với phần tử x ∈ X ta có F (X) tập rỗng Nếu với phần tử x ∈ X tập F (X) gồm phần tử Y ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y người ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X −→ Y Định nghĩa 1.10 Ta nói F nửa liên tục x ∈ domF với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn lân cận mở U x cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U Nếu F nửa liên tục điểm thuộc domF , F gọi nửa liên tục X Định nghĩa 1.11 Ta nói F nửa liên tục x ∈ domF với tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ tồn lân cận mở U x cho F (x) ∩ V = ∅, ∀x ∈ U ∪ domF Nếu F nửa liên tục điểm thuộc domF , F gọi nửa liên tục X Định nghĩa 1.12 Ta nói F liên tục x ∈ domF F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x Nếu F liên tục điểm thuộc domF , F gọi làliên tục X Định nghĩa 1.13 Ánh xạ đơn trị f : X → Y thỏa mãn điều kiện f (x) ∈ F (x) với x ∈ X gọi lát cắt F Nếu f ánh xạ đo ta nói lát cắt đo (measurable selection) F Định nghĩa 1.14 Giả sử x ∈ int(domF ), F ánh xạ đa trị từ X vào Y , B(x, δ) hình cầu đóng có tâm x bán kính δ , B Y hình cầu đơn vị đóng Y 26 2.2.3 Tính chất tốn SMPEC Trong phần chúng tơi trình bày vài tính chất toán SMPEC với hàm ϑ(x, ω) cho giá trị tối ưu toán (2.8) Ánh xạ G : Ω ⇒ Rn gọi ánh xạ có giá trị đóng G(ω) tập đóng Rn với ω ∈ Ω G gọi làđo G −1 (A) ∈ F với tập đóng A ⊂ Rn Hàm h : Rn × Ω → R gọi nửa liên tục ngẫu nhiên ánh xạ hàm đồ thị ω −→ epih(·, ω) có giá trị đóng đo Người ta nói ánh xạ G : Rn × Ω → Rm ánh xạ Carathéodory G(x, ω) liên tục x với ω ∈ Ω đo Chú ý ánh xạ Carathéodory g(x, ω) nửa liên tục ngẫu nhiên Người ta chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.1 Cho hàm g : Rn × Ω → R nửa liên tục ngẫu nhiên Khi hàm φ(ω) = inf x∈Rn g(x, ω) đo G(ω) = arg minx∈Rn g(x, ω) ánh xạ có giá trị đóng đo Trong suốt luân văn ta giả thiết rằng: (A1) Ánh xạ H(x, y, ω), G(x, y, ω) hàm F (x, y, ω) ánh xạ Carathéodory nghĩa liên tục (x, y) đo Xét bất đẳng thức biến phân (2.6), giả thiết (A1) ta có H(x, ζ, ω) xác định (2.7) ánh xạ Carathéodory Bài toán bất đẳng thức biến phân (2.6) chuyển thành toán tối ưu sau: γ(x, ζ, ω), với điều kiện γ(x, ζ, ω) ≥ 0, ζ∈Q γ(x, ζ, ω) = supζ ∈Q H(x, ζ, ω)T (ζ − ζ) − (1/2)||ζ − ζ||2 hàm khoảng cách quy giới thiệu [10], γ(x, ζ, ω) hàm liên tục (x, ζ) đo được, ánh xạ Carathéodory Do ta có ánh xạ (x, ω) → S(x, ω) ánh xạ có giá trị đóng đo 27 Hàm ϑx (ω) viết hình thức sau: ϑx (ω) = inf F (x, y, ω), (y,λ)∈S(x,ω) từ (A1) ta có F (·, ·, ω) nửa liên tục ngẫu nhiên suy ϑx (ω) đo được, điều giải vấn đề hàm lấy tích phân bên kỳ vọng (2.1) Ta nói ζ(ω) = (y(ω), λ(ω)) lát cắt đo S(x, ω) với ∀ω ∈ Ω , ζ(ω) ∈ S(x, ω) ζ(ω) đo Bây ta xét hàm sau: f (x) = inf E F (x, y(ω), ω) , ζ(·)∈S(x,ω) ζ(·) ∈ S(x, ·) nghĩa việc tối ưu thực tất lát cắt đo ζ(ω) S(x, ω) Với định nghĩa f (x) = +∞ tập S(x, ω) = ∅ ta có kết sau f (x) = f (x), ∀x ∈ X Thật vậy, giả sử S(x, ω) = ∅ (nếu khơng f (x) = f (x) = +∞), với lát cắt đo ζ(ω) ∈ S(x, ω), ω ∈ Ω , ta có F (x, y(·), ·) ≥ ϑx (·), f (x) ≥ f (x) Ngược lại, Định lý 14.5 Castaing [9] với ∀ε > tồn lát cắt đo ζ(ω) ∈ S(x, ω) cho F (x, y(·), ·) ≤ ϑx (·) + ε, suy f (x) ≥ f (x) + ε Vậy f (x) = f (x) Bổ đề 2.1 Bài toán (2.1) tương đương với toán E F (x, y(ω), ω) , (2.13) x∈X,ζ(·)∈S(x,·) ζ(·) ∈ S(x, ·) nghĩa việc tối ưu thực tất lát cắt đo ζ(ω) S(x, ω) Nói cách khác tối ưu (2.13) thực x ∈ X ζ(ω) = (y(ω), λ(ω)) thỏa mãn ràng buộc toán (2.8) Cụ thể giả sử Ω = {ω1 , , ωK } hữu hạn với xác 28 suất tương ứng p1 , , pK ta viết tốn (2.1) dạng tương đương sau: K x∈X,y1 , ,yK pk F (x, yk , ωk ), (2.14) k=1 với điều kiện: − H(x, yk , ωk ) + ∇y G(x, yk , ωk )λk = 0, k = 1, , K, λk ∈ Q∗ , 2.3 2.3.1 G(x, yk , ωk ) ∈ Q, λTk G(x, yk , ωk ) = Hàm kỳ vọng tính chất Hàm kỳ vọng Giả sử ϑ(x, ω) giá trị tối ưu tốn (2.8) Khi f (x) = E[ϑ(x, ω)] gọi hàm kỳ vọng với biến số x Xét x ∈ X giả sử tồn hàm ψ(ω) P -khả tích cho ϑ(x, ω) ≥ ψ(ω), ∀ω ∈ Ω với x lân cận x Do ψ(ω) P -khả tích nên E [|ψ|] < +∞ Vì theo bổ đề Fatou ta có lim inf E [ϑ(x, ω)] ≥ E lim inf ϑ(x, ω) x→x x→x Từ suy f (·) nửa liên tục x ϑ(·, ω) nửa liên tục x, với ∀ω ∈ Ω Do vấn đề nửa liên tục f (·) quy nghiên cứu nửa liên tục ϑ(·, ω) 2.3.2 Tính chất hàm kỳ vọng Trong phần chúng tơi thảo luận tính khả vi liên tục hàm kỳ vọng Ta giả thiết rằng: (A2) Ánh xạ H(·, ·, ω), ∇y G(·, ·, ω) hàm F (·, ·, ω) liên tục (A3) Với x = x, tập S(x, ω) = ∅ tập S(x, ω) (có thể rỗng) bị chặn với x lân cận x 29 (A4) Với x lân cận x có tương ứng yω (x) ∈ S(x, ω) cho yω (x) dần tới y , y ∈ S(x, ω) x → x Bổ đề 2.2 Giả sử giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn hàm ϑ(·, ω) nửa liên tục x Từ bổ đề 2.2, người ta chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.1 Giả sử giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn với ∀ω ∈ Ω tồn hàm ψ(ω) P-khả tích cho ϑ(x, ω) ≥ ψ(ω), ∀ω ∈ Ω , với x lân cận x hàm kỳ vọng f (x) nửa liên tục x Bổ đề 2.3 Giả sử giả thiết (A2), (A3) thỏa mãn giả thiết (A4) thỏa mãn với y ∈ arg miny∈S(x,ω) F (x, y, ω) hàm ϑ(·, ω) liên tục x Mệnh đề 2.2 Giả sử giả thiết (A2)-(A4) thỏa mãn với ∀ω ∈ Ω tồn hàm ψ(ω) P-khả tích cho ϑ(x, ω) ≤ ψ(ω), ∀ω ∈ Ω , với x lân cận x hàm kỳ vọng f (x) liên tục x Ta nói ánh xạ x −→ S(x, ω) cục b trờn cp H oălder ti x i vi y , tồn lân cận W V tương ứng x y số c = c(ω) cho yω (x) − y c x − x γ, (2.15) với x ∈ W yω (x) ∈ S(x, ω) ∩ V Đặc biệt, điều với γ = ta nói S(·, ω) Lipschitz địa phương x y Ta đưa điều kiện khác để đảm bảo tính địa phương nghiệm y ∈ S(x, ω) Cố định x ∈ X ω ∈ Ω , ta dùng kí hiệu H(·) = H(x, ·, ω) G(·) = G(x, ·, ω), Người ta nói điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson hệ G(y) ∈ Q y [∇G(y)]Rm + TQ (G(y)) = Rs (2.16) 30 Chú ý (2.16) tập Λ(y) = Λ(x, y, ω) nhân tử Lagrange tương ứng bị chặn Cũng ý rằng, hệ xác định số hữu hạn ràng buộc mơ hình điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson trùng với điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz Ta nhắc lại nón C(y) = d ∈ Rm : H(y)T d = 0, ∇G(y)d ∈ TQ (G(y)) , gọi nón tới hạn Với véctơ d ∈ Rm G(y) = (g1 (y), , gs (y)), xét tập hợp nhân tử Lagrange s ∗ λi dT ∇2 gi (y)d Λ (y, d) = arg max λ∈Λ(y) i=1 Ta có kết sau (xem định lí 3.1, 3.2, 4.3 5.1 [14]) Mệnh đề 2.3 Xét điểm y ∈ S(x, ω) Giả sử H(y) khả vi liên tục, G(y) có đạo hàm cấp liên tục, điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Robinson (2.16) nón Q đa diện y điểm lập S(x, ω) điều kiện sau với véctơ d ∈ Rn : ∇H(y)d ∈ conv ∪λ∈Λ∗ (y,d) [∇2 G(y)d]T λ + NC(y) (d) (2.17) Ngoài ra, điều kiện (2.17) H(x, y, ω) khả vi liên tục G(x, y, ω) có đạo hàm cấp liên tục S(·, ω) cục cấp Hoălder = ti x i vi y Hơn ánh xạ G(x, y, ω) tập K(x, ω) khơng phụ thuộc vào x S(·, ω) Lipschitz địa phương x y Ta mở rộng điều kiện (2.17) đến trường hợp mà nón Q khơng phải đa diện (xem [14]) Nếu ánh xạ G(y) affine ∇2 G(y) = Do vế trái (2.17) trở thành ∇H(y)d ∈ NC(y) (d)) 31 Với yω ∈ arg miny∈S(x,ω) F (x, y, ω), ta có ϑ(x, ω) = F (x, yω (x), ω) Do F (·, ·, ω) khả vi liên tục Lipschitz địa phương liên tục, ta viết |ϑ(x, ω) − ϑ(x, ω)| = |F (x, yω (x), ω) − F (x, y, ω)| (ω) yω (x) − y , x ∈ W (ω) Lipschitz tương ứng không đổi (độc lập với x) Khi từ (2.15) với x ∈ W ta có |ϑ(x, ω) − ϑ(x, ω)| κ(ω) x − x γ , (2.18) với κ(ω) = (ω) c(ω) Suy ra, với x ∈ W ta có |f (x) − f (x)| L x − x γ, (2.19) với L = E[κ(ω)] Bây xét đến tính khả vi f (x) Ta ký hiệu f (x, p) ϑω (x, p) tương ứng đạo hàm theo hướng p f (·) ϑ(·, ω) x Điều nghĩa f (·) khả vi theo hướng x tồn f (x, p) với p ∈ Rn Bằng cách sử dụng định lý hội tụ trội Lebesgue ta kết sau (xem chương 2, mệnh đề 2, [15]) Bổ đề 2.4 Giả sử ϑ(x, ·) P -khả tích, ϑ(·, ω) khả vi theo hướng x ∈ X, với ω ∈ Ω tồn hàm κ : Ω −→ R+ P -khả tích cho (2.18) với γ = 1, nghĩa |ϑ(x, ω) − ϑ(x, ω)| κ(ω) x − x , với x lân cận x, với ω ∈ Ω Khi f (·) khả vi theo hướng x f (x, p) = E[ϑω (x, p)], ∀p ∈ Rn 32 Dễ dàng suy f (x) có giá trị hữu hạn với x gần x Giả sử rằng, với x gần x, tồn yω (x) ∈ arg F (x, y, ω) y∈S(x,ω) hội tụ đến y x → x Khi đó, ϑ(x, ω) = F (x, yω (x), ω), ta thu ϑω (x, p) = ∇y F (x, y, ω)T yω (x, p), với điều kiện F (x, ·, ω) khả vi liên tục tồn đạo hàm theo hướng yω (x, p) Mệnh đề 2.4 Giả sử giả thiết mệnh đề 2.3 giả thiết (A4) thỏa mãn (i) Ánh xạ G(x, y, ω) không phụ thuộc vào x, (ii) Với ω ∈ Ω với p ∈ Rn , hệ ∇x H(x, y, ω)p+∇x H(x, y, ω)d ∈ conv ∪λ∈Λ∗ (y,d) [∇2 G(yd)]T λ +NC(y)(d) có nghiệm d = d(p) yω (·) khả vi theo hướng x yω (x, p) = d(p) Chú ý với cách đặt p = công thức ta thu điều kiện (ii) điều kiện (2.17) mệnh đề 2.3 2.4 2.4.1 Giải toán SMPEC phương pháp Monte-Carlo Tổng quan phương pháp Monte-Carlo Phương pháp Monte-Carlo phương pháp số giải toán cách mơ hình hóa đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp liên quan đến tư tưởng xây dựng q trình ngẫu nhiên giả tạo có tất đặc tính cần thiết hệ thống cần nghiên cứu Phương pháp 33 Monte-Carlo áp dụng nơi, miễn tốn cho phép mơ tả tồn thể hay phần lý thuyết xác suất, toán có nội dung tiền định chặt chẽ Chuyện kể thành phố Monte (Monaco), thành phố tiếng với sòng bạc thỏa mãn máu mê nhiều hạng người khác Sự may rủi, đỏ đen liên tiếp thể nghiệm "phép thử" tung đồng tiền chiếu bạc Nếu nói xác suất bắt nguồn từ chuyện người say rượu, phương pháp Monte-Carlo lại bắt nguồn từ sòng bạc thành phố có tên Monte Các phận cấu thành phương pháp là: Xây dựng mơ hình xác suất trình thực tiễn cần nghiên cứu, mơ hình hóa đại lượng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước, giải toán lý thuyết ước lượng thống kê Giá trị thực tiễn phương pháp Monte-Carlo thay phép thử kết tính tốn dựa đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy, xác định đặc trưng cần thiết trình cần nghiên cứu mà khơng cần dùng phương trình mơ tả thay đổi trình cho Bởi vậy, phương pháp Monte-Carlo gọi phương pháp thử thống kê Bài toán phương pháp xác định xác suất kiện giá trị trung bình đại lượng ngẫu nhiên qua kết phép thử lặp lặp lại nhiều lần Cơ sở lược đồ chung phương pháp Monte-Carlo định lý giới hạn trung tâm Theo định lý coi đại lượng m chưa biết kỳ vọng toán học đại lượng ngẫu nhiên ξ đó, tức Eξ = m với phương sai Dξ = σ Từ định lý giới hạn trung tâm ta có hệ thức    N 3σ  ≈ 0, 997, ξj − m < √ P  N N j=1 34 ξj , (j = 1, 2, , N ) giá trị đại lượng ngẫu nhiên ξ nhận N phép thử Hệ thức xác định số chưa biết m đồng thời đánh giá sai số Từ hệ thức suy tăng số phép thử độ xác nghiệm tăng lên Như vậy, thực chất phương pháp Monte-Carlo chương trình để tiến hành phép thử ngẫu nhiên thực cách ngẫu nhiên Tuy nhiên, thực tế thường dùng chế tiêu chuẩn để sản sinh đại lượng ngẫu nhiên có phân phối miền (chẳng hạn [0, 1]) Do đó, ta thấy phương pháp Monte-Carlo phát triển thời với máy tính điện tử Nhược điểm quan trọng phương pháp Monte-Carlo để nhận đặc trưng q trình nghiên cứu với độ xác cho trước cần nhiều phép thử Chẳng hạn, với độ xác ε > cho trước, để nhận giá trị trung bình x đại lượng ngẫu nhiên ξ , cần phải tiến hành số phép thử N = 4Dξ ε2 , Dξ phương sai Như Dξ = 0, 01 ε = 0, 001 N = 400.000 phép thử Mỗi phép thử, độ phức tạp tính tốn thuật tốn phụ thuộc độ dài liệu, tức phụ thuộc số biến n tốn Vì vậy, phương pháp Monte-Carlo dùng để gải toán quy hoạch thường áp dụng với tốn có số ẩn không lớn (số ẩn n ≤ 30) 2.4.2 Thuật toán Monte-Carlo tổng quát giải toán SMPEC Bước Xuất phát từ phương án x(0) ∈ M , ký hiệu α0 = f (x(0) ), lúc gọi x(0) phương án kỷ lục Bước k (k = 1, 2, ) k.1 Giả sử ta biết phương án kỷ lục x(k) αk = f (x(k) ) Với tập G, độ đo mesG xác định, chọn ngẫu nhiên điểm ξ (k) có phân phối G k.2 Kiểm tra ξ (k) ∈ M hay không? 35 + Nếu ξ (k) ∈ / M loại bỏ ξ (k) , trở lại bước k + Nếu ξ (k) ∈ M số phương án tăng lên Gán x(k+1) := ξ (k) k.3 Tính giá trị hàm mục tiêu f (x(k+1) ) kiểm tra + Nếu f (x(k+1) ) ≥ αk xk+1 "khơng tốt hơn" xk , trở lại bước k.1 + Nếu f (xk+1 ) < αk xk+1 "tốt hơn" xk Gán k := k + 1, trở lại bước k.1 Để chứng minh hội tụ phương pháp Monte-Carlo giải toán quy hoạch nêu trên, ta ký hiệu x(k) dãy phương án tìm trình thực thuật tốn Như vậy, bước thứ k ta có (k+1) x := ξ (k) , f (ξ (k) ) ≤ f (x(k) ) x(k) , f (ξ (k) ) > f (x(k) ), (*) ξ (k) véctơ ngẫu nhiên bước lặp thứ k nhận từ thuật toán Monte-Carlo Ta ký hiệu mesM "diện tích" M (theo nghĩa độ đo Rn ) Khi với tập khả tích A ⊆ M , ta có cơng thức tính xác suất để ξ ∈ M thuộc A (coi ξ phân M ) P(ξ ∈ A) = mesA · mesM Định nghĩa 2.1 Ta nói tốn qui hoạch cho có giá trị cực tiểu khơng lập có nghiệm x∗ cho mes{x ∈ M : f (x) < f (x∗ ) + ε} > 0, với ε > đủ bé Định lý 2.2 Bài toán quy hoạch nêu với giá trị cực tiểu không cô lập dãy {x(k) } thiết lập từ thuật toán Monte-Carlo, ta có P lim f (x(k) ) = f (x∗ ) = k→∞ Chứng minh Với ε > đủ bé, ta gọi Ak (ε) biến cố ngẫu nhiên xảy x(k) thỏa mãn f (x) < f (x∗ ) + ε, kí hiệu Ak (ε) = f (x(k) ) < f (x∗ ) + ε , với k 36 Theo (*) ta có f (xk+1 ) = f (ξ (1) ), f (ξ (2) ), · · · , f (ξ (k) ) (**) Nếu gọi biến cố đối lập Ak (ε) Ak (ε) f (x∗ ) + ε , với k Ak (ε) = f (x(k) ) Từ (**) suy k f (x∗ ) + ε f (x(i) ) Ak (ε) = i=1 Vì ∞ ∞ ∞ Ak (ε) P ∞ N =1 k=N P(Ak (ε)), Ak (ε) P k=N k=N ta suy ∞ ∞ ∞ Ak (ε) P k P N =1 k=N f (x∗ ) + ε}) {f (x(i) i=1 k=N Do {ξ (k) } dãy độc lập, phân phối nên k f (x(i) ) f (x∗ ) + ε = P f (x(i) ) f (x∗ ) + ε = P i=1 k = i=1 = P {f (ξ) f (x∗ ) + ε} k = = (1 − pε )k , ξ = lim ξ (k) pε = P {f (ξ) < f (x∗ ) + ε} k→∞ Từ suy ∞ ∞ ∞ (1 − pε )k Ak (ε) P N =1 k=N k=N Đặt A(ε) = {x ∈ M : f (x) < f (x∗ ) + ε} Từ giả thiết tính không cô lập giá trị cực tiểu f (x∗ ) ta có mesA(ε) > 0, với ε > (***) 37 Do pε = P {f (ξ) < f (x∗ ) + ε} = P{ξ ∈ A(ε)} = mesA(ε) > mesM Từ (***) ta có ∞ ∞ ∞ (1 − pε )N (1 − pε ) = , với N > p ε k=N k Ak (ε) P N =1 k=N Cho N → ∞, ta thu ∞ ∞ P Ak (ε) = Ak (ε) = N =1 k=N Hay ∞ ∞ P N =1 k=N Điều có nghĩa với xác suất với ε > đủ bé, tồn N = N (ε), để xảy biến cố ∞ k=N (ε) Ak (ε) cho với k có f (x(k+1) ) − f (x∗ ) = f (x(k+1) ) − f (x∗ ) < ε Vậy P lim f (x(k) ) = f (x∗ ) k→∞ = N (ε), ta 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Đã hệ thống số khái niệm sở tập lồi nói lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch, số vấn đề sở lý thuyết xác suất, toán quy hoạch ngẫu nhiên Nêu khái niệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên thể Phát biểu chứng minh số bổ đề, mệnh đề định lý quan trọng tốn xét Trình bày thuật toán giải toán nêu Một số vấn đề cịn mở ra, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu là: - Nghiên cứu lớp tốn có nội dung thực tế, với liệu có tham gia yếu tố ngẫu nhiên, áp dụng kết có lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên để giải - Tập trung nghiên cứu lớp hẹp toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân đề xuất ứng dụng vào thực tiễn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Văn Huấn, Một số phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch nguyên, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, 2005 [3] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB khoa học kỹ thuật, Hà nội, 2000 [4] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [5] Trần Xuân Sinh, Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, giảng dùng cho học viên Sau Đại học chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh, 2004 [6] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết Xác suất, NXB Giáo dục Hà Nội, 2000 [7] Hồng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện Tốn học, Hà nội, 2003 [8] Nguyễn Đơng n, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa hoc tự nhiên Cơng nghệ, 2007 [9] G Castaing, and M Valadier, 1977, Convex Analysis and Measurable Multifunctions, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, Germany, vol 580 [10] F Faccchinei, and J S Pang, 2003, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York, NY 40 [11] M Patriksson and A Evgrafov, 2004, On the Existence of Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Application, Vol 121, pp 65-76 [12] M Patriksson and L Wynter, 1999, Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Operations Research Letters, Vol 25, pp 159-167 [13] A Shapiro, January 2006, Stochastic Programming with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Application, Vol 128, No 1, pp 223-243 [14] A Shapiro, 2005, Sensitivity Analysis of Parametrized Variational Inequalities, Mathematics of Operations Research, Vol 30, pp 76-91 [15] A Shapiro, and A Ruszczyn ´ ski, Editors, 2003, Stochastic Programming, Handbooks in Operations Research and Management Science, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland, Vol 10 ... khác nhau, ví dụ bất đẳng thức biến phân véctơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút nhiều... (y) bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên Lúc ta ký hiệu tập nghiệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên S(x, ω) 2.2 2.2.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân (SMPEC) Bài toán SMPEC Xét toán. .. ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch, số vấn đề sở lý thuyết xác suất, toán quy hoạch ngẫu nhiên Nêu khái niệm bất đẳng thức biến phân ngẫu nhiên thể Phát biểu chứng minh số bổ